giải toán góc và khoảng cách. Giúp học sinh luyện thi đại học cao đẳng. ôn thi tốt nghiệp THPT được điểm cao. Hệ thống hóa kiến thức cho học sinh. Tạo các kỹ năng giải toán quan trọng nhất các em. Giúp các em nắm chắc kiến thức hơn.
Trang 5LOI NOI DAU
Các em học sinh và quý độc giả thân mến!
Góc và khoảng cách giữa các yếu tô trong không gian là một trong những nội dung trọng tâm của hình học không gian, và chắc chăn sẽ xuất hiện trong kỳ thi THPT Quốc Gia Đây là phần nên tảng đề có thể học tốt các chương sau của phần Hình Học Không Gian Tuy nhiên đây là phần gây khó khăn cho rất nhiêu học sinh
Lý do các em gặp khó khăn phân này có thể kế đến như
1 Không biết cách xác định cân đường vuông góc hạ từ 1 điểm tới l mặt phăng 2 Không được trang bị các kỹ năng tìm góc, đặc biệt là góc giữa hai mặt phẳng
3 Gặp khó khăn trong các bài toán tìm khoảng cách giữa hai đường thắng chéo nhau vì không biệt bắt đâu từ đâu
4 Gặp phải nhiều kiến thức mới, không có lối suy nghĩ mạch lạc kết nối các kiến thức đã học đê giải quyêt bài toán, do đó việc tiệp thu kiên thức về hình học không gian gặp nhiêu khó khăn
Cuốn Bí Kíp Góc Và Khoảng Cách này sẽ giúp các em được trang bị những kỹ năng quan trọng nhật đề giải quyêt bài toán liên quan đên góc và khoảng cách của các yêu tô trong không gian, cùng với việc luyện tập đê giải quyết tôt các bài toán phân này
Nội dung cuôn sách chia làm 5 chu đề lớn, các chủ đê lớn đêu có: 1 Hệ thông hóa các kiên thức cơ bản
2 Đưa ra các phương pháp giải tốn, các cơng cụ quan trọng, kèm theo nhận xét của tác giả
3 Các ví dụ minh họa cho các phương pháp
4 Hệ thống bài tập đủ dạng từ dễ đến khó để học sinh luyện tập, có đáp án chỉ tiết phần
hình học và video chữa chi tiệt phân Đại Sô
5 Cac video bé tro có QR Code xem chữa chỉ tiết: http://bit.ly/youtubedvd
Với các kiến thức đó, thầy tin rằng cuốn Bí Kíp Góc Và Khoảng Cách này sẽ là l tài liệu hay và bô ích cho các em học sinh học tôt hơn chương trình lớp I1
Hi vọng răng cuôn sách này sẽ giúp các em tìm ra niêm vui trong việc học toán, đặc biệt là tự tín trong việc giải quyết các bài tốn khó, đơng thời được trang bị thêm nhiêu kỹ năng khác nhau đê giải toán
Thầy hi vọng răng đây sẽ là món quà đặc biệt cho các bạn có thể nâng cao kĩ năng giải
toán, đặc biệt là các bài toán khó đê cải thiện điềm sô, và đạt được thành tích cao trong ki thi
sắp tới
Trang 6Mặc dù đã làm việc với tỉnh thần cầu thị cao, ti mi va chi tiết, tuy nhiên không thê ê cuồn
tránh khỏi những sai sót Rất mong quý độc giả và các em học sinh đóng góp ý kiến đ sách này hoàn thiện hơn
Mọi ý kiên đóng góp, độc giả vui lòng gửi trực tiêp tác giả cuồn sách ~ Đô Văn Đức SĐT: 0896.615.391 Email: ducdv91@outlook.com Facebook: http://fb.com/thayductoan Đ HN ằ 9 s% oe đ e © 9 @ 6 oo oe a00 Gee C80 ° ae 2000 Ê0 vo 99 5 â & đ 208 ec008 eee @ ; ose 208 osoooeek 6đ tang â sẽ eo ee ° @ 66000 oe se 6 oo s ece oo ef0 © ee e oo @ 00% & 2900 06 © G0 sosenee © °© © 08 S06 oO + + e9ceceos co se e098 Sẽ ge 930 se © eo of e208 900606 & © 605 © oe Of ¢ ees 90090099066 8S Cosooboe SEE a2 8 eee e coe 8 oo 8 eo © G60 20 See 63 © OS G6 98 200 ° CO ướt 6© 66 $6 2 6 co 002 6© eee co 6 ở ° * ° ° ee e¢ € 606 68 86 co 9 ® 63 @ e ce set C8 68 6 e s6 ”e @ sa%G60 © S90 a6 > 62 66 oe ees 00 ° œe@ @ c6 6 mo 68 he ® @8 oe & 39 8 00008 29 oes Ge @ os008 oe Ñ oases sóc 0 8 o â eo 09 68 â eses 6Â §
Mã QR-CODE của kênh Youtube xem bài giảng Mã QR-CODE của FanPage
Trang 7Ä P141} KV V II BP — EXIEUĐE EU UPR US RE ft £#7Mttš AG RUC — HOON gi} MỤC LỤC
Chuyên đề Tên chuyên đề Trang
Bai I Khoảng cách từ 1 điểm tới | mat phang 6 Bài 2 Khoảng cách giữa hai đường thăng chéo nhau 27
Bài 3 Góc giữa hai đường thăng 40
Bài 4 Góc giữa đường thăng và mặt phăng 53
Bài 5 Góc giữa hai mặt phẳng 65
Bài 6 Công thức ĐKH - Một con kiến hư tìm nhanh khoảng cách 83 Phan 2 — VIDEO BAI GIANG Cách tra cứu QR — Code 90 Bài 7 Video bài giảng: Khoảng cách từ 1 điểm tới I mặt phẳng 91 Bài 8 Video bài giảng: Khoảng cách giữa hai đường thắng chéo nhau | 101
Bài 9 Video bài giảng: Góc giữa đường và đường, đường và mặt 110 Bài 10 Video bài giảng: Góc giữa hai mặt phẳng 115 Bai 11 Luyện tập các bài toán VD-VDC 126
lhay Dé Van Dire — fb.com/dovanduc2020
Trang 8- £ Hãy Jô Văn Đức - Khóa học ONLINH mơn Tốn Đăng kí học —- inbox fanpage .'U'h
BÀI 1 - KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM TỚI MỘT MẶT PHẲNG nà
A KIEN THUC CAN NAM
1 Khoang cach tir 1 diém téi 1 mat phang
Cho diém O va mp(a) Goi H 1a hinh chiéu vuéng géc cua Ó lên m(ø), khi đó ØH gọi là khoản,
