Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 năm học 2012 2013 môn thi: toán vòng II42977

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC SỐ BÁO DANH: KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn - Vịng II (Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2012) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (2.5 điểm):  x3  3x  x   y  Giải hệ phương trình:  y  y  y   z  z  3z  z   x  Câu (2.0 điểm): Cho x, y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: M  x ( x  2)  y ( y  2)  3( x  y )( xy  4) Câu (1.5 điểm): Tìm tất hàm số f : ฀ *  ฀ * thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: 1) Với n, m  ฀ * : n  m  f (n)  f (m) 2) f (2n)  f (n)  n với n  ฀ * 3) Nếu f (n) số phương n số phương Câu (2.5 điểm): Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh Gọi M, N trung điểm DB, AC Trên đường thẳng AB lấy điểm P, đường thẳng DN lấy điểm Q cho PQ // CM Tính độ dài PQ thể tích khối AMNP Câu 5:(1.5 điểm): Cho đa giác n cạnh ( n  ) Tính số tứ giác có cạnh đường chéo đa giác cho HẾT DeThiMau.vn SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Tốn - Vịng II (Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2012) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn cú trang) yêu cầu chung * ỏp ỏn ch trình bày lời giải cho Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng * Trong bài, học sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước giải sau có liên quan Ở câu học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai cho điểm * Điểm thành phần nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần 0,5 điểm tuỳ tổ giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm * Điểm tồn tổng (khơng làm tròn số) điểm tất Câu Nội dung Ta giả sử (x; y; z) nghiệm hệ Xét hàm số: f(t) =t3 - 3t2 + 5t + 1, t  ฀ Ta có: f’(t) = 3t2 - 6t +5 > , t  ฀  f ( x)  y  Nên hàm số f(t) đồng biến Hệ PT có dạng  f ( y )  z  f ( z)  4x  Vì vai trị x, y, z bình đẳng nên khơng tính tổng quát, ta giả sử: x  y, x  z Nếu x > y f(x) > f(y)  y  z  f ( y )  f ( z )  z  x (mâu thuẫn) Tương tự x > z ta đến mâu thuẫn, suy x = y = z Khi đó, ta có: x3 - 3x2 + x + = x 1   (x - 1)(x2 - 2x - 1) =   x   x 1  Vậy: hệ phương trình cho có nghiệm là: x = y = z = 1; x = y = z =  2 Ta có: ( x  y )  2( x  y )   2  x  y  M  x ( x  2)  y ( y  2)  3( x  y )( xy  4)  ( x  y )3  12( x  y )  Trang: - Đáp án Tốn - Vịng DeThiMau.vn Điểm 2,5 điểm 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 2,0 điêm 0,5 0,5 Đặt: x  y  t  t   2;2 Ta có: M  t  12t  Xét f (t )  t  12t  , ta có: f '(t )  3t  12   t  [-2; 2] Do đoạn [-2; 2] , f(t) nghịch biến Vậy: max M  max f (t )  f (2)  20  t  2  x  y  1 [-2;2] M  f (t )  f (2)  12  t   x  y  [-2;2] 0,25 0,25 0,25 1,5 điểm Giả sử f hàm số thỏa mãn điều kiện tốn Ta có: f (n)  f (n  1)   f (n  n)  f (n)  n Do : f (n  1)  f (n)  Đặt : f (1)  a  ฀ * Ta có: f (n)  f (1)  n   a  n  Với n  a  a  , ta có: f (a  a  2)  a  a  a    (a  1) Do đó: a  a  số phương Mà: a  a  a   (a  2) , nên a  a   (a  1)  a  Vậy: f (n)  n Thử lại ta thấy f (n)  n thỏa mãn điều kiện toán 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2,5 điểm A Q P N E I B C 0,25 M D Trên (ACM) dựng IN // CM ( I  AM ) Trên (ABD) lấy điểm P  DI  AB Trên (DNP) dựng PQ // IN // CM ( Q  DN ) Gọi E trung điểm PB  ME đường trung bình BPD , đó: ME // PD  ME // PI Mặt khác: NI đường trung bình ACM  I trung điểm AM Nên PI đường trung bình AME Hay: 1 3 PI  EM  PD  DI  PD, IN  CM  4 Trang: - Đáp án Tốn - Vịng DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,25 Khi đó: IN DI    PQ  IN  PQ DP 3 Ta có: VAMNP AM AN AP AN AP 1     VAMCB AM AC AB AC AB Mà: Vậy: 0,5 0,25 VAMCB  VABCD VAMNP 0,25 (đvtt)  VABCD  12 144 Gọi đỉnh đa giác n cạnh là: A1 , A2 , , An Ta đếm số tứ giác thỏa mãn yêu cầu tốn có đỉnh A1 Khi đó: A2 , An đỉnh tứ giác A1 A2 , A1 An cạnh đa giác Ta cần chọn thêm đỉnh: Ai , Aj , Ak thỏa mãn:  i   j   k  n  (vì đỉnh tứ giác phải có đỉnh đa giác) Mỗi cách chọn đỉnh cách chọn số phân biệt n – số tự nhiên từ đến n – Vậy có Cn35 tứ giác có đỉnh A1 thỏa mãn u cầu tốn Vì đa giác có n đỉnh tứ giác đếm lặp lại lần theo đỉnh nên n.Cn35 số tứ giác cần tìm là: Trang: - Đáp án Tốn - Vịng DeThiMau.vn 0,5 1,5 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ...SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2 012 - 2013 Mơn thi: Tốn - Vịng II (Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2 012) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn... cho Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng * Trong bài, học sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước giải sau có liên quan Ở câu học sinh khơng vẽ... x  y )3  12( x  y )  Trang: - Đáp án Tốn - Vịng DeThiMau.vn Điểm 2,5 điểm 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 2,0 điêm 0,5 0,5 Đặt: x  y  t  t   2;2 Ta có: M  t  12t  Xét f