Đề ôn thi đại học môn Toán40925

Bài đ Gi i phương trình − x = 2x − + 2x − x L i gi i Đi u ki n đ phương trình có nghĩa |x| ≤ Đ t x = cost, t ∈ [0, π] phương trình tr thành π t t sin  = cos(2t ) + sin(2t ) ⇔ sin  = sin(2t + ) 2 2 t/2 = 2t + π/4 + 2kπ ∧ t/2 = π - 2t - π/4 + 2kπ t = -π/6 – 4kπ/3 ∧ t = 3π/10 + 4kπ/5 Do t thu c [0, π] nên có giá tr t tho mãn t = 3π/10 V y nghi m c a phương trình x = cos(3π/10)  1 Bài đ Cho dãy {xn} xác đ nh b i 1 +   n n + xn = e Ch ng minh r ng dãy {xn} có gi i h n h u h n tìm gi i h n Đáp s : 1/2 Hư ng d n: Ch ng minh b t đ ng th c x – x2/2 < ln(1+x) < x – x2/2 + x3/3 r i dùng gi i h n k p Có th chuy n sang hàm s r i dùng quy t c L’Hopitale Bài đ Tìm t t c đa th c f(x) v i h s nguyên cho v i m i n nguyên dương ta có f(n) c c a 2n – Hư ng d n N u f(x) đa th c khơng h ng t n t i n cho |f(n)| > G i p c s nguyên t c a f(n) Ta có p | f(n) | 2n-1 M t khác p | f(n+p) | 2n+p-1 Suy p | 2n+p-2n = 2n(2p-1) Do (2n-1, 2n) = nên t suy p | 2p-1 Nhưng theo đ nh lý Fermat p | 2p – Như v y t suy p | Mâu thu n V y f(x) ph i đa th c h ng Đáp s f(x) ≡ 1, f(x) ≡ -1 Bài đ Tìm t t c c p s nguyên dương (a, b) cho 2a + 3b bình phương c a m t s nguyên L i gi i Gi s 2m + 3n = a a s l a = 2m + 3n ≡ (−1)m (mod 3) , a ≡ 0,1(mod 3) nên suy m ph i s ch n Ti p theo, (−1) n ≡ 2m + 3n = a ≡ 1(mod 4) , nên n ph i s l , đ t n = 2k , k ≥ 2m = (a + 3k )(a − 3k ) , v y a + 3k = 2r , a − 3k = s (r > s ≥ 0, r + s = m) Thì 2.3k = 2r − s ⇒ s = 1, 2r −1 + = 3k Vì r + = m suy r l Nên: DeThiMau.vn  r −1  r −1  k  2 − 1 2 + 1 = Do hi u c a hai nhân t b ng c hai s đ u không       r −1 22 chia h t − = ⇒ r = nên k = V y c p (m, n) = (4, 2) nghi m c a phương trình D! th y r ng s th"a mãn yêu c#u toán Bài đ T i m t h i ngh có 100 đ i bi u Trong s có 15 ngư$i Pháp, m%i ngư$i quen v i nh t 70 đ i bi u 85 ngư$i Đ c, m%i ngư$i quen v i không 10 đ i bi u H đư&c phân vào 21 phịng Ch ng minh r ng có m t phịng khơng ch a m t c p quen L i gi i M%i m t ngư$i Pháp ph i quen v i nh t 70 – 14 = 56 ngư$i Đ c Suy s c p (Pháp, Đ c) quen nh t 15 x 56 = 840 G i n s ngư$i Đ c quen ≤ đ i bi u ngư$i Pháp (g i Đ1) ta có: 840 ≤ (85-n).10 + n.9 Suy n ≤ 10 Nh ng ngư$i Đ c l i (Đ2) đ u quen 10 đ i bi u ngư$i Pháp, khơng th quen v i ngư$i Đ c n a Vì có 21 phịng ch' có 15 ngư$i Pháp nên có nh t phịng ch' có tồn ngư$i Đ c Vì ch' có nhi u nh t 10 ngư$i Đ c có th quen nên theo nguyên lý Dirichlet, phòng s( có nh t m t phịng ch' có nhi u nh t ngư$i Đ c thu c Đ1 Phịng phịng c#n tìm Bài đ Cho < x0, x1, …, x669 < s th)c đôi m t khác