cách từ điểm O dén mp(a), ki hiéu la d(O;(a))=OH Z 2 Khoảng cách giữa đường và mặt song song — giữa hai mặt song song e _ Cho đường thẳng đ song song với mp(P), khoảng cách từ d đến (P) bằng khoảng cách từ ( điểm bất kỳ thuộc đ đến (?) n Ø d x D H E te b Trên hình vẽ, ta có đ/(P) và Ocd, khi đó khoảng cách từ đ tới (P) bằng d(O;(P)) Cl
Nhận xét: Từ tính chất này, ta nhận thấy nếu 48//(P), để tìm khoảng cách từ 4 xuốt
(P) ta có thé tìm khoảng cách từ Ø xuống (P) vi d(A;(P)) = d(B;(P)) y
Trang 9ge (hay Yo Van Yuc— Knoa hoc UNLLNE mon Loan Vang KI noc — inbox tanpage
3, Cac kiến thức cần nắm
Tinh chất 1 - Khoảng cách từ chân đường vuông góc tới mặt bên
Cho điểm S va (P), goi 4, B 1a 2 diém bat ky thudc (P) va H 1a hinh chiéu cua S én (P) b Dat d(S;AB)=a; SH =b thi d(H;(S4B))=——— Va’ +b° oan, Chứng mình hty Gọi K làhình chiếu của ! lên 4B, 7 là hình chiếu của # lên SK AB 1 HK a CÓ: => AB | (SHK)=> AB | HI, ma HI 1 SK => HI L (S4B) = d(H ;(SAB)) = HI AB 1 SH ` HH b Xét ASHK vuông tại H có HI là đường cao nên HI = SHMK a0 SK Va +b? Nhận xét
Đây là một tính chất cực kỳ quan trọng, hầu hết các bài toán khi tìm khoảng cách từ 1 điểm
tới một mặt phẳng, ta đều quy về bài toán tìm khoảng cách từ chân đương vuông góc với mặt bên Khi đó ta chỉ cần tìm chiều cao và khoảng cách từ chân đường vuông góc tới giao tuyến ab của mặt bên và mặt đáy, sau đó thay vào công thức đ =——————= ) dan | xudl Mẹo nhỏ Việc thay vào công thức đ= a ta nên sử dụng chức năng CALC của máy tính Chẳng khoải a’ +b B, yw han a= , ta dùng máy tính như sau: AE 8 AE M AE" x AB’ a x JA?+B? {a?+B? (A? +B? {A?+B? {555 A =¥(3)+2 B =v(5)r4 34 |
Bước 1: Nhập biểu Bước 2: Dùng chức Bước 3: Dùng chức Bước 4: Ấn “bằng” để
Trang 10wo Phay De Van ức - Khoa hoc ONLINE moén Toán Dang ki hoc— inbox fanpage „ „7
Ví dụ 1: Cho hinh chép S.ABCD cé6 đáy ABCD là hình thang vuông tại 4 va D, ¢ AD=DC=a, AB=2a, tam giac SAD déu va nam trong mat phang vuông góc với mat phan
(ABCD) Goi H là trung điểm của 40 Khoảng cách từ / tới m(SBSC) bằng A ĐEN B 35 C 3V3 D 3S, 2 10 8 8 Giải aN3 9 ^ ` ` SH —=—— Goi H là trung điểm của 4D, theo đề bài, AS4D đều cạnh bằng a suy ra 2 SH L(ABCD) = 1 l 3đ? I | aa Ta lai co Suecp = 3 AP (AB + DC) = 5 -(2a + a) = 57 S sen = 8.4H = 25 = 57 1 la a 3a’ Spc =~ DH DC =~.—.a=— Do d6 Spay =S yeep — Sage ~ Spey = — 2 22 4 2 Dé thay BC =\2a=> d(H; BC) =" 218e = 34 = 3V2a BC 22a 4 SHa(H;BC Từ đó, đ(H;(S8C)) = ( ) = 35 Chon B SH? +d°(H;BC) 10 Tinh chat 2 - Đổi điểm bằng định lý Talet ` ở g ườ , AM
Duong thang AB cat mp(P) tai diém M Khi dé d(A;(P)) =F 7 4 (BP):
Tính chất này có thể phát biểu lại như sau: Nếu s
Trang 11lợc —— D, ¢ shan
i Thay D6 Van Dic —- Khéa hoc ONLINE mén Toán Dang ki hoc - Inbox fanpage
Ap dung dinh ly Talet:
AMMA AM =2 g = d(A:(P))= BK MB MB mm S2 a(B:(P))
Nhận xét
Đây là một tính chất cực kỳ quan trọng, mang tính đột phá giúp các em đổi điểm trong việc
tính khoảng cách từ 1 điểm tới 1 mặt phăng Như đã nói ở tính chất 1, thông thường việc tính
khoảng cách từ 1 điểm tới 1 mặt phẳng, ta thường quy về tìm khoảng cách từ chân đường
vuông góc tới mặt bên Với tính chất này, đôi khi việc tìm khoảng cách từ điểm 4 tới (P) khó khăn vì ta không xác định được chân đường vuông góc hạ từ 4 tới (P), tuy nhién tim khoang cách từ điểm # tới (P) lại dễ dàng, vậy thì em hãy xem giao điểm của 4H va (P) 6 dau, ví
dụ là Ä⁄, sau đó áp dụng d(4:(P)) =4(M:(P))
Vi dụ 2: Cho hình chóp S.4BCŒD có đáy 4BCD là hình vuông, cạnh bằng ø Tam giác %4Ð là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi G 1a trong tam của
Trang 12Thay Đô Văn Đức - Khéa hoc ONLINE mon loàn Vang ki hoc- inbox tanpage Th —_— GS =—, do 2 GM 3 Goi M 1a trung diém cua BC, vi G la trong tam ASBC > S,G, M thang hang va do d(G;(SBD) =O 4 M:(SBD) a2 M;(SBD)) (1) (G:(SBD)) = a( =a Lại có HM cắt (SBD) tại Ó nên 4(M:(SBD)) =5 d(H:(SBD)) =4(H:(SBD)) = mi (2) Từ (1) và (2) suy ra d(G;(SBD)) -2 ó0 = ~ Chọn A | Tính chất 3 - Tính chất của tam diện vuông Cho tứ điện O4BC có O4,OB,OC đôi một vuông góc Gọi H là hình chiếu vuông góc của O xuống mp(4BC) Khi đó: 1) H là trực tâm của AABC 1 I 1 Ị 2 = + + ) OR O4 OB? OC’ Chứng minh - lọc | OH
a CÓ: BC LOA => BC | (OHA)=> BC 1 AH 0
Tương tự, ta cũng có 4C L 8H => H là trực tâm của AAĐC
Trang 13ge Thầy Đô Văn Đức - Khóa hoc ONLINE mén Toan Đăng kí học - Inbox fanpage
)
7 do Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD cé day ABCD la hinh cht nhat, canh AB=a, BC =2a, tam
giac SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc véi mat phang (ABCD) Goi M và W lần lượt là trung điểm của BC va SB Khoang cach tu N tdi mat phang (S4M) bang av 42 N2] a2] aý21 (2) A B D 21 21 7 14 Giải 1a O
Goi H là trung điểm của 4D, vì AS4D đều có cạnh bang 2a va nằm trong mặt phẳng vuông
góc với mp(ABCD) nên J ST” 243 SH 1(ABCD)
Tứ diện S/⁄4M có các góc ở đỉnh /j vuông, có SW=aN3,HM=a,HA=a suy ra
1 = 1 ] 1 =—>++>==>z =4(H:(S4M))=“*— 1 1 1 7 av 21
42(H:(SAM)) HS” "HÀ "HMT 342 ah ái 3Ó (H:(S4M))=—;
Tw gia thiét, NB c&t (SAM) tai S nén d(N;(SAM)) =" d(B:(S4M))=— d(Bs(SAM)) (1)
Goi giao diém cua BH véi (SAM) la I, ta có BI av21 BI = HI => d(B;(SAM)) =—.d(H3(SAM))=d(H;(SAM)) = 7 (2) ones ` ` 1 a av21 a 21 —,ả Từ (1) và (2) suy ra d(N;(SAM))=> 7 4g : Chon D Tính chất 4 - Sử dụng công thức thể tích d Khoảng cách từ điểm § xuống mp(4BC) được tính bởi công thức đ (S ;(ABC )) = ŸÍsuạc., u thổ Snape
Việc tìm khoảng cách từ 1 điểm xuống 1 mặt phẳng đôi khi trở nên khó khăn, ta có thể quy về bài
đoán tìm thể tích và diện tích dựa vào công thức tính thể tích: Ứ; „;„ = 5 Suu d(S;(ABC))
Ệ
ne
Trang 14Thay Dé Van Đức - Nhóa học ONLINE mơn Tốn Đăng kí học— Inbox lanpage_ ===
Một số công thức tính diện tích cần lưu ý: 1) 5 =+ah, = bp, ab ch 2 2 2 “ 2) S=becsin A4 3) S= pr 4) ga oe 4R 5) S= Jp(p-a)(p-b)(p-c) (công thức Hê-rông) Trong đó a,b,c là độ dài 3 cạnh ĐC, CA, 4B của AABC h„,h,,h là các góc ứng với các đỉnh 4, B, C
R,r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của A.15C p và Š lần lượt là nửa chu vi và diện tích của A4BC
Một số công thức tính nhanh thể tích tứ điện 4BCD
Công thức 1: Tính thể tích tứ diện khi biết độ dài, góc và khoảng cách giữa hai cạn
đối nhau
Cho tứ diện 48CD, gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng 4B và CD, ø là góc giữa ha
1
đường thẳng 48 và CD, khi đó ƒ„;e; = ° AB.CD.d.sin ø B-B
Công thức 2: Tính thể tích tứ diện khi biết diện tích 2 mặt bên, góc nhị diện giul |
chúng và độ dài giao tuyến của chúng ]
Cho tứ diện 48CD, gọi ø((4BC);(4BD))= œ, khi đó: V = 2c He ng ,
Công thức 3: Tính thể tích khi biết số đo 3 góc ở đỉnh và độ dài các cạnh 2 |
Cho tứ diện S.48C có ⁄4SB =7; ⁄BSC =ø; ⁄<CSA = 8 ta có:
Vo ape = = SA.SBSCI —€OS” œ — cos” /đ ~ cos” 7 + 2cos #.cos /.cOS 7
Định lý cos trong tam giác: BC’ = AB’ + AC’ —2.AB.AC.cos BAC
3
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA4=2;SB= 3; SC =4; ⁄ASB = ZCSA = 60°; ZBSC = 90°
Trang 15ge hot PORay PU Val vue — IVa MUO (CN 1/LELV KV THIOIHT 1 20111 BANS Hi HOC LnDOX laAnpage
ee
A
Áp dụng công thức tính thể tích tứ điện khi biết số đo 3 góc ở đỉnh và độ dài các cạnh: Ve ac = = SASBSCAI — cos’ 60° ~ cos” 60° + 2.cos 60° cos 60°.cos 90° = 2V2
Ap dung định lý cos trong AS4B, ta có: AB’ = SB’ + SA’ —2SA4.SB.cos60°=7 => AB= V7
aC Ap dung định ly cos trong ASAC, ta c6: AC? = SA? + SC? -2SA.SC.cos 60° =12 => AC =2V3
Tam giac SBC vuéng 6 $ nên 8C =vSB”+S$C” =5 ¬ LA 5/3 can Áp dụng hệ thức Hê-rông, ta có: Š„;„ = \p(p~a)(p—b)(p —c)= = - Do đó A(S:(ABC))=Š/54ee - #46, Chọn C ữa ha Swipe 5 B- BÀI TẬP LUYỆN TẬP ¡giữ1 Cho hình lập phương 48CD.4'BCTD' có cạnh bằng a Khoảng cách từ điểm D đến mp(AD'P') bằng A, 23 B Z2 C ave D a 3 2 6 2 Cho hình hộp đứng 4B8CD.A'B'CTD' có đáy là hình vuông, tam giác 44C vuông cân, 4€ =2 Tính khoảng cách từ điểm 4 đến mặt phẳng (BCD') A 2 p 3 c X6, D, X6, 3 2 3 6
—3.- Cho hình chóp S.ABCD cé đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh 4B=a, AD= a2, cạnh bên
.=90 %4.L(ABCD), góc giữa SC va (ABCD) bằng 60° Gọi M là trung điểm của SB Tinh khoang,
Trang 16a Thay D6 Van Ditc —- Khoa hoc ONLLNE mon Toán Vang KI NOC — 400UX laupayge ,vÚ
5 Cho hinhchép S.ABCD có day ABCD là hình chai nhat canh AB =a, AD=av2, canh bên S4 12 vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M là trung điểm của SB Khoang cach tu M tdi mp(S4C) là A.É, B C.-= p “2, 3 3 v6 v6 6 Cho hình chóp đều S.48CD có cạnh đáy bằng az, góc giữa mặt bên và mặt đáy là 60” Tính 13 khoảng cách từ điểm B dén mp(SCD) A = p 3 c3, D.< 4 4 2 2
7 Cho hai mặt phẳng (P) và (Ó) vuông góc với nhau, cắt nhau theo giao tuyến là A Lấy
A,BeA và đặt 4B =a Lấy C, D lần lượt thuộc (P) và (Q) sao cho 4C, BD vuông góc với A 14 và AC= BD=a Tính khoảng cach tw 4 dén mp(BCD)
A ov B ow C av2 D 2av2
8 Cho hình lăng trụ tam giác đều 48C.4'#8'C' có cạnh đáy bằng a Biết góc giữa mp(A'BC) vì
(4# C') bằng 60° Gọi Ä⁄/ là trung điểm của #C Tính khoảng cách từ A⁄ đến mp(A'BC) 15 A S4, B 2 c, Ba, p, X64, 8 3 6 3 9 Cho hinh chép S.ABC cé S4=3a va SAL(ABC) Gia su AB=BC=2a, AABC =120° Tin khoang cach tt’ 4 dén mp(SBC) 16 A 3, B v6, C 2v2a D 34 2 2 2
10 Cho hinh chép S.ABC cé day 4BC là tam giác vuông tại 4, 4B =], 4C = 43 , ASBC 1a tam gia đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mat phẳng đáy Tính khoảng cách từ B dén ma
phang (SAC)
17
a, 939 p, 239 c, 32, p, 439
13 13 13 13
Trang 17S€C ,„ HAY ?O VẬN ?72UC — AHOA noc VINLAINE Mon oan 17116 H1 HỌC — tHUOX lanpage
