(LUẬN văn THẠC sĩ) một số vấn đề về bất đẳng thức trung bình số học hình học và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRƯƠNG MINH NHẬT MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH SỐ HỌC - HÌNH HỌC VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 download by : skknchat@gmail.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRƯƠNG MINH NHẬT MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH SỐ HỌC - HÌNH HỌC VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS TS ĐINH THANH ĐỨC Bình Định - 2020 download by : skknchat@gmail.com Mục lục Mở đầu Trung bình số học - Trung bình hình học 1.1 Các giá trị trung bình 1.1.1 Giá trị trung bình thơng thường 1.1.2 Giá trị trung bình trọng số 1.2 Một số khái niệm hàm lồi 1.3 Bất đẳng thức AM- GM toán liên quan 1.3.1 Bất đẳng thức AM-GM 1.3.2 Ý nghĩa hình học AM-GM 10 1.3.3 Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức 11 1.4 Một số kết làm chặt bất đẳng thức AM-GM 14 Một số áp dụng bất đẳng thức trung bình số học- trung bình hình học 18 2.1 Một số kĩ thuật sử dụng AM-GM 18 2.1.1 Kỹ thuật cân hệ số 18 2.1.2 Kỹ thuật AM-GM ngược dấu 39 2.2 Áp dụng vào tìm Giá trị lớn - Giá trị nhỏ 47 2.3 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM để giải phương trình, hệ phương trình 58 2.4 Bất đẳng thức AM-GM toán đa thức 66 2.5 Bất đẳng thức AM-GM tốn hình học, lượng giác 70 2.6 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM vào giải toán thực tế 79 KẾT LUẬN 84 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) download by : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU Bất đẳng thức trung bình số học- trung bình hình học (AM-GM) hệ thức tốn học Nó sử dụng cho việc giải nhiều toán tạo nhiều hệ thức khác quan trọng toán học Bất đẳng thức AM-GM coi bất đẳng thức nguyên thủy thứ hai sau bất đẳng thức tam giác Euclid – “Vị cha đẻ hình học” sử dụng ý tưởng từ phương pháp hình học để chứng minh bất đẳng thức AM-GM tổng quát với n = Vào thời kì cận đại, Cauchy xem người phát đưa phép chứng minh hay độc đáo cho bất đẳng thức AM-GM tổng quát dựa phép quy nạp Tốn học Nhưng có lẽ điều người biết thực tế trước vào năm 1729, C Maclaurin (1698-1746), nhà toán học người Scotland chứng minh bất đẳng thức này, nhiên ông không trọng việc đặt tên bất đẳng thức tổng quát mà chứng minh nên giới nhắc đến Cauchy nhiều nói tới bất đẳng thức AM-GM Tại trường phổ thông Việt Nam, bất đẳng thức đưa vào giảng dạy từ sớm với tên gọi bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) thời lượng cho dạng bất đẳng thức không nhiều, thầy cô không trọng tới việc cho học sinh nắm kĩ thuật giải bản, không đưa dạng cách giải tổng quát mà lại dành phần lớn thời gian cho việc làm tập cụ thể Vì phần đơng học sinh có nhiều em giỏi cảm thấy lo lắng đối mặt với tốn có liên quan đến bất đẳng thức AM-GM trước em chưa giải tập giống Trong kì thi tuyển sinh 10, tuyển học sinh giỏi, kì thi Olympic việc giải đa phần tốn bất đẳng thức, toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, khó khăn khơng có cơng cụ mạnh mẽ bất đẳng thức AM-GM Thậm chí sống có nhiều ứng dụng bất đẳng thức này, ví dụ việc xây ngơi nhà cho diện tích lớn nhất, không gian rộng nhất, Từ lý nên chọn đề tài “Một số vấn đề bất đẳng thức trung bình số học - trung bình hình học áp dụng” cho luận văn Luận văn tìm hiểu nghiên cứu bất đẳng thức trung bình số học – trung bình hình học từ định hình phương án dạy học theo định hướng download by : skknchat@gmail.com sáng tạo nhằm bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh, nâng cao hiệu trình dạy học Luận văn trình bày 87 trang, gồm: Lời nói