Ch ng minh r ng t n t i m t c p (xi, xj) cho < xi x j ( x j − x i ) < 2007 Hư ng d n S p x p s th)c theo th t) tăng d#n, sau áp d*ng b t đ ng th c 3ab(b-a) < b3 – a3 v i b > a Bài đ Cho dãy s {an} xác đ nh b i a1 = 1, a2 = an+2 = 2an+1 – an + v i m i n ≥ Ch ng minh r ng v i m i m, amam+1 m t s h ng c a dãy s L i gi i Ta có an+2 = 2an+1 – an + Thay n b ng n-1, ta đư&c an+1 = 2an – an-1 + Tr hai đ ng th c v theo v , ta đư&c an+2 – 3an+1 + 3an – an-1 = Phương trình đ c trưng x3 – 3x2 + 3x – = có nghi m b i x1,2,3 = nên ta có nghi m t+ng quát an có d ng an = an2 + bn + c Thay n = 1, 2, ta đư&c a+b+c=1 DeThiMau.vn 4a + 2b + c = 9a + 3b + c = T gi i đư&c a = 1, b = -2, c = V y an = n2 – 2n + = (n-1)2+1 Do amam+1 = ((m-1)2+1)(m2+1) = (m2 – m + 1)2 + = a_{m2-m+2} Bài đ Tìm t t c hốn v (a1, a2, …, an) c a (1, 2, …, n) cho 2(a1+…+ak) chia h t cho k+1 v i m i k=1, 2, …, n Hư ng d n Ch ng minh b ng quy n p r ng ch' có hốn v tho mãn u ki n (1, 2, 3…, n) (2, 1, 3, …, n) Bài Ch ng minh r ng đa th c P(x) = xn + 29xn-1 + 2009 v i n s nguyên dương l n hay b ng khơng th phân tích thành tích c a đa th c v i h s nguyên có b c l n hay b ng Hư ng d n S d*ng tiêu chu,n Eisenstein m r ng sau Cho đa th c P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 ∈ Z[x] Gi s t n t i s nguyên t p s nguyên dương k tho mãn đ ng th$i u ki n sau 1) an không chia h t cho p 2) a0 chia h t cho p không chia h t cho p2 3) a1, a2, …, an-k chia h t cho p Khi đó, n u P(x) = Q(x).S(x) v i Q(x), S(x) đa th c v i h s nguyên m t hai đa th c Q(x), S(x) có b c nh" k Bài đ Cho tam giác ABC v i O, I theo th t) tâm c a đư$ng tròn ngo i, n i ti p tam giác Ch ng minh r ng ·AIO ≤ 900 ch' AB + AC ≥ BC Kéo dài AI c t đư$ng tròn (O) t i D Ta có DB = DC , ra: B · B · · = DBC · DBI + = BAD + = DIB nên tam giác DBI cân t i D, nên DB = DI 2 Áp d*ng đ nh lý Ptoleme cho t giác ABDC ta đư&c: AD.BC = AB.DC + BD AC ⇔ AD.BC = BD( AB + AC ) ⇔ AD.BC = DI ( AB + AC ) AD V y ·AIO ≤ 900 ⇔ DI ≤ tương đương v i AB + AC ≥ BC A O I C B DeThiMau.vn Bài đ Hình vng đư&c chia thành 16 hình vng b ng nhau, thu đư&c t p h&p g m 25 đ'nh H"i c#n ph i b" nh t đ'nh c a t p h&p đ khơng có đ'nh c a t p h&p l i đ'nh c a m t hình vng v i c nh song song v i c nh c a hình vng ban đ#u? Hư ng d n Ch ng minh b ng ph n ch ng  x( y + z ) = x +  Bài đ Gi i h phương trình  y ( z + x) = y +   z ( x + y ) = z +  x( y + z − x ) =  Ta có:  y ( z + x − y ) = , đ t  z( x + y − z) =  a+b a+c b+c a = − x + y + z; b = x − y + z; c = x + y − z ⇒ z = ,y = ,x = 2  15  15 a = a = − 5    a(b + c) =  ab = 15  15    Thay vào nh n đư&c: b(c + a) = ⇔  ac = ⇔ b = ∨ b = − 3 ( a + b) c = bc =     c = 15 c = − 15     T ta có t p nghi m là:  15 15 15   15 15 15  ( x, y , z ) =  , , ,− ,−  = −  15 15     Bài đ Hàm s f : ¡ → ¡ tho mãn u ki n f (cot x) = sin x + cos x v i m i x thu c (0, π) Tìm giá tr l n nh t giá tr nh" nh t c a hàm s g :[−1,1] → ¡ , g ( x) = f ( x) f (1 − x) Ta có f (cot x) = f (t ) = t + 2t − t2 +1 cot x + cot x − cot x + v i m i x ∈ (0; π) , đ t t = cot x ta đư&c , ∀t ∈ ¡ DeThiMau.vn Khi g ( x) = f ( x) f (1 − x) = x (1 − x) + x(1 − x) − x (1 − x) − x(1 − x) + 1  t = x(1 − x) ⇒ t ∈  −2,  , hàm s 4  1  s t ∈  −2,  , ta đư&c: 4  g ( x) thành h(t ) = max h(t ) = − 34 h(t ) =  1  −2,   1  −2,  V y max g ( x) = − 34 g ( x) = [ −1,1] [ −1,1] Xét t + 8t − t − 2t + [−1,1] , đ t Kh o sát hàm 25 25 Bài đ Tìm t t c đa th c P(x) tho mãn u ki n P2(x) – P(x2) = 2x4 L i gi i v n t t Đ t P(x) = anxn + R(x) v i R(x) đa th c b c r < n Khi P2(x) – P(x2) = (an2 – an)x2n + 2anxnR(x) + R2(x) – R(x2) T suy P2(x) – P(x2) có b c 2n n u an ≠ có b c n+r n u an = T suy ≤ n ≤ Hơn n a, n u n = an = r = n = an = r = T đây, dùng phương pháp h s b t đ nh, d! dàng tìm đư&c nghi m là: x4+1, x3+x, 2x2 –x2 Ghi chú: Hãy m r ng toán! Bài đ Cho tam giác cân ABC v i AB = AC P m t m b t kỳ n m hay n m c nh c a tam giác ABC Ch ng minh r ng PA2 + PB.PC ≤ AB2 Hư ng d n V( đư$ng trịn (C) tâm A bán kính AB N i BP c t (C) t i C’ Khi BP.PC’ = AB2 – PA2 ta ch' c#n ch ng minh PC ≤ PC’ xong Bài đ Cho A m t t p h&p g m ph#n t Tìm s l n nh t t p g m ph#n t c a A cho giao c a t p b t kì t p khơng ph i m t t p h&p g m ph#n t L i gi i Gi s ta tìm đư&c n t p h&p tho mãn yêu c#u đ Ta ch ng minh r ng m t ph#n t a b t kỳ thu c A thu c không t p h&p s n t p h&p nói Th t v y, gi s có t p h&p ch a a {a, a1, a2}, {a, a3, a4}, {a, a5, a6}, {a, a7, a8} đ u khác a nên ph i t n t i i ≠ j cho = aj Không m t tính t+ng qt có th gi s i = N u j = {a, a1, a2} ch' có ph#n t Mâu thu n N u j > 2, ch ng h n j = {a, a1, a2} ∩ {a, a3, a4} = {a, a1}, mâu thu n! DeThiMau.vn Như v y m%i m t ph#n t thu c không t p h&p Suy s l#n xu t hi n c a t t c ph#n t c a A t p đư&c ch n không x = 24 l#n Vì m%i m t t p có ph#n t nên s t p không 24/3 = Suy n ≤ Ta ch ng minh s l n nh t b ng cách ch' t p v y Đi u có th làm đư&c d! dàng thông qua b ng sau X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Bài đ Cho s th)c x, y, z th"a mãn u ki n : x ≥ y ≥ z ≥  2 y + z ≥ 11x + 27 z ≥ 54  Tìm giá tr l n nh t c a P = 2008 2009 + + x2 y z Hư ng d n Dùng công th c khai tri n Abel Bài đ Cho dãy s th)c {xn} xác đ nh b i x0 = 1, x n +1 = + x n − + x n n v i m i n ∈ N Ta xác đ nh dãy {yn} b i công th c y n = ∑ xi i , ∀n ∈ N * Tìm i =1 công th c t+ng quát c a dãy {yn} L i gi i Ta có x n +1 = + x n − + x n = ( + x n − 1) T tính đư&c x1 = ( − , x =   ) 2 n − 1 , , x n = 21 / −  ( Ta vi t DeThiMau.vn ) x1 = + − 2 , x = + − 2.21 / x3 = + 21 / − 2.2.1 / x n = + 21 / n −1 − 2.21 / n Nhân đ ng th c đ#u v i 2, đ ng th c th hai v i 22, đ ng th c th ba v i 23 … đ ng th c th n v i 2n r i c ng v theo v , ý đ n nh ng s) gi n c, ta đư&c y n = + + + n + − n+1.21 / = n +1 (1 − 21 / ) + n n Bài đ Tìm t t c s nguyên dương l n cho t n t i s nguyên l x1, x2, …, xn tho mãn u ki n x12 + x22 + … + xn2 = n4 L i gi i tóm t t N u x s nguyên l x2 ≡ mod T đó, n u n s nguyên dương tho mãn u c#u xét hai v theo mơ-đun 8, ta suy n đ ng dư mô-đun 8, t c n = 8k + V i n = 8k+1, ta ch n x1 = n2 – 2, x2 = 2n – 1, 8k-1 s l i có 3k s b ng 5k-1 s b ng t+ng bình phương xi s( b ng (n2-2)2 + (2n-1)2 + 27k + 5k-1 = n4 Bài đ Tìm t t c hàm s f: R R tho mãn u ki n f(f(x) + y)) = f(f(x) – y) + 4f(x)y v i m i x, y thu c R L i gi i Thay y = f(x) ta đư&c f(2f(x)) = f(0) + 4f2(x) Thay y b i 2f(y) – f(x) ta đư&c f(2f(x) – 2f(y)) = f(2f(y)) – 4f(x)(2f(y)-f(x)) = f(0) + 4f2(y) + 4f(x)(2f(y)-f(x)) = f(0) + (2f(x)-2f(y))2 N u t n t i x0 v i f(x0) ≠ v i m i x thu c R ta có x = 2f(f(x0) + x/8f(x0)) – 2f(f(x0)-x/8f(x0)), nên f(x) = x2 + f(0) Bài đ Cho tam giác ABC có BC > AB > AC cosA + cosB + cosC = 11/8 Xét m X thu c BC Y thu c AC kéo dài v phía C cho BX = AY = AB a) Ch ng minh r ng XY = AB/2 b) G i Z m n m cung AB c a đư$ng tròn ngo i ti p tam giác không ch a C cho ZC = ZA + ZB Hãy tính t s ZC/(XC+YC) Hư ng d n Dùng đ nh lý Ptolemy DeThiMau.vn Bài đ Cho n s nguyên dương l n hay b ng Kí hi u A = {1, 2, …, n} T p B c a t p A đư&c g i t p "t t" n u B khác r%ng trung bình c ng c a ph#n t c a B s nguyên G i Tn s t p t t c a t p A Ch ng minh r ng Tn – n s ch n Hư ng d n Có n t p t t có ph#n t V i t p t t l i, ta b t c p chúng sau Các t p t t ph#n t {a, b} đư&c cho tương ng v i t p t t ph#n t {a, (a+b)/2, b)} S( có t p t t ph#n t không đư&c “sinh ra” b ng cách nêu trên, t c khơng có d ng {a, b, c} v i b = (a+c)/2 Các t p l i đư&c cho tương ng v i t p t t ph#n t {a, b, c, (a+b+c)/3} … Bài đ Gi i h phương trình x + y + z = yz + 18 = xz − = 3xy + x y z Bài đ Cho s th)c a dãy s th)c {xn} xác đ nh b i: x1 = a xn+1 = ln(3+cosxn + sinxn) – 2008 v i m i n = 1, 2, 3, … Ch ng minh r ng dãy s {xn} có