Chuyên đề lượng giác lớp 10 Năm học 2011 - 2012 LƯỢNG GIÁC Phần 1: Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt A Kiến thức cần nhớ Các đẳng thức a) sin x cos x d) tan x b) tan x cos x sin x cos x e) cot x sin x c) cot x f) tan x cot x Giá trị hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt a) Hai cung đối b) Hai cung bù cos( x) cos x sin( x) sin x tan( x) tan x cot( x) cot x sin( x) sin x cos( x) cos x tan( x) tan x cot( x) cot x d) Hai cung khác e) Hai cung phụ sin( x) sin x cos( x) cos x tan( x) tan x cot( x) cot x cos x sin x c) Hai cung khác sin( x 2 ) sin x cos( x 2 ) cos x tan( x 2 ) tan x cot( x 2 ) cot x sin x cos x ; cos x sin x 2 2 tan x cot x ; cot x tan x 2 2 B Bài tập Tìm giá trị để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ A 1 sin ; B 1 cos Xét dấu biểu thức sau: a) sin 123o sin 132 o b) cot 304 o cot 316 o Rút gọn biểu thức sau: a) tan 540 o cos1170 o sin 990 o cos 540 o 25 13 19 tan cos o o o c) sin 15 sin 35 sin 55 sin 75 o d) cos 15 o cos 35 o cos 55 o cos 75 o 3 5 7 9 11 e) sin sin sin sin sin sin 12 12 12 12 12 12 11 f) cos cos cos cos cos cos 12 12 12 12 12 12 g) sin( a) cos a cot(2 a) tan a 2 2 h) A sin a cos a sin a cos a a a sin cos 1 2 i) B a a a tan sin cos 2 b) sin GV: Võ Quốc Vinh Trang DeThiMau.vn Chuyên đề lượng giác lớp 10 cos 696 o tan(260 o ) tan 530 o cos 156 j) C tan 252 o cot 342 o Năm học 2011 - 2012 17 7 13 tan b cot cot 7 b k) tan 4 sin x sin x cos x cos x l) cos x sin x sin x cos x 3 m) sin a(1 cot a) cos a(1 tan a) tan b n) tan b cot b cos a sin a o) cos a sin( x ) cos( x 2 ) sin( 2 x) p) 3 x sin x cot( x) cot 2 3 q) sin x sin( x) cos x cos(2 x) 2 2 5 3 a cos a tan( a ) tan a 3 cot(5,5 a ) tan(b 4 ) s) cot(a 6 ) tan(b 3,5 ) t) tan 50 o tan 190 o tan 250 o tan 260 o tan 400 o tan 700 o r) sin a tan Cho A, B, C ba góc tam giác ABC Chứng minh: a) sin( A B) sin C ; cos(B C) -cosA c) tan( A C ) tan B; cot(A B) -cotC b) sin AB C A BC cos ; cos sin 2 2 d) tan Tìm giá trị lớn hàm số: y AC B AB C cot ; cot tan 2 2 cos x sin x cos x Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số khoảng x : y Gọi a, b, c cạnh đối diện với góc tương ứng tam giác ABC a) Cho sin B sin C sin A Chứng minh A 60 o b) 2(a cos A b cos B c cos C ) a b c ABC c) Chứng minh: sin A sin B sin C - sinA.sinB - sinB.sinC - sinC.sinA Phần 2: Các công thức lượng giác I Công thức cộng A Kiến thức cần nhớ 1) sin( a b) sin a cos b sin b cos a 2) cos(a b) cos a cos b sin a sin b B Bài tập Chứng minh công thức sau: 3) tan(a b) cos x sin x cos x sin x tan a tan b tan a tan b a) cos a sin a cos a sin a 4 4 GV: Võ Quốc Vinh Trang DeThiMau.vn Chuyên đề lượng giác lớp 10 b) cos a sin a cos a sin a 4 4 Năm học 2011 - 2012 Rút gọn biểu thức: cos a cos a 4 a) sin a sin a 4 o o o b) cos10 cos11 cos 21 cos 69 o cos 79 o c) (tan a tan b).cot(a b) tan a tan b Chứng minh tam giác ABC ta có: A B B C C A tan tan 2 2 2 A B C A B C c) cot A cot B cot B cot C cot C cot A d) cot cot cot cot cot cot 2 2 2 tan b tan a tan a a) Cho a b , chứng minh: tan b tan a tan b