n S442 Cho hình chóp S.48C có đáy là tam giác vuông tại B với B4=3a; BC =4a; mp(SBC) vuông AC) góc với mặt phang (ABC) Biét SB =2aV3 va ZSBC =30° Khoang cach tt diém B dén
mp(SAC) la
6a Sa
A= B = C V7a D V6a
v7 V7
4 Cho hình chóp S.ABCD cé6 day ABCD 1a hinh thang vuéng tai A va B, BA=BC =a, AD=2a, cạnh bên $4 vuông góc với mặt phẳng day va SA= aN2 Gọi H là hình chiếu của 4 lên 6ÿ Khoảng cách từ // tới mặt phẳng (SCD) bằng Tính 1 A ee B We C a a ¥ = D — Lay 2 3
với A14 Cho hinh chép S.ABCD có đáy là hình thoi tam O, canh bang a3 , ZBAD = 60°, SA vuéng
góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và (4BCD) bằng 45° Goi M,N lan lugt la
trung điểm 4B, CD Tính khoảng cách từ 4 dén (SMN)
A 35a p, VỮ4 c, 3174 p X54
7) vì 7 5 ` 17 17 5 5
C) 15 Cho hình chóp S.4BCD có đáy là hình thoi tâm O, canh AB= 2aA3, ZBAD =120° Hai mat
phẳng (54) và (%4Đ) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy Góc giữa (SBC) và (4BCD) bằng 45° Tính khoảng cách từ Ó đến mp(SBC) Tin An-s3 B.u-32V2 C.,-4V2 p 43824 2 4 3 2 16 Chóp S.4BCD có SA4= a3 vuông góc với mặt đây (ABCD), tứ giác 4BCD là hình vuông Tan 9 ` ` 3 9 “7 > 1 z 9 Z ` của góc giữa đường thắng Š# và mặt phẳng ( SAC ) có giá trị bằng —= Tính khoảng cách từ 45 n giái A dén (SBC) n mai A 2a B & C aV2 D a ⁄2
17 Cho hình chóp S.4BCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, AS4B cân tại Š và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mp(4BCD); góc giữa SC va (ABCD) bằng 45° Khoảng cách từ trọng
J
tâm G của tam giác SBC dén mp(SAC) bang
Trang 18
19 Cho hình chóp S.ABC có tam giác $4B vuông tại 4, tam giác SBC vudng tai C, tam giác Cc
ABC vuong tai B va AB=8, BC =6, SC=10 Goi G 1a trong tam của tam giac SAC, khoảng G
cách từ Œ dén mat phang (SBC) 1a m
A.Š, 5 B.S 5 6.2 3 D 2 3 A
20 Cho hình chóp S.ABC c6 day ABC 1A tam giác vuông tai dinh B, véi AC = 2a, BC =a Dinh S$
cách đều các điểm 4,8,C Biết góc giữa đường thẳng SZ và mặt phang (ABC) bang 60°
Khoảng cách từ trung điểm 4⁄ của $C đến mặt phẳng (SAB) bang aul
A ay39_ B 3ay13_ C av39° D 213 G
13 13 26 26 A
21 Cho hình chóp S.ABCD cé ABCD 1a hinh vuông, SA vuông góc với day, Sd=a,M la trung T
điểm CD, góc giữa đường thẳng $D và mặt phẳng (S4C) bằng 30° Khoảng cách từ điểm D
đến mat phang (SBM) bang c
A 2, 3 B SỐ, 3 C 4, 3 p 24, 3 D
22 Cho hình chóp S.4BC có đáy 4B8C là tam giác vuông, 4B = AC =a Biét ASAB c6 ZABS = 60° Au 2
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách Z từ điểm A đến (SBC) T là J X ` B d =3V3a C d=2ay3 p d=, 23 Cho hình chóp S.4BC có SA4=SB=SC =a, ZASB =90°, ZBSC = ZCSA = 60° Khoang cach tt diém A dén mp(SBC) bang A a, a6, p vo, c, 83 p 26, 3 6 3 2 ;âu 8
24 Hình hộp A4BCD.A'BCTD' có các cạnh déu bang a, ZBAD = ZBAA' = ZDAA' = 60° Tinh khoảng T
cách giữa hai mặt phẳng (ABCD) va (A’B'C'D')
&
a, 3 6 p, 6, 2 o, 6, 3 p 2/6, 6 1 :
25 Cho hình chóp §.4BC có các cạnh bên SA, SB, SC tao vdi day cac góc bằng nhau và đều bằng “
Trang 19=v Thây 2ö Văn ức - Khoa hoc ONLINE mén Toán Dang ki hoc — Inbox fanpage Blac 6 Cho hình chóp §.ABCD véi day la hinh chit nhat, 4B =a, BC = aV2, SA 1 (ABCD) va SA=av3
ang Qọi M 1a trung điểm của SD va (P) là mặt phẳng đi qua B, M sao cho (P) cat (SAC) theo một đường thăng vuông góc với 8A⁄ Khoảng cach tu S dén (P) bảng 5 A 2292, p22 ¢, 2 p, 42 th § 3 9 3 60°, DAP AN CHI TIET âu 1- Chọn A : - Gọi giao điểm của 4Ð va AD là O, ta có i ry — mDI\\ ', tpt A A'O = DO => d(D;(AD'B’)) = d(A';( AD'B')) em "Dg mự diện 4⁄48!D' có các góc ở đỉnh 4' bằng 90° nên đà "m8 ; I = 1 te 1 te 1 ed 3 (A ADIB')=—— Ba 1,7 | SN TT ~S Z°
d(A:(ADP)) A44) AB) AD}” a 3 À
Do d6 d(D;(AB'D')) =d(A';( AB'D')) = 3
= 60°âu 2 - Chọn C
›8C) Tam giác 44C vuông cân có 4C=2 nên 4C= 44=A/2, mà
ABCD là hình vuông nên 4D = AB =1
Xét trong tam giác vuông 4/4, dựng đường cao 4H ta có AH L 4B ¬ ¬ ` => AH L(A'BCP')= d(A:(4'BCP'))= AH ch từ AHICB AALAB _42 v6 VAA? + 4B? v3 3 AA4B vuông tại 4 nên 4H = âu 3 - Chọn B
oang Ta CỐ: AC =VAB?+ BC = 3a: theo dé bai,
g(SC;(ABCD)) = ZSCA = 60° > SA = V3AC = 3a
Trang 20a Thay Đồ Văn Đức _— Khéa hoc ONLINE mén Toan Dang ki hoc - inbox tanpage 5 Tha
Câu 4 - Chọn D ‘au 7
Không mất tính tổng quát, giả sử a=]
Gọi H là trọng tâm của AABC va M 1a trung điểm của 8C Theo dé bai, AABC đểu có cạnh bằng 1 nên - AM =——; HM =——=> SH = HM.tan 60°=- 2 6 2 Do đó d(H:(SBC))= 2 at HS?+HM? 4 Ma AM =3HM = d(4:(SBC))=34(#1;(SBC)) == A Cau 5 - Chon C › Ss T:
Không mất tính tổng quat, gia su a=1
Goi H là hình chiếu của B lên AC, ta có Di BH L AC | BH L SA = BH L (SAC)= d(B:(SAC)) = BH _6, 3 MỊ D , Vì M la trung diém cua SB nén d 1 V6 d(M;(SAC))=>d(H;(SAC)) =—— | Vv âu9- B Cau 6 - Chon C
