Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp dạy kèm lớp 9 THCS năm học 2015 2016 môn: Toán43668

GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯƠNG QUANG AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP DẠY KÈM LỚP THCS NĂM HỌC 2015-2016 Mơn: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề có 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: a) Tính giá trị biểu thức: M  ( x  y )3  3( x  y )( xy  1) , biết x  3  2  3  2  2015, y  17  12  17  12  2016 b) Giải phương trình: 2015 x 2014 x   x  x 1 x  x 1 Bài 2: a) Giải hệ phương trình:  x  y   x (1)  3  x  12 x  y  x +9 (2) b) Tìm số tự nhiên a, b, c phân biệt cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên P (ab  2013)(bc  2014)(ca  2015) abc Bài 3: Tam giác ABC có chu vi 1, cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức: a b c    2014  a 2015  b 2016  c Chứng minh tam giác ABC Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân A, gọi D trung điểm cạnh BC Lấy M đoạn thẳng AD (M không trùng với A) Gọi N, P theo thứ tự hình chiếu vng góc M xuống cạnh AB, AC H hình chiếu vng góc N xuống đường thẳng PD a) Chứng minh AH vng góc với BH b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực AB I Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng Bài 5: Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y +z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: F x4 y4 z4   ( x  y )( x  y ) ( y  z )( y  z ) ( z  x )( z  x) Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG TOÁN NĂM HỌC 2015-2016 Bài 1: a) Ta có x3   3 2  3 2   3 x3   3x  x3  3x      2   2  33  2  2  3 2  (1) Tương tự: y  y  24 (2) Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế ta x3  y  3( x  y )  ( x  y )3  3( x  y )( xy  1)  20 Vậy M = 20 2 3 b) Ta có x  x    x     x; x  x    x     x 2 2   Dể thấy x = nghiệm phương trình, phương trình cho tương đương với t  2   (với t  x  )  5t  3t  14  0(t  1; t  1)  (t  2)(5t  7)    t   t 1 t 1 x  x * Nếu t =  x    ( x  1)2   x  7 51 * Nếu t    x      x     vô nghiệm x 10  100  Vậy phương trình cho có nghiệm x =1 Bài 2: a) Từ phương trình (1) ta suy ra:  12 x  3x  y vào phương trình (2) thu gọn ta được: x  y  x3  y  3( x  y )  ( x  y )( x  xy  y  x  y )    2  x  xy  y  x  y  * Nếu x  y   y   x  y  x vào phương trình (1) ta x   x  2( x  1)   phương trình vơ nghiệm * Nếu x  xy  y  3x  y  , trừ vế theo vế phương với phương trình (1) ta được: x   xy  x  y   4 x  xy  x  y    ( x  3)( y  1)    y 1 + Nếu x =3 thay vào phương trình (1) ta suy y2 = suy y = 0, cặp (x;y) = (3; 0) thoả mãn phương trình (2) + Nếu y =1 thay vào phương trình (1) ta suy (x - 2)2 = suy x = 2, cặp (x;y) = (2; 1) thoả mãn phương trình (2) Vậy nghiệm hệ cho (x; y) = (3;0), (2; 1) ThuVienDeThi.com (ab  1)(bc  1)(ca  1) 1 1  abc  (a  b  c)     , a, b, c số tự abc a b c abc 1 1 nhiên để P số nguyên M     số nguyên a b c abc b) Ta có P  Do vai trò nên ta giả sử a ; c > a b c a a a        1 a 1 b 1 c bc bc bc 1 1 1    a  b  c       x  y  z       ab ab ab x y z x  y  (với x  a  b  0; y  b  c  0; z  c  a  )                  y x  z y  x z x  y   xy y  z   yz z  x   zx y z z x   x  y  z  a  b  c Vậy tam giác ABC Bài 4: Từ ta có hình vẽ sau: B D E I M N H C A P a) Theo giả thiết ta có tam giác ABC vng cân A mà D trung điểm BC nên ThuVienDeThi.com ฀ Do M  AD, MN  AB, MP  AC nên suy tứ AD  BC AD tia phân giác BAC ฀ ฀ giác ANM P hình vng Mặt khác tứ giác ANHP có NAP  NHP  900  900  1800 nên nội tiếp đường trịn đường kính NP suy ฀AHP  ฀ANP  450 (cùng chắn cung AP) ฀ ฀ ฀ Xét tứ giác BDHA có ฀ABD  DHA  450  DHA  ฀AHP  DHA  1800 (hai góc kề bù) suy tứ giác BDHA nội tiếp suy ฀AHB  ฀ADB  900 hay AH  BH b) Theo câu ta có điểm A, P, H, M, N nằm đường trịn đường kính AM ฀ ฀ NP suy ฀AHM  900  ฀AHB suy điểm B, H, M thẳng hàng nên BHN  MHN  450 (1) Vì BI// AD nên BI vng góc với BC suy ฀ABI  450 Gọi E trung điểm AB ta có ta giác EBI vuông cân E nên EB = EI = EA suy tam giác IAB vuông cân I ฀  BAI ฀  450 (2) Xét tứ giác AIBH có ฀AIB  ฀AHB  900  900  1800 nên nội tiếp suy BHI ฀ ฀ Từ (1) (2) BHN  BHI suy ba điểm H, N, I thẳng hàng Bài 5: a  b2 Ta có (a  b)    a  b  (dấu “=” xảy a = b) 2 x4 y4   x y; Ta có: 2 ( x  y )( x  y ) ( x  y )( x  y ) Tương tự: y4 z4 z4 x4   y  z ;   zx ( y  z )( y  z ) ( y  z )( y  z ) ( z  x )( z  x) ( z  x )( z  x) Do F  x4 y4 z4   ( x  y )( x  y ) ( y  z )( y  z ) ( z  x )( z  x)  x4  y y4  z4 z  x4 1      2 2 2  ( x  y )( x  y ) ( y  z )( y  z ) ( z  x )( z  x)  2 2  y2  z2  z  x2      x  y       ( x  y )( x  y ) ( y  z )( y  z ) ( z  x )( z  x)    2 2 2  x  y  y  z  z  x        ( x  y) ( y  z) ( z  x)     x  y   y  z  z  x       ( x  y ) ( y  z) ( z  x)  1   x  y  z    4  1 Do F đạt giá trị nhỏ x = y = z = 2 ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG TOÁN NĂM HỌC 2015- 2016 Bài 1: a) Ta có x3   3 2  3 2   3 x3   3x  x3  3x      2 ... ABC Bài 4: Từ ta có hình vẽ sau: B D E I M N H C A P a) Theo giả thi? ??t ta có tam giác ABC vng cân A mà D trung điểm BC nên ThuVienDeThi.com ฀ Do M  AD, MN  AB, MP  AC nên suy tứ AD  BC AD tia... tứ AD  BC AD tia phân giác BAC ฀ ฀ giác ANM P hình vng Mặt khác tứ giác ANHP có NAP  NHP  90 0  90 0  1800 nên nội tiếp đường trịn đường kính NP suy ฀AHP  ฀ANP  450 (cùng chắn cung AP) ฀