BÀI tập lớn môn TOÁN KINH tế 2 the weights of newborn babies in foxboro hospital are normally distributed with a mean of 6 9

HỌC VIỆN NGÂN HÀNG KHOA QUẢN TRỊ KINH DOANH BÀI TẬP LỚN MƠN TỐN KINH TẾ Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Văn An Lớp : K23CLC-QTA Sinh viên thực : Đào Thị Thuỳ Trang Nguyễn Tiểu Yến Dương Phương Anh Nguyễn Minh Khuê Đỗ Thị Thu Trang Phạm Ngọc Ly Nguyễn Mai Quỳnh Phạm Hoàng Yến BÀI TẬP LỚN MƠN TỐN KINH TẾ SINH VIÊN THỰC HIỆN STT Họ tên Mã sinh viên Liên hệ Đào Thị Thuỳ Trang 23A4050366 dtrang2k20406@gmail.com Nguyễn Tiểu Yến 23A7510161 yenguyen2002@gmail.com Dương Phương Anh 23A4030005 pa25962002@gmail.com Nguyễn Minh Khuê 23A4030179 phanquynh0103@gmail.com Đỗ Thị Thu Trang 23A7510138 dothithutrang211202@gmail.com Phạm Ngọc Ly 23A4030225 phamngocly2708@gmail.com Nguyễn Mai Quỳnh 23A4030308 nguyenmaiquynh3012@gmail.com Phạm Hồng Yến 23A4030400 yenpham1207@gmail.com NHĨM A2 BÀI TẬP LỚN MƠN TỐN KINH TẾ NỘI DUNG 7.37 The weights of newborn babies in Foxboro Hospital are normally distributed with a mean of 6.9 pounds and a standard deviation of 1.2 pounds (a) How unusual is a baby weighing 8.0 pounds or more? (b) What would be the 90th percentile for birth weight? (c) Within what range would the middle 95 percent of birth weights lie? Cân nặng trẻ sơ sinh Bệnh viện Foxboro biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối xấp xỉ chuẩn N(µ ; σ2 ) với giá trị trung bình 6,9 pound độ lệch chuẩn 1,2 pound (a) Tỷ lệ trẻ sơ sinh có cân nặng 8.0 pounds hơn? (b) Phân vị thứ 90 cho cân nặng trẻ sơ sinh bao nhiêu? (c) Tìm khoảng cân nặng mà tỷ lệ 95%? Lời giải Gọi X cân nặng trẻ sơ sinh bệnh viện Foxboro (đơn vị: pound) Tập giá trị: X(Ω) = (0; +∞) Theo đề bài, X biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chun N(à ; ), ú: ã à%=%E(X)=6,9%(pound)%:%Cõn%nng%trung%bỡnh%ca%tr%s%sinh% ã σ = D𝑉(𝑋) = 1,2 (pound): Độ lệch chuẩn cân nặng trẻ sơ sinh a Xác suất trẻ sơ sinh có cân nặng 8.0 pound là: !"# ) $ P ( X ≥ ) = ϕo(+∞)%–%ϕo( !"%,' = 0,5 – ϕo( (,) ) (( = 0,5 - ϕo( ) () = 0,5 – 0,32034 = 0,1797 Vậy tỷ lệ trẻ sơ sinh có cân nặng 8.0 pounds 17,97% NHÓM A2 BÀI TẬP LỚN MƠN TỐN KINH TẾ b Gọi m cân nặng trẻ sơ sinh mà cân nặng phân vị thứ 90 Có nghĩa là, phân vị thứ 90, cân nặng nhỏ m chiếm 90%, cân nặng lớn m chiếm 10% Đồ thị minh hoạ P (X ≤%m) = 0,9 Ta có: P (0 ≤%X%≤%m)%=%0,9% %%%%%%%%%%%%%%%%%ó ϕo( *"# +"# $ $ ) - ϕo( )% = 0,9 ó ϕo( *"%,' ) (,) + ϕo( )% = 0,9 ó ϕo( *"%,' ) (,) + 0,5 = 0,9 ó ϕo( *"%,' ) (,) = 0,4%=%ϕo(1,2816)% %%%%%%%%%%%%%%%%%ó *"%,' (,) ), - = 1,2816 ó m = 8,43792 Vậy cân nặng trẻ sơ sinh mà cân nặng phân vị thứ 90 8,43792 pound c Gọi (a;b) khoảng cân nặng trẻ sơ sinh mà có tỷ lệ 95% NHĨM A2 BÀI TẬP LỚN MƠN TỐN KINH TẾ Do hàm phân phối chuẩn có tính đối xứng: !""