BTL chốt - Copy

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN: GIẢI TÍCH Chủ đề 5: Order of function Nhóm 02 GVHD: Nguyễn Đình Dương MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 5: Order of Function LỚP L07 NHÓM 02 Giới thiệu thành viên      Trần Nguyễn Tấn Phát MSSV: 2111993 Lê Quang Đức Trí MSSV: 2110614 Nguyễn Thị Xuân Huyền MSSV: 2113568 Trần Ngọc Minh MSSV: 2111773 Nguyễn Quốc Toàn .MSSV: 211245 BẢNG PHÂN CƠNG CƠNG VIỆC NHĨM Tên thành viên Trần Nguyễn Tấn Phát Nguyễn Quốc Toàn Trần Ngọc Minh Lê Quang Đức Trí Nguyễn Thị Xuân Huyền Cơng việc Thuyết trình Làm báo cáo Word Làm báo cáo Word Làm slide PowerPoint Làm slide PowerPoint Lời nói đầu Giải tích mơn học đại cương có tầm quan trọng đ ối v ới sinh viên ĐH Bách Khoa TPHCM nói riêng sinh viên ngành kh ối khoa h ọc kỹ thu ật – cơng ngh ệ nói chung Do đó, việc dành cho môn học khối lượng th ời gian nh ất đ ịnh th ực hành điều tất yếu để giúp cho sinh viên có sở vững môn KHTN làm ti ền đề để học tốt môn khác chương trình đào tạo Sự phát triển tốn tin đời hỗ trợ lớn trình phát tri ển c mơn học giải tích Việc ứng dụng tin học q trình giải thích c s d ữ li ệu c giải tích, giải tốn làm cho thời gian bỏ rút ngắn l ại mang hi ệu qu ả cao Như ta biết, phần mềm ứng dụng Maple giải quy ết đ ược v ấn đề Vì việc tìm hiểu Maple ứng dụng Maple việc th ực hành mơn h ọc Gi ải tích r ất quan trọng có tính cấp thiết cao Ở tập lớn này, nhóm thực nội dung “ Order of function – Thứ tự hàm” Đây dạng tốn quan trọng, có phần quen nh ưng có vài ểm m ới l phần Giới hạn hàm biến số Trong số ứng dụng định khoa học kỹ thuật, hoạt động c hàm f = f (x) giá trị lớn x (x> N đối v ới m ột số N) ho ặc giá tr ị nh ỏ c x ( với > 0) so với hoạt động hàm khác = g (x) quan trọng Trong d ự án này, chúng em thảo luận ký hiệu phân loại chức sử dụng để nghiên cứu hoạt động Sau nội dung tìm hiểu tập lớn nhóm! CHỦ ĐỀ 5: Order of Function I - BÀI TOÁN TRONG THỰC TẾ (Đề bài) Các thuật ngữ “lớn” “bé” mang tính tương đối Để minh h ọa ều đó, ta xem t ốc đ ộ tiến vô hàm , , , ta thấy hàm tiến vô nhanh h ơn so v ới hàm Hình minh họa - Dưới ví dụ khác nhằm minh họa điều l ại quan tr ọng m ột ứng dụng cụ thể: có số thuật toán khác th ực m ột nhi ệm v ụ phải lặp lại nhiệm vụ nhiều lần (Nhiệm vụ có th ể liên quan đ ến vi ệc s ắp xếp tên theo thứ tự bảng chữ danh bạ điện tho ại) Đ ể đ ơn gi ản hóa m ọi thứ, ta giả định khơng gian hay nguồn tài nguyên đ ều gi ới h ạn, khơng có vấn đề xung quanh khả mở rộng nhiệm vụ Phân tích t thu ật tốn sử dụng Thời gian T cần để hoàn thành nhiệm vụ N l ần biến đ ổi theo N V ới Nlog N với N2 hay với N3 Điều có khác nhau? Giả sử phải 1s hồn thành nhiệm vụ N=106 sử dụng thuật toán T biến đổi theo N: T=kN Sau lúc 1=10 6.k suy k= 10−6 Vì giả định nhiệm vụ mở rộng, h ằng s ố c t ỷ l ệ đ ối v ới thuật toán T biến đổi với N log N k=10 -6, T=kN logN= 106 NlogN Khi ta sử dụng thuật tốn này: - Sử dụng thuật toán với giá trị T biến đổi theo N2 11.2 ngày, sử dụng thuật toán với giá trị T biến đổi theo N3 31709.8 năm Vì phải chọn nhiều thuật toán để thực nhiệm vụ (hoặc nên) quan tâm đ ến hàm xác định thời gian thực thi thuật toán - Một cách để phân loại độ phức tạp thuật toán liên quan đến ký hi ệu “big f ∈ O( g ) oh” Hàm gọi “big oh” hàm , ta viết số thực hữu hạn (1) x2 lim = x ∈ O( x3 ) x →∞ x Vì chẳng hạn Và *Chú ý L’Hopital’s hữu ích tính tốn gi ới hạn ch ẳng h ạn nh (1) II LÝ THUYẾT Hàm số vô bé vô lớn - Hàm số gọi hàm vô bé (VCB) x, như: - Hàm số gọi hàm vô lớn (VCL) x, như: Quy tắc L’Hospital Trong giải tích, Quy tắc L'Hôpital (phát âm Lô-pi-tan) (cũng gọi quy tắc Bernoulli) quy tắc sử dụng đạo hàm để tính tốn giới hạn có dạng vơ định Ứng dụng quy tắc đưa dạng vô định trở thành dạng h ữu h ạn, cho phép tính tốn giới hạn cách dễ dàng Dạng đơn giản quy tắc L'Hôpital phát biểu sau: Cho hai hàm số ƒ(x) g(x): - - - - - Big Oh notation (O lớn) Trong toán học, ký hiệu O lớn dùng để dáng điệu giới hạn hàm số đối số tiến đến giá trị định vơ Trong khoa học máy tính, ký hiệu O lớn dùng để mơ tả thuật tốn (ví dụ, mặt thời gian tính tốn l ượng nhớ cần dùng) kích thước liệu thay đổi Ký hiệu O lớn mô tả hàm theo tốc độ tăng chúng: hàm khác có tốc độ tăng mơ tả ký hiệu O l ớn Mô t ả hàm b ằng ký hiệu O lớn thường cung cấp chặn cho tốc độ tăng hàm Bên cạnh ký hiệu O lớn cịn có ký hiệu liên quan khác, sử dụng ký hiệu o, Ω, ω, Θ, để mô tả chặn khác cho tốc độ tăng Ký hiệu O lớn sử dụng nhiều ngành khác đ ể cung cấp nh ững ước lượng tương tự Trong đề O lớn so sánh bậc, thứ tự hàm s ố v ới III  BÀI TẬP Đề bài: Chứng minh rằng, mn Chứng minh rằng, với hàm , a) b) , c) Chứng minh rằng, Chứng minh với , N số thực suy , khơng thể suy với , với N số thực Sắp xếp hàm sau theo thứ tự tăng dần Nếu (hoặc nhiều h ơn) hàm có thứ tự nhau, x 2x ex ln x log x Bài làm: x>0 – Xét m x0 với n−m >0 x0 ∈ R ⇒ K = lim x →+∞ x n−m = (2) Khi ta có : f ( x) =1 f ( x) ⇒ f ( x) = (k ≠ 0) x →+∞ kf ( x ) k lim b) kf ( x) = k (k ≠ 0) x →+∞ f ( x ) lim c) f ( x) Ta có (log x) x + ln x x m > 0, x n > : ta m=n +) Nếu d) xx xm lim n = lim x m− n = K x →+∞ x x →+∞ Ta có: x3 + 3x + x x−1 x log x log log x  x3 x2 Giả sử khi xác định x → +∞ x → +∞ ⇒ lim x →+∞ ⇒ ⇒  k = ⇒ f ( x) ≈ kf ( x )  k ≠ ⇒ f ( x) p kf ( x)  k = ⇒ kf ( x) ≈ f ( x )  k ≠ ⇒ kf ( x) p f ( x ) ∀x > a g ( x) f ( x) =A g ( x) xác định ⇒ ⇒ ∀x > b ( a, b ∈ R ) (A số thực hữu hạn) g ( x) =B x →+∞ h( x ) ⇒ lim (B số thực hữu hạn) lim g ( x) ≠ x →+∞ f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) = lim × = lim ×lim = A ×B h( x ) x →+∞ g ( x) h( x) x →+∞ g ( x) x →+∞ h( x) Xét ta có số thực hữu hạn x → +∞ Suy +) Xét Ta có: < f ( x ) < g ( x) ∀x > N : f ( x) g ( x) ≤ lim < lim =1 x →+∞ g ( x ) x →+∞ g ( x ) ⇒ f ( x) p g ( x) ⇒ +) Ngược lại có khơng thể suy f ( x ) = x + x g ( x) = x + x sin x Ví dụ: , Nhưng có x>N f ( x) x3 + x lim = lim =1 x →+∞ g ( x ) x →+∞ x + x sin x f ( x) < g ( x ) ⇔ x + x < x + x sin x ⇔ sin x > ( Xét x > 0) x>N x →+∞ f ( x) g ( x) Bằng cách tìm giới hạn