TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN BỘI NỘI DUNG CHÍNH 2 1 TÍCH PHÂN BỘI HAI 2 2 TÍCH PHÂN BỘI BA 2 3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI GV THS HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 3 Ngày 2[.]
TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI TỔNG QUÁT VỀ TÍCH PHÂN BỘI HAI NỘI DUNG CHÍNH NỘI DUNG CHÍNH 2.1 TÍCH PHÂN BỘI HAI ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BỘI HAI 2.2 TÍCH PHÂN BỘI BA PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ TÍCH PHÂN LẶP 2.3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ CỰC GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI Ngày 25 tháng năm 2022 1/1 GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN TÍCH PHÂN BỘI HAI BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI Ngày 25 tháng năm 2022 2/1 Ngày 25 tháng năm 2022 4/1 TÍCH PHÂN BỘI HAI BÀI TỐN MỞ ĐẦU GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 3/1 GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUN BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI TÍCH PHÂN BỘI ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BỘI HAI TÍCH PHÂN BỘI HAI ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BỘI HAI Định nghĩa 2.1 Z Z Cho hàm hai biến f (x, y) xác định miền D đóng bị chặn R2 Chia miền D thành n phần ∆Si , (i = 1, 2, , n) toán mở đầu lấy n điểm tùy ý Mi (xi , yi ) ∈ ∆Si Khi In = n X Nếu tồn tích phân I = f (x, y)dxdy , ta nói D f (Mi )∆Si Hàm f (x, y) khả tích miền D f (x, y) hàm dấu tích phân dx, dy vi phân theo biến x, y i=1 gọi tổng tích phân hàm f (x, y) miền D lim In hội n→+∞ Định lý 2.1 Nếu hàm f (x, y) liên tục miền D đóng bị chặn R2 hàm f (x, y) khả tích miền D tụ giá trị hữu hạn I I gọi tích phân bội hai hàm f (x, y) miền D Ký hiệu Z Z I= f (x, y)dxdy D GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI Ngày 25 tháng năm 2022 5/1 TÍCH PHÂN BỘI f (u, v)dudv Z Z Z Z (f + g)dxdy = f dxdy + gdxdy D D D Z Z Z Z k.f (x, y)dxdy = k f (x, y)dxdy ZD ĐƯA VỀ TÍCH PHÂN LẶP • Nếu miền D có dạng: D = {(x, y) ∈ R2 /a ≤ x ≤ b; y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x)} ! Z Z Z b Z y2 (x) I= f (x, y)dxdy = f (x, y)dy dx Nếu miền D chia thành hai miền D1 D2 cho D1 D2 không dẫm lên Thì ta có Z Z Z Z Z Z f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdy D1 D D2 Z = b BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 7/1 a Z GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN y1 (x) y2 (x) dx a GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN TÍCH PHÂN BỘI HAI D D D 6/1 Trong phần ta quan tâm tính giá trị Z Z I= f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy = D Ngày 25 tháng năm 2022 PHƯƠNG PHÁP TÍNH Z Z ZD BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI HAI TÍNH CHẤT Z Z GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN f (x, y)dy y1 (x) BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 8/1 TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI PHƯƠNG PHÁP TÍNH Ví dụ 2.1 Z Z x2 + y dxdy , với Tính I = D ĐƯA VỀ TÍCH PHÂN LẶP • Nếu miền D có dạng: D = {(x, y) ∈ R2 /c ≤ y ≤ d; x1 (y) ≤ x ≤ x2 (y)} ! Z Z Z d Z x2 (y) I= f (x, y)dxdy = f (x, y)dx dy D Z = d c Z x2 (y) dy c GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN x1 (y) f (x, y)dx x1 (y) BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI Ngày 25 tháng năm 2022 9/1 D = {(x, y) ∈ R2 / − ≤ x ≤ 3; −2 ≤ y ≤ 2} GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN TÍCH PHÂN BỘI HAI BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI Ngày 25 tháng năm 2022 10 / TÍCH PHÂN BỘI HAI PHƯƠNG PHÁP TÍNH Ví dụ 2.3 Ví dụ 2.2 Z Z Tính I = Z Z Tính I = (2xcosy) dxdy , với D D = {(x, y) ∈ R2 /0 ≤ x ≤ 2; ≤ y ≤ x} π π D = {(x, y) ∈ R2 / − ≤ x ≤ 2; ≤ y ≤ } GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (2x + 3y) dxdy , với D Ngày 25 tháng năm 2022 11 / GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 12 / TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI TÍCH PHÂN BỘI PHƯƠNG PHÁP TÍNH PHƯƠNG PHÁP TÍNH Ví dụ 2.4 Ví dụ 2.5 Z Z TÍCH PHÂN BỘI HAI Z Z (x − y) dxdy , với D miền giới hạn đường Tính I = Tính I = D xydxdy , với D miền giới hạn đường D y = x; y = − x2 y = x − 4; y = 2x GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUN BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI Ngày 25 tháng năm 2022 13 / GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN TÍCH PHÂN BỘI HAI BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI PHƯƠNG PHÁP TÍNH Ngày 25 tháng năm 2022 14 / TÍCH PHÂN BỘI HAI PHƯƠNG PHÁP TÍNH CƠNG THỨC ĐỔI BIẾN Z Z Giả sử ta cần tính I = f (x, y)dxdy D Định lý 2.2 CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN Giả sử Chú ý 2.1 x = x(u, v); y = y(u, v) hai hàm có đạo hàm riêng liên tục miền đóng bị chặn D mặt phẳng OU V x = x(u, v); y = y(u, v) xác định song ánh D D 0 D(x; y) xu xv J= = 0 6= miền D yu yv D(u; v) ta có Z Z trường hợp mà tính ta tính J −1 sau 0J khó D(u; v) ux uy J −1 = = 0 J = −1 vx vy D(x; y) J Z Z f (x, y)dxdy = D GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN D0 f [x(u, v), y(u, v)]|J|dudv BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 15 / GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 16 / TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI TÍCH PHÂN BỘI PHƯƠNG PHÁP TÍNH PHƯƠNG PHÁP TÍNH CƠNG THỨC ĐỔI BIẾN CƠNG THỨC ĐỔI BIẾN Ví dụ 2.6 Ví dụ 2.7 Z Z TÍCH PHÂN BỘI HAI Z Z Tính tích phân I = (x + y) dxdy, D miền giới hạn D Tính tích phân I = dxdy, D miền giới hạn đường D đường y = −x; y = −x + 3; y = 2x − 1; y = 2x + y = x2 ; y = 2x2 ; x = y ; x = 3y GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI Ngày 25 tháng năm 2022 17 / GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN TÍCH PHÂN BỘI HAI BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI Ngày 25 tháng năm 2022 18 / TÍCH PHÂN BỘI HAI PHƯƠNG PHÁP TÍNH Ví dụ 2.9 CƠNG THỨC ĐỔI BIẾN Z Z Tính Ví dụ 2.8 Z Z y = x2 ; 2y = x2 ; x = y ; 3x = y (x2 − y )dxdy, D miền giới hạn đường Tính xydxdy, D miền giới hạn đường D D x + y = 1; x + y = 3; x − y = 2; x − y = GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 19 / GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 20 / TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI PHƯƠNG PHÁP TÍNH PHƯƠNG PHÁP TÍNH 3.ĐỔI BIẾN TRONG Z Z TỌA ĐỘ CỰC Ta cần tính I = f (x, y)dxdy, miền D sử dụng phương 3.