gi i h n h u h n n ti n đ n dương vô L i gi i Đ t f(x) = ln(3+sinx+cosx) – 2008 cos x − sin x + sin x + cos x T đó, s d*ng đánh giá | cos x − sin x |≤ , | sin x + cos x |≤ ta suy f ' ( x) = | f ' ( x) |≤ 3− = q < Áp d*ng đ nh lý Lagrange cho x, y thu c R, ta có f(x) – f(y) = f’(z)(x-y) T suy |f(x) – f(y)| ≤ q|x – y| v i m i x, y thu c R Áp d*ng tính ch t v i m > n ≥ N, ta có |xm – xn| = |f(xm-1) – f(xn-1)| ≤ q|xm-1-xn-1| ≤ …≤ qn-1|xm-n+1 – x1| ≤ qN-1|xm-n+1 – x1| Do dãy {xn} b ch n q < nên v i m i ε > t n t i N đ l n đ qN-1|xm-n+1 – x1| < ε Như v y dãy {xn} tho mãn u ki n Cauchy h i t* Bài đ Vì a + b + a + b2 + a + b + = s b a ab chia h t cho ab (1) Đ t d = (a, b) , ab d (2) a + b d (2) DeThiMau.vn nguyên, suy (a + b + a + b) T (1) (2) suy a + b + a + b d (3) T (2) (3) suy a + b d nên d ≤ a + b ⇒ d ≤ a + b (đpcm) Cho a, b, c > 0, a + b + c = Ch ng minh r ng Bài đ 1 + + ≥ a2 + b2 + c2 a b c Do Đ t x = ab + bc + ca + + ≥ 1 + + ab bc ca nên ta ch' c#n ch ng minh: a b c 1 + + ≥ a + b2 + c ⇔ abc(a + b2 + c ) ≤ ab bc ca t (ab + bc + ca )2 ≥ 3abc(a + b + c) suy abc ≤ x2 M t khác: a + b + c = (a + b + c)2 − 2(ab + bc + ca) = − x Do abc(a + b + c ) − ≤ x2 −( x − 3)2 (2 x + 3) (9 − x) − = ≤0 9 Bài đ Trên bàn c$ vua kích thư c 8x8 đư&c chia thành 64 ô vuông đơn v , ngư$i ta b" m t vng đơn v v trí hàng th m c t th n G i S(m;n) s hình ch nh t đư&c t o b i m t hay nhi u ô vuông đơn v c a bàn c$ cho trùng v i v trí c a b xóa b" ban đ#u Tìm giá tr nh" nh t giá tr l n nh t c a S(m;n) L i gi i v n t t Đánh s đư$ng d c t trái sang ph i t 1-9, đánh s đư$ng ngang t xu ng dư i t đ n M t hình ch nh t s( đư&c xác đ nh m t cách nh t b i hai c p s (s, t), (u, v), s < t s c a đư$ng d c tương ng v i biên trái biên ph i, u < v s c a đư$ng ngang tương ng v i biên biên dư i T s hình ch nh t đư&c t o b i ô vuông đơn v C 92 C 92 Bây gi$ gi s ta b" (m, n) Ta s( đ m s hình ch nh t s hình ch nh t nói ch a Rõ ràng lúc u s( có n cách ch n v s( có 9-n cách ch n Tương t), s có m cách ch n t có 9-m cách ch n Suy s hình ch nh t ch a (m, n) n(9-n)m(9-m) T suy S (m, n) = C 92 C 92 − m(9 − m)n(9 − n) Đáp s : S(m,n)min = S(4, 4) = S(4, 5) = S(5, 4) = S(5, 5) S(m,n)max = S(1,1) = S(1, 8) = S(8, 1) = S(8,8) Bài đ a n+1 = Cho dãy s {an} xác đ nh b i công th c truy h i a1 = 1/2, n a a − an + n Ch ng minh r ng a1 + a2 + … + an < v i m i s nguyên dương n DeThiMau.vn Hư ng d n Đ t bn = 1/an ta đư&c bn+1 = bn(bn-1) + T bn +1 − = 1 1 1 = − ⇒ = − bn (bn − 1) bn − bn bn bn − bn +1 − Suy n a1 + a + + a n = ∑ i =1 1 n  1   = − =∑  −