a) tan A tanB tanC tanA.tanB.tanC b) tan tan tan tan , chứng minh: (1 tan a)(1 tan b) (1 cot a)(1 cot b) tan( x a ) m a b c) Cho Chứngminh: tan( x y ) tan(a y ) n ab d) Cho tan a , tan b (0 a, b 1v) Tìm a + b e) Cho tan a ( a ) tan b (0 b ) Tìm a + b 2 2 f) Cho tan a , tan b (0 a, b 1v) Tìm a - b g) Cho tan a , tan b , tan b Chứng minh a + b + c = 45o 12 5 Tìm giá trị hàm số lượng giác góc: 15o 75o 12 12 b) Cho a b Cho , , thoả mãn điều kiện: Tìm giá trị lớn biểu thức: A tan tan tan tan tan tan Chứng minh góc tam giác A, B, C thoả mãn đẳng thức sau tam giác ABC cân: cos A cos B a) (cot A cot B) 2 sin A sin B A c) a b tan (a tan A b tan B) b) sin B cos A sin C d) tan A tan B tan A tan B GV: Võ Quốc Vinh Trang DeThiMau.vn Chuyên đề lượng giác lớp 10 Năm học 2011 - 2012 II Công thức nhân đôi nhân ba A Lý thuyết cần nhớ sin 2a 2sin a cos a sin 3a 3sin a 4sin a cos 2a cos a sin a 2sin a 2cos a tan a tan 2a tan a cos 3a cos3 a 3cos a B Bài tập Rút gọn biểu thức sau: sin a .sin a 4 4 a) sin 3a cos a cos 3a sin a o o c) cos 20 cos 40 cos 80 tan b) 1 tan d) sin a cos a(cos a sin a) o a a 2 o o h) cos10 cos 20 cos 40 o j) sin 4a sin 2a e) cos a sin a cos a sin a f) cos a sin cos g) 1 sin a cos a i) sin a cos 3a cos a sin 3a 2 l) cos 20 o cos 40 o cos 60 o cos 80 o 5 m) tan a tan 2a tan 4a tan 8a 16 tan 16a 32 tan 32a sin a sin 3a cos a cos 3a n) o) sin a sin 3a cos a cos 3a k) cos cos Chứng minh: a) sin a sin a sin a sin 3a Áp dụng với a 3 3 b) sin 18 sin 18 c) tan tan tan cot 16 32 32 o d) tan 36 tan 72 5 7 e) cos a cos a cos a cos 3a Tính: cos cos cos 18 18 18 3 3 3 tan a tan a f) tan 3a tan a 1 g) tan a tan a tan a tan 3a Chứng minh: tan o tan 54 o tan 66 o 3 3 10 o ab (a, b 0) Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 ab 2a b) Cho cos Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 1 a2 c) Cho sin cos Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 a) Cho sin Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số sau: a) y sin x sin x 4 4 b) y cos x sin x GV: Võ Quốc Vinh c) y 1 sin x cos x Trang DeThiMau.vn Chuyên đề lượng giác lớp 10 Năm học 2011 - 2012 a III Công thức hạ bậc Công thức viết hàm lượng giác theo t tan A Lý thuyết cần nhớ cos 2a cos a cos 2a sin a sin a 2t 1 t cos a B Bài tập Chứng minh biểu thức sau: a) sin a sin 2a a tan 2 sin a sin 2a c) (sin a sin b) (cos a cos b) cos e) sin a a cot sin a 2 a a sin sin i) (0 a ) sin a sin a tan a 2t 1 t sin 2a cos 2a tan a sin 2a cos 2a 4 a a d) tan cot cot a 2 b) ab g) sin a(sin a sin b) cos a(cos a cos b) cos h) (sin a sin b) (cos a cos b) sin 1 t2 1 t2 a b f) tan o 30' 1 a b 2 Rút gọn biểu thức sau: 1 1 cos (0 ) 2 2 a cot c) a cot a a tan tan e) a a tan tan 2 cos cos 2 g) sin 2 sin a) Tìm giá trị biểu thức a) a sin a biết tan 2 cos a 1 1 cos (0 ) 2 2 a a cot tan 2 d) a a cot tan 4 b) f) a a tan 2 sin 2 cos h) cos 2 cos tan b) tan a sin a a Biết tan tan a sin a 15 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: a) y cos x sin x b) y sin x cos x c) y sin x (sin x cos x) 4 IV Cơng thức biến đổi