cao: log(log x) I ln x, log x II III IV V ( log x ) x x x log x VI VII VIII x , x + log x x3 , x3 + 3x + x x −1 , x IX X ex ( không ) lim f ( x) < g ( x) (đúng) ta phân loại VCL có bậc từ thấp đến XI x x , x x + 2x MỞ RỘNG • Thứ tự hàm IV Ký hiệu O (1) O(log log n) O(log n) Tên Hằng số Lôgarit kép Lôgarit c >1 Đa thức O ( n) Tuyến tính O( n log n) O(n log n) = O(log n !) O(n ) n log-star n Tuyến tính , loglinear, quasilinear " Bậc hai Đa thức đại số O (c n ), c > Số mũ n log n ” Tính chất Nếu hàm f viết dạng tổng hữu hạn hàm khác, hàm phát triển nhanh xác định bậc f ( n ) Ví dụ: Trong trường hợp hàm xác định bậc Đặc biệt, hàm bị giới hạn đa th ức n , n có xu hướng đến vơ , người ta bỏ qua số hạng bậc đa thức Tập hợp O ( n c ) O ( c n ) khác Nếu c lớn một, sau phát triển nhanh nhiều Một hàm phát triển nhanh n c với c gọi siêu đa thức Một hàm phát triển chậm hàm mũ có dạng c n gọi cấp số nhân Một thuật tốn yêu cầu thời gian vừa siêu đa thức vừa cấp số nhân con; ví dụ điều bao gồm thuật toán nhanh biết đến để phân tích số nguyên hàm Chúng ta bỏ qua lũy thừa n bên logarit Tập O (log n ) hoàn toàn giống với O (log ( n c )) Các logarit khác hệ số không đổi (vì log ( n c ) = c log n ) ký hiệu O lớn bỏ qua điều Tương tự, ghi có số số khác t ương đ ương Mặt khác, cấp số nhân với số khác khơng bậc Ví dụ, khơng thứ tự Việc thay đổi đơn vị có không ảnh hưởng đến thứ t ự thuật toán kết Thay đổi đơn vị tương đương với việc nhân biến thích h ợp v ới h ằng số nơi xuất Ví dụ, thuật tốn chạy theo thứ tự , thay n cn có nghĩa thuật toán chạy theo thứ tự ký hiệu O lớn bỏ qua số Điều viết Tuy nhiên, thuật toán chạy theo thứ tự , thay n cn cho Điều khơng tương đương với nói chung Việc thay đổi biến ảnh hưởng đến thứ tự thuật tốn kết Ví dụ, thời gian chạy thuật toán O ( n ) đo số n chữ số số đầu vào x , sau thời gian chạy O (log x ) đo chức số lượng đầu vào x tự , n = O (log x ) V - KẾT LUẬN Thứ tự phức tạp hàm số liên quan đến kí hiệu “Big Oh notation” (O l ớn) Hàm số gọi “Big Oh” hàm số , kí hiệu Việc so sánh thứ tự hàm chủ yếu dựa tốc độ tiến vô hàm s ố Thứ tự hàm (Order of function) có ý nghĩa quan tr ọng lĩnh v ực v ề máy tính, kỹ thuật thực tế TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Giáo trình Giải tích 1- NXB ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM 2.https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation 3.Maple ... giới hạn cách dễ dàng Dạng đơn giản quy tắc L'Hôpital phát biểu sau: Cho hai hàm số ƒ(x) g(x): - - - - - Big Oh notation (O lớn) Trong toán học, ký hiệu O lớn dùng để dáng điệu giới hạn hàm số đối... THUYẾT Hàm số vô bé vô lớn - Hàm số gọi hàm vô bé (VCB) x, như: - Hàm số gọi hàm vô lớn (VCL) x, như: Quy tắc L’Hospital Trong giải tích, Quy tắc L'Hơpital (phát âm Lô-pi-tan) (cũng gọi quy tắc... ằng s ố c t ỷ l ệ đ ối v ới thuật toán T biến đổi với N log N k=10 -6 , T=kN logN= 106 NlogN Khi ta sử dụng thuật toán này: - Sử dụng thuật toán với giá trị T biến đổi theo N2 11.2 ngày, sử dụng