Chương 1 Đại số mệnh đề Trang 5 CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ MỆNH ĐỀ 1 1 Tổng quan • Mục tiêu của chương 1 Học xong chương này, sinh viên phải nắm bắt được các vấn đề sau Thế nào là mệnh đề, chân trị của mệnh đề,[.]
Chương 1: Đại số mệnh đề CHƯƠNG : ĐẠI SỐ MỆNH ĐỀ 1.1 Tổng quan • Mục tiêu chương Học xong chương này, sinh viên phải nắm bắt vấn đề sau: - Thế mệnh đề, chân trị mệnh đề, phép toán mệnh đề - Thực phép toán mệnh đề - Hiểu ứng dụng phép toán logic lập trình đời sống hàng ngày • Kiến thức cần thiết Các kiến thức chương bao gồm: - Kiến thức phép tốn đại số, phép tốn hình học - Có khả suy luận - Biết lập trình ngơn ngữ Pascal, C • Tài liệu tham khảo Phạm văn Thiều, Đặng Hữu Thịnh Toán rời rạc ứng dụng tin học Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội - 1997 (chương 1, trang - 28) • Nội dung cốt lõi - Định nghĩa mệnh đề, biểu thức mệnh đề - Các phép tốn - Ví dụ ứng dụng - Giới thiệu số thuật ngữ chuyên dùng - Tương đương logic cách chứng minh 1.2 Định nghĩa mệnh đề Mổi câu phát biểu sai gọi mệnh đề (Definition proposition: Any statement that is either true or false is called a proposition.) Trang Chương 1: Đại số mệnh đề Ví dụ 1: Các câu xác định mệnh đề 2+3=5 3*4 = 10 Tam giác có cạnh Washington D.C thủ đô Hoa Kỳ Toronto thủ đô Canada Câu xác định "2 + = 5", "Tam giác có cạnh nhau" "Washington D.C thủ đô Hoa Kỳ" mệnh đề Còn câu xác định "3*4 = 10" "Toronto thủ đô Canada" mệnh đề sai Như vậy, mệnh đề mệnh đề mệnh đề sai Hay nói cách khác, mệnh đề lựa chọn giá trị là sai Một mệnh đề khơng thể vừa vừa sai Ví dụ 2: Xét câu phát biểu sau Hôm thứ ? Một số thực âm số phương Hãy đọc kỹ đọan x+1=2 x+y=z Câu "Hôm thứ ? " khơng mệnh đề câu hỏi khơng có giá trị đúng, sai Câu "Một số âm khơng phải số phương" có chân trị xét tập họp số thực R lại có chân trị sai xét tập họp số phức Câu "x+1=2" câu "x+y=z" mệnh đề chúng chẳng chẳng sai biến câu chưa gán cho giá trị cụ thể Giá trị đúng, sai mệnh đề gọi chân trị mệnh đề Chân trị mệnh đề ký hiệu T (true), chân trị mệnh đề sai ký hiệu F (false) Bảng chân trị mệnh đề bao gồm trường hợp đúng, sai xảy mệnh đề Mục đích họat động khoa học phân biệt mệnh đề để xác định chân trị Sự xác định chân trị dựa vào thực nghiệm lý luận Lý luận xác định chân trị mệnh đề cách kết hợp mệnh đề mà ta biết Trang Chương 1: Đại số mệnh đề chân trị Các luật lệ chế ngự cách kết hợp mang tính xác phép tốn đại số Vì thế, cần nói đến "Đại số mệnh đề" 1.3 Các phép tính mệnh đề Trong phép tính mệnh đề, người ta khơng quan tâm đến ý nghĩa câu phát biểu mà ý đến chân trị mệnh đề Do đó, thực phép tốn mệnh đề thơng thường người ta không ghi rõ câu phát biểu mà ghi ký hiệu Các chữ dùng để ký hiệu mệnh đề Những chữ thường dùng P, Q, R, Mệnh đề có giá trị đơn (luôn sai) gọi mệnh đề nguyên từ ( atomic proposition ) Các mệnh đề mệnh đề nguyên từ gọi mệng đề phức hợp (compound propositions) Thông thường, tất mệnh đề phức hợp mệnh đề liên kết (có chứa phép tính mệnh đề) Các phép tính mệnh đề sử dụng nhằm mục đích kết nối mệnh đề lại với tạo mệnh đề Các phép tốn mệnh đề trình bày chương bao gồm : phép phủ định, phép hội, phép tuyển, phép XOR, phép kéo theo, phép tương đương 1.3.1 Phép phủ định (NEGATION) Cho P mệnh đề, câu "không phải P" mệnh đề khác gọi phủ định mệnh đề P Kí hiệu : ¬ P ( P ) Ví dụ : P="2>0" ¬P="2≤0" Bảng chân trị (truth table) p ¬p TF F T Qui tắc: Nếu P có giá trị T phủ định P có giá trị F Trang Chương 1: Đại số mệnh đề 1.3.2 Phép hội (CONJUNCTION) Cho hai mệnh đề P, Q Câu xác định "P Q" mệnh đề gọi hội mệnh đề P Q Kí hiệu P ∧ Q Ví dụ : Cho mệnh đề P Q sau P = " > " mệnh đề Q = " = " mệnh đề sai P ∧ Q = " 2> = " mệnh đề sai Bảng chân trị p T T F F q T F T F p ∧q T F F F Qui tắc : Hội mệnh đề hai mệnh đề Các trường hợp lại sai 1.3.3 Phép