THÔNG TIN TÀI LIỆU
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN DƯƠNG QUỐC HUY TÍNH BỊ CHẶN CỦA MỘT SỐ TỐN TỬ TRÊN KHƠNG GIAN HARDY KIỂU MỚI LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 download by : skknchat@gmail.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN DƯƠNG QUỐC HUY TÍNH BỊ CHẶN CỦA MỘT SỐ TỐN TỬ TRÊN KHƠNG GIAN HARDY KIỂU MỚI Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 9460102 Phản biện 1: PGS TS Lê Xuân Trường Phản biện 2: TS Đào Văn Dương Phản biện 3: TS Bùi Trọng Kiên Tập thể Hướng dẫn khoa học: PGS TS Lương Đăng Kỳ PGS TS Thái Thuần Quang BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 download by : skknchat@gmail.com Lời cam đoan Luận án hồn thành Khoa Tốn Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn PGS TS Lương Đăng Kỳ PGS TS Thái Thuần Quang Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án độc đáo Nhiều kết luận án công bố tạp chí uy tín, có phản biện, kết cịn lại chưa cơng bố đâu Việc sử dụng kết từ báo liên quan đồng ý đồng tác giả TM Tập thể hướng dẫn Nghiên cứu sinh PGS TS Lương Đăng Kỳ Dương Quốc Huy i download by : skknchat@gmail.com Lời cảm ơn Trước hết, tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn đến hai quan: Trường Đại học Tây Nguyên, nơi công tác, Trường Đại học Quy Nhơn, nơi học tập nghiên cứu thời gian dài Tôi xin cảm ơn tất quý thầy/cô cơng tác Phịng Đào tạo Sau đại học Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn Tiếp theo, muốn bày tỏ biết ơn đến PGS TS Thái Thuần Quang hướng dẫn thầy suốt thời gian học cao học nghiên cứu sinh Nhờ thầy giới thiệu mà gặp làm việc với PGS TS Lương Đăng Kỳ lĩnh vực có nhiều vấn đề hấp dẫn giải tích điều hịa Tơi mang ơn PGS TS Lương Đăng Kỳ nhiều giúp đỡ học vô giá từ thầy Tôi thực học cách làm toán chuyên nghiệp từ thầy luận án khơng có giá trị khơng có giúp đỡ Một lần tơi muốn gửi đến thầy lời cảm ơn sâu sắc Cuối cùng, muốn gửi lời cảm ơn đặc biệt cho gia đình người thân yêu ii download by : skknchat@gmail.com Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh mục ký hiệu chữ viết tắt vi Mở đầu Chương Toán tử tích phân bậc khơng ngun khơng gian Hardy Musielak-Orlicz 1.1 Đặt vấn đề 1.2 Trọng Muckenhoupt số không gian hàm 1.2.1 Không gian loại 1.2.2 Trọng Muckenhoupt 1.2.3 Hàm Musielak-Orlicz trọng Muckenhoupt 10 1.2.4 Không gian Musielak-Orlicz 13 1.2.5 Không gian Hardy Musielak-Orlicz 14 Một số kết bổ trợ 15 1.3.1 Phân tích nguyên tử H ϕ ♣Rn q 16 1.3.2 Đặc trưng phân tử H ϕ ♣Rn q 19 1.3 1.4 Tính bị chặn tốn tử Iα không gian Hardy Musielak-Orlicz 20 iii download by : skknchat@gmail.com Chương Ước lượng điểm cuối có trọng cho hốn tử tốn tử Calderón-Zygmund 32 2.1 Tốn tử Calderón-Zygmund hốn tử 32 2.2 Khơng gian Hardy có trọng 34 2.2.1 Không gian BMOw,p ♣Rn q 34 2.2.2 Tính bị chặn hốn tử rb, T s khơng gian Hardy có trọng 2.3 2.4 39 Không gian Hardy-Orlicz có trọng 48 2.3.1 n Không gian BMOΦ w ♣R q 48 2.3.2 Tính bị chặn hốn tử rb, T s khơng gian HardyOrlicz có trọng 53 Không gian Hardy Musielak-Orlicz 62 2.4.1 Không gian BMOϕ ♣Rn q 62 2.4.2 Tính bị chặn hốn tử rb, T s không gian Hardy Musielak-Orlicz 68 Chương Các đặc trưng không gian có liên hệ với khơng gian đối ngẫu tiền đối ngẫu 3.1 Không gian Campanato Musielak-Orlicz không gian loại 80 3.1.1 Không gian Campanato Musielak-Orlicz 80 3.1.2 Các bất đẳng thức loại John-Nirenberg đặc trưng