Goi O la tam cua hinh vuéng ABCD Vi S.ABCD là hình chop
đều nên SØ L (ABCD)
Goi M là trung điểm của AB, theo đề bài,
g((SAB);(ABCD)) = ZSMO =60°, ma OM =5 suy ra SO= LAER 2 Tứ diện SODC có các góc ở đỉnh Ó vuông nên 1 1 1 1 16 a3 » 2 = tp? He ;= d(0:(SDC))=——
4*(O:(SDC)) OC’ OD° OS” 3a 4 Gq
Theo định lý Talet: d(B;(SCD)) =2d(O;SCD) = of Ta
Vi 4
Trang 21age< Thây Vo Van ực ~ khóa học ONLINE mơn Tốn Dang ki hoc — Inbox fanpage ‘au 7- Chon B Ké AH | BC(H &BC), vi BD L(P) nên | ¢ AH L BD= AH 1 (BCD) Độ dài cần tinh la AH A a2 ‘R D > Theo đề bài, A48C vuông cân tại 4 nên AH = "T2 'âu 8 - Chọn Á Gọi W là trung điểm của ÖC, ta có 4B= A'C—> ØN L BC Lại có AN L BC suy ra ⁄4NA =60° Xa và ^3 — = Ta có AN ==T—= AA'= AN tan 60° = AN.AA' 3 Do đó đ(4;(4 BC)) = T1 Dé thay d(A;( A'BC)) = d(B’;( A’BC)) = 2d(M;(A'BC)) => d(M;(A4'BC)) = âu 9 - Chon D Goi H là hình chiếu của 4 lên BC, dễ thấy "mm" ẽ" 5C BC AH SA 3a Vi SA _L(ABC)=> d( A;(SBC)) = ———= (8054409) oe = — âu 10 - Chọn B
À Goi H⁄ là trung điểm của 4C, vì AS4C đều và nằm trong mặt phẳng
Trang 22Thầy Đỗ Văn Đức - Khóa học ONLINE môn Toán Dang kí học - Inbox fanpage ,x L1:
Câu 11 - Chọn A S
Câu 12 - Chọn A
Không mất tính tổng quát, giả sử a=] Ap dung dinh ly cos cho ASBC, ta có SC = VSB? + BC? -2SB.BC.cos30° = ,)12+3- 2238 = V8 cl Do d6 SC’? +BC’ =SB° = ASBC vuông tại C Ma (SBC) 1 (ABC)=> SC 1 (ABC)
Gọi H 1a hinh chiéu cua B lên 4C thì
BH L AC | = BH 1 (SAC)= d(B:(SAC))= BH=- =“=— = BC.BA 12 \
BH LSC VBC? +BA 5
Khong mat tinh tong quat, gia su a=1
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên BC, vi (SBC) 1 (ABC) => SH 1 (ABC) _ [SH =SB.sin30° = V3 Ta có: BH = SB.cos30° =3 Do do: I HC = BC- BH =4~3=1= d(B;(SAC)) 1 = 3c d(H;(SAC)) =4d(H;(SAC)) C : : ( <3 twee AB 3
Gọi K là hình chiếu của H lén AC thi HK = HC sin BCA = HC 1C s
Do đó A(H;(sác))=—cSH1K— „3T Vậy A(B:(SAC))=44(H:(SAC))=~= JSH?+HK? 14 V7 I
Câu 138 - Chọn D
Không mất tính tổng quát, giả sử a =1 \
Trang 23age nw fay DU Val Tue — Mua UYU Vivek iy MIU AU 17141184 fkÝ HƯU — *KII/ÚX 12111172112C Sy Dat d(A;(SCD)) =h, ti dién $.4DE có các góc ở đỉnh 4 vuông, có 4S=2;.4E= AD=2 suy 1 l I ra ->= + po SS Ị hy AS? AD? AE 2 Do đó d(B;(SCD)) = => d(H: au 14 - Chọn C Không mất tính tổng quát, giả sử a =1 Hình thoi 48CD có cạnh bằng A3 và ⁄84D =60°= A4BC
cân tại Ø có ⁄4BC =120° Do đó AC =\3.AB =3
Vi SA | (ABCD) = g(SC;(ABCD)) = ZSCA = 45° => %4 = ÁC.tan 45° =3 Gọi H 1a hình chiếu vuông góc cua A lén MN, dé thay AH = AM sinoo? 3 Y3 3 NN 2°2 4 — Do đó đ| 4;(SMN ]Ì=—————— =———— SA.AH 3417 ⁄ (60698) TT 1ï
Cau 15 - Chọn B Khong mat tinh tong quat, gia su a=1
Tứ giác 4BCD là hình thoi có ZBAD =120° => AABC 1a tam giác đều cạnh bằng 22/3 Goi M là trung điểm của BC thì AMLBC và AM =2Jã `Ö =3 - , [BCLAM Dễ thay 8C L S4 = BC L(SAM)=BC LSM Do đó
g((SBC);(ABCD)) = ZSMA = 45° suy ra SA = AM.tan45° =3
Trang 24Oe 8 124V TYU V TL TPLLC — EÁXIIỢ¿I HOC UNLAINE MON Loan WAU LÍ CC: — LLU LAU PASO § 11a
Câu 16 - Chọn D Cau l
Khong mat tinh tong quat, gia su a=1 F
Từ giả thiết đáy ABCD là hình vuông, ta có € BO LAC C => BO 1 (SAC) => g(SB;(SAC)) = ⁄BSO LBO L S4 1 eye ] BO BO Theo dé bai, tan BSO = —= <> —— = ee = —= 45 SƠ J5 JjS4+AO V5 eo B0 pg VÃ suy ra A8=J2go=X6 v3+BØ° V5 2 2 a wg ˆ x LZ SA.AB - Goi H 1a hinh chiéu cua 4 lén SB, dé thay AH 1 (SBC)= AH = Teta =1 SA’ + AB Caul Vay d(A;(SBC)) =a ( Câu 17 - Chọn A s T
Không mất tính tổng quat, gia su a=1
Goi H là trung điểm của 48 thì SHLAB, ma
(S4B).L(ABCD)— SH L(ABCD) Do đó góc giữa SC và mp(ABCD) la ZSCH => ZSCH = 45° Y A Ta có: CH =v\CB?+ BH” = sa SH =CH.tan45°= S, C
Gọi O là tâm của hình vuông 4BCD thì tứ điện 71S4O có các N ẹ
Trang 25pa Be Hay HPF OY CAHA AZ OAL OO ABRRA ER LEE AVATAR REAR OR ER EH A ARM Say mr
¬âu 18 - Chọn C
Không mất tính tổng quát, giả sử a=]
Goi G 1A trong tam cua AABC => SG 1 (ABC);
` Gọi M⁄ là trung diém cua BC Z7 v3 v3 3 < Ta có: AM =~ = AG =~; GM =~; SG= SA’? -~AG = —— -> d(G,(SBC)) = 222" - Vi65 Vse+6m 45 = d(4.(SBC)) = <4(G;(SBC)) = "âu 19 - Chọn B Gọi H là hình chiếu vuông góc của S xudng mp( ABC) _ (ABLSA a có: AB | SH BC LSC BC L SH Vậy tứ giác 4BCH là hình chữ nhật có 4B=8,BC=6 Do đó SH =4 SC?-HC” =6 Gọi A⁄ là trung điểm của SC, vi G là trọng tâm AS4C nên 4,M,G thẳng hàng và = 4B L(S4H)= AB L AH Tương tự, => BC LCH B d(G;(SBC)) =34(4:(SB€)) Lại có SHHC 6.8 24 §%CC 10 5 AH || BC = d(A;(SBC)) =d(H;(SBC)) = suy ra d(G;(SBC)) == Cau 20 - Chon A Goi H là hinh chiéu cua S lén mp(ABC), vi SA=SB=SC nén
H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 48C Mà A4BC vuông
, tí tạ P nên H là trung điểm của 4C Do đó M⁄H là đường trung bình của AS4C suy ra