ĐỔI BIẾN TRONG TỌA ĐỘ CỰC Khi ta có J = r Z Z Z Z I= f (x, y)dxdy = f (rcosϕ, rsinϕ)rdrdϕ D pháp trước khó khăn Ví dụ miền D có dạng D Ω Chú ý 2.2 Đặt x = rcosϕ; y = rsinϕ Khi miền D mp OXY trở thành miền Ω = Drϕ = {(r, ϕ)/α ≤ ϕ ≤ β; r1 (ϕ) ≤ r ≤ r2 (ϕ)} GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI Ngày 25 tháng năm 2022 21 / Nếu miền D chứa gốc tọa độ miền Ω = {(r, ϕ)/0 ≤ ϕ ≤ 2π; ≤ r ≤ r(ϕ)} GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI HAI TÍCH PHÂN BỘI Ngày 25 tháng năm 2022 22 / TÍCH PHÂN BỘI HAI PHƯƠNG PHÁP TÍNH Ví dụ 2.10 3.ĐỔI BIẾN TRONG TỌA ĐỘ CỰC Z Z +y ex Tính tích phân I = x2 + y ≤ y ≥ Chú ý 2.3 Nếu miền D qua gốc tọa độ miền Ω = {(r, ϕ)/α ≤ ϕ ≤ β; ≤ r ≤ r(ϕ)} GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUN BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP dxdy, D miền giới hạn D Ngày 25 tháng năm 2022 23 / GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 24 / TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI Ví dụ 2.12 Ví dụ 2.11 Z Z x2 +y Tính tích phân I = x2 + y ≤ y ≥ e Z Z +y ) dxdy , D hình trịn: D D x2 + y ≤ a2 , (a > 0) GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN e−(x Tính I = dxdy, D miền giới hạn BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI Ngày 25 tháng năm 2022 25 / GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN TÍCH PHÂN BỘI HAI BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI Ngày 25 tháng năm 2022 26 / TÍCH PHÂN BỘI HAI Ví dụ 2.13 Z Z GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 27 / (x2 + y )dxdy , D hình trịn: Tính I = D x2 + y ≤ 4, y ≥ GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 28 / TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI Ví dụ 2.14 Z Z p Tính I = x2 + y dxdy , D miền giới hạn : D x2 + y = a2 x2 + y = 4a2 (a > 0) GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI Ngày 25 tháng năm 2022 29 / GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN TÍCH PHÂN BỘI HAI BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI Ngày 25 tháng năm 2022 30 / TÍCH PHÂN BỘI HAI Ví dụ 2.15 Z Z (x2 + y + 2x)dxdy , D miền giới hạn Tính I = D x2 + y + 2x − 2y + ≤ GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 31 / GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 32 / TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI Ví dụ 2.17 Ví dụ 2.16 Z Z Tính I = Tính tích phân I = (x + y )dxdy , D miền: Z Z xy p − x2 − y , D D D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y − 4x − 2y + ≤ 0; x − y ≤ 1} D = (x, y) ∈ R2 /x2 + y ≤ 4; y ≥ 0; x ≥ GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUN BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI Ngày 25 tháng năm 2022 33 / GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN TÍCH PHÂN BỘI BA BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI Ngày 25 tháng năm 2022 34 / TÍCH PHÂN BỘI BA BÀI TỐN MỞ ĐẦU TỔNG QT VỀ TÍCH PHÂN BỘI BA NỘI DUNG CHÍNH ĐẶT VẤN ĐỀ 2.1 Giả sử ta có vật thể V khơng đồng chất có mật độ khối lượng điểm M (x, y, z) ∈ V hàm f (M ) hay (f (x, y, z)) Hãy tính khối lượng m vật thể V ? Ý TƯỞNG ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BỘI BA Ta chia vật thể V thành n phần tùy ý khơng dẫm lên nhau, thể tích phần ∆Vi (i = 1, 2, , n) Trong ∆Vi ta lấy ngẫu nhiên điểm Mi (xi , yi , zi ), ký hiệu đường kính ∆Vi di Khi ấy, khối lượng m vật thể V xác định ! n X m = lim f (Mi )∆Vi PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ TÍCH PHÂN LẶP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRỤ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ CẦU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI BA GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP maxdi →0 Ngày 25 tháng năm 2022 35 / GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN i=1 BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 36 / TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI BA TÍCH PHÂN BỘI ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BỘI BA TÍCH PHÂN BỘI BA ĐỊỀU KIỆN KHẢ TÍCH Định nghĩa 2.2 Cho hàm f (x, y, z) xác định miền V đóng bị chặn không gian Oxyz Ta chia miền V toán mở đầu lập tổng In = n X Định lý 2.3 Nếu hàm f (x, y, z) liên tục miền V đóng bị chặn khả tích f (xi , yi , zi )∆Vi i=1 Nếu maxdi → 0, (1 ≤ i ≤ n) In → I hữu hạn, mà không phụ thuộc vào cách chia vật thể V cách chọn điểm Mi (xi , yi , zi ) ∈ ∆Vi lúc ta nói hàm f (x, y, z) khả tích miền V I gọi tích phân bội ba hàm f (x, y, z) miền V Ký hiệu Z Z Z I= f (x, y, z)dxdydz Tính chất 2.1 Có tính chất tương tự tính chất tích phân bội hai V GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI Ngày 25 tháng năm 2022 37 / GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN TÍCH PHÂN BỘI BA BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI PHƯƠNG PHÁP TÍNH Ngày 25 tháng năm 2022 TÍCH PHÂN BỘI BA PHƯƠNG PHÁP TÍNH Trong phần ta quan tâm tính giá trị Z Z Z I= f (x, y, z)dxdydz V ĐƯA VỀ TÍCH PHÂN LẶP Cơ sở phương pháp ta chọn mặt phẳng chiếu miền V lên mặt phẳng Gọi Dxy ; Dyz ; Dxz hình chiếu miền V lên mặt phẳng Oxy; Oyz; Oxz ĐƯA VỀ TÍCH PHÂN LẶP • Nếu chiếu V xuống mặt phẳng Oxy ta Z Z Z Z Z Z I= f (x, y, z)dxdydz = dxdy V Dxy Dyz BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 39 / GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN Dxz BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP f (x, y, z)dz x2 (y,z) f (x, y, z)dx x1 (y,z) • Nếu chiếu V xuống mặt phẳng Oxz ta Z Z Z Z Z Z I= f (x, y, z)dxdydz = dxdz V z2 (x,y) z1 (x,y) • Nếu chiếu V xuống mặt phẳng Oyz ta Z Z Z Z Z Z I= f (x, y, z)dxdydz = dydz V GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN 38 / y2 (x,z) f (x, y, z)dy y1 (x,z) Ngày 25 tháng năm 2022 40 / TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI BA TÍCH PHÂN BỘI PHƯƠNG PHÁP TÍNH PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐƯA VỀ TÍCH PHÂN LẶP ĐƯA VỀ TÍCH PHÂN LẶP • Đặc biệt miền V hình hộp chữ nhật V = [a, b] × [c, d] × [e, f ] Z Z Z Z b Z d Z f I= f (x, y, z)dxdydz = dx dy f (x, y, z)dz V a c Ví dụ 2.18 Z Z Z V e Dxy = {(x, y) ∈ R2 /a ≤ x ≤ b; y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x)} ta có Z Z Z Z b Z I= f (x, y, z)dxdydz = dx a GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN y2 (x) Z z2 (x,y) dy y1 (x) BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI 8xyzdxdydz, V = [1; 2] × [−1; 3] ì [0; 2] Tớnh I = ã Nu hỡnh chiếu Dxy miền V xuống mặt phẳng Oxy có dạng V TÍCH PHÂN BỘI BA f (x, y, z)dz z1 (x,y) Ngày 25 tháng năm 2022 41 / GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN TÍCH PHÂN BỘI BA BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI Ngày 25 tháng năm 2022 42 / TÍCH PHÂN BỘI BA PHƯƠNG PHÁP TÍNH Ví dụ 2.19 ĐƯA VỀ TÍCH PHÂN LẶP Z Z Z Tính I = xdxdydz, Ví dụ 2.20 Ω Ω = {(x, y, z) ∈ R3 /x + 2y + 3z ≤ 6; x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0} Z Z Z GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 x2 ydxdydz, Tính I = 43 / Ω Ω = {(x, y, z) ∈ R3 /0 ≤ z ≤ x2 + y ; x − y ≤ 0; y ≤ 1; x ≥ 0} GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 44 / TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI BA TÍCH PHÂN BỘI PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA PHƯƠNG PHÁP TÍNH CƠNG THỨC ĐỔI BIẾN ĐƯA VỀ TÍCH PHÂN LẶP Z Z Z Giả sử ta cần tính I = Ví dụ 2.21 f (x, y, z)dxdydz V Z Z Z Tính I = zdxdydz, Ω miền giới hạn mặt p phẳng tọa độ mặt phẳng z = mặt z = a2 − x2 − y , a > Định lý 2.4 Ω Giả sử x = x(u, v, w); y = y(u, v, w), z = z(u, v, w) hai hàm có đạo hàm riêng liên tục miền đóng bị chặn Ω mặt phẳng Ouvw x = x(u, v, w); y = y(u, v, w), z = z(u, v, w) xác định song ánh Ω V 0 xu xv xw 0 D(x; y; z) J= = yu yv yw 6= miền Ω D(u; v; w) 0 zu z v zw HƯỚNG DẪN Chiếu Ω xuống mp Oxy ta Dxy = {(x, y) ∈ KẾT QUẢ: I = R2 /x2 + y2 ≤ a2 } p ≤ z ≤ a2 − x2 − y πa4 GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI Ngày 25 tháng năm 2022 45 / GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN TÍCH PHÂN BỘI BA BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI PHƯƠNG PHÁP TÍNH Ngày 25 tháng năm 2022 46 / TÍCH PHÂN BỘI BA PHƯƠNG PHÁP TÍNH CƠNG THỨC ĐỔI BIẾN CƠNG THỨC ĐỔI BIẾN Ví dụ 2.22 ta có Z Z Z I= f (x, y, z)dxdydz Z Z Z Tính I = V x + y + z = 3; x + y + z = −3; x + 2y − z = 1; x + 2y − z = −1; x + 4y + z = 2; z + 4y + z = −2 Z Z Z = dxdydz, với V miền giới hạn mặt V f [x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)]|J|dudvdw Ω Chú ý 2.4 trường hợp mà J khó tính ta tính J −1 sau u0x u0y u0z 0 D(u; v; w) J −1 = = vx vy vz J = −1 D(x; y; z) J w0 w0 w0 x y z GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 47 / GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP .Ngày 25 .tháng năm 2022 48 / TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI BA TÍCH PHÂN BỘI PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA PHƯƠNG PHÁP TÍNH CƠNG THỨC ĐỔI BIẾN CƠNG THỨC ĐỔI BIẾN Ví dụ 2.23 Z Z Z J −1 0 u u u D(u; v; w) 0x 0y 0z = = vx vy vz D(x; y; z) w0 w0 w0 x y z Z Z Z I= V dxdydz = V x + 2z = 1; x + 2z = −1; x + 2y + z = 3; x + 2y + z = −3; x + 2y + 2z = 4; z + 2y + 2z = −4 Z Z Z dudvdw = Ω Chú ý 2.5 Giá trị tích phân I thể tích vật thể V GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUN BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI Ngày 25 tháng năm 2022 zdxdydz, với V miền giới hạn mặt Tính I = 1 − =6 = 49 / GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUN TÍCH PHÂN BỘI BA BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI PHƯƠNG PHÁP TÍNH Ngày 25 tháng năm 2022 50 / TÍCH PHÂN BỘI BA PHƯƠNG PHÁP TÍNH CƠNG THỨC ĐỔI BIẾN TRONG TỌA ĐỘ TRỤ Z Z Z Giả sử tích phân I = f (x, y, z)dxdydz tồn vấn đề quan tâm V CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN J −1 0 u u u D(u; v; w) 0x 0y 0z = = vx vy vz D(x; y; z) w0 w0 w0 x y z Z Z Z I= zdxdydz = V = 2 2 tính giá trị Nếu hình chiếu miền V lên mp ( Oxy; Oyz; Oxz ) mà để biểu diễn miền hình chiếu ta dùng phương pháp tọa độ cực Khi để tính giá trị I ta dùng