Đường cong Elliptic trên trường hữu hạn Các giao thức mật mã dùng đường cong Elliptic trên trường hữu hạn GVHD Th s Nguyễn Thành Nhựt Thực hiện Trần Thị Mỹ Huỳnh 0711104 Nội dung 1 Các kiến thức liên[.]
Các giao thức mật mã dùng đường cong Elliptic trường hữu hạn GVHD: Th.s Nguyễn Thành Nhựt Thực hiện: Trần Thị Mỹ Huỳnh 0711104 Nội dung: Các kiến thức liên quan Cho K trường với phần tử đơn vị e Khi đó, ∃ p ∈ Ν \{0} nhỏ nhất: n*e = p gọi đặc số K Ngược lại, K có đặc số Kí hiệu: Char(K) Char(Q) = Char(R) =Char(C) = Nếu Char(K ) = p ≠ p phải số nguyên tố P gọi trường nguyên tố K trường bé chứa trường khác K Khi P = K K gọi trường nguyên tố K gọi trường hữu hạn có hữu hạn phần tử Với số nguyên tố p với số tự nhiên r > tồn trường hữu hạn cấp pr Số phần tử trường hữu hạn lũy thừa pr , với p đặc số trường Fp có {0, 1, 2, …, p-1} phần tử, với phép cộng, phép nhân modulo p Ví dụ: F29 có {0, 1, 2, …, 28} phần tử Phép cộng: 12 + 27 = 10 39 mod 29 = 10 Phép trừ: 12 – 27 = 14 – 15 mod 29 = 14 Phép nhân: 12.27 = 324 mod 29 = Nghịch đảo: 12-1 = 17 12.17 mod 29 Trường F2m F2m = {am-1 xm-1 +am-2 xm-2 + …+ a1 x +a0 : ∈{0, 1}} Ví dụ: F24 có 16 đa thức nhị phân với bậc cao 0, 1, x, x+1, x2 , x2 +1, x2 +x, x2 +x+1, x3, x3 + 1, x3 + x, x3 + x +1, x3 +x2 , x3 +x2 +1, x3 +x2 +x, x3 +x2 +x +1 Các phép toán F24 với f(x) = x4 + x +1: Phép cộng: (x3 +x2 +1) + (x2 +x+1) = x3 + x Phép trừ: (x3 +x2 +1) - (x2 +x +1) = x3 + x Phép nhân: (x3 +x2 +1).(x2 +x +1) = x2 +1 Nghịch đảo: (x3 +x2 +1)-1 = x2 (x3 +x2 +1).x2 = Khơng gian xạ ảnh: Cho K trường Không gian xạ ảnh hai chiều Pk2 K cho lớp tương đương ba (x, y, z) Pk2 /~ ={(λx, λy, λz)| λ∈ K*, x, y, z ∈ K gcd(x, y, z) =1} Kí hiệu: (x: y: z) (x1, y1, z1) ~ (x2, y2, z2) ⇔ ∃ λ ∈ K*: (x1, y1, z1) = (λx2, λy2, λz2) Khi z ≠ 0: (x: y: z) = (x/z: y/z: 1) Khi z = 0: (x: y: 0) gọi điểm vô Pk2 Không gian Afine K định nghĩa: Ak2 = {(x, y) ∈ K x K} Phép nhúng chìm: (x, y) → (x: y: 1)