Cho ϕ là một hàm tăng trưởng. Với mỗi hình cầu B Rn và 1 ¤q ¤ 8, ta ký hiệu LqϕpBq là tập tất cả các hàm đo được f có giá trong B sao cho
}f}LqϕpBq : $ ' & ' % sup t¡0 1 ϕpB,tq » B|fpxq|qϕpx, tqdx 1{q 8 nếu 1 ¤q 8, }f}L8 8 nếu q 8.
Ta có thể chỉ ra một cách trực tiếp rằng pLqϕpBq,} }LqϕpBqq là một không gian Banach.
Bộ ba pϕ, q, sq được gọi là chấp nhận được nếu q P pqpϕq,8s và sP Z thỏa mãn điều kiện s ¥ mpϕq. Bây giờ ta có thể nhắc lại khái niệm pϕ, q, sq-nguyên tử như sau.
Định nghĩa 1.3.1 ([46, Định nghĩa 2.4]). Chopϕ, q, sq là một bộ ba chấp nhận được. Một hàm đo đượca là một pϕ, q, sq-nguyên tử liên kết với hình cầu B nếu nó thỏa mãn ba điều kiện sau:
(i) aP LqϕpBq;
(ii) }a}LqϕpBq ¤ }χB}1
Lϕ; (iii)
»
Rnxβapxqdx0 với mọi đa chỉ số |β| ¤s.
Nói riêng, một pϕ, q,0q-nguyên tử còn được gọi là một pHϕpRnq, qq-nguyên tử. Khi ϕpx, tq wpxqtp với w PA8pRnq vàpP p0,1s ta nhận được pHwppRnq, qq-
nguyên tử. Khi ϕpx, tq wpxqΦptq với w P A8pRnq và Φ là hàm Orlicz có
ipΦq, IpΦq P p0,1s ta nhận được pHwΦpRnq, qq-nguyên tử.
Theo Ky [46], không gian Hardy nguyên tử loại Musielak-Orlicz Hatϕ,q,spRnq
bội các pϕ, q, sq-nguyên tử, tức là,
f ¸8
j1
λjaj trong S1pRnq,
trong đó mỗi aj là một pϕ, q, sq-nguyên tử liên kết với hình cầu Bj có tính chất
8
¸
j1
ϕpBj,|λj|}aj}LqϕpBjqq 8.
(Tựa-)Chuẩn trong không gian Hatϕ,q,spRnq được xác định bởi
}f}Hatϕ,q,s inf Λqptλjajuq: f ¸
j
λjaj theo nghĩa củaS1pRnq(,
trong đó Λqptλjajuq inf λ¡0 : ¸ j ϕ Bj,|λj|}aj}LqϕpBjq λ ¤1( .
Tương tự, ta ký hiệu Hfinϕ,q,spRnq là không gian véc-tơ tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các pϕ, q, sq-nguyên tử với chuẩn được xác định bởi
}f}Hfinϕ,q,s :inf ΛqptλjajuN j1q:f N ¸ j1 λjaj( .
Trong [46], Ky đã thiết lập phân tích nguyên tử của các không gian Hardy Musielak-Orlicz HϕpRnq như sau.
Định lí 1.3.2 ([46, Định lí 3.1]). Cho pϕ, q, sq là một bộ ba chấp nhận được. Khi đó HϕpRnq Hatϕ,q,spRnq với các chuẩn tương đương.
Một trong các kết quả quan trọng nhất cho phép ta nghiên cứu tính bị chặn của các toán tử trên HϕpRnq là định lí phân tích nguyên tử hữu hạn. Để nhận được kết quả này, Ky [46] đã giới thiệuđiều kiện hội tụ bị chặn địa phương đều
đối với hàm tăng trưởng ϕ. Tuy nhiên, trong một công trình rất gần đây của
Bonami và cộng sự [8], điều kiện này đã được bỏ đi bằng cách chỉ ra một không gian con của Hfinϕ pRnq vẫn còn trù mật trong HϕpRnq. Để nhắc lại kết quả này, ta ký hiệu Lpc,spRnq là không gian tất cả các hàm f P LppRnq có giá compact và
thỏa mãn »
Rn
xβfpxqdx0 với mọi đa chỉ số β có |β| ¤ s.
Bổ đề 1.3.3 (xem [80, Bổ đề 1.6.5]). Cho ϕ là một hàm tăng trưởng, r P pqpϕqr1pϕq,8s và s P rmpϕq,8q XZ . Khi đó Lrc,spRnq trù mật trong HϕpRnq.
Nhắc lại (xem [46]) rằng không gian Bγ được gọi là một không gian γ-tựa- Banach với γ P p0,1s nào đó nếu tồn tại hằng số dương κ ¥ 1 sao cho với mọi
mPN và mọi tfjum
j1 Bγ, tựa-chuẩn } }Bγ tuân theo bất đẳng thức sau
m ¸ j1 fjγ Bγ ¤κ m ¸ j1 }fj}γ Bγ.
Dễ thấy rằng mọi không gian Banach là một không gian 1-tựa-Banach và các không gian tựa-Banach `p, LpwpRnq và HwppRnq với p P p0,1s là các không gian
p-tựa-Banach điển hình. Cũng vậy, nếu ϕ có tính chất ipϕq kiểu dưới đều với
ipϕq P p0,1s thì HϕpRnq là một không gian p-tựa-Banach với mọi pP p0, ipϕqq. Theo [46], một toán tử T từ không gian tuyến tính Y vào không gian γ-tựa-
BanachBγ được gọi là Bγ-dưới tuyến tính nếu tồn tại hằng số dương κ¥1 sao cho với mọim PN, mọi f, g, f1, . . . , fm PY, và mọi λ1, . . . , λm P C, ta có
}Tpfq Tpgq}Bγ ¤κ}Tpf gq}Bγ và T ¸m j1 λjfj γ Bγ ¤κ m ¸ j1 |λj|γ}Tpfjq}γ Bγ.
Tất nhiên, một toán tử tuyến tính từ một không gian tuyến tính Y vào một không gian γ-tựa-Banach Bγ cũng là Bγ-dưới tuyến tính.
Dựa vào tính trù mật củaLrc,spRnqtrongHϕpRnqvà định lí phân tích nguyên tử hữu hạn của HϕpRnq, Bonami và cộng sự [8] đã nhận được một tiêu chuẩn cho tính bị chặn của các toán tử dưới tuyến tính từ một không gian Hardy Musielak-Orlicz HϕpRnq vào một không gian γ-tựa-Banach Bγ.
Định lí 1.3.4 (xem [80, Định lí 1.6.9]). Cho ϕ là một hàm tăng trưởng có tính chất γ kiểu trên đều với γ P p0,1s. Giả sử rằng pϕ, q, sq là một bộ ba chấp nhận được với q 8, Bγ là một không gian γ-tựa-Banach và T : Hfinϕ,q,spRnq ÑBγ là một toán tử Bγ-dưới tuyến tính sao cho
}T a}Bγ À1
với mọi pϕ, q, sq-nguyên tử a. Khi đó, tồn tại duy nhất toán tử Bγ-dưới tuyến tính bị chặn T˜ từ HϕpRnq vào Bγ mà nó thác triển T trên L8c,spRnq.