đầu, chương, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương 1: Trung bình số học - Trung bình hình học Trong chương này, chúng tơi tập trung trình bày số kết Bất đẳng thức AM-GM số kết liên quan Các kết chương trình bày dựa vào [7], [9], [8], Chương 2: Áp dụng bất đẳng thức trung bình số học - trung bình hình học Trong chương này, chúng tơi trình bày số kĩ thuật quan trọng việc sử dụng AM-GM: Kỹ thuật cân hệ số, Kỹ thuật AM-GM ngược dấu; với việc vận dụng bất đẳng thức AM - GM vào giải tốn đại số, hình học, số học, tổ hợp, Các kết chương trình bày dựa vào [10], [8], [11] Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Thầy PGS.TS Đinh Thanh Đức Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Thầy tận tình giúp đỡ, hướng dẫn động viên tơi suốt q trình hồn thành luận văn Tiếp đến, tơi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng chức năng, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán Thống kê tạo điều kiện cho chúng tơi hồn thành khóa học Và tơi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô tham gia giảng dạy bạn học viên cao học Toán khóa 21 Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thẳng thắn chân thành quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Ngày 29 tháng năm 2020 Học viên thực Trương Minh Nhật download by : skknchat@gmail.com Chương Trung bình số học - Trung bình hình học Trong chương này, chúng tơi tập trung trình bày số kết về: Các dạng trung bình bản, số khái niệm tính chất hàm lồi, Bất đẳng thức AM-GM sử dụng AM-GM công cụ để chứng minh số bất đẳng thức Các kết chương trình bày dựa vào [7],[9], [8], 1.1 Các giá trị trung bình Trong phần này, chúng tơi trình bày khái niệm trung bình Các kết chương trình bày dựa vào [3], [5], [8] 1.1.1 Giá trị trung bình thơng thường Trong mục này, tập trung xem xét khái niệm trung bình hai nhiều số không âm Với hai số không âm a, b ta kí hiệu √ a+b A= ; G = ab; Q = a2 + b2 trung bình số học , trung bình hình học , trung bình tồn phương hai số không âm a, b Nếu thêm giả thiết a, b số thực dương, ta kí hiệu H= 1 + a b trung bình điều hòa hai số dương a, b Tổng quát, với n số thực dương cho trước a1 , a2 , , an , ta định nghĩa trung bình số học, trung bình hình học, trung bình tồn phương,trung bình điều hịa Trong tài liệu Việt Nam, người ta thường quen gọi "The Arithmetic Mean" trung bình cộng; Trong tài liệu Việt Nam, người ta thường quen gọi "The Geometric Mean" trung bình nhân download by : skknchat@gmail.com n số thực dương a1 , a2 , , an định nghĩa sau An = Qn = √ a1 + a2 + · · · + a n ; Gn = n a1 · a2 · · · an ; n a21 + a22 + · · · + a2n ;H= 1 + +···+ a1 a2 an (1.1) Trung bình số học có tính chất sau: Mệnh đề 1.1 ([5]) Cho h = (h1 , h2 , , hn ), a = ( a1 , a2 , , an ), b = (b1 , b2 , , bn ), a + h = ( a1 + h1 , a2 + h2 , , an + hn ) gồm n số hạng dương λ > Khi đó, Tính cộng tính An ( a + b) = An ( a) + An (b) Tính kết hợp An ( a) = An ( Am , , Am , am+1 , , an ), Am = a1 + · · · + a m m Tính liên tục lim An ( a + h) = An ( a) h →0+ Tính An (λa) = λAn ( a) Tính nội a ≤ An ( a) ≤ max a, a = min{ a1 , , an } max a = max{ a1 , , an } Dấu xảy a số Tính đơn điệu a ≤ b ⇒ An ( a) ≤ An (b) Dẫu đẳng thức xảy a = b Tính phản xạ Nếu a số, có nghĩa = α với i ∈ {1, 2, , n}, An ( a) = α Tính đối xứng An ( a1 , , an ) không đổi hốn vị thứ tự vị trí phần tử a Trung bình hình học có tính chất tương tự trung bình số học Mệnh đề 1.2 ([5]) Cho h = (h1 , h2 , , hn ), a = ( a1 , a2 , , an ), b = (b1 , b2 , , bn ), a + h = ( a1 + h1 , a2 + h2 , , an + hn ) gồm n số hạng dương λ > Khi đó, Tính liên tục lim An ( a + h) = An ( a) h →0+ Tính An (λa) = λAn ( a) download by : skknchat@gmail.com Tính nội a ≤ An ( a) ≤ max a, a = min{ a1 , , an } max a = max{ a1 , , an } Dấu xảy a số Tính đơn điệu a ≤ b ⇒ An ( a) ≤ An (b) Dẫu đẳng thức xảy a = b Tính phản xạ Nếu a số, có nghĩa = α với i ∈ {1, 2, , n}, An ( a) = α Tính đối xứng An ( a1 , , an ) khơng đổi hốn vị thứ tự vị trí phần tử a Kết đây, cho ta mối quan hệ đại lượng trung bình Định lý 1.1 Cho n số thực dương a1 , a2 , , an với n ≥ Ta có Qn ≥ An ≥ Gn ≥ Hn , An , Gn , Qn , Hn định nghĩa (1.1) 1.1.2 Giá trị trung bình trọng số Trong mục này, ta xem xét hai n số thực dương p = p1 , p2 , , pn a = ( a1 , a2 , , an ) Khi đó, trung bình số học trung bình hình học a có trọng số p xác định sau An a; q = o1 a1 + p2 a2 + · · · + p n a n p1 + p2 + · · · + p n n Gn a; p = ∏ i p (1.2) p1 +···+ pn (1.3) i =1 Rõ ràng, trung bình trọng số trở thành trung bình thơng thường pi = với i ∈ {1, 2, , n} Các kết đây, đưa số tính chất quan trọng đại lượng trung bình Mệnh đề 1.3 ([5]) Cho số dương a = ( a1 , , an ), b = (b1 , , bn ) w = ( w1 , , w n ) (a) Kí hiệu b−1 = b1−1 , , bn−1 Khi đó, ab−1 ≤ với ab−1 = An ( a; w) ≤ max ab−1 , An (b; w) an a1 , , b1 bn download by : skknchat@gmail.com (b) Nếu Wn = w1 + · · · + wn = n ≥ max a − An ( a; w) ≥ √ w − ∑ n + 1≤ i < j ≤ n aj Mệnh đề 1.4 ([5]) Cho số dương a = ( a1 , , an ), b = (b1 , , bn ) w = (w1 , , wn ) Khi Gn ( ab; w) = Gn ( a; w) · Gn (b; w) Gn ( a; w) 1.2 r = Gn ar ; w , ∀r ∈ R Một số khái niệm hàm lồi Trong phần này, chúng tơi trình bày số vấn đề hàm lồi Các kết phần trình bày dựa vào Để thuận lợi việc diễn giải, quy ước rằng, kí hiệu I = I( a, b) bốn tập hợp sau ( a, b), [ a, b], ( a, b], [ a, b) Định nghĩa 1.1 [8][Hàm lồi] Hàm số f : I −→ R gọi hàm lồi I với cặp số thực dương α, β thỏa mãn α + β = 1, ta ln có f αx + βy ≤ α f ( x ) + β f (y), với x, y thuộc I Dấu xảy x = y Ví dụ 1.2.1 • Hàm số y = xr , với r ≥ 1, hàm lồi (0; +∞); • Hàm số y = e x hàm lồi R Định nghĩa 1.2 [8][Hàm lõm] Hàm số f : I −→ R gọi hàm lõm I với cặp số thực dương α, β thỏa mãn α + β = 1, ta ln có f αx + βy ≥ α f ( x ) + β f (y), với x, y thuộc I Dấu xảy x = y Ví dụ 1.2.2 • Hàm số y = xr , với r ∈ (0; 1), hàm lõm (0; +∞); • Hàm số y = loga x, với a ∈ (0; +∞) \ {1}, hàm lõm (0; +∞) Từ định nghĩa hàm lồi, lõm ta có kết sau download by : skknchat@gmail.com Mệnh đề 1.5 [8] Nếu hàm số f ( x ) khả vi I f ( x ) hàm lồi I f ( x ) hàm đơn điệu tăng I Kết cho điều kiện cần đủ đề hàm số lồi (lõm, tương ứng) Định lý 1.2 [8] Nếu hàm số f ( x ) khả vi I f ( x ) hàm lồi I f ( x ) ≥ (tương ứng f ( x ) ≤ 0)trên I 1.3 1.3.1 Bất đẳng thức AM- GM toán liên quan Bất đẳng thức AM-GM Trước hết, xem xét mối liên hệ An , Gn trường hợp n = thơng qua ví dụ sau Ví dụ 1.3.1 Cho hai số thực khơng âm a, b Khi đó, √ a+b ≥ ab (1.4) Dấu xảy a = b Chứng minh bất đẳng thức đơn giản, thơng qua việc bình phương hai vế (1.4), ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ( a + b)2 ≥ 4ab ( a − b )2 ≥ (1.5) Rõ ràng, bất đẳng thức (1.5) với a, b ≥ Do đó, (1.4) Dấu xảy a = b Một cách tổng quát, có kết sau, thường biết đến với tên gọi Bất đẳng thức AM-GM Bất đẳng thức Cauchy Định lý 1.3 [7][Bất đẳng thức AM-GM] Với n số thực dương a1 , a2 , , an ta có √ a1 + a2 + · · · + a n ≥ n n a1 a2 · · · a n (1.6) Có nhiều để chứng minh bất đẳng thức trên, khoảng 50 cách Ở đây, chúng tơi trình bày cách chứng minh phương pháp quy nạp kiểu Cauchy Để hoàn thành chứng minh quy nạp kiểu Cauchy, cần thực bước sau • Bước sở, kiểm tra P2 download by : skknchat@gmail.com 71 Phân tích: Dựa việc ta khó để phân tích nhân tử hay khơng thể sử dụng biến đổi lượng giác thông thường, ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức để giải Để ý tan x cot x = nên tốn này, ta tìm cách sử dụng AM – GM để giải Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có 2021 = tan4040 x + cot2 x + cot2 x + · · · + cot2 x 2020 ≥ 2021 2021 tan4040 x · cot2 x · cot2 x · · · cot2 x 2020 = 2021 2021 (tan x cot x )4040 = 2021 Đẳng thức xảy  tan4040 x = cot2 x ⇔ tan4042 x = ⇔  tan x = tan x = −1 ⇔x= π kπ + , k ∈ Z π kπ + với k ∈ Z Ví dụ 2.5.2 Cho ABC tam giác nhọn Chứng minh √ tan A + tan B + tan C ≥ 3 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Phân tích: Ta để ý tam giác nhọn ta có tan A, tan B, tan C số thực dương ln có đẳng thức tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C Từ đây, ta nghĩ đến điều kiện để AM – GM Chứng minh Do tam giác ABC nhọn nên tan A, tan B, tan C số dương Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ý tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C, ta có √ tan A tan B tan C = tan A + tan B + tan C ≥ tan A tan B tan C Từ đó, ta suy √ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C ≥ 3 Đẳng thức xảy tan A = tan B = tan C ⇔ A = B = C hay ABC download by : skknchat@gmail.com 72 Như ta biết rằng, với A ∈ (0; 90◦ ), ta ln có cot A = tan A Từ đây, ta có kết sau Bài toán 2.5.1 Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh √ cot A + cot B + cot C ≥ Ví dụ 2.5.3 Cho tam giác ABC có AD, BE, CF theo thứ tự đường phân giác Ký hiệu k a , k b , k c theo thứ tự khoảng cách từ điểm D, E, F đến đường thẳng AB, BC, CA Ký hiệu h a , hb , hc theo thứ tự độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A, B, C tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ biểu thức S= ka k kc + b+ h a hb hc k a kb kc , , gặp khó khăn, ta h a hb hc nghĩ đến việc “tồi tệ” nhất, đặt BC = a, CA = b, AB = c biểu diễn tỷ Phân tích: Khi việc biểu diễn tỷ số số theo a, b, c Nếu biểu diễn “đẹp” sau biểu diễn xong, ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức để đánh giá biểu thức Chứng minh Giả sử độ dài BC, CA, AB theo thứ tự a, b, c Gọi H, D theo thứ tự hình chiếu A, D lên BC, AB Khi đó, dễ thấy BAH ∼ BDD nên ka DD BD CD BD + CD BC a = = = = = = , AH AB AC AB + AC AB + AC b+c AD tia phân giác góc BAC Hồn tồn tương tự, ta có kc c = Như vậy, ta cần tìm giá trị nhỏ biểu thức hc a+b ka k kc a b c + b+ = + + h a hb hc b+c c+a a+b download by : skknchat@gmail.com kb b = hb c+a 73   x = b+c    Đặt y = c + a    z = a + b  y+z−x   a = ,     z+x−y b= ,      c = x + y − z Áp dụng AM – GM, ta có ka k kc + b+ = h a hb hc y+z− x z+ x −y x +y−z + + x y z y+z z+x x+y = + + − x y z = ≥2 x y + y x + x y · +2 y x y z + z y + y z · +2 z y z x + x z z x 3 · − = x z 2 Đẳng thức xảy x = y = z ⇔ a = b = c hay nhỏ biểu thức − ABC Vậy giá trị ka kc k + b+ h a hb hc xảy tam giác ABC Ví dụ 2.5.4 Cho đoạn thẳng CD cố định I điểm nằm C với D cho IC > ID Trên tia Ix vng góc với CD I, lấy hai điểm M N cho IC = I M, ID = I N Gọi K giao điểm CN MD với K thuộc MD Tìm vị trí điểm I CD cho tích CN · NK có giá trị lớn download by : skknchat@gmail.com ... đẳng thức trung bình số học - trung bình hình học áp dụng? ?? cho luận văn Luận văn tìm hiểu nghiên cứu bất đẳng thức trung bình số học – trung bình hình học từ định hình phương án dạy học theo định... bất đẳng thức 11 1.4 Một số kết làm chặt bất đẳng thức AM-GM 14 Một số áp dụng bất đẳng thức trung bình số học- trung bình hình học 18 2.1 Một số kĩ thuật sử dụng AM-GM ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRƯƠNG MINH NHẬT MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH SỐ HỌC - HÌNH HỌC VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC