Toankinhte_Chuong2_QHTT

Th s Nguyễn Hoàng Anh Khoa 1 CHƯƠNG 2 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 2 1 Một số tình huống trong kinh tế và mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính 2 1 1 Bài toán sản xuất Một xí nghiệp có thể sản xuất n loại sản[.]

Th.s Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 2.1 Một số tình kinh tế mơ hình tốn quy hoạch tuyến tính 2.1.1 Bài tốn sản xuất: Một xí nghiệp sản xuất n loại sản phẩm, ký hiệu S1, S2,…, Sn từ m loại nguyên liệu khác nhau, ký hiệu N1, N2…Nm Biết aij, khối lượng nguyên liệu loại Ni tiêu hao đơn vị sản phẩm loại Sj; bi khối lượng nguyên liệu loại Ni mà xí nghiệp huy động ; cj lợi nhuận thu sản xuất bán đơn vị sản phẩm loại Sj, i = 1,…,m ; j = 1,2,…,n Giả sử xí nghiệp sản xuất tiêu thụ sản phẩm khơng hạn chế Hãy tìm khối lượng sản phẩm loại mà phạm vi số ngun liệu huy động được, xí nghiệp có lợi nhuận tối đa Lập mơ hình : Đặt xj số sản phẩm loại Sj mà xí nghiệp sản xuất j =1,2,…,n Ta có mơ hình tốn: n Z   c j x j  max j1 n  a ij x j  bi , i  1,2, ,m  j1  x  0, j  1,2, , n  j 2.1.2 Bài toán lập kế hoạch vốn đầu tư cho sản xuất Cần đầu tư vốn vào m xí nghiệp để sản xuất n loại sản phẩm Qua phân tích, người ta biết đầu tư đơn vị tiền vào xí ngiệp i (i =1,2, ,m) năm sản xuất bij đơn vị sản phẩm loại j (j =1,2, ,n ) Tống số nguyên liệu công năm cung cấp A C Hãy lập kế hoạch sản xuất cho sản xuất Bj đơn vị sản phẩm loại j mà vốn đàu tư Biết mức hao phí ngun liệu lao động (giờ cơng) sản xuất đơn vị sản phẩm j xí nghiệp i bij cij Lập mơ hình: Đặt xi đơn vị tiền đầu tư vào xí nghiệp i (i = 1,2, ,n) Ta có mơ hình toán: n Z   x j  j1 n   bij x i  b j  i1 m n  a ij bij  A ,i  1, 2, ,m; j  1,2, ,n  i1 j1 m n   cij bij  C  i1 j1 x   j Th.s Nguyễn Hồng Anh Khoa 2.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng tổng qt 2.2.1 Bài tốn Tìm (max) n Z =  c jx j = c1x1+ c1x1+ + cnxn j1 với ràng buộc n  a ij x j (, , ) bi , i  1, 2, , m  j1  x (, ) , j  1, ,n  j cj, aij, bi số thực cho trước 2.2.2 Các ký hiệu khái niệm  Hàm Z gọi hàm mục tiêu  Một vectơ x thoả mãn ràng buộc gọi phương án  Tập hợp X gồm phương án gọi tập phương án  Phương án x*  X hàm mục tiêu Z đạt giá trị nhỏ (lớn nhất) gọi phương án tối ưu 2.2.3 Giải tốn QHTT hai biến phương pháp hình học Bài toán: Z = c1x1 + c2x2  min(max) với ràng buộc ci1x1 + ci2x2 (≤; ≥) bi , i=1,2, ,m x1,2 (≤; ≥) Phương pháp: Bước 1: Biểu diễn tập phương án X mặt phẳng tọa độ Bước 2: Biểu diễn hàm mục tiêu mặt phẳng tọa độ với Z số thực Bước 3: Cho Z biến thiên khoảng có phần chung với X, từ xác định Zmin(max) phương án tối ưu x* để Z nhận giá trị min(max) Ví dụ: Giải tốn Z = x1 + x2   x1  2x   2x1  x   x ;x   2.2.4 Một số tính chất tốn QHTT Tính chất 1: Tập phương án tốn QHTT tập lồi Tính chất 2: Nếu tốn QHTT có phương án tối ưu có phương án tối ưu điểm cực biên tập phương án (gọi tắc phương án cực biên) Th.s Nguyễn Hoàng Anh Khoa 2.3 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc 2.3.1 Bài tốn QHTT dạng tắc Là tốn dạng: Tìm (max) n Z =  c jx j = c1x1+ c1x1+ + cnxn j1 với ràng buộc n  a ij x j  bi , i  1, 2, , m  j1  x j  0, j  1, , n  cj, aij, bi số thực cho trước Nhận xét: Bài toán QHTT dạng tổng qt đưa dạng tắc cách thêm vào số ẩn phụ Viết dạng ma trận Z   c, x   (max) Ax  b  x  Trong  a11 a12 a a 22 A   21    a m1 a m2 a1n   x1   b1      a 2n  x2  b  ;x  ;b              a mn   xn   bm  2.3.2 Tính chất Cho x = (x1 ; x2 ;…; xn) phương án tốn QHTT dạng tắc Khi đó, ta có: x1A1 + x2 A2 + … + xnAn = b  a1k   a11 a12 a1n  a  a  a a 2k 21 22 2n  cột thứ k ma trận A    đó, A k             a mk   a m1 a m2 a mn  Hệ {Ak | xk > 0} gọi hệ liên kết phương án x Định lí: Giả sử x = (x1 ; x2 ;…; xn) phương án khác không tốn QHTT dạng tắc Khi đó, x phương án cực biên hệ liên kết x độc lập tuyến tính Th.s Nguyễn Hồng Anh Khoa Ví dụ: Xét tốn Z  4x1  x  x  2x1  x  x    x1  x  4x    x j  0, j  1,3 Xác định hệ liên kết x = (7/3;1/3;0) Kiểm tra x phương án cực biên không? 2.4 Phương pháp đơn hình 2.4.1 Các định lí Trong mục ta xét tốn QHTT dạng tắc Z  c, x   Ax  b  x  A cỡ mxn rankA = m ≤ n Giả sử x0 = (x10; x20; …; xm0; 0; …;0) với xi0 >0, i =1,2, ,m phương án cực biên Khi đó, A1,A2, , Am hệ liên kết hay x10A1 + x20A2 + …+ xm0Am = b Với Aj tìm xj = (x1j; x2j; …; xmj) cho x1jA1 + x2jA2 + …+ xmjAm = Aj Đặt j = c1x1j + c2x2j + …+ cmxmj – cj Định lý 1:( Dấu hiệu tối ưu) Nếu j ≤ 0, j x0 phương án tối ưu, ngược lại Định lý 2: Nếu tồn j > xkj ≤ với k =1,2, ,m, tốn Quy hoạch tuyến tính dạng tắc khơng có phương án tối ưu Định lí 3: x  x Nếu tồn k, s cho max  j :  j  0   k  i : xik    s   s  xik  xsk Xét sở cách thay As Ak Khi đó, phương án x’ ứng với sở phương án tốt phương án x0 Ví dụ: Xét toán f ( x)  x1  x2  x3   x1  x2  x4     x2  x3  x4   x  0, j  1,2,3,4  j Chứng minh x = (6;0;8;0) phương án cực biên không phương án tối Áp dụng định lí tìm phương án tơt hơn, kiểm xem phương án có phải phương án tối ưu khơng? Th.s Nguyễn Hồng Anh Khoa 2.4.2 Bài tốn QHTT dạng tắc có sẵn ma trận đơn vị Xét toán f ( x)   c, x   Ax  b  x  Trong đó, b > A có sẵn ma trận đơn vị cấp m Khơng tính tổng qt giả sử m cột đầu A1, A2, ,Am Lúc đó, phương án cực biên x bước lặp là: x0 = (b1,b2, ,bm, 0, ,0) hệ liên kết A1, A2, ,Am Hơn nữa, xj = (a1j; a2j; …; amj) Để thuận tiện ta xếp liệu lên bảng sau (gọi bảng đơn hình) Cơ sở H.số P.án c1 c2 cm cm+1 cn A1 c1 b1 a1m+1 a1n A2 c2 b2 a2m+1 a2n : : : : : : : : Am cm bm 0 amm+1 amn f(x0) 0 m+1 n Áp dụng định lí 1,2,3 ta có thuật tốn đơn hình Bước 1: Tính j , j = 1,2, ,n Nếu j ≤ với j = 1,2, ,n x0 phương án tối ưu Nếu tồn j > xkj ≤ với k =1,2, ,m, tốn khơng có phương án tối ưu Bước 2: Xác định k,s cho x  x max  j :  j  0   k  i : xik    s   s  xik  xsk Bước 3: Thay As cs cột 1, Ak ck Dùng biến đổi sơ cấp biến đổi cho cột ck vectơ đơn vị thứ k Quay bước Ví dụ: Giải tốn f ( x)  2 x1  x2  x3  x4   x1  x2  x5  2 x  x  x  x  3  x  4x  x  3   x j  0, j  1,6  Giải: Đây tốn QHTT dạng tắc mà ma trận A có sẵn ma trận đơn vị Ma trận đơn vị theo thứ tự A5, A6, A4 Th.s Nguyễn Hoàng Anh Khoa