Trang 26A § 1£ V EU Vad Ue EYI11U¿t LÍCP(C: Ua EO § 02411 AIA EMA MEIER ™ RAEI A LARMVABE oe EL
Cau 21-ChonA Cau
Không mất tính tổng quat, gia su a=1
Gọi Ó là tâm cua hinh vuéng ABCD va N la giao diém cua BM va AD _ [ĐÓL AC Ta có: = DO 1 (S4C), do đó DO 1 SA g(SD;(SAC)) = ZDSO = 30° Dat OA=OB=x=> SO=lI+x”, ta có 29 —= tan 30° => pa Xx SS 1 XK Se SO Vitex V3 v2 Do đó 48 = 4D =1 Vì M la trung diém cua DC = DN = BC =1, do đó d(D;(SBM)) = ad (43(SBM)) = s4(4 :(SBA/)) Mà tứ giác S.4BN có các góc ở đỉnh 4 bằng 90° nên I Am 1 = 72 4(As(SBM))= 3 9 2 d’(A;(SBM)) S4 “AB AN? Do dé d(D;(SBM)) = Gà | Câu 22 - Chọn Á
Goi H là hình chiếu của S lên AB, vì
(SAB) | (ABC) => SH 1 (ABC)
Trang 27ISO
ục20
op LAY EPO V (111 FPO Riva HIOGE RALVAIALV HY FEROLE £ Oa ih IANS Ki HOE — #FÌO X fanpage
Câu 23 - Chọn A
Không mất tính tổng quát, giả sử a=]
Từ giả thiết, ta có các AASC và A8SC là các tam giác đều nên
AC = BC =l
Lại có AS4B vuông cân tại S nén AB = VJ2S4 = V2
Do đó 4C” + BC’ = AB’ => AABC' vuông tại C
Gọi /7 là hình chiếu vuông góc của 3 lên zp( 48C) theo đề bài,
S4= SB=S$C nên H trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC Mà AABC vuông tại C nên H là trung điểm của 4B
Trang 28xe ñ14V ‡7O V11 17LC — ẦH1ÓA NOC UWNLAWINE Mon ¡ OA1T1 2 PAILS RE MIU ——” BEE AC s K- cee cả EL d
Câu 2ð - Chọn B B
Gọi / là hình chiếu vuông góc của S xudng mp( ABC) thi
HA= SH tan30°; tương tự su Be Ta sẽ tính khoảng cách từ 4 tới mp(SBC) thông qua công HB = SH.tan30°; HC = SH.tan30° => HA = HB = HC = thức: d(A:(SBC)) ==" SABC Xét A4BC có TT = 9e =|p(p—4B)(p~ BC)(p~ 4C) = 1043 | B Lại có: S cage = AB BCAC 4 = p = AB BCAC _ 13 | SH = AH.tan30° _7 4“ 4S usc 3 Vay Ve usc = 5 SHS go yh Lại có ASBC_ có SB=SC= BC=8 nen ¢ | SB+SC+BC 26 — ; ; 813 =T TS Sa TP (p—SB)(p'—SC)(p— BC) —: 703 Do a6 d(A,(SBC)) => 548 = 3 = 354/39 Su 8/13 52 3 2.Ph Câu 26 - Chọn A Trườ
Không mất tính tong quat, gia su a=1
Goi O 1A tam cua hinh chit nhat ABCD, SO cắt BM tai G Dé thay
Gla trong tam cua ASBD va ASAC
Gọi E là trung điểm của 4Ð thì ME//SA Vi SA (ABCD)
=> ME | (ABCD)
Ta chứng minh 4C | BE That vay, goi giao cua AC va BE la H
Trang 295S ,-dnhay VO Van wuc— ANO0a NOC UINLAINE MOn 10an Wang KI NOoc~— inpox fanpage ———
BÀI 2 - KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI DUONG THANG CHEO NHAU
Lưu ý: Công thức tính nhanh ĐKH (một con kiến hư) tính khoảng cách giữa hai đường
thăng chéo nhau sẽ được thê hiện kĩ hơn ở bài 6
> ~ KIEN THUC SU DUNG
1 Đoạn vuông góc chung giữa hai đường thắng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau là đường thẳng a và đường thẳng ø Gọi 4 là điểm thuộc a,
ABla
B là điểm thuộc b thỏa mãn ly Tớ” khi đó đoạn thắng 4Ø gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau z và ð
Khoảng cách giữa hai đường thắng chéo nhau a và b là độ dài đoạn thẳng 4Ø Ta có:
d(a;b) = AB
2 Phương pháp dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau Trường hợp 1: z,b là hai đường thẳng chéo nhau và a L5
e_ Ta dựng 7p(ø) chứa a, vuông góc với b tai B
e Trong (z) dựng ö4.La tại 4, ta được 4B là đường vuông góc chung của hai đường
Trang 30so Lnay VO Van Puc- Knoa HỌC C?LVI.EIVXE THÓI 10an #211187 11 THƠ — 4A 32411417142 Tn” Th
Vi du 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy 4B8CD là hình chữ nhật,
SA 1(4BCD) Xác định khoảng cách giữa hai đường thắng $8 và 40
Giải
Nhận xét: AD | AB 4 = AD 1 (SAB)=> AD 1 SB
Hai đường thẳng 4D và SE vuông góc với nhau nên ta xác định đường
vuông góc chung của chúng bằng cach dung AH LSB(H eSB) Vi
AD L(SAB)= 4H là đường vuông góc chung
Trường hop 2: Gia su a,b 1a hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc a A 1 ad I | | I | B M
e Ta dung mp(a@) chtia a, song song vi b
° Lấy điểm M tiy y trén 5 va dung MM’ vudng goc véi (@) tai M’ (MM' 1a khoan
cách giữa hai đường thang a,b |
e Ti M ta dung duéng thang b'//b, dudng thang Ø' cắt a tại 4 Từ 4 dựng 4B son song với M⁄M', cắt b tại B Độ dài đoạn 4Ø là khoảng cách giữa hai đường thẳng chí
nhau a và b ,
3 Phương pháp tìm khoảng cách giữa hai đường thắng chéo nhau
Từ các phương pháp dựng đường vuông góc giữa hai đường thẳng chéo nhau ở trên, ta có thể thí để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta thường có 2 phương pháp: ——
Phương pháp 1 (theo cách dựng 1): Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng (thôi
thường hai đường thẳng đó là hai đường thẳng vuông góc với nhau)
Trang 316C “- nhãy 2ö Văn ŸứCc— Hhoa học UNLINE mon Loan Vang ki noc — inbox tanpage sey Avi ⁄⁄ 9 hoan > sor g ché é thi (thor ng v đười ees: _—
Ví dụ giải toán theo phương pháp 1:
Cho hình chóp S.ABCD có day ABCD là hình thang vuông tại A và D, có
