Toán học Đổi biến để chứng minh bất đẳng thức41459

Cao Văn Dũng Lớp K50 SP toán - khoa Sư Phm HQGHN Đc: 575\14 Lờ Dun - Chợ Ea tam Ph­êng EA Tam-TP BMT-§AKLAK Phone : 0989966850 Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức Đôi chứng minh tốn BĐT có nhiều cách khác để giải, song cách thuận lợi cho việc chứng minh BĐT, có nhiều BĐT đề phức tạp làm cho ta cảm giá rối, qua việc đưa biến tốn trở nên dễ Bài viết xin nêu số cách đổi biến để chứng minh BĐT dễ dàng Sau số ví dụ : a b c VD1:(BĐT Nesbitt): Cho a,b,c số thực dương CMR:    bc ca ab yzx  a  x  b  c  x  zy 1 yzx xz y x yz   Ta đặt  y  c  a  b  nên BĐT      2 x y z   z  a  b   x  y  z  c    x y  y z   z x x y y z z x          2   (đúng) y x z y x z  y x  z y x z Vậy BĐT đuợc chứng minh Dấu “=” xảy  a  b  c VD2: (Prance Pre –MO 2005) Cho số thực dương x, y, z thoả mãn: x  y  z  xy yz zx CMR:   3 z x y DeThiMau.vn  xy a  z  yz  Đặt b  với a, b, c  từ giả thiết x  y  z   ab  bc  ca  x  zx  c  y  Và BĐT cần CM  CM BĐT a  b  c  mặt khác ta có BĐT sau: a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c  3(ab  bc  ca )  Vậy BĐT đuợc chứng minh Dấu “=” xảy  x  y  z  VD3: Cho x, y, z >0 thoả x  y  z  CMR    36 x y z a  x  a  b  c  b  Từ giả thiết ta đặt:  y  với a,b,c >0 abc  c  z  a b  c  abc abc abc Nên BĐT  CM    36 a b c b c a c a b        22 a a b b c c a c a  c b b a c a c b b                .9  22 (đúng) b a c  b c a b a c b c a  x    b  2a  Dấu “=” xảy    y   c  3a   z   VD4: Cho x, y, z số thực dương CMR xyz  ( x  y  z )( y  z  x)( z  x  y ) x  b  c  Ta đặt  y  c  a với a, b, c  nên BĐT  CM BĐT (a  b)(b  c)(c  a )  8abc z  a  b  mặt khác ta có (a  b)(b  c)(c  a )  8abc  a (b  c)  b(c  a )  c(a  b)  Vậy BĐT đuợc chứng minh DeThiMau.vn Dấu “=” xảy  x  y  z VD5: ( IMO 2000) Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc=1   1  CMR:  a     b     c     b  c  a  x  a  y  y  Do abc  nên ta đặt b  với x, y, z  z  z  c  x  x z  y Nên BĐT viết lại        y  z y x  z y   1    z  x x  xyz  ( x  y  z )( y  z  x)( z  x  y ) (đã CM VD4) Vậy BĐT đuợc chứng minh Dấu “=” xảy  a  b  c  VD6:( IMO-1995) Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc=1 1 CMR :    a (b  c) b (c  a ) c (a  b)  a  x   Ta đặt b  với x, y, z  abc  nên xyz  y   c  z  x2 y2 z2 Nên BĐT     yz zx x y mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có:  x2 y2 z2   y  z    z  x    x  y         x  y  z  yz zx x y  x2 y2 z  x  y  z 3 xyz       2  yz zx x y Vậy BĐT đuợc chứng minh Dấu “=” xảy  a  b  c  VD7: Cho x, y, z số thực dương thoả mãn: xyz  x  y  z  DeThiMau.vn CMR: x y z xyz 1   1 1 x 1 y 1 z 1  a,  b,  c với a, b, c  Ta đặt 1 x 1 y 1 z 1 a b  c 1 b a  c 1 c a  b x  ,y  ,z   a a b b c c a b b c c a    Nên BĐT cần CM  CM BĐT bc ca ca ab ab bc Từ xyz  x  y  z   Mặt khác ta có: a b 1 a b      bc ca 2ac bc b c 1 b c      ca ab 2ba ca  c a 1 c a      ab bc 2 cb ab Nên a b b c c a b b c c a  1 a           bc ca ca ab ab bc 2 ac bc ba ca cb ab Vậy BĐT Dấu “=” xảy  x  y  z  Sau số tập để luyện tập: Bài 1: Cho a,b,c cạnh tam giác: a b c 1,   3 bc a c  a b a bc 1 1 1      2, a bc bc a c  a b a b c Bài 2: Cho x, y, z số thực dương thoả mãn x  y  z  xyz  CMR: 1, x  y  z  1 2,    4( x  y  z ) x y z a b c ,y ,z  bc ca ab Bài 3: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a  b  c  1 1 CMR:     22  abc ab bc ca Gợi ý: từ giả thiết ta đặt x  DeThiMau.vn Bài 4: Cho a, b, c  thoả mãn abc  CMR:   a  b  c ab  bc  ca Bài 5: Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác CMR: 1, a  b  c  3S với S diện tich tam giác 2, a 2b(a  b)  b c(b  c)  c a (c  a )  Gợi ý: Đặt a  x  y, b  y  z , c  z  x DeThiMau.vn ... mặt khác ta có BĐT sau: a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c  3(ab  bc  ca )  Vậy BĐT đuợc chứng minh Dấu “=” xảy  x  y  z  VD3: Cho x, y, z >0 thoả x  y  z  CMR    36 x y z a  x... mặt khác ta có (a  b)(b  c)(c  a )  8abc  a (b  c)  b(c  a )  c(a  b)  Vậy BĐT đuợc chứng minh DeThiMau.vn Dấu “=” xảy  x  y  z VD5: ( IMO 2000) Cho a, b, c số thực dương thoả mãn...  1    z  x x  xyz  ( x  y  z )( y  z  x)( z  x  y ) (đã CM VD4) Vậy BĐT đuợc chứng minh Dấu “=” xảy  a  b  c  VD6:( IMO-1995) Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc=1 1 CMR