Tọa Đơ Trụ x = rcosϕ Đặt y = rsinϕ với ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 r1 (ϕ) ≤ r ≤ r2 (ϕ) z=z =2 Z Z Z (w − v)dudvdw = Ω cosϕ − rsinϕ D(x; y; z) rcosϕ J= = sinϕ D(r; ϕ; z) 0 GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 51 / GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP =r Ngày 25 tháng năm 2022 52 / TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI BA TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI BA PHƯƠNG PHÁP TÍNH PHƯƠNG PHÁP TÍNH CƠNG THỨC ĐỔI BIẾN TRONG TỌA ĐỘ TRỤ CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN TRONG TỌA ĐỘ TRỤ miền V lúc trở thành miền Ω sau Ví dụ 2.24 Z Z Z Ω = {(r, ϕ, z) ∈ R /ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 ; r1 (ϕ) ≤ r ≤ r2 (ϕ); z1 (r, ϕ) ≤ z ≤ z2 (r, ϕ)} Tính I = z p x2 + y dxdydz, V V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y ≤ 2y, ≤ z ≤ 2} Z Z Z Z Z Z I= f (x, y, z)dxdydz = f (rcosϕ, rsinϕ, z)rdrdϕdz V Ω GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI Ngày 25 tháng năm 2022 53 / GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN TÍCH PHÂN BỘI BA BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI PHƯƠNG PHÁP TÍNH Ngày 25 tháng năm 2022 54 / TÍCH PHÂN BỘI BA PHƯƠNG PHÁP TÍNH CƠNG THỨC ĐỔI BIẾN TRONG TỌA ĐỘ TRỤ Ví dụ 2.25 Z Z Z CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN TRONG TỌA ĐỘ TRỤ Tính I = xdxdydz, với Ω Đặt x = rcosϕ; y = rsinϕ, với ≤ ϕ ≤ π; ≤ r ≤ 2sinϕ Ω = {y ≥ 0; x ≤ y ≤ Z Z Z z Z p x2 + y dxdydz = V GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN π Z dϕ BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 2sinϕ r2 dr Z zdz = 64 Ngày 25 tháng năm 2022 − x2 ; ≤ z ≤ x2 + y } I= √ 55 / GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 56 / TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI BA TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI BA PHƯƠNG PHÁP TÍNH PHƯƠNG PHÁP TÍNH CƠNG THỨC ĐỔI ZBIẾN Z ZTRONG TỌA ĐỘ CẦU CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN TRONG TỌA ĐỘ CẦU f (x, y, z)dxdydz tồn vấn đề quan tâm Giả sử tích phân I = V miền V lúc trở thành miền Ω sau Ω = {(r, ϕ, z) ∈ R3 /ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 ; θ1 ≤ θ ≤ θ2 ; r1 (ϕ, θ) ≤ r ≤ r2 (ϕ, θ)} tính giá trị PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ CẦU x = rcosϕsinθ Đặt y = rsinϕsinθ với ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 ; θ1 ≤ θ ≤ θ2 z = rcosθ r1 (ϕ, θ) ≤ r ≤ r2 (ϕ, θ) Z Z Z I= f (x, y, z)dxdydz V Z Z Z = f (rsinθcosϕ, rsinθsinϕ, rcosθ)r2 sinθdrdθdϕ Ω sinθcosϕ D(x; y; z) = sinθsinϕ J= D(r; ϕ; θ) cosθ GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN rcosθcosϕ rcosθsinϕ − rsinθ − rsinθsinϕ rsinθcosϕ BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI = r2 sinθ Ngày 25 tháng năm 2022 57 / GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN TÍCH PHÂN BỘI BA BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI PHƯƠNG PHÁP TÍNH CƠNG THỨC ĐỔI BIẾN TRONG TỌA ĐỘ CẦU CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN TRONG TỌA ĐỘ CẦU Ví dụ 2.26 Ví dụ 2.27 Z Z Z (x2 + y )dxdydz, với Tính I = Tính I = V V = {(x, y, z) V = {(x, y, z) ∈ R3 /y ≥ 0; x2 + y + z ≤ 4; z ≥ 0} GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 59 / dxdydz 58 / TÍCH PHÂN BỘI BA