TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ĐẲNG 2009 Khoa Khoa học Tự nhiên ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐẦU VÀO ĐH -CAO Mơn thi: TỐN, khối A Thời gian làm bài: 180 phút I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số f (x) = x3 - x + Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: 1 1 G(x)= sin x 3 sin x 2 2 Câu II (2,0 điểm) Tìm m cho phương trình sau có nghiệm nhất: ln (mx ) = ln (x + 1) Giải phương trình: sin x (1 + cot x)+ cos3 x (1 + tan x) = 2sin x e2 x x x 3x x Câu IV (1,0 điểm)Xác định vị trí tâm độ dài bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có AB = 2, AC = 3, AD = 1, CD = 10, DB = 5, BC = 13 Câu V (1,0 điểm)Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm với x : ïìï x + y = 3, í ïï x + + y + = m ïỵ Câu III (1,0 điểm) Tính: lim II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần: theo chương trình Chuẩn Nâng cao Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC với đỉnh: A(-2;3),B( ;0), C (2;0) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M (- 4; - 5;3) cắt hai đường thẳng: ìï x + y + 11 = x- y + z- d '' : d ' : ïí = = ïïỵ y - z + = - Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm n cho C1n + 6Cn2 + 6Cn3 = 9n - 14n , Cnk số tổ hợp chập k từ n phần tử Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Viết phương trình elip với tiêu điểm F1 (- 1;1), F2 (5;1) tâm sai e = 0, Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng ïì x - z = 0, d : ïí ïïỵ x - y + z - = 0, mặt phẳng P : x- 2y + z + = Câu VII.b (1,0 điểm) Với n nguyên dương cho trước, tìm k cho C2nn- k C2nn+ k lớn nhỏ DeThiMau.vn ĐÁP ÁN & THANG ĐIỂM I PHẦN CHUNG Câu I (2,0 điểm) 1.(1,0 điểm) Tập xác định hàm số: ¡ Giới hạn vô cực: lim f (x) = Ơ xđ Ơ f ' (x ) = x - x = x ( x - ) Bảng biến thiên: x - ¥ f ' (x ) + 0 - +¥ + +¥ f (x ) - ¥ Nhận xét: Hàm số đạt cực đại x = 0, fCD = ; đạt cực tiểu x = 2, fCT = Đồ thị: (1,0 điểm) Đặt 2sin x + = t ; đó, t thay đổi đoạn é 5ù ê- ; ú và: ê ë 2ú û g (x) = f (t ) = t - 3t + Giá trị lớn nhỏ hàm số đoạn nằm bốn giá trị đặc biệt: giá trị hai đầu đoạn hai giá trị cực trị Ta có: ỉ 3ư 27 - 27 - 54 + 32 49 f ỗỗ- ữ = + = = ; ữ ữ ỗố ứ 8 fCD = f (0) = 4; fCT = f (2) = 0; ỉ5 125 25 125 - 150 + 32 f ỗỗ ữ = + = = ữ ữ ỗố2 ứ 8 So sánh giá trị này, ta thấy giá trị lớn hàm số 4, giá trị 49 nhỏ Câu II (2,0 điểm) (1,0 điểm) Tập xác định phương trình gồm số x cho x > - 1, mx > Như trước hết phải có m ¹ Khi đó, phương trình tương đương với: mx = (x + 1) Û x + (2 - m) x + = (1) Phương trình có: D = m - 4m Những giá trị m Ỵ (0; 4) đương DeThiMau.vn nhiên bị loại Với m = , (1) có nghiệm x = - nằm tập xác định nên bị loại Với m = , (1) có nghiệm x = - thoả mãn điều kiện xác định nên phương trình cho có nghiệm Với m < , điều kiện xác định trở thành - < x < Khi D > nên (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 , (x1 < x2 ) ; mặt khác, f (- 1) = m < 0, f (0) = > nên x1 < - < x2 < , tức có x2 nghiệm phương trình cho Như vậy, giá trị m < thoả mãn điều kiện toán Cuối cùng, xét m > Khi đó, điều kiện xác định trở thành x > phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 , (x1 < x2 ) Áp dụng định lý Viet, ta thấy hai nghiệm dương nên giá trị m > bị loại Tóm lại, phương trình cho có nghiệm khi: m Ỵ (- ¥ ;0)È { 4} (1,0 điểm) kp cho sin x ³ Khi đó, vế trái phương trình bằng: sin x + cos3 x + sin x cos x + cos x sin x = Tập xác định gồm giá trị x ¹ (sin x + cos x)(sin - sin x cos x + cos2 x)+ sin x cos x (sin x + cos x) = sin x + cos x Như vậy, phương trình cho trở thành: sin x + cos x = 2sin x Û ìï sin x + cos x ³ ï í ïï (sin x + cos x)2 = 2sin x ïỵ Phương trình cuối lại viết thành: + sin x = 2sin x Û sin x = 1(> 0) Û p + 2k p Û x = p + k p Để thoả mãn điều kiện sin x + cos x ³ , nghiệm là: 2x = x= p + 2k p Câu III (1,0 điểm) Ta có: DeThiMau.vn e2 x - x + 1= 3x + - - x x x + + e2 x - = x 3x + - - x x x + + e2 x - = x 3x + - - x 2x æ ö x( x + + + x) ỗỗ1- x + e - 1ữ ữ + = ữ ỗ ữ x x ứ ỗố ữ (3 x + 4)- (2 + x)2 1- æ - 2x e2 x ỗỗỗ + ỗỗ 2x x 1+ x + ỗố ữ x( x + + + x) 1÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ x x ø æ - e2 x - 1ö 3x + + + x ữ ỗ ữ - ỗỗ + đ - (- + 2).4 = - ÷ ÷ çè1 + x + 2x ø 1+ x ÷ ( ) Vậy: e2 x - x + lim = - x® x + - - x Câu IV (1,0 điểm) Ta có: CD = 10 = AC + AD ; DB = = AD + AB ; BC = 13 = AB + AC ; Do tứ diện ABCD có ba mặt ba tam giác vuông đỉnh A Lấy điểm E, F, G, H cho đa diện ABEC.DGHF hình hộp chữ nhật Hiển nhiên, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện mặt cầu ngoại tiếp hình hộp Tâm mặt cầu trung điểm I đoạn AH, bán 1 14 kính R = AH = + 32 + 12 = 2 Câu V (1,0 điểm) Vế trái phương trình thứ hai hệ là: x + + (3 - x) + f (x ) = Ta có: f ' (x ) = x x2 + + x- (3 - x) + f '(x) = Û x x - x + 14 = (3 - x) x + ïìï £ x £ Û ïí 2 ïï x x - x + 14 = - x + x x + ïỵ ïì £ x £ Û ïí ïï x + 18 x - 27 = ỵ Phương trình thứ hai có D ' = 81 + 54 = 135 = 9.15 , hai nghiệm: ( ) ( )( x1,2 = ) - ± 15 DeThiMau.vn Dễ kiểm tra hai nghiệm bị loại nhỏ Vậy, đạo hàm hàm số đổi dấu [2;¥ ) , ngồi f '(3)> nên f '(x)> 0, " x ³ Do đó, giá trị nhỏ f (x) f (2) = 7+ Cũng dễ thấy lim f (x) = ¥ Từ suy ra: hệ phương trình cho cú xđ Ơ nghim (vi x ) m ³ 6+ II PHẦN RIÊNG Theo chương trình Chuẩn Câu VIa (2,0 điểm) (1,0 điểm) Điểm D(d;0) thuộc đoạn BC chân đường phân giác góc A dDB AB 4= = Û 2- d DC AC ổ9 ỗỗ ữ ữ ữ + (- 3) ỗố4 ứ 2 = + (- 3) 81 225 +9 16 = 16 = Þ 4d - = - 3d Þ d = 16 + 25 Đường thẳng AD có phương trình: x+ y- = Û - x - = y - Û x = 1- y , - đường thẳng AC: x+ y- = Û - x - = y - 12 Û x + y - = - Giả sử tâm I đường trịn nội tiếp có tung độ b Khi hồnh độ 1- b bán kính b Vì khoảng cách từ I tới AC phải b nên ta có: 3(1- b)+ 4b - = b Û b - = 5b; 32 + 42 a )b - = 5b Þ b = - ; b)b - = - 5b Þ b = Rõ ràng có giá trị b = hợp lý Vậy, phương trình đường trịn 2 ổ ử2 ổ ỗỗy - ữ + = ni tip V ABC l: ỗỗỗx - ữ ữ ữ ữ ố ữ ỗ ố 2ứ 2ø (1,0 điểm) Mặt phẳng P’ qua đường thẳng d’ có phương trình dạng: m (2 x + y + 11)+ n ( y - z + 7) = Û 2mx + (3m + n) y - 2nz + 11m + n = Để mặt phẳng qua M, phải có: m (- - 15 + 11)+ n (- - + 7) = Û - 12m - 4n = Û n = - 3m Chọn m = 1, n = - , ta phương trình P’: DeThiMau.vn x + z - 10 = Tiếp theo, đường thẳng d” qua A(2; - 1;1) có vectơ phương ur m (2;3; - 5) Mặt phẳng P” qua M d” có hai vectơ phương ur uuur r m MA(6; 4; - 2) n (3; 2; - 1) Vectơ pháp tuyến P” là: ur ỉ3; - - 5; 2;3 ur ÷ ữ p ỗỗỗ , , = p (7; - 13; - 5) ữ ữ ỗ 2; - - 1;3 3; ø è Phương trình P”: (x + 4)- 13( y + 5)- (z - 3) = hay: x - 13 y - z - 29 = Rõ ràng đường thẳng d phải giao tuyến P’ P” nên có phương trình: ïìï x + z - 10 = í ïïỵ x - 13 y - z - 29 = Câu VIIa (1,0 điểm) Điều kiện: n ³ Theo giả thiết thì: n + 3n (n - 1)+ n (n - 1)(n - 2) = 9n - 14n Û n + 3n - 3n + n3 - 3n + 2n = 9n - 14n Û n3 - 9n + 14n = Û n - 9n + 14 = Û (n - 2)(n - 7) = Đối chiếu với điều kiện, ta n = Theo chương trình Nâng cao Câu VIb (2,0 điểm) (1,0 điểm) Cách Ngoài hệ trục toạ độ Oxy cho sẵn, xét thêm hệ trục O’x’y’ uuuur nhận từ hệ cho phép tịnh tiến dọc theo vectơ OO '(2;1) ìï x ' = x - 2, Liên hệ toạ độ cũ là: ïí ïïỵ y ' = y - Trong hệ toạ độ mới, tiêu điểm có cặp toạ độ (± 3;0) Các bán c trục elip a = = = 5; b = a - c = 52 - 32 = Phương e 0, trình elip hệ toạ độ là: elip hệ toạ độ cũ là: (x - 2)2 x '2 y '2 + = Vậy, phương trình 25 16 ( y - 1)2 (2) + = 25 16 Cách Giả sử M (x, y ) điểm thuộc elip Vì bán trục lớn elip a= c = = nên phải có: e 0, MF1 + MF2 = 10 Û (x + 1)2 + ( y - 1)2 + (x - 5)2 + ( y - 1)2 = 10 Bình phương hai vế hai lần kết hợp với biến đổi đơn giản, ta DeThiMau.vn đến phương trình (2) (2,0 điểm) Mặt phẳng Q qua d có phương trình dạng: m (x - z )+ n (3 x - y + z + 5) = (m + 3n) x - 2ny + (- 2m + n) z + 5n = hay: Mặt phẳng vng góc với P khi: 1.(m + 3n)- (- 2n)+ 1.(- 2m + n) = Û - m + 8n = Chọn m = 8, n = 1, ta phương trình Q: 11x - y - 15 z + = Vì hình chiếu d’ d P giao tuyến P Q nên phương trình d’ là: ìïï x - y + z + = í ïïỵ 11x - y - 15 z + = Câu VIIb (1,0 điểm) Ta chứng minh C2nn+ k C2nn- k giảm k tăng, tức là: C2nn+ k C2nn- k > C2nn+ k + 1C2nn- k - (3) Thật vậy, ta có chuỗi biến đổi tương đương sau đây: (2n + k )!(2n - k )! (2n + k + 1)!(2n - k - 1)! (3) Û > n !(n + k )!n !(n - k )! n !(n + k + 1)!n !(n - k - 1)! 2n - k 2n + k + n n > Û + 1> + n- k n+ k + n- k n+ k + Bất đẳng thức cuối hiển nhiên; từ suy (3) Do đó, Û C2nn+ k C2nn- k lớn k = nhỏ k = n DeThiMau.vn ... - x Câu IV (1,0 điểm) Ta có: CD = 10 = AC + AD ; DB = = AD + AB ; BC = 13 = AB + AC ; Do tứ diện ABCD có ba mặt ba tam giác vuông đỉnh A Lấy điểm E, F, G, H cho ? ?a diện ABEC.DGHF hình hộp chữ... £ Û ïí ïï x + 18 x - 27 = ỵ Phương trình thứ hai có D ' = 81 + 54 = 135 = 9.15 , hai nghiệm: ( ) ( )( x1,2 = ) - ± 15 DeThiMau.vn Dễ kiểm tra hai nghiệm bị loại nhỏ Vậy, đạo hàm hàm số khơng... n = - , ta phương trình P’: DeThiMau.vn x + z - 10 = Tiếp theo, đường thẳng d” qua A( 2; - 1;1) có vectơ phương ur m (2;3; - 5) Mặt phẳng P” qua M d” có hai vectơ phương ur uuur r m MA(6; 4; -