4D = DC =u 4B = 2a, cạnh bên S4= a và vuông góc với mp( ABCD) Goi O 1a giao diém cua
AC va BD Khoang cach gitta BC va SO la = A 2v3a B Ba c, 34 D vBa 9 3 9 6 Giai oo new ae ve [BC LAC Từ giả thiết, dễ thấy => BC L(SAC)= BC 1 SO BC LSA s b Gọi ;# là hình chiếu cua C lén SO thi CH là đường vuông góc chung của ÖC và SỐ, suy ra d(BC;SO)=CH CO CO _ 23a Dé thay ASAO vA ACHO déng dang nen 2 = £9 = cH = 54 LO - “v34, SA SO SG 9
Ví dụ giải toán theo phương pháp 2
Cho hình chóp §S4BCŒD có đây ABCD là hình thang vuông tại 4 và D, có
Trang 32.- thay Do Van Puc— Khea hoc UNLINE mon Loan Vang Ki noc ~— inbox fanpage | Th,
——
Goi E là trung điểm của AB, ta cé DE// BC > BC//(SED) Do đó (SED) 1a mat phẳng chứa 7,
SD va song song véi BC => d(BC;SD)=d(B;(SDE)) (1)
Dudng thang 4B cAt (SED) tai E co EB = EA => d(B;(SDE))=d(A;(SDE)) (2)
Xét tứ diện Š$4DE có các góc ở đỉnh 4 vuông, có Ÿ4= 41D= 4E=a suy ra | I l | 3 ( ] a ( =—>+——>†+——=-==.4đ[4:(SDE))=-= (3) 8 d’(A;(SDE)) AS’ AD’ AE’ ae (4:(SDE)) V3 6) Từ (1),(2) và (3) suy ra 2(8C¿sp)= SỀ Chọn B ` - 9, ({
B —- BAI TAP LUYEN TAP ;
1 Cho hinh chop S.ABCD cé SA L(ABCD), day ABCD là hình chữ nhật với AC =av5 vi J BC =aV2 Tinh khoang cach gitta SD va BC 10 ¢ a3 2a 3a A, —— B av3 C — D — 2 ay3 3 4 ]
2 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD c6 SA 1 (ABCD), SA= a3, đây ABCD là hình vuông cạnh 2a ,
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng 4D và SB bằng 11 ( 23a V3a 23a 3a A B — C D —= 3 2 Vi Vi ( 3 Cho hình lập phương 4BCD.A'BCTD' có cạnh bằng 1 Khoảng cách giữa hai đường thang AA va BD bang f Al 2 B 1 C V2 p, 2, 2 12 ( t
4 Chohinh lang tru ding ABC.A'B'C' cé day ABC 1a tam giac vudng tai A véi AB=a, AC = 2a,
cạnh bén Ad’ = 2a Khoang cach gitia hai dudng thang BC’ va Ad’ la ¿
13 A 245 B 2av3_ C 2443 D 245: (
5 5 3 3
5 Cho hình chóp S.ABC có đây 4BC là tam giác vuông cân tại 8, Š⁄4 vuông góc với mặt phanj đáy Biết AB= BC =a,SA=2a Goi M 1a trung điểm của 4C Khoảng cách giữa hai đườn !
thang SM va BC la 14, (
A, 22 B 22 2a _ ¢
Km 413 v15 v17
6 Cho tứ dién ABCD, goi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,CD Bí AB =CD = AN = BN =CM = DM =a Khoảng cách giữa hai đường thẳng 4B và CD là /
a, 3, 6 B SỔ, 3 6, 22, 2 p 293 2
Trang 33ge (Thay Po Van Yuc— Khoa hoc UNLENE mon Loan Wang ki hoc —- inbox tanpage chứ, Cho hinh chop S.ABC co day ABC 1a tam gidc déu canh a, SA 1 (ABC), goc giita duéng thang SB va
mat phang (ABC) bang 60° Khoang cách giữa hai đường thăng AC va SB bang
av? a avs — ali A C 2a D 2 7 g Cho hình chóp S.ABCD cé day ABCD la hinh vudng tam O, canh bằng I Biết SO=42 và vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách gitta SC va AB A v5 B ` C V2 D 22 3 3 3
9 Cho hinh chép S.ABC cé day là tam giác đều cạnh bang a, SA=2a và vuông góc với mặt
phẳng đáy Tính khoảng cách giữa S8 và 4C
vì A 2aV31 B 2aJ57 | c 16a D 16V2a 19 19 19 19 10 Cho hình chop S.ABCD cé day la hinh vudng canh a, tam giac S4B déu và nằm trong mặt wy phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách giữa hai đường thang chéo nhau SA va BC h 2a ag a3 2 B a c, 83, 4
11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy 4BCD là hình chữ nhật, cạnh bên Š%⁄4 vuông góc với đáy Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của 4 lên $%C, SD Khoảng cách giữa hai đường thẳng 4B và SC
D.Z 2
có độ dài bằng đoạn thẳng nào?
? AA
A AH B AK C BC D BS
12 Cho tứ diện O.ABC có Ó4,OB, OC đôi một vuông góc với nhau va OA = OB =OC =a Goi M la trung điểm của BC Khoang cach gitta hai duéng thang 4B va OM bang
=24 a 2a a a A = B — Cc — D =
2 B B
13 Cho hình lập phương ABCD.4'B'C'D' cé canh a Goi M,N 14n luot 1a trung diém cua AC va B'C' Khoang cach gitia hai duéng thang MN va B'D' bang
phan
5
juin — Á v5z B Ve
Trang 34a | hay Po Van Puc- Khoa boc ONLINE mon loan Vang Ki hoc ~ inbox fanpage _ 'Vh:
15 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C’ cé day lA tam giac vuéng can, AB = AC =a, AA’ = 2a Tính khoảng cach gitia hai dudng thang AB’ va BC’
2 5 Cau I
a a a a
, oe, B = C -= p <2
V21 43 21 X17
Cho hình chóp Š.4BC có đây ABC là tam giác cân tại 44, 4ƒ là trung điểm 4B,N là trung r
điểm 4C, SE= 4B,(SMC) L(4B8C).(SBN) L(4BC),G là trọng tâm tam giác ABC;J,K lần
lượt là trung điểm ĐC, $4 Kí hiệu đ{(a:b) là khoảng cách giữa 2 đường thang a va b Khang
dinh nao sau day dung? (
A 4(SA;BC)=IA — B d(SA:MI)=IK — © d(SA;BC)=IK —_D d(SA;BC)=IS n
17 Cho hình lăng trụ đứng 48C.4'B'' có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M và N lần lượt là
trung điểm cla AA’ va BØ' Khoảng cách giữa hai đường thẳng #'M va CN là > \
4 23, p, 23, 6, 83 p, 3,
2 4 8 6 Cau 2
18 Cho hai hình chữ nhật ABCD va ABEF c6 ACL BF, AB=1, AD= BE= 42 Tính khoảng cách I