PHƯƠNG PHÁP TÍNH Z Z Z Ngày 25 tháng năm 2022 , với 2 V x +y +z 2 ∈ R /x + y + z ≤ 2y; z ≤ 0} GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 60 / TÍCH PHÂN BỘI ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI TÍNH DIỆN TÍCH CỦA MIỀN PHẲNG Cho miền D đóng bị chặn mp R2 Gọi S(D) diện tích miền D Khi ta có Z Z S(D) = 1.dxdy D TÍNH DIỆN TÍCH CỦA MIỀN PHẲNG Ví dụ 2.28 TÍNH THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TÍNH KHỐI LƯỢNG CỦA VẬT THỂ Tính diện tích hình phẳng √ giới hạn D = {(x, y) ∈ R2 /x ≤ y ≤ 3x; x2 + y ≤ 2x} GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI Ngày 25 tháng năm 2022 61 / GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP .Ngày 25 .tháng năm 2022 62 / ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI TÍNH THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TÍNH THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ Cho vật thể Ω nằm khơng gian 0xyz Vấn đề quan tâm tính thể tích Ω Gọi V thể tích Ω Nếu Ω có đường sinh song song với trục 0z có hình chiếu mp 0xy D giới hạn hai đáy f1 (x, y) ≤ z ≤ f2 (x, y) Khi , ta có Z Z V = [f2 (x, y) − f1 (x, y)]dxdy Ví dụ 2.29 D Trong trường hợp tổng quát Z Z Z V = 1.dxdydz Ω GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 63 / Tính thể tích vật thể Ω p giới hạn Ω = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y ≤ 1; x2 + y ≤ z ≤ − (x2 + y )} GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 64 / TÍCH PHÂN BỘI ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI TÍNH THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TÍNH THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ Ví dụ 2.30 Vậy Z Z Z x2 y z Tính thể tích khối elipsoid Ω : + + ≤ a b c V = BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI dxdydz = abcdudvdw Ω GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN Z Z Z Ngày 25 tháng năm 2022 65 / A Đổi biến tọa độ cầu u = rcosϕsinθ v = rsinϕsinθ với ≤ ϕ ≤ 2π; ≤ θ ≤ π ≤ r ≤ w = rcosθ Z Z Z Z V = abcdudvdw = abc A GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI Z π dϕ Z dθ BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP TÍCH PHÂN BỘI TÍNH KHỐI LƯỢNG CỦA VẬT THỂ 2π r2 sinθdr = 4πabc Ngày 25 tháng năm 2022 66 / ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI TÍNH KHỐI LƯỢNG CỦA VẬT THỂ Ví dụ 2.31 R2 • Nếu phẳng chiếm chổ miền D mp có mật độ khối lượng điểm M (x, y) ∈ D hàm f (x, y) liên tục không âm miền D Khi khối lượng m phẳng Z Z m= f (x, y)dxdy D • Nếu vật thể chiếm chổ miền Ω không gian R3 có mật độ khối lượng ( khối lượng riêng hay tỉ khối )tại điểm M (x, y, z) ∈ Ω hàm f (x, y, z) liên tục không âm miền Ω Khi khối lượng m phẳng Z Z Z m= f (x, y, z)dxdydz Ω GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 67 / Tính khối lượng phẳng chiếm miền D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0} biết hàm mật độ khối lượng f (x, y) = xy GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 68 / TÍCH PHÂN BỘI ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI TÍNH KHỐI LƯỢNG CỦA VẬT THỂ Ví dụ 2.32 Tính khối lượng vật thể chiếm miền √ Ω = {(x, y, z) ∈ R3 /y ≥ 0, x ≤ y ≤ − x2 , ≤ z ≤ x2 + y } Biết khối lượng riêng hàm f (x, y, z) = x GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Ngày 25 tháng năm 2022 69 /