%$%&% = ' 2,5% => 2,5% nằm a, 2,5% nằm b Do đó, P (a≤%X%≤%b)%=%0,95% ð %%%%%P%(X%≤%a)%=%0,025;%P%(X%≥%b)%=%0,025% • %%%%%P%(X%≤%a)%=%0,025 ó%P%(0%m) = 0,05 *"# ) $ ó ϕo(+∞)%–%ϕo( NHĨM A2 = 0,05 BÀI TẬP LỚN MƠN TỐN KINH TẾ ó 0,5 - ϕo( *"%++ (++ ó ϕo( *"%++ ) (++ ó ϕo( *"%++ %%%%%%%%ó (++ *"%++ = (++ ) = 0,05 = 0,45 ) = ϕo(1,6449)% 1,6449 ó m = 764,49 Vậy điểm tín dụng có tỉ lệ 5% người 35 tuổi đăng ký chấp Ulysses Mortgage Associates 764,49 điểm b Gọi n điểm tín dụng có tỉ lệ 75% người 35 tuổi đăng ký chấp Ulysses Mortgage Associates Ta có: P(X>n) = 0,75 2"# ó ϕo(+∞)%–%ϕo( $ 2"%++ ) (++ ó 0,5 - ϕo( ó ϕo( 2"%++ ó ϕo( %++"2 ) (++ ó (++ %++"3 (++ ó ) = 0,75 = 0,75 ) = - 0,25 = ϕo(0,6745)% = 0,6745 n = 532,55 Vậy điểm tín dụng có tỉ lệ 75% người 35 tuổi đăng ký chấp Ulysses Mortgage Associates 532,55 điểm c Gọi (a;b) khoảng mà tỷ lệ điểm tín dụng nằm 80% Do hàm phân phối chuẩn có tính đối xứng: (++%"!+% ) = 10% => 10% nằm a, 10% nằm b Ta có: P(a 180) = 0,5 − ϕ" o !,".$.!/" p% '& = 0,5 + ϕ"(1,6 )% = %0,5% + %0,4452% = %0,0547 Vậy thời gian phút, tỷ lệ bỏng ngô khơng chín 5,48% c Gọi 𝑡! thời gian để 95% hạt ngô nổ 𝑃(𝑋 < 𝑡!) = 0,95% ó 1- P(X≥%t1) = 0,95 ó P(X≥%t1) = 0,05 NHĨM A2 13 BÀI TẬP LỚN MƠN TỐN KINH TẾ 𝑡! − 140 t = 0,05% 25 𝑡! % − %140 ⇔ ϕ" s t = 0,45% 25 𝑡! % − %140 ⇔ ϕ" s t = ϕ"(1,6448 ) 25 ⇔ 0,5 − ϕ" s ⇔ 𝑡! − 140% = %41,12 % ⇔ 𝑡! % = %181,12 Vậy thời gian để 95% hạt ngô nổ 181,12s d Gọi 𝑡' thời gian để 99% hạt ngô nổ 𝑃 (𝑋 < 𝑡') = 0,99% ó 1- P(X≥%t2) = 0,99 ó P(X≥%t2) = 0,01 𝑡' − 140 t = 0,01% 25 𝑡' %− %140 ⇔ ϕ" s t = 0,49% 25 𝑡' %− %140 ⇔ ϕ" s t = ϕ"(2,3263 ) 25 ⇔ 0,5 − ϕ" s ⇔ 𝑡' − 140% = %58,1575% ⇔ 𝑡' % = %198,1575 Vậy thời gian để 99% hạt ngô nổ 198,1575s 7.81 Procyon Manufacturing produces tennis balls Their manufacturing process has a mean ball weight of 2.035 ounces with a standard deviation of 0.03 ounce Regulation tennis balls are required to have a weight between 1.975 ounces and 2.095 ounces What proportion of Procyon's production will fail to meet these specifications? NHĨM A2 14 BÀI TẬP LỚN MƠN TỐN KINH TẾ Nhà máy Procyon sản xuất bóng tennis Với dây chuyền trọng lượng bóng sản xuất có giá trị trung bình 2,035 ounce, với độ lệch chuẩn 0,03 ounce Các bóng tennis tiêu chuẩn yêu cầu phải có trọng lượng từ 1,975 ounce 2.095 ounce Tỷ lệ sản xuất Procyon không đáp ứng tiêu chuẩn trên? Lời giải Gọi 𝑋 trọng lượng bóng tennis (đơn vị: ounce) TGT: X(Ω) = [0;+∞) Theo đề bài, X BNN tuân theo phân phối chuẩn 𝑋 ∼ 𝑁(µ, σ'), • %µ = 𝐸( 𝑋) = 2,035 trọng lượng trung bình • σ = D𝑉(𝑋) = %0,03 độ lệch chuẩn trọng lượng Xác suất để bóng tennis có độ nặng tiêu chuẩn từ 1,975 – 2,095 : 2,095% − %µ 1,975% − %µ t − ϕ" s t σ σ 2,095% − %2,035 1,975% − %2,035 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%= % ϕ" s t % − % ϕ" s t% 0,03 0,03 𝑃( 1,975 ≤ 𝑋 ≤ 2,095) = ϕ" s %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%= ϕ" (2) + ϕ"(2)% = %0,47725 2%% = %0,9545 ð Xác suất để bóng tennis khơng đạt độ nặng tiêu chuẩn là: P =1- P(1,975 ≤ 𝑋 ≤ 2,095) = – 0,9545 = 0,0455 Vậy tỉ lệ để bóng tennis khơng đạt độ nặng tiêu chuẩn 4,55% NHÓM A2 15 BÀI TẬP LỚN MƠN TỐN KINH TẾ 33 Fifty percent of Americans believed the country was in a recession, even though technically the economy had not shown two straight quarters of negative growth (BusinessWeek, July 30, 2001) For a sample of 20 Americans, make the following calculations a Compute the probability that exactly 12 people believed the country was in a recession b Compute the probability that no more than five people believed the country was in a recession c How many people would you expect to say the country was in a recession? d Compute the variance and standard deviation of the number of people who believed the country was in a recession 50% người Mỹ tin nước họ thời kỳ suy thoái, mặt kỹ thuật, kinh tế khơng có hai q tăng trưởng âm liên tiếp (BusinessWeek, 30 tháng năm 2001) Đối với mẫu gồm 20 người Mỹ, thực phép tính sau a Tính xác suất để có 12 người tin đất nước suy thối b Tính xác suất để khơng q năm người tin đất nước suy thoái c Theo bạn, trung bình có người nói đất nước thời kỳ suy thối? d Tính phương sai độ lệch chuẩn số người cho đất nước suy thoái Lời giải Gọi X số người Mỹ tin nước họ thời kỳ suy thoái TGT: X(Ω) = {1; 2; 3;…; 20} X biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n;p) với: n = 20, p = 0,5 ( tỷ lệ người Mỹ tin nước họ thời kỳ suy thối) NHĨM A2 16 BÀI TẬP LỚN MƠN TỐN KINH TẾ a, Xác suất để có 12 người Mỹ tin đất nước suy thoái là: !' 0,512 (1-0,5)20-12 ≈ 0,1201 P(X=12) = 𝐶'" Vậy xác suất để có 12 người tin đất nước suy thoái xấp xỉ 0,1201 b, Xác suất để không năm người Mỹ tin đất nước suy thoái là: P (X≤5) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)% = x 𝐶'" 0,50 (1 − 0,5)'"$0 02" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""≈ 0,0207 Vậy xác suất để không năm người Mỹ tin đất nước suy thoái xấp xỉ 0,0207 c, Kỳ vọng số người tin đất nước thời kỳ suy thoái là: E(X) = np = 20.0,5 = 10 ( người) Vậy kỳ vọng