tổng tích A Lý thuyết cần nhớ Công thức biến đổi tích thành tổng GV: Võ Quốc Vinh Trang DeThiMau.vn Chuyên đề lượng giác lớp 10 sin a cos b sin( a b) sin( a b) cos a cos b cos(a b) cos(a b) sin a sin b cos(a b) cos(a b) 2 Cơng thức biến đổi tổng thành tích ab a b cos 2 ab a b sin a sin b cos sin 2 ab a b cos a cos b cos cos 2 ab a b cos a cos b 2 sin sin 2 sin a sin b sin Năm học 2011 - 2012 sin( a b) cos a cos b sin( a b) tan a tan b cos a cos b sin( a b) cot a cot b sin a sin b sin( a b) cot a cot b sin a sin b tan a tan b B Bài tập Rút gọn biếu thức a) cos a cos(a b) cos(a 2b) cos(a nb) (n N) cos a cos 3a cos 5a cos a sin a sin 3a sin 5a sin a cos 2a cos 2a 6 6 d) cos a cos a cos a cos 2a cos 3a sin a sin 2a sin 3a cos a cos a 3 3 e) a cot a cot b) c) f) cos 2a cos a cos 4a cos 2a 1 o o h) sin sin 91 sin 203o (sin 112 o sin 158o ) g) cos cos cos cos i) cos 35o cos125o sin 185o (sin 130 o sin 140 o ) j) sin 20 o sin 40 o sin 60 o sin 80 o Chứng minh: k) tan 20 o tan 40 o tan 60 o tan 80 o 16 sin a sin 3a sin 5a sin( 2n 1)a b) tan na cos a cos 3a cos 5a cos(2n 1)a na (n 1)a sin sin 2 c) sin a sin 2a sin 3a sin na a sin na (n 1)a sin cos 2 d) cos a cos 2a cos 3a cos na a sin a) sin 20 o sin 40 o sin 60 o sin 80 o Chứng minh tam giác ABC ta có: GV: Võ Quốc Vinh Trang DeThiMau.vn Chuyên đề lượng giác lớp 10 Năm học 2011 - 2012 A B C a) sin A sin B sin C cos cos cos 2 A B C b) cos A cos B cos C sin sin sin 2 2 2 c) sin A sin B sin C 2(1 cos A cos B cos C ) d) cos A cos B cos C cos A cos B cos C A B C 2 A B C f) cos A cos B cos C cos cos sin 2 g) sin A sin B sin 2C sin A sin B sin C h) cos A cos B cos 2C 1 cos A cos B cos C i) sin A sin B sin C sin A sin B cos C x y Chứng minh bất đẳng thức: sin (sin x sin y ) với x, y 2 e) sin A sin B sin C sin sin cos Tính giá trị biểu thức sau: 3 5 7 sin sin 16 16 16 16 o o o b) tan 67 5' cot 67 5' cot 5' tan o 5' c) cos 5o cos 55o cos 65o 3 5 7 9 d) cos cos cos cos cos 11 11 11 11 11 a) sin sin Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x: a) sin x sin 2 x cos với x x 2 c) cos x cos x cos x 3 3 3 b) cos x cos 2 x cos x cos x 2 2 x sin x sin B sin C Điều kiện cần đủ để tam giác vuông A là: sin A cos A cos B Chứng minh góc ABC thoả mãn: cos A cos B cos C tam giác bc Chứng minh cạnh góc ABC thoả mãn hệ thức: cos A cos B tam a d) sin x sin giác tam giác vng A 10 Cho tam giác ABC tan tan B Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b) GV: Võ Quốc Vinh Trang DeThiMau.vn ... Quốc Vinh c) y 1 sin x cos x Trang DeThiMau.vn Chuyên đề lượng giác lớp 10 Năm học 2011 - 2012 a III Công thức hạ bậc Công thức viết hàm lượng giác theo t tan A Lý thuyết cần nhớ cos 2a... sin 20 o sin 40 o sin 60 o sin 80 o Chứng minh tam giác ABC ta có: GV: Võ Quốc Vinh Trang DeThiMau.vn Chuyên đề lượng giác lớp 10 Năm học 2011 - 2012 A B C a) sin A sin B sin C cos cos... cos A sin C d) tan A tan B tan A tan B GV: Võ Quốc Vinh Trang DeThiMau.vn Chuyên đề lượng giác lớp 10 Năm học 2011 - 2012 II Công thức nhân đôi nhân ba A Lý thuyết cần nhớ sin 2a 2sin a