Chƣơng NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TỐI ƢU HÓA I Định nghĩa ý nghĩa thuật ngữ Tối ƣu Tối ưu tốt Số lượng kiện, vật, tượng tập hợp dùng để so sánh lớn tính đại diện cao Tập hợp điều kiện ràng buộc tạo nên miền giới hạn phạm vi so sánh lựa chọn ta thường gọi miền cho phép Tối ƣu hóa Tối ưu hóa làm cho tốt Khái niệm rõ để có kết tốt cần có tác động, điều khiển từ bên ngồi Để làm tốt ta cần xác định: o Mục tiêu mong đợi vật, tượng mà ta quan tâm o Các yếu tố chi phối đến mục tiêu mong đợi o Phạm vi diễn biến vật hiện, tượng ta khảo sát Bài toán tối ƣu Khi tiến hành lập kế hoạch sản xuất, thiết kế sản phẩm, cơng trình hệ thống, điều khiển trình dựa vào nguyên lý cực trị không đạt mục tiêu kỹ thuật mà đạt hiệu kinh tế cao Tốn học giúp giải dung hịa mâu thuẫn yêu cầu kỹ thuật hiệu kinh tế tốn tối ưu Bài tốn tối ưu phát biểu sau: f (x) Thỏa mãn điều kiện: g i (x) x bi , i X (1-1) max(min) Rn 1:m ; (1-2) (1-3) Trong đó: f(x) gọi hàm mục tiêu hàm gi(x), i = 1: n; gọi hàm ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức hệ (1-2) ràng buộc Tập hợp D = x X g i (x) bi , i 1:m gọi miền ràng buộc Mỗi điểm x(x1, x2, , xn) D gọi phương án (hay nghiệm) Mỗi phương án x* D làm cho hàm mục tiêu đạt giá trị max cụ thể là: o f(x*) o f(x) với x D toán Max f(x) với x D toán Min gọi phương án tối ưu f(x*) gọi giá trị tối ưu toán Phân loại toán tối ƣu Với định nghĩa toán tối ưu ta suy phương pháp tổng quát để giải tốn phương pháp duyệt tồn Bản chất phương pháp tìm giá trị hàm mục tiêu f(x) tất phương án, sau so sánh giá trị tính để tìm giá trị tối ưu phương án tối ưu toán Để phân loại toán tối ưu người ta thường dựa vào tính chất thành phần toán đối tượng nghiên cứu để phân thành loại chủ yếu sau: Quy hoạch phi tuyến: hàm mục tiêu f(x) có hàm ràng buộc gi(x) phi tuyến f(x) gi(x) phi tuyến Quy hoạch tuyến tính: hàm mục tiêu f(x) hàm ràng buộc gi(x) tuyến tính Quy hoạch động: đối tượng xét q trình có nhiều giai đoạn nói chung hay q trình phát triển theo thời gian nói riêng Quy hoạch tham số: hệ số biểu thức hàm mục tiêu hàm ràng buộc phụ thuộc vào tham số Quy hoạch rời rạc: miền ràng buộc D tập rời rạc Trong trường hợp riêng biến nhận giá trị nguyên ta có quy hoạch ngun Trường hợp quy hoạch nguyên mà biến nhận giá trị (0) hay (1) gọi quy hoạch Boole Quy hoạch đa mục tiêu: miền ràng buộc ta xét đồng thời hàm mục tiêu khác II MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH LỒI VÀ ĐẠI SỐ Một số khái niệm giải tích lồi 1.1 Khơng gian Euclic 1.2 Đường thẳng, đoạn thẳng, siêu phẳng - Ax + By = C xác định đc đường thẳng - Ax + By ≤ C xác định đc nửa mặt phẳng - Ax + By + Cz = D xác định đc mặt phẳng - Ax + By + Cz ≤ D xác định đc nửa không gian chiều - A1x1 + A2x2 + … + Anxn = B xác định đc Siêu phẳng - A1x1 + A2x2 + … + Anxn ≤ B xác định đc nửa không gian nhiều chiều 1.3 Tập lồi Mốt số khái niệm đại số 2.1 Ma trận Ma trận bảng chữ nhật gồm mxn số thành m hàng n cột có dạng: a 11 , a 12 , a n A a 21 , a 22 , a n ký hiệu A =(aij)mxn ma trận có kích thước m n a m , a m , a mn Ma trận có số hàng số cột (m=n) gọi ma trận vuông gọi ma trận có cấp n Ma trận mà có cột hàng tương ứng ma trận ban đầu A gọi ma trận chuyển vị A ký hiệu A’ o Ví dụ: A A’ = Ma trận có cột gọi véctơ cột Ma trận có hàng gọi véctơ hàng Ma trận vng có dạng: , , 0, A , , Nếu ma trận đường chéo có i n = 1, i =1:n gọi ma trận đơn vị; ký hiệu I E Hai ma trận gọi chúng có kích thước phần tử tương ứng Muốn nhân ma trận với số , ta nhân phần tử ma trận với số đó: A = ( aij)mxn o Ví dụ: 4 2 ( 2) 14 Tổng hai ma trận A B có kích thước ma trận C mà phần tử tổng thể phần tử tương ứng ma trận A ma trận B cij = aij + bij o Ví dụ: 7 10 1 Ma trận A nhân với ma trận B trường hợp số cột ma trận A số hàng ma trận B A = (aij)mxn , o Ví dụ1: B = (bjk)nxl , C = (ck)mxl o Ví dụ 2: 3 12 2 4 1 3 1 2 10 18 1 2 18 2.2 Định thức Định thức cấp ứng với ma trận vuông cấp ký hiệu: a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 22 a 12 a 21 Định thức cấp ứng với ma trận vuông cấp 3, ký hiệu: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 ( a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 ) Tính chất định thức Định thức không thay đổi ta thay đổi hàng thành cột, cột thành hàng ( = ’) o Ví dụ: 3 2; ' 4 Nếu đổi hai hàng (hai cột) cho định thức đổi dấu o Ví dụ: 3 2; 4 đ Thừa số chung hàng (một cột) đưa ngồi dấu định thức o Ví dụ: 3 4 4 Nếu phần cột hay hàng tỷ lệ với phần tử tương ứng cột hay hàng khác định thức Nếu phần tử cột tách thành tổng hai số định thức tách thành tổng hai định thức tương ứng o Ví dụ: 2 2 10 7 13 Định thức không thay đổi cộng thêm vào phần tử cột (hàng) phần tử cột (hàng khác) nhân với số o Ví dụ: ( 2 ) ( 1) ( ) 3 2.3 Ma trận ngịch đảo Ma trận vuông A gọi khơng suy biến có định thức 0, ngược lại A gọi suy biến Đối với ma trận không suy biến tồn ma trận (A-1) thỏa mãn điều kiện AA-1= A-1A = E A-1 gọi ma trận nghịch đảo A; o Ví dụ: cho Tính Tính A A A 11 A 21 A n1 A 12 A 22 An2 A1n A2n A nn tính A-1 = 1.5.8 + 2.3.1 + 3.2.0 – 3.5.1 – 1.3.0 – 2.2.8 = -1 A 11 A 12 A 13 40 13 5 , , , A 21 16 A 22 A 23 -1 Ma trận nghịch đảo A = A 31 , , A 32 , A 33 40 16 13 5 có A-1 3 2 2.4 Hệ phương trình đại số tuyến tính a 11 x a 12 x a 1n x n a 21 x a 22 x a 2n x n a m1 x1 am2x2 b1 b2 a mn x n bm Hệ phương trình đại số tuyến tính phân biệt: Khơng có hệ số bi Thuần tất hệ số bi = Tương thích có nghiệm, tức tồn giá trị x1, x2, x3,….xn thỏa mãn hệ phương trình Khơng tương thích hệ khơng có nghiệm thỏa mãn hệ phương trình Xác định hệ có nghiệm Bất định hệ tồn nghiệm Trường hợp m = n Giả sử ma trận không suy biến tức tồn ma trận nghịch đảo ta có: A-1Ax = A1b Bởi A-1A = E nhân ma trận với E ma trận nên x = A-1b ta có cơng thức Crame tính nghiệm nhất: x1 Ví dụ: giải hệ phương trình x3 x1 x1 Ta có A 1 30 x1 Trường hợp m 40 40 x2 44 n 4x2 x3 , n 3x3 30 ,i 2x2 b i xi 30 30 72 44 44 72 3 x3 30 152 44 152