số người tin đất nước thời kỳ suy thoái 10 người d, Phương sai số người tin đất nước suy thoái là: V(X) = np(1-p) =20 0,5 (1-0,5) = Độ lệch chuẩn số người tin đất nước suy thoái là: s(X) = D𝑉(𝑋) = √5 Vậy phương sai độ lệch chuẩn số người tin đất nước suy thoái √5 34 The Census Bureau's Current Census Survey shows that 28% of individuals, ages 25 and older, have completed four years of college (The New York Times Almanac, 2006) For a sample of 15 individuals, ages 25 and older, answer the following questions: a What is the probability that four people will complete four years of college? b What is the probability that three or more will complete four years of college? NHÓM A2 17 BÀI TẬP LỚN MƠN TỐN KINH TẾ Khảo sát Dân số Hiện Cục Điều tra Dân số cho thấy 28% cá nhân từ 25 tuổi trở lên hoàn thành bốn năm đại học (The New York Times Almanac, 2006) Đối với mẫu thử gồm 15 cá nhân từ 25 tuổi trở lên trả lời câu hỏi sau: a Xác suất bốn người hoàn thành bốn năm đại học bao nhiêu? b Xác suất ba nhiều hoàn thành bốn năm đại học Lời giải Gọi X số người từ 25 tuổi trở lên hoàn thành năm đại học Tập giá trị X(W) = {0,1,…,15} X biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n;p) với n=15, p=0,28 a Xác suất để bốn người hoàn thành bốn năm đại học là: 𝑃(𝑋 = 4) = 𝐶3/ 𝑝/ (1 − 𝑝)3$/ / = 𝐶!& 0,28/ 0,72!! = 0,2262 Vậy xác suất người hoàn thành năm đại học 0,2262 b Xác suất ba nhiều hoàn thành năm đại học là: 𝑃(𝑋 ≥ 3) = − 𝑃(𝑋 < 3) = − 𝑃 (𝑋 = 0) − 𝑃(𝑋 = ) − 𝑃(𝑋 = 2) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%= − 𝐶3" 𝑝" (1 − 𝑝) − 𝐶3! 𝑝! (1 − 𝑝) 3$! − 𝐶3' 𝑝' (1 − 𝑝)3$' % ! ' %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%= − 0,72!& − 𝐶!& 0,28 0,72!/ − 𝐶!& 0,28' 0,72!) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%= 0,8355 Vậy xác suất ba nhiều hoàn thành năm đại học 0,8355 35 A university found that 20% of its students withdraw without completing the introductory statistics course Assume that 20 students registered for the course a Compute the probability that two or fewer will withdraw b Compute the probability that exactly four will withdraw c Compute the probability that more than three will withdraw d Compute the expected number of withdrawals NHÓM A2 18 BÀI TẬP LỚN MƠN TỐN KINH TẾ Một trường đại học phát 20% sinh viên rút lui mà khơng hồn thành khóa học thống kê đầu vào Giả sử có 20 sinh viên đăng ký khóa học a Tính xác suất có hai hai sinh viên rút lui b Tính xác suất để có bốn sinh viên rút lui c Tính xác suất có nhiều ba sinh viên rút lui d Tính kì vọng tốn sinh viên rút lui Lời giải Gọi X số sinh viên rút lui khỏi khóa