tuyển (DISJUNCTION) Cho hai mệnh đề P, Q Câu xác định "P hay (hoặc) Q" mệnh đề gọi tuyển mệnh đề P Q Kí hiệu P ∨ Q Ví dụ : Cho mệnh đề P Q sau P = " > " mệnh đề Q = " = " mệnh đề sai P ∨ Q = " ≥ " mệnh đề Bảng chân trị p T T F F q T F T F p∨q T T T F Trang Chương 1: Đại số mệnh đề Qui tắc : Tuyển mệnh đề sai hai mệnh đề sai Các trường hợp lại 1.3.4 Phép XOR Cho hai mệnh đề P Q Câu xác định "loại trừ P lọai trừ Q", nghĩa "hoặc P Q không đồng thời hai đúng" mệnh đề gọi P xor Q Kí hiệu P ⊕ Q Bảng chân trị p T T F F q p⊕q T F F T T T F F 1.3.5 Phép toán bit Các máy tính dùng bit để biểu diễn thơng tin Một bit có giá trị Bit dùng để biểu diễn chân trị Thường người ta dùng bit để biểu diễn chân trị bit để biểu diễn chân trị sai Các phép toán bit máy tính phép tốn logic Thơng tin thường biển diễn cách dùng xâu bit Ta có định nghĩa xâu bit sau: Định nghĩa : Một xâu bit (hoặc xâu nhị phân) dãy có nhiều bit Chiều dài xâu số bit xâu Ví dụ : 101011000 xâu bit có chiều dài Có thể mở rộng phép toán bit tới xâu bit Người ta định nghĩa OR bit, AND bit XOR bit xâu bit có chiều dài xâu có bit chúng ca1c OR, AND, XOR bit tương ứng xâu tương ứng Chúng ta dùng kí hiệu ∧, ∨, ⊕ để biểu diễn phép tính OR bit, AND XOR tương ứng Trang Chương 1: Đại số mệnh đề • Ví dụ : Logic tính tốn Đặt vấn đề : Bạn có lần kiểm tra lớp học Nếu bạn đạt lần điểm A, lần điểm A khơng có lần rớt lần kiểm tra bạn đạt điểm A cho tồn khóa học Bạn người khơng siêng lắm, bạn chọn cách để đạt điểm A cho tồn khóa học ? Cách giải : Bởi điều kiện OR nên cách giải bạn đạt điểm A rớt lần 3, cần đạt điểm A không rớt lần Bạn lựa chọn đạt điểm A không rớt lần • Ví dụ : Logic đời sống Đặt vấn đề: Sau nướng bánh cho đứa cháu trai đứa cháu gái đến thăm, Dì Nellie lấy bánh khỏi lị nướng để nguội Sau đó, rời khỏi nhà để đến đóng cửa hàng gần Lúc trở có ăn 1/4 bánh chí cịn đặt lại dĩa dơ bên phần bánh cịn lại Vì khơng cịn đến nhà Dì ngày hơm trừ đứa cháu nên Dì biết đứa ăn mà chưa cho phép Dì Nellie hỏi đứa câu trả lời sau: - Charles : Kelly ăn phần bánh - Dawn : Con không ăn bánh - Kelly : Tyler ăn bánh - Tyler : Con khơng ăn, Kelly nói chơi bảo ăn bánh Nếu câu trả lời đứa cháu thủ phạm, tìm người mà Dì Nellie phải phạt ? Cách giải : Vì câu trả lời nên dùng phép vét cạn để tìm lời giải - Giả sử Charles nói nghĩa Kelly ăn bánh Ba câu lại sai Dawn nói "Con khơng ăn bánh" sai nghĩa Dawn có ăn bánh Vậy có đến người ăn bánh, điều mâu thuẩn giả thiết, giả sử không chấp thuận - Giả sử Dawn nói nghĩa Dawn khơng ăn bánh câu cịn lại sai Nhận thấy có mâu thuẩn Kelly Tyler Bởi Kelly nói "Tyler ăn bánh" sai nghĩa Tyler khơng ăn Trong đó, Tyler lại nói "Con khơng ăn " sai, thực tế có ăn Giả thuyết khơng chấp nhận Trang 15 Chương 1: Đại số mệnh đề - Giả sử Kelly nói nghĩa Tyler ăn bánh câu lại sai Như vậy, có thủ phạm Kelly Dawn Mâu thuẩn giả thiết - Giả sử sau Tyler nói nghĩa khơng ăn bánh câu cịn lại sai Nhận thấy có người ăn bánh Dawn Vậy giả thuyết hợp lý thủ phạm Dawn • Ví dụ : Logic tốn học Đặt vấn đề : Tìm số tự nhiên a biết mệnh đề có mệnh đề mệnh đề sai 1/ a + 51 số phương 2/ Chữ số tận a 3/ a - 38 số phương Cách giải : Trước hết, phải xác định xem mệnh đề mệnh đề sai mệnh đề ? Sau từ mệnh đề để tìm số tự nhiên a Số phương số nguyên dương lấy bậc hai Do đó, số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, - Nhận thấy mệnh đề có mâu thuẩn Bởi vì, giả sử mệnh đề đồng thời a+51 có chữ số tận nên khơng thể số phương Vậy mệnh đề phải có mệnh đề sai - Tương tự, nhận thấy mệnh đề có mâu thuẩn Bởi vì, giả sử mệnh đề đồng thời a-38 có chữ số tận nên số phương Vậy mệnh đề mệnh đề đúng, mệnh đề sai Với x > y > Đặt : a + 51 = x2 - a - 38 = y2 -89 = 1.89 = x2 - y2 = ( x + y )( x - y ) Suy : x+y=1 (loại x, y nguyên dương nên khơng thể có x + y = 1) x - y = 89 Trang 16