giữa hai dudng thang AC va BF
a 2 > p 2 > cv? > p x3 > :
Trang 36Ắ Thầy Đô Văn Đức - Khóa học ONLINE mơn Tốn ang ki noc ~ Inpox Ianpage “Th, Cau4-ChonA
Goi H là hình chiếu của 4 lên BC Ta cé mp(BCC'B’) chứa BC” và
song song với 44' nên đ( 44, 8C") = d(A.(BCCB'))= AH
AABC vuông tạ A có AH là đường cao nên AH = AB.AC a.2a -4 MAB?+ AC? Va t4a N5 Câu ð - Chon D Ss Gọi N la trung điểm của 4C, ta có M là đường trung bình của | AABC suy ra MA / BC - Do đó d(SM;BC)=d(B;(SMN))=d(4;(SMN)) Câu 9 A ( a 2a.— — A§AN — 2 2a N 2 2 2 17 | VAS? + AN ee v17 \ 4 h Câu 6 - Chọn D Nhận xét: A4BN và ACDM là các tam giác đều có cạnh bằng a _ JMNLAB V2 ˆ „ 3 nên suy ra Ä⁄W là đường vuông góc chung của 4 MN LCD Câu 1 và CD Do đó d(AB;CD) = MN ` 5 ` 5 J Tam giac ABN đều có cạnh bằng z, có Ä⁄V là đường cao nên I t MN = av3 2 s Vay d(AB;CD) v3 2 V Câu 7 - Chọn B Ss
Không mất tính tổng quat, gid si a=1
Vì SA1(ABC)=> g(SB;(ABC)) = g(SB; BA) = ZSBA = 60°,
Trang 37age Thay Do Van Ditc— Khoa học ONLINE mơn Tốn Dang ki hoc — Inbox fanpage
Goi M la hinh chiéu của 4 lên 8D Tam giác 4BC đều nên tam giác 48D đều cạnh bằng 1,
do đó am Vay d(A;(SBD)) = 44 = 15, Vậy d(AC;SB)=^ a
%4 `+ 4AM
sau 8 - Chọn D
Mat phang (SCD) chtia SC va song song với 48 nên
d(SC, AB) =d(A,(SCD)) = 2d(O;(SCD))=2h vom aay Tu dién O.SCD cé cac géc 6 dinh O vuéng vA SO=V2, 1 OD = OC =—= 42 ¬ Sư ty —_ h5 OS’ OD’ OC 2 2 h=2 = a(sc,ap)=22 sau 9- Chon B
Gọi đ là đường thẳng B kẻ đường thẳng song song với AC Goi H 1a
hình chiếu của 4 lên d thi AH = AB.sin60° = vu
Mặt phẳng (SBH) là mặt phẳng chứa $# và song song với AC AHSA 257 JAW? +S a 19 = d(AC, SB) =d(A,(SBH))= sầu 10 - Chọn A Do (S4B)1(ABCD) va BCLAB = BC L(S4B) Vì
tam giác $4B đều nên gọi A⁄ là trung điểm của 5⁄4 thì
Trang 38Thầy Đổ Văn Đức - Khóa học ONLINE mơn Tốn Đăng kí học — inbox tanpage , Lñ Câu 11 - Chọn B Câu {CD LAD - HO cạ 2 CP 1 mp(SAD) = CD 1 AK 4 Lại có AKISD nén AK 1 mp(SCD) => d(A;(SDC)) = AK Ma AB //(SDC (SPC) => d(AB;SC)=d(A;(SCD))= AK SC <(SDC) Cau 12 - Chon C Gọi N là điểm đối xứng với C qua O Khi đó
BN //OM => OM //( ABN) => d(OM; 4B) = d(O:(ABN)) |
Tứ diện O4BN có các góc ở đỉnh Ó vuông, có OA=OB=ON =a _, ] Jt ott 3 d’(O;(ABN)) OA’ OB? ON* a a ^ Do dé d(O;( ABN ))=—= (0;(48N)) = Cau | ( Câu 13 - Chọn D ` , A ]
Goi O va P lần lượt là trung điểm của #D' và CD Khi đó
NP là đường trung bình của ARC'=NP/BRD', do đó |
|
mp ( MNP) chia MN và song song với B'D' nén B , : \ A _
d(MN;BD')=d(O:(MNP)) L i \ ¡
% | ` :
Nhận xét rằng tứ diện OMNP cé cac géc ở đỉnh Ó vuông, gọi 47— Lị— ¬Ả*=¿)
H là hình chiếu của O lên mp(MNP) thì ⁄ Í t¡ọ 4 ⁄
1 “at? 1 1 1 c=- + + | =? on=4 fer < i= T |
OH? OM’ ON? OP a 1 (2) a 3 B N C
2 2
Trang 39ge , ¿hay PO Van MVuUC— T\XIIOAI TỢU (7IVE/E1NE [HỢII LUA AI CALERS IRE BLUE £ELUUA Aa
Câu 14- Chon B
Không mất tính tổng quát, giả sử a=]
Gọi Ó là tâm của hình thoi ABCD, theo dé bai, ta cd
AO= CÓ =1; BO= DO=2= AB =5
Gọi 77 là trung điểm của 48, E là giao điểm của đường > 8 thẳng qua C song song với BD và đường thắng 4ð, vì ASAB déu suy ra SH \ AB, mà (4B) _L(4BCD)=> SH 1 (ABCD) BD//(SCE) Ta có: SCc (SCE) = d(BD;SC)=d(B;(SCE)) 2
Tứ giác BDCE 1a hinh binh hanh nén ae suy ra d(B:(SCE)) == d(H3(SCE)) Ta cần
tính d(H;(SCE)) là khoảng cách từ chân đường vuông góc từ đỉnh Š tới mặt bên (SCE) Ta có: d(H:CE)=? d(4: CE)= 3 AC=Š2=Š: s-X3 Ap- MIŠ suy ra AE 4 4 2 2 2 d(H:(SCE)) = d(H;CE)SH —_3y10 € a? (H:CE)+SH? 3 Do đó a(B:(scE))=2 80 - 30, vạ y d(BD;SC) = vn, Câu 1ð - Chọn A
Gọi E là giao điểm của 4ð' và 4B, F là trung điểm của 4C" Khi đó
1 EFIIBC nên mp(BEF) chứa 4B' và song song với BC” nên
d(AB';BC')= d(B:(B'EF))= d(A;(B'EF))
Trang 40Aue # had ROU Y AEE RPUC ~ PIO IOC CIN EE EEIOEE £ OAT EVANS KAU — AUX fal page por Le
Cau 16 - Chon B
Vì Œ là trọng tâm của A48C nén G 1a giao điểm của CM va BN
Từ giả thiết, (SA/C) L(ABC):(SXB) L(ABC) mà giao tuyến của (SMC) va (SNB) la SG suy ra SG L (ABC) Theo đề bài, A48C cân tại 4 nên 47 L ĐC BC L AI Ta có: | => BC L(SAG)=> BC LIK (I) BC L SƠ Lai co: y| SB = AB=> BK 1 SA,ma BC 1 SA=> mp(BKC) | SA SAL IK (2) ( Tw (1) va (2) suy ra d(S4; BC) = IK ; Câu 17 - Chọn B | d ~ ~ 2 , ` A Goi J va J lần lượt là trung điểm của 8C và CN Ta có LI la BS Z 1 a ( ` 5 IJ =—BN IJ =— đường trung bình của ACNB suy ra 2 => 4 LJ // BN LJ L(ABC) iN Nhận thấy tứ diện /J4C có các góc ở đỉnh 7 vuông nên l 11T II 16 ° d’(I;(ACN)) IC? LWP IP fay fa) (ajÝ 3a SY 2 4 2 I Câu 2 7 " — A(5(4cw))= S3, ca Dễ thấy BM [AN = BYM (ACN) = d(B:CN)= d(B :(ACN))=d(B:(ACN))=24(0:(Acw))= # ( Câu 18 - Chon C ‘ Gọi H la hinh chiéu cua B lên 4C Ta có: AC | BH => AC | (BHF) = AC L FH q AC 1 BF