học TGT: X(Ω)={ 0; 1; 2; …; 20} X biên ngẫu nhiên phân phối nhị thức với n=20; p=0,2 a) Xác suất có hai hai sinh viên rút lui là: P( X ≤ 2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) ! ' = 0,820+ 𝐶'" .0,2.0,819+ 𝐶'" .0,22.0,818 ≈ 0,2061 Vậy xác suất có hai hai sinh viên rút lui xấp xỉ 0,2061 b) Xác suất để có bốn sinh viên rút lui là: / %0,24 0,816 ≈ 0,2182 P(X= 4) = 𝐶'" Vậy xác suất để có bốn sinh viên rút lui xấp xỉ 0,2182 c) Xác suất có nhiều ba sinh viên rút lui là: P(X > 3) = 1- P(X ≤ 3) = 1- [ P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)] ) ! ' 0,23 0,817) = 1- (0,820+ 𝐶'" .%0,2 0,819+ 𝐶'" 0,22 0,818 + 𝐶'" ≈ 0,5886 Vậy xác suất có nhiều ba sinh viên rút lui xấp xỉ 0,5886 d) Kì vọng tốn sinh viên rút lui là: E(X) = n.p = 20.0,2 = Vậy kì vọng tốn sinh viên rút lui sinh viên NHÓM A2 19 BÀI TẬP LỚN MƠN TỐN KINH TẾ 36 According to a survey conducted by TD Ameritrade, one out of four investors have exchange-traded funds in their portfolios (USA Today, January 11, 2007) Consider a sample of 20 investors a Compute the probability that exactly investors have exchange traded funds in their portfolios b Compute the probability that at least of the investors have exchange-traded funds in their portfolios c If you found that exactly 12 of the investors have exchange-traded funds in their portfolios, would you doubt the accuracy of the survey results? d Compute the expected number of investors who have exchange-traded funds in their portfolios Theo khảo sát thực TD Ameritrade, nhà đầu tư có nhà đầu tư có quỹ giao dịch trao đổi danh mục đầu tư họ (USA Today, ngày 11 tháng năm 2007) Hãy xem xét mẫu gồm 20 nhà đầu tư a Tính xác suất để có nhà đầu tư có quỹ giao dịch trao đổi danh mục đầu tư họ b Tính xác suất để có nhà đầu tư có quỹ giao dịch trao đổi danh mục đầu tư họ c Nếu phát có 12 nhà đầu tư có quỹ giao dịch trao đổi danh mục đầu tư họ tính xác kết khảo sát có bị nghi ngờ khơng? d Tính kì vọng tốn nhà đầu tư có quỹ giao dịch trao đổi danh mục đầu tư họ Lời giải Gọi X số nhà đầu tư có quỹ giao dịch trao đổi danh mục đầu tư họ TGT X( Ω) = {0; 1; 2; …; 20} NHÓM A2 20 BÀI TẬP LỚN MƠN TỐN KINH TẾ X BNN phân phối theo quy luật nhị thức B(n,p) với n = 20, p xác suất để ( nhà đầu tư có quỹ giao dịch trao đổi danh mục đầu tư: p = = 0,25 - a Xác suất để có nhà đầu tư có quỹ giao dịch trao đổi danh mục đầu tư họ là: / 0,25/ (1 − 0,25)'"$/ ≈ 0,1897 P(X=4) = 𝐶'" Vậy xác suất để có nhà đầu tư có quỹ giao dịch trao đổi danh mục đầu tư họ 0,1897 b Xác suất để có nhà đầu tư có quỹ giao dịch trao đổi danh mục đầu tư họ là: P(X≥2) = 1- P(X