tương đương 81 Sự trùng BM O♣X q BM Ow ♣X q 91 Sự hội tụ ✝ yếu 94 3.1.3 3.2 79 Chương Toán tử Hausdorff đa tham số H Lp 100 4.1 Đặt vấn đề kết 100 4.2 Chuẩn toán tử Hausdorff Lp 103 4.3 Chuẩn toán tử Hausdorff H 106 iv download by : skknchat@gmail.com Kết luận 116 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 118 Tài liệu tham khảo 119 Chỉ mục 125 v download by : skknchat@gmail.com DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT : Tập hợp số thực R : Tập hợp số tự nhiên t1, 2, ✉ N : Tập hợp số nguyên không âm t0, 1, 2, ✉ Z p✶ : Lũy thừa liên hợp p r1, ✽s, tức là, p✶ C : Hằng số dương độc lập với tham số chính, ✏ p✁p khác xuất A➚B : A ↕ CB với số dương C A✒B : A ➚ B A ➪ B A➪B ⑤E ⑤ ⑤β ⑤ : A ➙ CB với số dương C ⑨ Rn Tổng thành phần β ✏ ♣β1 , , βn q Zn ⑤ ⑤ Đạo hàm riêng ❇ φ♣xq với β ✏ ♣β1 , , βn q Zn ❇x ❇x Hình cầu có tâm xB X bán kính rB ♣0, ✽q Hình cầu B ♣xB , λrB q với λ → : Độ đo Lebesgue tập E : Dβ φ♣xq : B ♣xB , rB q : β β1 βn n λB ♣xB , rB q : fB : Trung bình f B fB,w : Trung bình có trọng f B w♣E q : Tích phân Lebesgue w tập E ϕ♣E, tq : Tích phân Lebesgue ϕ♣☎, tq tập E χE : Hàm đặc trưng tập E Ec : Phần bù E Rn i♣Φq, I ♣Φq : Kiểu kiểu tới hạn Φ i♣ϕq, I ♣ϕq : Kiểu kiểu tới hạn ϕ qw , rw : Lũy thừa trọng tới hạn w q ♣ϕq, r♣ϕq : Các lũy thừa trọng tới hạn ϕ q ✶ ♣ϕq, r✶ ♣ϕq : Các lũy thừa liên hợp q ♣ϕq r♣ϕq F, ① : Biến đổi Fourier Rj : Biến đổi Riesz thứ j ∇ : Toán tử gradient T : Tốn tử Calderón-Zygmund cổ điển Iα : Tốn tử tích phân bậc khơng ngun Hϕ : Toán tử Hausdorff đa tham số ♣❇④❇x1, , ❇④❇xnq vi download by : skknchat@gmail.com Hj : Biến đổi Hilbert ứng với biến thứ j X : Không gian loại Aq ♣Rn q : Lớp trọng Muckenhoupt Aq Rn A✽ ♣Rn q Aq ♣X q A✽ ♣X q Aq ♣Rn q A✽ ♣Rn q Aq ♣X q A✽ ♣X q RHr ♣Rn q RHr ♣X q RHr ♣Rn q RHr ♣X q Lp ♣Rn q Lpw ♣Rn q n LΦ w ♣R q Lϕ ♣Rn q S ♣Rn q S ✶ ♣Rn q H ♣Rn q : Tập hợp ➈ q r1,✽q Aq ♣Rnq : Lớp trọng Muckenhoupt Aq X : Tập hợp ➈ q r1,✽q Aq ♣X q : Lớp trọng Muckenhoupt Aq Rn : Tập hợp ➈ q r1,✽q Aq ♣Rnq : Lớp trọng Muckenhoupt Aq X : Tập hợp q r1,q Aq X q : Lp Hăolder ngc RHr trờn Rn : Lp Hăolder ngc RHr trờn X : Lp Hăolder ngc RHr u trờn Rn : Lp Hăolder ngc RHr u trờn X : Khụng gian Lebesgue hàm bậc p khả tích : Khơng gian Lebesgue có trọng hàm bậc p khả tích : Khơng gian Orlicz có trọng : Khơng gian Musielak-Orlicz : Lớp Schwartz hàm thử Rn : Không gian phân bố Rn : Không gian Hardy H ♣Rn q h1 ♣Rn q : Không gian Hardy địa phương h1 ♣Rn q Hwp ♣Rn q : Không gian Hardy có trọng Hwp ♣Rn q H ϕ ♣Rn q : Không gian Hardy Musielak-Orlicz H ϕ ♣Rn q H p ♣Rn q HwΦ ♣Rn q ϕ,q,s Hat ♣Rnq : Không gian Hardy H p ♣Rn q : Không gian Hardy-Orlicz có trọng HwΦ ♣Rn q : Khơng gian Hardy nguyên tử loại Musielak-Orlicz ϕ,q,s Hfin ♣Rnq : Không gian véc-tơ tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn q,s,ε Hϕ,mol ♣Rn q : Không gian Hardy Musielak-Orlicz phân tử ♣ϕ, q, sq-nguyên tử H ♣R ✂ Rq : Không gian Hardy hai tham số BM O♣Rn q : Khơng gian hàm có dao động trung bình bị chặn H ♣R ✂ ☎ ☎ ☎ ✂ Rq: Không gian Hardy n-tham số vii download by : skknchat@gmail.com V M O♣Rn q bmo♣Rn q : Khơng gian hàm có dao động trung bình suy biến : Khơng gian hàm có dao động trung bình địa phương bị chặn vmo♣Rn q : Khơng gian hàm có dao động trung bình địa phương suy biến Lϕ,q,s ♣Rn q Lϕ,q ♣X q Cc ♣Rn q : Không gian Campanato Musielak-Orlicz Rn : Không gian Campanato Musielak-Orlicz X : Không gian hàm liên tục có giá compact Rn f✝ : Hàm cực đại lớn không tiếp xúc phân bố f Mφ f : Hàm cực đại phân bố f t.