Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 19981 Môn Đại Số Thời gian 180 Câu Cho (G, Ã) nhóm hữu hạn Định nghĩa quan hệ trªn G bëi: x ∼ y ⇐⇒ (∃g ∈ G, g xg = y) Với x G, ®Ỉt Hx = {g ∈ G | g −1 xg = x} vµ Ox = {g −1 xg | g ∈ G} a) Chøng tá ∼ lµ mét quan hƯ tơng đơng G b) Với tập A G, ký hiệu |A| số phần tử A Chøng tá r»ng O1G = {1G }, Hx lµ mét nhãm cđa G vµ |G| = |Hx | |Ox | , víi mäi x ∈ G c) Chøng tá nÕu |G| = pn , víi p lµ số nguyên tố n số tự nhiên khác 0, tồn phần tử g G cho gx = xg, ∀x ∈ G C©u Giả sử Mn(R) vành ma trận vuông thùc cÊp n a) Chøng minh r»ng, ma trËn A ớc bên phải Mn (R) det(A) = b) Cho tập hợp N gồm tất ma trận Mn(R) mà phần tử từ dòng thứ hai trở b»ng Chøng minh r»ng, N lµ mét vµnh Mn (R) phần tử khác N ớc bên phải không N c) Chứng minh rằng, N tồn vô số đơn vị trái Câu Cho A ma trận m hàng n cột với phần tử thuộc trờng K Hạng A ký hiệu rA , đợc định nghĩa cấp cao định thức khác A a) Chứng minh rằng, rA số cực đại vector cột ®éc lËp tun tÝnh cđa A b) Cho hƯ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh b1 x1 (∗) A = , bi ∈ K bn xn Send from ROBINHOOD - Typeset By PCTEXv.5 DeThiMau.vn Cho B lµ ma trËn m hàng n + cột nhận đợc từ A cách ghép thêm b1 cột vµo thµnh cét ci Chøng minh r»ng, (∗) cã nghiƯm vµ bn chØ rA = rB Bµi Giả sử V không gian vector phức gồm tất đa thức x với hệ số phức, f (x) đa thức đà cho có bậc r hữu hạn, Vn+1 không gian V gồm đa thức có bậc không vợt n Xét ánh xạ: : V V g −→ f g ′ − gf ′ ®ã f , g đạo hàm f, g tơng ứng a) Chứng minh rằng, phép biến đổi tuyến tính V Tìm ker vµ chøng tá r»ng ϕ(Vr+1 ) = ϕ(Vr ) b) Tìm dim((Vr+1 )) DeThiMau.vn Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1998 Môn Giải Tích Thời gian 180 Câu a) Khảo sát hội tụ chuỗi hàm n=1 (xn + xn ) n n2 miền hội tụ đà đợc |x| 2 b) Tìm miền hội tụ chuỗi hàm ( n=1 n n2 n ) x n+1 Câu Cho C[a,b] tập hàm liên tục đoạn [a, b] a) §Ỉt d(x, y) = max |x(t) − y(t)| , x, y ∈ C[a,b] a≤t≤b Chøng minh r»ng, d lµ mét metric C[a,b] với metric d, C[a,b] không gian đầy đủ b) Đặt b (x, y) = a |x(t) − y(t)| dt, x, y ∈ C[a,b] Chøng minh rằng, metric C[a,b] với metric C[a,b] không gian không đầy đủ Câu a) Đặt C0[0, 1] = {x C[0,1] : x(0) = 0}, C[0,1] không gian định chuẩn hàm liên tục [0, 1] với chuẩn max Chứng minh rằng, C0[0, 1] không gian đóng C[0,1] A : C0[0, 1] C0 [0, 1] x −→ Ax DeThiMau.vn cho bëi (Ax)(t) = [x(t2 ) + tx(1)], t ∈ [0, 1] ánh xạ tuyến tính liên tục Tính A b) Giả sử X, Y hai không gian Banach A : X Y mét to¸n tư tun tÝnh BiÕt r»ng víi mäi y ∗ ∈ Y ∗ , ta cã