Vậy phương án tối ưu là: x1 = 1; x2 = 1; x4 = 2; x3 = x5 = x6 = fmin = – 2.4.3 Bài toán QHTT dạng tắc khơng có sẵn ma trận đơn vị Xét bai toán f ( x)   c, x  Ax  b (*) x0 A khơng có ma trận đơn vị Xét tốn M f ( x)  Mxn1  Mxn   Mxn m  Bx  b (M ) x0 B = [A|I] cỡ mx(n+m), M số lớn Định lí 4: Nếu x0 = (x10;x20; ;xn0) phương án tối ưu tốn (*) x=(x10;x20; ;xn0;0; ;0) phương án tối ưu toán M ngược lại Chú ý:  j  0,  j  j   jM   j     j  0,  j   j  0,  j  j   jM   j     j  0,  j   k   j  k ;  j k   k M   k   j   j M   j    k   j  k   j Th.s Nguyễn Hoàng Anh Khoa BÀI TẬP CHƯƠNG Câu Một xí nghiệp có máy A, B dùng để sản xuất loại sản phẩm Định mức thời gian cho sản phẩm máy quỹ thời gian máy cho bảng sau: SP Định mức thời gian cho sản phầm (đv: giờ) Quỹ thời gian SP1 SP2 SP3 MÁY (đv: giờ) A 120 B Giá SP (đv 1000 đ) 40 30 35 90 Hãy lập mơ hình tốn học cho tốn: Tìm phương án sản xuất cho tổng thu nhập lớn mà đảm bảo an toàn cho máy Câu Hai địa phương Ninh Bình Hưng Yên cung cấp Khoai với khối lượng 200 300 cho địa phương tiêu thụ Khoai Hải Phòng, Nghệ An Nam Định với yêu cầu tương ứng 170 tấn, 200 130 cước phí vận chuyển (nghìn/ tấn) cho bảng sau: Nơi tiêu thụ Hải Phòng Ngệ An Nam Định Ninh Bình 20 12 25 Hưng Yên 12 24 14 Hãy lập mơ hình tốn học cho tốn: Tìm kế hoạch vận chuyển cho tổng chi phí nhỏ Câu Có xí nghiệp sản xuất loại sản phẩm Biết đầu tư 10.000đ vào xí nghiệp I đơn vị thời gian làm 1,2 sản phẩm A 1,8 sản phẩm B đầu tư 10.000đ vào xí nghiệp II làm 1,8 sản phẩm A 0,8 sản phẩm B Nguyên liệu lao động cung cấp cho việc sản xuất, định mức nguyên liệu lao động cho bảng đây: Xí nghiệp I II Yêu cầu số lượng SP Định mức hao phí nguyên liệu (kg/SP), lao động (giờ/SP) sản phẩm A sản phẩm B Nguyên liệu Lao động Nguyên liệu Lao động 10 4,2 4,5 21000 20000 Hãy lập mơ hình tốn học cho tốn: Tìm phương án đầu tư cho tổng số vốn bỏ Nguyên liệu dự trù: 400 lao động 200000 Th.s Nguyễn Hoàng Anh Khoa Câu Giải tốn quy hoạch tuyến tính sau phương pháp đơn hình: a) f (x)  3x1  5x  2x  x  2x  2x   x1  2x  x  x  x    2x   x1   x j  0, j  1;2;3;4  b) f (x)  x1  x  x  x  x  x   x1  x  6x  3x  x  4x  2x  2   x  3x  x  2x    x j  0, j  1,6  c) Đs: (0;0;0;3;0;1) f (x)  2x1  x  3x  x   x1  2x  x  16 x  x  x     x  3x  x  20  x j  0, j  1;2;3;4  d) f (x)  x1  x  2x  2x  x  e)  x1  x  x  x   x  x  x  12  4x  2x  3x    x j  0, j  1,5  f (x)  2x1  3x  x  m ax f)  x1  5x  x  2x  2x     x1  2x   x j  0, j  1;2;3  f (x)  x1  4x  3x  m ax 2x1  x  x  4x  3x  2x     x1  2x  x   x j  0, j  1;2;3  Đs: (0;0;4;16) Đs: (2;12;0;0;0) Đs:(2/3;17/6;39/2) Đs: (5/2; ½; ½) Th.s Nguyễn Hồng Anh Khoa g) f (x)  x1  x  2x  2x  3x   x1  x  x  x   x  x  x  12   x  2x  4x  3x    x j  0, j  1,6  h) f (x)  7x1  x  3x  x  x  x  i)  x1  x  x  x  15 2x  x  2x   3x  x  2x  4x  2   x j  0, j  1,6  f (x)  2x1  3x  x  x  k) 2x1  2x  2x  x  20  x  4x  8x    2x  2x  3x  20  x j  0, j  1;2;3;4  f (x)  x1  2x  x  m ax 4x1  4x  2x  6  x  x  2x    2x1  x  2x   x j  0, j  1;2;3  Đs: (0;8;0;3;0;1) Đs: VN Đs: (0;0;10;0) Đs: VN