ư : Tương ứng tr : Trang viii download by : skknchat@gmail.com Định lí 4.3.5 ([34]) Hϕ bị chặn ♣H ♣R ✂ ☎ ☎ ☎ ✂ Rq, ⑥ ☎ ⑥✝ q (4.1) Hơn nữa, trường hợp đó, ⑥Hϕ⑥♣H ♣R✂☎☎☎✂Rq,⑥☎⑥✝qĐ♣H ♣R✂☎☎☎✂Rq,⑥☎⑥✝q ✏ ➺✽ ☎☎☎ ➺✽ ϕ♣t1 , , tn qdt1 ☎ ☎ ☎ dtn với e E, Hϕ giao hoán với He H ♣R ✂ ☎ ☎ ☎ ✂ Rq Để chứng minh Định lí 4.3.5, ta cần hai bổ đề sau Bổ đề 4.3.6 ([34]) Cho ϕ cho (4.1) Khi đó, với e E, Hϕ giao hốn với biến đổi Hilbert He H ♣R ✂ ☎ ☎ ☎ ✂ Rq Bổ đề 4.3.7 ([34]) Cho ϕ cho (4.1) Khi đó: (i) Hϕ bị chặn ♣H ♣R ✂ ☎ ☎ ☎ ✂ Rq, ⑥ ☎ ⑥✝ q; nữa, ⑥Hϕ⑥♣H ♣R✂☎☎☎✂Rq,⑥☎⑥✝qÑ♣H ♣R✂☎☎☎✂Rq,⑥☎⑥✝q ↕ ➺✽ ☎☎☎ ➺✽ ϕ♣t1 , , tn qdt1 dtn (ii) Nếu supp ϕ ⑨ r0, 1sn ⑥Hϕ⑥♣H ♣R✂☎☎☎✂Rq,⑥☎⑥✝qÑ♣H ♣R✂☎☎☎✂Rq,⑥☎⑥✝q ✏ ➺1 ☎☎☎ ➺1 ϕ♣t1 , , tn qdt1 dtn Chứng minh Bổ đề 4.3.6 Từ Định lí 4.1.2 tính bị chặn biến đổi Hj H ♣R ✂ ☎ ☎ ☎ ✂ Rq, ta cần chứng minh ✏ Hj Hϕ f Hϕ Hj f (4.12) t1, , n✉ f H 1♣R ✂☎ ☎ ☎✂ Rq Thật vậy, dựa vào ý tưởng từ [2, 57, 58] Hệ 4.2.4(i), với hầu hết y ✏ ♣y1 , , yn q Rn , ta có với j ♣ q ✏ H④ ϕ Hj f y ✏ ➺✽ ➺✽ ☎☎☎ ☎☎☎ ➺✽ ➺✽ ③ H j f ♣t1 y1 , , tn yn qϕ♣t1 , , tn qdt1 dtn ♣✁i sign ♣tj yj qqfˆ♣t1y1, , tnynqϕ♣t1, , tnqdt1 dtn ③ ④ ✏ ♣✁i sign yj qH ϕ f ♣y q ✏ Hj Hϕ f ♣y q Điều chứng tỏ (4.12) ta kết thúc chứng minh Bổ đề 4.3.6 tính biến đổi Fourier 113 download by : skknchat@gmail.com H 1♣R ✂ ☎ ☎ ☎ ✂ Rq e E, từ Chứng minh Bổ đề 4.3.7 (i) Với f Bổ đề 4.3.6 Định lí 4.1.3, ta nhận ⑥HeHϕf ⑥L ♣R q ✏ ⑥HϕHef ⑥L ♣R q ➺✽ ➺✽ ↕ ☎ ☎ ☎ ϕ♣t1, , tnqdt1 dtn⑥Hef ⑥L ♣R q n n 1 n Điều chứng tỏ ⑥Hϕ⑥♣H ♣R✂☎☎☎✂Rq,⑥☎⑥✝qÑ♣H ♣R✂☎☎☎✂Rq,⑥☎⑥✝q ↕ ➺✽ ☎☎☎ ➺✽ ϕ♣t1 , , tn qdt1 dtn (ii) Chứng minh tương tự với chứng minh Bổ đề 4.3.4(ii) ta bỏ qua việc trình bày chi tiết Điểm then chốt ước lượng (4.8) tính tương đương ⑥ ☎ ⑥✝ ✒ ⑥ ☎ ⑥H ♣R✂☎☎☎✂Rq chuẩn Chứng minh Định lí 4.3.5 Từ Bổ đề 4.3.7(i), ta cần chứng minh ⑥Hϕ⑥♣H ♣R✂☎☎☎✂Rq,⑥☎⑥✝qÑ♣H ♣R✂☎☎☎✂Rq,⑥☎⑥✝q ➙ ➺✽ ☎☎☎ ➺✽ ϕ♣t1 , , tn qdt1 dtn (4.13) miễn Hϕ bị chặn H ♣R ✂ ☎ ☎ ☎ ✂ Rq Thật vậy, từ Bổ đề 4.3.3, ta có ➺✽ Với m ☎☎☎ ➺✽ ϕ♣t1 , , tn qdt1 dtn ➔ ✽ → 0, ta ký hiệu ϕm♣tq :✏ ϕ♣mtqχ♣0,1q ♣tq Khi đó, dựa vào Bổ n đề 4.3.7(i), dễ thấy ✎ ✎ ✎Hϕ ✎ ✎ ☎ ✎ ✁ Hϕ ♣ q ♣H ♣R✂☎☎☎✂Rq,⑥☎⑥✝qÑ♣H ♣R✂☎☎☎✂Rq,⑥☎⑥✝q ✎ ✎ ✏ ✎✎Hϕ✁ϕ ♣ ☎ q✎✎♣H ♣R✂☎☎☎✂Rq,⑥☎⑥✝qÑ♣H ♣R✂☎☎☎✂Rq,⑥☎⑥✝q m m ↕ ✏ ➺✽ ➺0 1 m m ☎☎☎ ➺✽✒ 1 ϕ♣t1 , , tn q ✁ ϕm ♣0,✽qn ③♣0,mqn ✂ t1 tn , , m m ✡✚ (4.14) dt1 dtn ϕ♣tqdt Chú ý ✎ ✁ ✠✎ ✎ ✎ ✎f ✎ ✎ m ✎ ☎ ♣H ♣R✂☎☎☎✂Rq,⑥☎⑥✝ q ✏ mn⑥f ♣☎q⑥♣H ♣R✂☎☎☎✂Rq,⑥☎⑥✝q Hϕm ♣ ☎ q f m 114 download by : skknchat@gmail.com ✏ Hϕ ✁ mf ☎✠ m với f H 1♣R ✂ ☎ ☎ ☎ ✂ Rq, Bổ đề 4.3.7(ii) cho ta ✎ ✎ ✎ ✎ ☎ ✎Hϕm ♣ m q ✎ ✏ ♣H ♣R✂☎☎☎✂Rq,⑥☎⑥✝ qÑ♣H ♣R✂☎☎☎✂Rq,⑥☎⑥✝ q ✎ ✎ mn ✎Hϕm ✎♣H ♣R✂☎☎☎✂Rq,⑥☎⑥✝ qÑ♣H ♣R✂☎☎☎✂Rq,⑥☎⑥✝ q ➺1 ➺1 ✏ mn ✏ ➺m 0 ☎☎☎ ☎☎☎ ➺m 0 ϕm ♣t1 , , tn qdt1 dtn ϕ♣t1 , , tn qdt1 dtn Kết hợp điều với (4.14), ta suy ⑥Hϕ⑥♣H ♣R✂☎☎☎✂Rq,⑥☎⑥✝qĐ♣H ♣R✂☎☎☎✂Rq,⑥☎⑥✝q ➙ ➺ mlim Đ✽ ➺✽ ☎☎☎ ➺✽ ϕ♣t1 , , tn qdt1 dtn ♣0,✽qn ③♣0,mqn ϕ♣tqdt ✏ Đánh giá chứng tỏ (4.13) ta kết thúc chứng minh Định lí 4.3.5 Kết luận: Trong Chương 4, đưa đặc trưng hàm không âm ϕ để toán tử Hausdorff đa tham số Hϕ bị chặn không gian Hardy đa tham số H ♣R ✂ ☎ ☎ ☎ ✂ Rq không gian Lebesgue Lp ♣Rn q với p r1, ✽s Hơn nữa, đưa công thức xác định chuẩn toán tử Hausdorff đa tham số Hϕ khơng gian Kết chương Định lí 4.1.2 4.1.3 115 download by : skknchat@gmail.com Kết luận Mục đích luận