y ∗ ◦ A ∈ X ∗ Chøng minh r»ng, A ∈ L(X, Y ) Câu Cho H không gian Hilbert a) Giả sử A L(H) toán tử tự liên hợp Chứng minh rằng, A2 = A , víi A = A ◦ A b) Cho (An)n∈N ⊂ L(H) tháa m·n ®iỊu kiƯn sup | An x, y | < +∞ n∈N víi mäi x, y ∈ H Chøng minh r»ng, sup A < +∞ n∈N DeThiMau.vn Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1999 Môn Đại Số Thời gian 180 Câu Cho n số nguyên dơng với n = pr11 prhh pi số nguyên tố ri > Cho G nhóm giao hoán (với phần tử đơn vị e) có n phần tử Giả sử tính chất () sau đợc thỏa mÃn: Với ớc số d n, tập hợp {x ∈ G | xd = e} cã nhiÒu nhÊt d phần tử. r pi i Chứng tỏ rằng, với ≤ i ≤ h, tån t¹i ∈ G tháa m·n = e ri −1 p vµ i = e Suy cã bËc lµ pri i Câu Cho A vành giao hoán, có đơn vị Đặt R = {I | I idean cực đại A}, N= I IR Chứng tỏ: a) Với idean I A, I R vµ chØ A/I lµ mét tr−êng b) N = {x ∈ A | ∀y ∈ A, ∃z ∈ A, (1 − xy)z = 1} c) Gi¶ sư A cã tÝnh chÊt: ∀x ∈ A, ∃n > thuéc N cho xn = x Chøng tá r»ng idean nguyên tố A cực đại Câu Cho A, B ma trận vuông cấp n có phần tử thuộc vào trờng K Chứng tỏ: rank(A) + rank(B) − n ≤ rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)} C©u Cho E không gian vector hữu hạn chiều trờng K có đặc số khác f dạng song tuyến tính đối xứng E Với không gian U E, đặt U ⊥ = {x ∈ E | f (x, y) = 0, y U }; U đợc gọi hoàn toàn đẳng hớng f (x, x) = 0, x U Không DeThiMau.vn gian hoàn toàn đẳng hớng đợc gọi cực đại không chứa không gian hoàn toàn đẳng hớng khác a) Chứng tỏ U không gian hoàn toàn đẳng hớng U U b) Cho U, V không gian hoàn toàn đẳng hớng Chứng tỏ với x ∈ U ∩ V , kh«ng gian V + Kx hoàn toàn đẳng hớng c) Chứng tỏ không gian hoàn toàn đẳng hớng đợc chứa không gian hoàn toàn đẳng hớng cực đại Suy không gian hoàn toàn đẳng hớng cực đại có số chiều DeThiMau.vn Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2000 Môn Đại Số Thời gian 180 Câu Ký hiệu GL(n, Rn ) nhóm nhân ma trận thực không suy biến cấp n Chứng tỏ: a) Tập hợp SL(n, Rn ) c¸c ma trËn thùc cÊp n cã định thức nhóm chuẩn tắc GL(n, Rn ) b) ánh xạ f : GL(n, Rn ) −→ R∗ A −→ det(A) tõ nhãm GL(n, Rn ) vào nhóm nhân số thực khác toàn cấu Suy nhóm thơng GL(n, Rn )/SL(n, Rn ) đẳng cấu với nhóm R Câu Cho R = Zp [x] tập hợp ®a thøc mét biÕn x cã hÖ sè tr−êng Zp số nguyên modulo p, với p sè nguyªn tè XÐt f ∈ R víi: f = + [xp−1 + (x + 1)p−1 + · · · + (x + p − 1)p−1 ] a) Chøng tỏ phần tử Zp nghiệm phơng trình f (x) = Do f = b) Suy c«ng thøc sau: 1k + · · · + (p − 2)k + (p − 1)k ≡ mod(p) nÕu k ≡ mod(p − 1), −1 mod(p) nÕu k ≡ mod(p − 1) C©u Cho A, B ma trận vuông cấp n cã sè h¹ng tr−êng K Chøng tá: |rank(A) − rank(B)| ≤ rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B) Câu Cho V không gian vector thực Tập D đợc gọi đa tạp tuyến tính cđa V nÕu D = W + x0 , víi W không gian vector V x0 V, số chiều W đợc gọi sè chiỊu cđa D Chøng tá r»ng DeThiMau.vn a) Víi x0 , x1 , , xn hệ vector cho trớc V tập hỵp D = {x = a0x0 + a1x1 + · · · + an xn | a0 + a1 + à à à + an = 1} đa tạp tuyến tính V chứa vector x0 , x1 , , xn b) TËp hợp nghiệm hệ phơng trình tuyến tính tơng thích n ẩn hạng r với hệ tử thuộc trờng số thực R lập thành đa tạp tuyến tính có số chiều n r không gian vector Rn DeThiMau.vn §Ị Thi Tun Sinh Sau đại học năm 2000 Môn Giải Tích Thời gian 180 Câu Cho (X, d) không gian metric Ta đặt d(x, y) (x, y) = , x, y ∈ X + d(x.y) H·y chøng minh: a) (X, ) không gian metric b) Không gian (X, ) đầy đủ (X, d) đầy đủ c) Cho A tập compact (X, d) Chøng minh r»ng, A cịng lµ mét tËp compact (X, ρ) C©u Cho f ≥ hàm đo đợc tập A Với n N ta đặt fn (x) = Chứng minh lim n→∞ A fndµ = nÕu f (x) < n nÕu f (x) ≥ n f (x) n A f dµ Câu Ký hiệu X = C[0,1] không gian định chuẩn với chuẩn max a) Giả sử x X, với n N ta đặt xn (t) = x(t1+ n ), ∀t ∈ [0, 1] Chøng minh r»ng, d·y (xn )n héi tơ vỊ hàm x X b) Đặt A : X X cho bëi c«ng thøc x −→ Ax, (Ax)(t) = x(0) − tx(t), víi mäi t ∈ [0, 1] Chøng minh A tuyến tính liên tục tính A Câu Cho X không gian định chuẩn vµ f ∈ X ∗, f = Ký hiÖu α = inf{ x : x ∈ X, f (x) = 1} Chøng minh r»ng, f = α Câu Cho H không gian Hilbert với {en , n N} sở trực chuẩn H Đặt A : H H xác ®Þnh bëi ∞ ∀x ∈ H, Ax = x, en+1 en n=1 Chøng minh r»ng, A tuyÕn tÝnh, liªn tục Tìm A xác định toán tử liên hợp A DeThiMau.vn Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2001 Môn Giải Tích Thời gian 180 Câu 1) Khảo sát hội tụ chuỗi số sau đây: n=1 ln(1+n) , n > 2) Cho f : R −→ R lµ hµm sè xác định bởi: x / (0, 1], 0, f= √ 1 n, nÕu x ∈ ( , ], víi n ∈ N n+1 n Tính R f dà suy f khả tích R, độ đo Lebesgue R Câu Cho X không gian metric compact f : X X ánh xạ liên tục Giả sử (Kn ) dÃy giảm tập đóng không rỗng X Chøng minh r»ng, f ( n=1 f (Kn) Kn ) = n=1 Câu Ký hiệu C[0,1] không gian định chuẩn hàm số liên tục [0, 1] với chuẩn max Đặt M = {x C[0,1] : x(0) = 0, ≤ x(t) ≤ 1, ∀t ∈ [0, 1]} 1) Chøng minh r»ng M lµ tập đóng bị chặn C[0,1] 2) Xét hàm số f : C[0,1] R xác định c«ng thøc f (x) = x (t)dt Chøng minh r»ng, f liªn tơc trªn tËp M nh−ng f không đạt đợc giá trị bé M Câu Giả sử X không gian định chuẩn thùc vµ f : X −→ R lµ mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh Chøng minh r»ng, f ∈ X ∗ vµ chØ tËp M = {x ∈ X : f (x) 1} tập đóng X Câu Cho H không gian Hilbert víi c¬ së trùc chn {en , : n ∈ N} X không gian Banach Giả sö A ∈ L(H, X) cho 10 DeThiMau.vn Aen n=1 < + Với n N, ta đặt An : H X xác định An x = n k=1 x, ek Aek , ∀x ∈ H Chøng tá r»ng a) Víi mäi n ∈ N, An toán tử tuyến tính liên tục b) An A không gian L(H, X) từ suy A toán tử compact 11 DeThiMau.vn Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2001 Môn Đại Số Thời gian 180 Câu Cho G tập tất số nguyên dạng (k1 , k2 , k3 ) Chøng minh r»ng, a) G nhóm với phép toán (k1 , k2 , k3 ).(l1 , l2 , l3 ) = (k1 +(−1)k3 l1 , k2 +l2 , k3 +l3), ∀k1 , k2 , k3 , l1 , l2 , l3 ∈ Z b) Nhãm cyclic H sinh bëi phÇn tư (1, 0, 0) ớc chuẩn tắc G c) Nhóm thơng G/H đẳng cấu với nhóm cộng số nguyên Gauss Z[i] = a + bi | a, b ∈ Z, i2 = Câu Cho R vành hữu hạn phần tử Xác định đồng cấu vành từ R vào vành số nguyên Z Câu Cho n ∈ N (n ≥ 2) vµ K trờng Gọi Mn(K) không gian vector ma trận vuông cấp n K Ta định nghĩa vÕt cđa ma trËn vu«ng A ∈ Mn (K) (ký hiệu Tr(A)) tổng phần tử nằm đờng chÐo chÝnh cđa A Chøng minh r»ng, a) Víi mäi A Mn(K), ánh xạ A : Mn (K) K xác định A (X) = Tr(AX), X Mn (K) phần tử không gian đối ngẫu (Mn(K)) b) ánh xạ : Mn (K) (Mn (K)) A A đẳng cấu không gian vector Câu Cho : V W ánh xạ tuyến tính từ không gian vector n-chiều V vào không gian vector m-chiều W Chứng minh rằng, a) Nếu U không gian vector k-chiỊu cđa V cho U ∩ker không gian p-chiều dim (U ) = k p b) Nếu T không gian vector cña W cho T ∩ Im(ϕ) không gian r-chiều dim (T ) = n + r − rank(A) 12 DeThiMau.vn §Ị Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2002 Môn Đại Số Thời gian 180 Câu a) Tồn hay không thể (K, +, ì) có đặt số khác cho nhóm (K, +) (K , ×), víi K ∗ = K \ {0} , đẳng cấu với nhau? b) Cho A = Z[i] vành số phức dạng a + bi, với a, b số nguyên, I tập cđa A gåm c¸c sè phøc c + di, víi c, d lµ béi cđa Chøng minh r»ng, I idean A vành thơng A/I trờng gồm phần tử Câu Cho G = R ì R phép toán G xác định (x, y) (x , y ′ ) = (xx′ , xy ′ + y ), x′ víi R∗ = R \ {0} Chøng minh r»ng, (G, ◦) lµ mét nhãm ChØ nhãm t©m cđa G Chøng minh r»ng, víi bÊt kú k ∈ R, tËp hỵp Hk = (x, k(x − )) : x ∈ R∗ x lµ mét nhãm giao hoán G Câu Cho A, B ma trận vuông cấp n với hệ tö tr−êng K Chøng tá rank(A) + rank(B) − n ≤ rank(AB) ≤ {rank(A), rank(B)} Chøng minh rằng, công thức A, B ma trận chữ nhật với n sè cét cđa A vµ cịng lµ sè hµng cđa B Câu Cho f dạng song tuyến tính không gian vector thực n-chiều V U = {a1 , a2, , an } sở V Gọi L không gian cña V sinh bëi a1 , a2 , , ak (víi ≤ k < n) đặt L = {y V | f (x, y) = 0, ∀x ∈ L} 13 DeThiMau.vn Cho B lµ ma trËn biĨu diƠn f theo c¬ së U Chøng tá r»ng, nÕu y = (y1, y2 , , yn) ∈ V theo sở U y L chØ y1, y2 , , yn nghiệm hệ phơng trình y1 y 2 A = . yn với A Mkìn (R) ma trận nhận đợc từ B cách bỏ n k hàng cuối B f đợc gọi không suy biÕn nÕu ma trËn biĨu diƠn f, theo mét c¬ sở V, không suy biến Chứng tỏ f không suy biến dim L = n − k 14 DeThiMau.vn §Ị Thi Tun Sinh Sau đại học năm 2002 Môn Giải Tích Thời gian 180 Câu 1 Cho (xn )n dÃy tăng, bị chặn xn > với n N Chứng minh rằng, chuỗi số (1 − n=1 xn ) xn+1 héi tơ ∞ T×m miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa: n=1 x2n 2n−1 C©u Cho (X, dX ), (Y, dY ) hai không gian metric, X compact Ký hiệu C(X, Y ) tập hợp ánh xạ liên tục từ X vào Y Giả sử f, g C(X, Y ), đặt (x) = dY (f (x), g(x)) Chøng minh r»ng, ϕ(x) lµ hàm liên tục X Với f, g C(X, Y ), đặt d(f, g) = max (x) Chứng minh rằng, xX C(X, Y ) không gian metric Hơn nữa, C(X, Y ) không gian đầy đủ Y đầy đủ Bài Cho X không gian metric đầy đủ ánh xạ liên tục bị chặn từ X ì R vào R Giả sử tồn ∈ (0, 1) cho ∀x ∈ X, ∀y1 , y2 ∈ R : |ϕ(x, y1 ) − ϕ(x, y2 )| ≤ λ |y1 − y2| Chøng minh r»ng, tồn ánh xạ liên tục u tõ X vµo R cho u(x) = ϕ(x, u(x)), x X Câu Cho X không gian định chuẩn M tập cđa X Gi¶ sư víi mäi f ∈ X ∗ ta cã sup |f (x)| < +∞ Chøng minh r»ng, M xM tập bị chặn X Cho X không gian Banach, Y không gian định chuẩn, (An )n dÃy toán tử tuyến tính liên tục không gian L(X, Y ) Chứng minh r»ng, nÕu víi mäi x ∈ X, (An x)n dÃy Y sup An < +∞ n∈N∗ C©u Cho {en , n ∈ N} hệ trực chuẩn không gian Hilbert H (n)n dÃy số bị chặn 15 DeThiMau.vn ∞ Chøng minh r»ng, víi mäi x ∈ H, chuỗi H n x, en en hội tụ n=1 Đặt Ax = n=1 n x, en en víi mäi x ∈ H Chøng minh r»ng, A toán tử tuyến tính liên tục H Tính A 16 DeThiMau.vn Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2003 Môn Giải Tích Thời gian 180 Câu Cho A tập đo đợc f, g : A R hàm khả tích A Với n N ta đặt An = {x ∈ A | n ≤ |f (x)| < n + 1} vµ Bn = {x ∈ A | |f (x)| ≥ n} Chøng minh r»ng a) lim An gdµ = 0, n→∞ ∞ b) nµAn < +∞, n=1 c) lim nàBn = n Câu a) Cho A tập không gian metric X x X điểm dính A Gi¶ sư x ∈ / A Chøng minh A tập vô hạn Suy tập có hữu hạn điểm X tập đóng b) Giả sử X, Y hai không gian metric f : X Y toán ánh liªn tơc tõ X lªn Y Cho A ⊂ X cho A = X Chøng minh r»ng f (A) = Y Câu Cho A toán tử tuyến tính liên tục, R(A) tập hợp giá trị A a) Giả sử X không gian Banach, Y không gian tuyến tính định chuẩn Chứng minh r»ng, nÕu tån t¹i sè m > cho Ax ≥ m x víi mäi x ∈ X R(A) không gian đóng Y b) Giả sử X, Y không gian Banach R(A) tập đóng Y Chứng minh rằng, tồn số m > cho với y R(A), tồn x X để y = Ax y m x Câu Ký hiệu H không gian Hilbert a) Giả sử A không gian 1-chiều H a phần tử khác A Chứng minh r»ng, víi mäi x ∈ H ta cã d(x, A⊥ ) = inf x − u , u ∈ A⊥ = | x, a | a b) Cho M ⊂ H cho kh«ng gian sinh bëi M trï mËt H Chøng minh r»ng, nÕu x ∈ H xM x = 17 DeThiMau.vn Câu Giả sử {en } hệ thống trực chuẩn không gian Hilbert H, {n } dÃy số hội tụ đến Chứng minh rằng, toán tử A xác định công thức Ax = n=1 λn x, en en , x ∈ H lµ toán tử compact từ H vào H 18 DeThiMau.vn Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2003 Môn Đại Số Thời gian 180 Câu Xét nhóm nhân C∗ cđa tr−êng C c¸c sè phøc Ký hiƯu Gk tập bậc pk phần tử đơn vị C (p số nguyên tố k số nguyên dơng) G = Gk k=1 a) Chøng tá r»ng G lµ mét nhãm cấp vô hạn không cyclic C nhóm thực G nhóm cyclic hữu hạn b) Trên G, xét hai phép toán , ⊙ nh− sau: ∀x, y ∈ G, x ⊕ y = xy, x ⊙ y = Chøng minh r»ng, (G, , ) vành giao hoán, không chứa đơn vị idean tối đại Câu Cho D miền nguyên với đơn vị e cho nhóm nhóm cộng D idean D Chứng minh rằng, D đẳng cấu với vành Z số nguyên D đẳng cấu với vành Zp số nguyên mod(p), với p số nguyên tố Câu Xét không gian vector thực M(n, R) gồm ma trận vuông cấp n với hệ tử trờng R số thực Ký hiệu S(n) tập ma trận đối xứng A(n) tập ma trận phản ®èi xøng cña M(n, R) a) Chøng minh r»ng, S(n) A(n) không gian M(n, R) xác định số chiều chúng b) Chứng tỏ M(n, R) = S(n) A(n) Câu Xét không gian vector Kn gồm n phần tử trờng K (n số nguyên dơng) Chứng minh rằng, a) Tập nghiệm hệ phơng trình tuyến tính n ẩn, hạng r với hệ tử thuộc trờng K lập thành không gian Kn cã sè chiỊu lµ d = n − r b) Víi mäi kh«ng gian W cđa Kn cho dim W = d, tồn hệ phơng trình tuyến tính n ẩn, hạng r = n − d víi hƯ tư thc K cho tập nghiệm trùng với không gian đà cho./ 19 DeThiMau.vn ... không gian hoàn toàn đẳng hớng cực đại Suy không gian hoàn toàn đẳng hớng cực đại cã cïng mét sè chiỊu DeThiMau.vn §Ị Thi Tun Sinh Sau đại học năm 2000 Môn Đại Số Thời gian 180 Câu Ký hiệu GL(n,... tục Tìm A xác định toán tử liên hợp A DeThiMau.vn Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2001 Môn Giải Tích Thời gian 180 Câu 1) Khảo sát hội tụ chuỗi số sau đây: n=1 ln(1+n) , nα α > 2) Cho f :... liªn tơc b) An −→ A không gian L(H, X) từ suy A toán tử compact 11 DeThiMau.vn Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2001 Môn Đại Số Thời gian 180 Câu Cho G tập tất số nguyên dạng (k1 , k2 , k3 )