Đề thi tuyển sinh đại học năm 2013 môn: Toán Khối A và A154308

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Mơn : TỐN - Khối : A A1 Thời gian làm 180 phút,không kể thời gian giao đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  x  3x  3mx  (1) , với m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến khoảng (0; +  )   Câu (1,0 điểm) Giải phương trình  t an x  2 sin  x   4   x 1  x 1  y4   y  Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  (x, y  R) x  2x (y  1)  y  6y   Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I  x2 1  x ln x dx ·B C  300 , SBC tam giác Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, A cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a  c )(b  c )  4c Tìm giá trị 32a 32b a  b2 nhỏ biểu thức P    c (b  3c )3 (a  3c )3 PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : 2x  y   A ( 4; 8) Gọi M điểm đối xứng B qua C, N hình chiếu vng góc B đường thẳng MD Tìm tọa độ điểm B C, biết N(5;-4) x  y 1 z    Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  : 3 2 điểm A(1;7;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với  Tìm tọa độ điểm M thuộc  cho AM = 30 Câu 9.a (1,0 điểm) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn số chẵn B Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng  : x  y  Đường trịn (C) có bán kính R = 10 cắt  hai điểm A B cho AB = Tiếp tuyến (C) A B cắt điểm thuộc tia Oy Viết phương trình đường trịn (C) Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x  3y  z  11  mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  4y  2z   Chứng minh (P) tiếp xúc với (S) Tìm tọa độ tiếp điểm (P) (S) Câu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức z   3i Viết dạng lượng giác z Tìm phần thực phần ảo số phức w  (1  i )z Hết DeThiMau.vn BÀI GIẢI Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  x  3x  3mx  (1) , với m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến khoảng (0; +  ) a) m= 0, hàm số thành : y = -x3 + 3x2 -1 Tập xác định R y’ = -3x2 + 6x; y’ =  x = hay x = 2; y(0) = -1; y(2) = lim y   lim y   x  x   x y’ y  0 + + +   -1 Hàm số nghịch biến (∞; 0) ; (2; +∞); hàm số đồng biến (0; 2) Hàm số đạt cực tiểu x = 0; y(0) =-1; hàm số đạt cực đại x = 2; y(2) = y" = -6x + 6; y” =  x = Điểm uốn I (1; 1) y Đồ thị : -1 x b y’ = -3x2 + 6x+3m, y’ =  m= x  2x =g(x) u cầu tốn  y’  0, x  0;    m  x  2x   x   0;      m  x  2x , x  0;  x 0    m  1  g   Câu (1,0 điểm) Giải phương trình  t an x  2 sin  x   4  1+tanx=2(sinx+cosx)  cosx+sinx = 2(sinx+cosx)cosx (hiển nhiên cosx=0 không nghiệm) 1  sinx+cosx=0 hay cosx =  tanx=-1 hay cosx = 2    x    k  hay x    k 2 , k  ¢  x 1  x 1  y4   y  Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  (x, y  R) x x y ) y y       (  Đk x  x  y  1 x  y  6y    x  y  1  4y  Vậy: y  x 1  x 1  y4   y  x 1  x 1  y Đặt f(t) = t   t  f đồng biến [1, +) Nên (**)  f(x) = f(y4 + 1)  x = y4 + DeThiMau.vn  1 1  y    1 1 * * Thế vào (*) ta có : 4y = (y4 + y)2 = y8 + 2y5 + y2 y   x  y      (vì g(y) = y7 + 2y4 + y đồng biến [0, +) y     y y y   Vậy (x; y) = (1; 0) hay (x; y) = (2; 1)   Cách khác : x  y  x  y  6y    x = -y + 2 y x   x = -y + 2 y Đặt u = x –  v = y4  0, ta Xét hàm số f(t) = t   t tăng [0; +)  f(u) = f(v)  u = v  x – = y4 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I  Đặt t=lnx  Đặt u=t  t e ln t   e t dt  du  dt , dv  et  e t , chọn v  et  e t ln ln  (e t  e t )dt = Cách khác : Đặt u  ln x  du   x2 1 1 x ln x dx dx  dt , x  et , t (1)  0, t    ln  I  x  I = t (et  e t )   dv = u 2  4u  v 2  4v ln  dx x 2  x2 1 1 1 dx dx ) dx  v  x  I x x (x  )  (     ln     2 1 x x x x x x  5 ln   (1   )dx  ln (x  ) x 2 x  5 ln (  )  ln  2 2 ·B C  300 , SBC tam giác Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, A cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Gọi H trung điểm BC SH  (ABC) SH = a Ta có tam giác ABC nửa tam giác nên BC=a, A C  V  a ,A B  S a 1 a a  a a3  , Gọi I trung điểm AB    2  16 HI=a/4, SH  C H B a Vẽ HK  SI HK  (SAB), ta có Vậy d(C, SAB)= 2HK = 2a 52  HK  a    4  a      a 13 DeThiMau.vn  HK  a 52 I A Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a  c )(b  c )  4c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  32a 32b a  b2   c (b  3c )3 (a  3c )3 a b  Gỉa thiết    1   1  c c  Đặt x = a b ;y= (x + 1)(y + 1) =  S + P = P = – S c c  x 3  y 3   x y  2 2    P = 32    x y =     x  y  8  y    x    y  x  3    S  3S  2P  S 8    3S  P   3  S  3S  2(  S )   S  5S    S  1 S S S  8 = 8 =  =       2    3S  (  S )    2S  12  (S  1)3  S ,S  2 > 0, S   P = P (2) = – Dấu “=” xảy chẳng hạn x = y = P’ = (S – 1)2 – PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : 2x  y   A ( 4; 8) Gọi M điểm đối xứng B qua C, N hình chiếu vng góc B đường thẳng MD Tìm tọa độ điểm B C, biết N(5;-4) C(t;-2t-5)  4  t 2t   Gọi I trung điểm AC, suy I  ;    Ta có: IC2 = IA2, suy t =1 Tọa độ C(1;-7) B điểm đối xứng N qua AC Dễ dàng tìm B(-4;-7) x  y 1 z    Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  : 3 2 điểm A(1;7;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với  Tìm tọa độ điểm M thuộc  cho AM = 30 Ptmp (P)   có pháp vectơ (-3; -2; 1) Vậy ptmp (P) : -3(x – 1) – 2(y – 7) + z – =  3x + 2y – z – 14 = M thuộc   M (6 -3t; -1 – 2t; -2 + t) YCBT  (5 – 3t)2 + (-8 – 2t)2 + (-5 + t)2 = 120  14t2 – 8t – =  t = hay t =  51 17 Vậy tọa độ điểm M (3; -3; -1) hay ( ;  ;  ) 7 Câu 9.a (1,0 điểm) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn số chẵn DeThiMau.vn Số cách gọi số tự nhiên gồm chữ số phân biệt số chẵn: 3.6.5=90 Số phần tử S 90 Số cách gọi số tự nhiên gồm chữ số phân biệt là: 5.6.7=210 Xác suất để chọn số tự nhiên phân biệt số chẵn từ số cho 90 : 210 =3/7 B Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng  : x  y  Đường trịn (C) có bán kính R = 10 cắt  hai điểm A B cho AB = Tiếp tuyến (C) A B cắt điểm thuộc tia Oy Viết phương trình đường trịn (C) IH Cos(AIH) =   IH = IA Vậy MH = MI – IH = ; với M  Oy (0; y) MI  AB  MI : x + y + c = ; M (0;-c) MH = d (M; ) = c =  c = hay c =-8 I (t; -t – 8) hay (t; -t + 8) t t 8   I H  t = -3 hay t = -5 d (I; ) = + Với t = -3  I (-3; -5); t = -5  I (-5; -3)  Pt đường trịn cần tìm : (x + 3)2 + (y + 5)2 = 10 hay (x + 5)2 + (y + 3)2 = 10 Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x  3y  z  11  mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  4y  2z   Chứng minh (P) tiếp xúc với (S) Tìm tọa độ tiếp điểm (P) (S) (S) có tâm I (1; -2; 1) R2 = 14 2(1)  3( 2)   11 Khoảng cách từ tâm I đến mp (P) : = 14 = R 14 Vậy (P) tiếp xúc với (S) x 1 y  z 1   Pt (d) qua I   : , T  (d)  T (1 + 2t; 3t – 2; + t) T  (P)  t = Vậy T (3; ; 2) Câu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức z   3i Viết dạng lượng giác z Tìm phần thực phần ảo số phức w  (1  i )z r =  = 2; tg = , chọn  =   dạng lượng giác z z = 2(cos  z5 = 32(cos    i sin ) 3 5 5  i sin )  32(  i ) 3 2 3  w = 32(1 + i) (  i ) = 32(  )  32i (  ) 2 2 2 3 Vậy phần thực w : 32(  ) phần ảo 32(  ) 2 2 DeThiMau.vn ... (ABC) SH = a Ta có tam giác ABC n? ?a tam giác nên BC =a, A C  V  a ,A B  S a 1 a a  a a3  , Gọi I trung điểm AB    2  16 HI =a/ 4, SH  C H B a Vẽ HK  SI HK  (SAB), ta có Vậy d(C, SAB)=... 2a 52  HK  ? ?a    4  ? ?a      a 13 DeThiMau.vn  HK  a 52 I A Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c th? ?a mãn điều kiện (a  c )(b  c )  4c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  3 2a. .. , SBC tam giác Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, A cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Gọi