án nghiên cứu tính bị chặn số tốn tử quan trọng giải tích điều hịa hốn tử chúng không gian Hardy không gian loại Hardy Khi tốn tử khơng gian hàm đủ tốt, cố gắng đưa chuẩn xác chúng Các đóng góp luận án bao gồm nội dung sau: • Đưa số điều kiện cần đủ cho tính bị chặn tốn tử tích phân bậc khơng ngun Iα khơng gian Hardy Musielak-Orlicz (Định lí 1.4.1 Định lí 1.4.4) • Chỉ khơng gian thực BM Ow,p ♣Rn q BM O♣Rn q cho hoán tử rb, T s tốn tử Calderón-Zygmund bị chặn từ Hwp ♣Rn q vào Lpw ♣Rn q b BM Ow,p ♣Rn q (Định lí 2.2.4) • Chỉ khơng gian thực BM OwΦ ♣Rn q BM O♣Rn q cho hoán tử rb, T s tốn tử Calderón-Zygmund bị chặn từ HwΦ♣Rnq vào LΦw ♣Rnq b BM OwΦ ♣Rn q (Định lí 2.3.4) • Xây dựng khơng gian thực BM Oϕ ♣Rn q BM O♣Rn q cho hoán tử rb, T s toán tử Calderón-Zygmund bị chặn từ H ϕ ♣Rn q vào Lϕ ♣Rn q b BM Oϕ ♣Rn q (Định lí 2.4.5) • Giới thiệu khơng gian Campanato Musielak-Orlicz không gian loại số đặc trưng bất đẳng thức loại John-Nirenberg cho khơng gian (các Định lí 3.1.2, 3.1.6 3.1.7) Ngoài ra, ứng dụng kết chứng minh không gian BM O♣X q BM Ow ♣X q trùng w A✽♣X q (Định lí 3.1.8) • Cung cấp hai chứng minh đơn giản cho kết tính đối ngẫu bmo♣Rn q-h1 ♣Rn q hội tụ ✝ yếu h1 ♣Rn q Dafni (các Định lí 3.2.1 3.2.2) • Đưa đặc trưng hàm khơng âm ϕ để tốn tử Hausdorff đa tham số Hϕ bị chặn không gian Lebesgue Lp ♣Rn q với p 116 download by : skknchat@gmail.com r1, ✽s không gian Hardy đa tham số H ♣R ✂ ☎ ☎ ☎ ✂ Rq Hơn nữa, đưa chuẩn xác tốn tử khơng gian tương ứng (các Định lí 4.1.2 4.1.3) Trên sở kết đạt luận án, đề xuất số hướng nghiên cứu sau đây: • Mở rộng kết luận án mà chúng chưa thiết lập không gian Hardy Musielak-Orlicz đến lớp không gian • Tiếp tục nghiên cứu chủ đề luận án mà khơng gian Rn đến trường hợp không gian không gian loại X • Xây dựng khơng gian Hardy Musielak-Orlicz khơng gian loại nghiên cứu tính đối ngẫu lớp không gian với không gian Campanato Musielak-Orlicz không gian loại 117 download by : skknchat@gmail.com DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Hung H.D., Huy D.Q., Ky L.D (2016), “A note on weak✝ -convergence in h1 ♣Rd q”, Ann Funct Anal., 7(4), pp 573–577 (SCIE) Huy D.Q., Ky L.D (2018), “The multi-parameter Hausdorff operators on H and Lp ”, Math Inequal Appl., 21(2), pp 497–510 (SCIE) Huy D.Q., Ky L.D (2019), “John–Nirenberg type inequalities for Musielak–Orlicz Campanato spaces on spaces of homogeneous type”, Vietnam J Math., 47(2), pp 461–476 (ESCI) Huy D.Q., Ky L.D., “Boundedness of fractional integral operators on Musielak-Orlicz Hardy spaces”, preprint Huy D.Q., Ky L.D (2020), “Weighted Hardy space estimates for commutators of Calderón-Zygmund operators”, Vietnam J Math Doi: 10.1007/s10013020-00406-2 (ESCI) Huy D.Q., Ky L.D., “Weighted Hardy-Orlicz space estimates for commutators of Calderón-Zygmund operators”, preprint Huy D.Q., Ky L.D., “Musielak–Orlicz Hardy space estimates for commutators of Calderón-Zygmund operators”, preprint 118 download by : skknchat@gmail.com Tài liệu tham khảo [1] Adams D.R (1975), “A note on Riesz potentials”, Duke Math J., 42(4), pp 765–778 [2] Andersen K.F (2003), “Boundedness of Hausdorff operators on Lp ♣Rn q, H ♣Rn q, and BM O♣Rn q”, Acta Sci Math (Szeged), 69(1-2), pp 409–418 [3] Anderson R.C., Cruz-Uribe D., Moen K (2015), “Logarithmic bump conditions for Calderón-Zygmund operators on spaces of homogeneous type”, Publ Mat., 59(1), pp 17–43 [4] Bloom S (1989), “Pointwise multipliers of weighted BMO spaces”, Proc Amer Math Soc., 105(4), pp 950–960 [5] Bonami A., Grellier S., Ky L.D (2012), “Paraproducts and products of functions in BM O♣Rn q and H ♣Rn q through wavelets”, J Math Pures Appl., 97(3), pp 230–241 [6] Bonami A., Iwaniec T., Jones P., Zinsmeister M (2007), “On the product of functions in BM O and H ”, Ann Inst Fourier (Grenoble), 57(5), pp 1405–1439 [7] Bonami A., Cao J., Ky L.D., Liu L., Yang D., Yuan W (2019), “Multiplication between Hardy spaces and their dual spaces”, J Math Pures Appl., 131(9), pp 130–170 [8] Bonami A., Ky L.D., Liang Y., Yang D., “Some remarks on the theory of Musielak-Orlicz Hardy spaces”, preprint [9] Bownik M., Li B., Yang D., Zhou Y (2008), “Weighted anisotropic Hardy spaces and their applications in boundedness of sublinear operators”, Indiana Univ Math J., 57(7), pp 3065–3100 [10] Calderón A.P (1976), “Inequalities for the maximal function relative to a metric”, Studia Math., 57(3), pp 297–306 119 download by : skknchat@gmail.com [11] Campanato S (1964), “Proprietà di una famiglia di spazi funzionali”, Ann Scuola Norm Sup Pisa, 18(3), pp 137–160 [12] Cao J., Chang D.C., Yang D., Yang S (2013), “Boundedness of fractional integrals on weighted Orlicz-Hardy spaces”, Math Methods Appl Sci., 36(15), pp 2069–2085 [13] Cao J., Chang D.-C., Yang D., Yang S (2016), “Riesz transform characterizations of Musielak-Orlicz-Hardy spaces”, Trans Amer Math Soc., 368(10), pp 6979–7018 [14] Chen J., Fan D., Zhang C (2012), “Boundedness of Hausdorff operators on some product Hardy type spaces”, Appl Math J Chinese Univ., 27(1), pp 114–126 [15] Cianchi A (1999), “Strong and weak type inequalities for some classical operators in Orlicz spaces”, J London Math Soc., 60(1), pp 187–202 [16] Coifman R.R., Lions P.-L., Meyer Y., Semmes S (1993), “Compensated compactness and Hardy spaces”, J Math Pures Appl., 72(3), pp 247– 286 [17] Coifman R.R., Rochberg R., Weiss G (1976), “Factorization theorems for Hardy spaces in several variables”, Ann of Math., 103(3), pp 611–635 [18] Coifman R.R., Weiss G (1977), “Extensions of Hardy spaces and their use in analysis”, Bull Amer Math Soc., 83(4), pp 569–645 [19] Dafni G (2002), “Local VMO and weak convergence in h1 ”, Canad Math Bull., 45(1), pp 46–59 [20] Duren P.L (1970), Theory of H p Spaces, Pure and Applied Mathematics, 38, Academic Press, New York-London [21] Fan D., Zhao F (2015), “Product Hardy operators on Hardy spaces”, Tokyo J Math., 38(1), pp 193–209 [22] Fefferman C (1971), “Characterizations of bounded mean oscillation”, Bull Amer Math Soc., 77(4), 587–588 120 download by : skknchat@gmail.com [23] Fefferman C., Stein E.M (1972), “H p spaces of several variables”, Acta Math., 129(3-4), 137–193 [24] García-Cuerva J (1979), “Weighted H p spaces”, Dissertations Math (Rozprawy Mat.), 162, pp 1–63 [25] García-Cuerva J., Kazarian K.S (1994), “Calderón-Zygmund operators and unconditional bases of weighted Hardy spaces”, Studia Math., 109(3), pp 255–276 [26] García-Cuerva J., Rubio de Francia J.L (1985), Weighted Norm Inequalities and Related Topics, North-Holland Mathematics Studies, 116 Notas de Matemática [Mathematical Notes], 104 North-Holland Publishing Co., Amsterdam [27] Goldberg D (1979), “A local version of real Hardy spaces”, Duke J Math., 46, pp 27–42 [28] Gundy R.F., Stein E.M (1979), “H p theory for the poly-disc”, Proc Natl Acad Sci USA, 76, pp 1026–1029 [29] Harboure E., Salinas O., Viviani B (2007), “A look at BM Oϕ ♣ω q through Carleson measures”, J Fourier Anal Appl., 13(3), pp 267–284 [30] Hou S., Yang D., Yang S (2013), “Lusin area function and molecular characterizations of Musielak-Orlicz Hardy spaces and their applications”, Commun Contemp Math., 15(6), 1350029 (37 pp.) [31] Hung H.D., Huy D.Q., Ky L.D (2016), “A note on weak✝ -convergence in h1 ♣Rd q”, Ann Funct Anal., 7(4), pp 573–577 [32] Hung H.D., Ky L.D., Quang T.T (2017), “Norm of the Hausdorff operator on the real Hardy space H ♣Rq”, Complex Anal Oper Theory, 12(1), pp 235–345 [33] Hung H.D., Ky L.D., Quang T.T (2019), “Hausdorff operators on holomorphic Hardy spaces and applications”, Proc Roy Soc Edinburgh Sect A (to appear) Doi: 10.1017/prm.2018.74 121 download by : skknchat@gmail.com [34] Huy D.Q., Ky L.D (2018), “The multi-parameter Hausdorff operators on H and Lp ”, Math Inequal Appl., 21(2), pp 497–510 [35] Huy D.Q., Ky L.D (2019), “John–Nirenberg type inequalities for Musielak–Orlicz Campanato spaces on spaces of somogeneous type”, Vietnam J Math., 47(2), 461–476 [36] Huy D.Q., Ky L.D., “Boundedness of fractional integral operators on Musielak-Orlicz Hardy spaces”, preprint [37] Huy D.Q., Ky L.D (2020), “Weighted Hardy space estimates for commutators of Calderón-Zygmund operators”, Vietnam J Math Doi: 10.1007/s10013-020-00406-2 [38] Huy D.Q., Ky L.D., “Weighted Hardy-Orlicz space estimates for commutators of Calderón-Zygmund operators”, preprint [39] Huy D.Q., Ky L.D., “Musielak–Orlicz Hardy space estimates for commutators of Calderón-Zygmund operators”, preprint [40] Lacey M.T (2007), “Lectures on Nehari’s Theorem on the Polydisk, Topics in Harmonic Analysis and Ergodic Theory”, Contemp Math., 444, pp 185– 213 [41] Lacey M.T., Petermichl S., Pipher J.C., Wick B.D (2009), “Multiparameter Riesz commutators”, Amer J Math., 131(3), pp 731–769 [42] Janson S (1980), “Generalizations of Lipschitz spaces and an application to Hardy spaces and bounded mean oscillation”, Duke Math J., 47(4), pp 959–982 [43] John F., Nirenberg L (1961), “On functions of bounded mean oscillation”, Comm Pure Appl Math., 14, 415–426 [44] Jones P.W., Journé J-L (1994), “On weak convergence in H ♣Rd q”, Proc Amer Math Soc., 120(1), pp 137–138 [45] Ky L.D (2013), “Bilinear decompositions and commutators of singular integral operators”, Trans Amer Math Soc., 365(6), pp 2931–2958 122 download by : skknchat@gmail.com [46] Ky L.D (2014), “New Hardy spaces of Musielak-Orlicz type and boundedness of sublinear Operators”, Integral Equations Operator Theory, 78(1), pp 115–150 [47] Ky L.D (2015), Endpoint estimates for commutators of singular integrals related to Schrăodinger operators”, Rev Mat Iberoam., 31(4), pp 1333– 1373 [48] Lee M (2013), “Calderón-Zygmund operators on weighted Hardy spaces”, Potential Anal., 38(3), pp 699–709 [49] Li W (2008), “John-Nirenberg type inequalities for the Morrey-Campanato spaces”, J Inequal Appl., Art ID 239414, pp [50] Li B., Bownik M., Yang D., Zhou Y (2010), “Anisotropic singular integrals in product spaces”, Sci China Math., 53(12), pp 3163–3178 [51] Liang Y., Huang J., Yang D (2012), “New real-variable characterizations of Musielak-Orlicz Hardy spaces”, J Math Anal Appl., 395(1), pp 413–428 [52] Liang Y., Ky L.D., Yang D (2016), “Weighted endpoint estimates for commutators of Calderón-Zygmund operators”, Proc Amer Math Soc., 144(12), pp 5171–5181 [53] Liang Y., Yang D (2013), “Musielak-Orlicz Campanato spaces and applications”, J Math Anal Appl., 406(1), pp 307–322 [54] Liflyand E (2007), Open problems on Hausdorff operators, Complex analysis and potential theory, 280–285, World Sci Publ., Hackensack, NJ [55] Liflyand E (2013), “Hausdorff operators on Hardy spaces”, Eurasian Math J., 4(4), pp 101–141 [56] Liflyand E., Móricz F (2000), “The Hausdorff operator is bounded on the real Hardy space H ♣Rq”, Proc Amer Math Soc., 128(5), pp 1391–1396 [57] Liflyand E., Móricz F (2001), “The multi-parameter Hausdorff operator is bounded on the product Hardy space H 11 ♣R ✂ Rq”, Analysis (Munich), 21(2), pp 107–118 123 download by : skknchat@gmail.com [58] Liflyand E., Móricz F (2002), “Commuting relations for Hausdorff operators and Hilbert transforms on real Hardy spaces”, Acta Math Hungar., 97(1-2), pp 133–143 [59] Mateu J., Mattila P., Nicolau A., Orobitg J (2000), “BMO for nondoubling measures”, Duke Math J., 102(3), pp 533–565 [60] Morrey C.B (1938), “On the solutions of quasi-linear elliptic partial differential equations”, Trans Amer Math Soc., 43(1), pp 126–166 [61] Muckenhoupt B., Wheeden R (1974), “Weighted norm inequalities for fractional integrals”, Trans Amer Math Soc., 192, pp 261–274 [62] Muckenhoupt B., Wheeden R.L (1976), “Weighted bounded mean oscillation and the Hilbert transform”, Studia Math., 54(3), pp 221–237 [63] Musielak J (1983), Orlicz Spaces and Modular Spaces, Lecture Notes in Mathematics, 1034, Springer-Verlag, Berlin [64] O’Neil R (1965), “Fractional integration in Orlicz spaces I”, Trans Amer Math Soc., 115, pp 300–328 [65] Pérez C (1995), “Endpoint estimates for commutators of singular integral operators”, J Func Anal., 128(1), 163–185 [66] Rafeiro H., Samko N., Samko S (2013), Morrey-Campanato Spaces: an Overview, In Operator Theory, Pseudo-Differential Equations, and Mathematical Physics, 293323, Oper Theory Adv Appl., 228, Birkhăauser/Springer Basel AG, Basel [67] Royden H.L (1988), Real Analysis, Third edition, Macmillan Publishing Company, New York [68] Sharpley R (1976), “Fractional integration in Orlicz spaces”, Proc Amer Math Soc., 59(1), pp 99–106 [69] Song L., Yan L (2010), “Riesz transforms associated to Schrăodinger operators on weighted Hardy spaces, J Funct Anal., 259(6), pp 14661490 124 download by : skknchat@gmail.com [70] Străomberg J.-O., Torchinsky A (1989), Weighted Hardy Spaces, Lecture Notes in Mathematics, 1381, Springer-Verlag, Berlin [71] Stein E.M (1970), Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton Mathematical Series, 30, Princeton University Press, Princeton, N.J [72] Stein E.M., Weiss G (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton Mathematical Series, No 32, Princeton University Press, Princeton, N.J [73] Străomberg J.O., Wheeden R.L (1985), “Fractional integrals on weighted H p and Lp spaces”, Trans Amer Math Soc., 287(1), pp 293–321 [74] Taibleson M.H., Weiss G (1980), “The molecular characterization of certain Hardy spaces”, Astérisque, 77, pp 67–149 [75] Trong N.N., Tung N.T (2016), “Weighted BMO type spaces associated to admissible functions and applications”, Acta Math Vietnam., 41(2), pp 209–241 [76] Viviani B.E (1987), “An atomic decomposition of the predual of BM O♣ρq”, Rev Mat Iberoam., 3(3-4), pp 401–425 [77] Wang S., Lu S., Yan D (2012), “Explicit constants for Hardy’s inequality with power weight on n-dimensional product spaces”, Sci China Math., 55(12), pp 2469–2480 [78] Weisz F (2004), “The boundedness of the Hausdorff operator on multidimensional Hardy spaces”, Analysis (Munich), 24(2), pp 183–195 [79] Wu X., Chen J (2014), “Best constants for Hausdorff operators on ndimensional product spaces”, Sci China Math., 57(3), pp 569–578 [80] Yang D., Liang Y., Ky L.D (2017), Real-Variable Theory of MusielakOrlicz Hardy Spaces, Lecture Notes in Mathematics, 2182, Springer, Cham [81] Yang D., Yang S (2012), “Local Hardy spaces of Musielak-Orlicz type and their applications”, Sci China Math., 55(8), pp 1677–1720 125 download by : skknchat@gmail.com Chỉ mục đặc trưng Orlicz, 11 biến đổi Riesz, 60, 76 không gian phân tử, V M O♣Rn q, 95 iu kin bmoRn q, 95 Hăolder ngc, 10 Hăolder ngược đều, 12 vmo♣Rn q, 95 hội tụ bị chặn địa phương đều, γ-tựa-Banach, 18 BMOϕ ♣Rn q, 64 17, 63 BMOw,p ♣Rn q, 35 Muckenhoupt, n BMOΦ w ♣R q, 49 BM O♣Rn q, 33 bất đẳng thức loại John-Nirenberg, 81 phân bố, 14 John-Nirenberg, 80 Campanato Musielak-Orlicz, 80, biến đổi 81 affine, 20, 28 Hardy, Fourier, 23 Hardy Ha1 ♣Cn q, 106 Hilbert, 106 Hardy địa phương, 95 Hilbert đa tham số, 102 Hardy có trọng, 7, 34, 35 Riesz, 59, 76 Hardy Musielak-Orlicz, 7, 15, 62 Hardy Musielak-Orlicz phân tử, hàm 19 cực đại, 35 cực đại Hardy-Littlewood, 82 Hardy nguyên tử, 16 cực đại lớn không tiếp xúc, 14 Hardy-Orlicz, cực đại trơn đa tham số, 101 Hardy-Orlicz có trọng, 48 Lipschitz, 35 Hardy-Orlicz kiểu mới, Lipschitz bậc δ, 36, 49, 65 Lebesgue, 13 Musielak-Orlicz, 11 loại Hardy, tựa metric, loại nhất, 126 download by : skknchat@gmail.com tựa nhân tính, 48 Morrey-Campanato, 91 tiêu chuẩn, 18 Morrey-Campanato khơng trọng, tốn tử 91 Orlicz có trọng, 13, 48 Bγ -dưới tuyến tính, 18 Orlicz-Hardy, δ-Calderón-Zygmund, 32 Orlicz-Hardy có trọng, Calderón-Zygmund, 33 Schwartz, 14 Hardy, 100 Hausdorff, 100 lí thuyết Hausdorff đa tham số, 101 điểm cuối, 34 loại Cesàro, 100 nội suy, 34 tích phân bậc không nguyên Riemann- lũy thừa trọng Liouville, 100 tới hạn, 10, 12 liên hợp, 100 tích phân bậc khơng nguyên, nguyên tử ♣HwΦ♣Rnq, qq, 16 ♣H ϕ♣Rnq, qq, 16 ♣Hwp ♣Rnq, qq, 16 ♣ϕ, q, sq, 16 phân tích loại Calderón-Zygmund, 82 ngun tử, song tuyến tính, 34 phân tử ♣HwΦ♣Rnq, q, εq, 19 ♣H ϕ♣Rnq, q, εq, 19 ♣Hwp ♣Rnq, q, εq, 19 ♣ϕ, ✽, s, εq, 19 ♣ϕ, q, s, εq, 19 hội tụ ✝ yếu, 95 tính chất kép, nhân tính, 48 127 download by : skknchat@gmail.com ... luận án nghiên cứu tính bị chặn số toán tử quan trọng giải tích điều hịa hốn tử chúng không gian Hardy không gian loại Hardy Chúng đặc biệt quan tâm đến nghiên cứu không gian Hardy Musielak-Orlicz... Không gian Hardy Musielak-Orlicz phân tử ♣ϕ, q, sq-nguyên tử H ♣R ✂ Rq : Không gian Hardy hai tham số BM O♣Rn q : Khơng gian hàm có dao động trung bình bị chặn H ♣R ✂ ☎ ☎ ☎ ✂ Rq: Không gian Hardy. .. NHƠN DƯƠNG QUỐC HUY TÍNH BỊ CHẶN CỦA MỘT SỐ TỐN TỬ TRÊN KHƠNG GIAN HARDY KIỂU MỚI Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 9460102 Phản biện 1: PGS TS Lê Xuân Trường Phản biện 2: TS Đào Văn Dương Phản biện
Ngày đăng: 06/04/2022, 21:58
Xem thêm: