PHÒNG GD&ĐT NÚI THÀNH TRƯỜNG THCS TRẦN QUÝ CÁP ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: tháng 10 năm 2016 Bài (4.5 điểm) ab a) Chứng minh với hai số thực a, b ta ln có: ab Dấu đẳng thức xảy ? b) Cho ba số thực a, b, c không âm cho a b c Chứng minh: b c 16abc Dấu đẳng thức xảy ? Bài (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết lần tích chữ số số b) Phân tích thành nhân tử: A = (xy + yz + zx) (x + y+ z) - xyz Bài (4 điểm) a) Tìm số nguyên x; y thỏa mãn: y xy x b) Chứng minh với x, y nguyên A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương Bài (4.5 điểm) Cho tam giác ABC có ( a, c hai độ dài cho trước), Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M cạnh AB, N cạnh AC, P Q cạnh BC gọi hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC a) Tìm vị trí M cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn Tính diện tích lớn Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC cân A, BC a Hai điểm M N AC AB cho: AM MC , AN NB hai đoạn BM CN vng góc với Tính diện tích tam giác ABC theo a Họ tên học sinh: ; Số báo danh: Giám thị 2: Ký tên ThuVienDeThi.com PHÒNG GD&ĐT NÚI THÀNH TRƯỜNG THCS TRẦN QUÝ CÁP HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn: Tốn (Hướng dẫn chấm đề thi gồm có 03 trang) Bài Bài 1: 4,5đ 1.1 Nội dung Ta có: a 2ab b a 2ab b ab ab ab 4 2đ Điểm a b 0,5 0, a, b R 0,5 ab Vậy: ab, a, b R a b 4ab, a, b R Dấu đẳng thức xảy a b Theo kết câu 1.1, ta có: 1.2 2.5đ a b c a b c 4a b c 0,5 0,5 0,25 mà a b c (giả thiết) nên: 4a b c b c 4a b c (vì a, b, c khơng âm nên b + c không âm) Nhưng: b c 4bc (không âm) 0,25 Suy ra: b c 16abc 0,25 a b c 1 Dấu đẳng thức xảy khi: b c bc , a a b c Bài 2:(4 đ) 2đ 2đ Gọi xy số tự nhiên cần tìm, x >0, y , x,y số tự nhiên Ta có phương trình: 2xy=10x+y 2xy-10x-y =0 2x(y-5)-(y-5) =5 (2x-1)(y-5) =5 (2x-1)(y-5) =5.1=1.5 (Do x, y số tự nhiên , x lớn nên 2x-1 lớn ) (2 x 1) x ( y 5) y 10(loai ) Vậy số tự nhiên cần tìm 36 (2 x 1) x ( y 5) y A= (xy+ yz+ zx) (x+y+ z) – xyz = xy (x+ y+ z)+ yz (x+ y + z) + zx (x+ y+z)- xyz = y (x+ y + z) (x+z)+ zx (x+ z) = (x+ z) [y(x+ y+ z)+ zx] = (x+ z ) [x (y+ z) + y ( y+ z)]= (x+ y) (x+ z)(+ z) 0,25 0,50 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 3:4đ 2đ y xy x x xy y x x ( x y ) ( x 1)( x 2) (*) VT (*) số phương; VP (*) tích số nguyên liên tiếp nên ThuVienDeThi.com 1đ x 1 x 1 y phải có số x x 2 y Vậy có cặp số nguyên ( x; y ) (1;1) ( x; y ) (2; 2) 2đ Bài (4.5 đ) A =(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = [(x + y)(x + 4y)] [(x + 2y)(x + 3y)] + y4 = (x2 + 5xy + 4y2 )(x2 + 5xy + 6y2 )+ y4 = (x2 + 5xy + 5y2 - y2 )(x2 + 5xy + 5y2 + y2 ) + y4 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 - y4 + y4 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 Do x , y Z nên x2 + 5xy + 5y2 Z A số phương + Đặt AM x (0 x c) Ta có: MN AM ax MN BC AB c c x MQ BM sin 600 Suy diện tích MNPQ là: ax c x a S x c x 2c 2c ab ab + Ta có bất đẳng thức: ab ab (a 0, b 0) 1đ 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 c2 xcx áp dụng, ta có: x(c x) c Dấu đẳng thức xảy khi: x c x x 2 a c ac Suy ra: S 2c c ac Vậy: S max x hay M trung điểm cạnh AB Bài 5:3 + Theo giả thiết: AM MC AN NC Suy ra: AM AN MN AM MN // BC AC AB BC AC + Gọi E giao điểm BM CN, theo định lí Ta-lét, ta có: EM EN MN EB EC BC Gọi BK đường cao hạ từ B tam giác ABC, ta có: AC BK S ABC AC S ABC 3S BCM S BCM CM BK CM S BEC BE 5a 5a S BMC S BEC Vậy: S ABC S BMC BM 12 0.5 0.5 0.5 0.25 0,5 0,5 0,5 0,75 0,5 Hết ThuVienDeThi.com ...PHÒNG GD&ĐT NÚI THÀNH TRƯỜNG THCS TRẦN QUÝ CÁP HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn: Tốn (Hướng dẫn chấm đề thi gồm có 03 trang) Bài Bài 1: 4,5đ 1.1 Nội dung Ta có: a... ta có: 1.2 2.5đ a b c a b c 4a b c 0,5 0,5 0,25 mà a b c (giả thi? ??t) nên: 4a b c b c 4a b c (vì a, b, c khơng âm nên b + c không âm) Nhưng:... ( x y ) ( x 1)( x 2) (*) VT (*) số phương; VP (*) tích số nguyên liên tiếp nên ThuVienDeThi.com 1đ x 1 x 1 y phải có số x x 2 y Vậy có cặp số nguyên (