Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên quốc học Thừa Thiên Huế môn: Toán Năm học 2008200940737

Sở Giáo dục đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2008-2009 Đề thức Thời gian làm bµi: 150 Bài 1: (3 điểm) a) Khơng sử dụng máy tính bỏ túi, chứng minh đẳng thức :   13    x   y  b) Giải hệ phương trình :  ( x  x  1) y  36 Bài 2: (1,5 điểm) Cho phương trình: x  2mx  2m   Tìm giá trị m để phương trình có bốn nghiệm x1, x2 , x3 , x4 cho: Bài 3: (3 điểm) x1  x2  x3  x4 x4  x1   x3  x2  Cho đường trịn (O), đường kính AB Gọi C trung điểm bán kính OB (S) đường trịn đường kính AC Trên đường trịn (O) lấy hai điểm tùy ý phân biệt M, N khác A B Gọi P, Q giao điểm thứ hai AM AN với đường tròn (S) a) Chứng minh đường thẳng MN song song với đường thẳng PQ b) Vẽ tiếp tuyến ME (S) với E tiếp điểm Chứng minh: ME = MA  MP c) Vẽ tiếp tuyến NF (S) với F tiếp điểm Chứng minh: Bài 4: (1,5 điểm) ME AM  NF AN Tìm số tự nhiên có bốn chữ số (viết hệ thập phân) cho hai điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: (i) Mỗi chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước (ii) Tổng p + q lấy giá trị nhỏ nhất, p tỉ số chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị q tỉ số chữ số hàng nghìn chữ số hàng trăm Bài 5: (1 điểm) Một bìa dạng tam giác vng có độ dài ba cạnh số nguyên Chứng minh cắt bìa thành sáu phần có diện tích diện tích phần số nguyên Hết SBD thí sinh: Chữ ký GT1: DeThiMau.vn Sở Giáo dục đào tạo Kỳ THI TUN SINH LíP 10 chuyªn QC HäC Thõa Thiªn Huế Môn: TOáN - Năm học 2008-2009 P N - THANG ĐIỂM NỘI DUNG BÀI B.1 1.a   13     12    1.b Điểm 3,0  3   1    1    1   0.25   1 0.25 3   1  1  0,25 0.25 Điều kiện y  x  x  y  36  x  y  0,25 0,25 u  v  y ( u  0, v  ), ta có hệ   uv  Giải : u = , v = u =3 , v = Trường hợp u = , v = có : ( x = ; y = ) ( x =  ; y = 9) Trường hợp u = , v = có : ( x = ; y = ) ( x =  ; y = 4) Hệ cho có nghiệm: (1;9) , (-3;9) , (2;4) , (- 4;4) 0,50   Đặt u  x  , v  B.2 x  2mx  2m   (1) Đặt : t  x , ta có : t  2mt  2m   (2) ( t  )  '  m  2m    m  1  với m 0,25 0,25 0,25 0,25 1,5 0,25 0,25 Vậy để (1) có bốn nghiệm phân biệt (2) ln có hai nghiệm dương phân biệt t1 , t2 0,25 Tương đương với:  '  0, P  2m   0, S  2m   m  , m  (3) Với điều kiện (3), phương trình (2) có nghiệm dương  t1  t2 phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1   t2  x2   t1  x3  t1  x4  t2 0,25 Theo giả thiết: x4  x1   x3  x2   t2  t1  t2  t1  t2  9t1 (4) Theo định lí Vi-ét, ta có: t1  t2  2m t1t2  2m  (5) Từ (4) (5) ta có: 10t1  2m 9t12  2m   9m  50m  25   m1  ; m2  Cả hai giá trị thỏa mãn điều kiện tốn Vậy để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn điều kiện tốn cần đủ là: m  m  DeThiMau.vn 0,50 B.3 3.a 3.b 3.c 3,0 0,25 + Hình vẽ ฀  BMA ฀ CPA  900  CP // BM AP AC  Do : (1) AM AB AQ AC  (2) + Tương tự: CQ // BN AN AB AP AQ  Từ (1) (2): , AM AN Do PQ // MN 0,25 0,25 0,25 ฀ ฀ ฀ + Hai tam giác MEP MAE có : EMP ฀ AME PEM  EAM Do chúng đồng dạng ME MP   ME  MA  MP + Suy ra: MA ME 0,50 0,50 + Tương tự ta có: NF  NA  NQ 0,25 ME MA  MP + Do đó:  NF NA  NQ MP MA + Nhưng  ( Do PQ // MN ) NQ NA + Từ đó: 0,25 0,25 ME AM ME AM    2 NF AN NF AN 0,25 B 1,5 Xét số tùy ý có chữ số abcd mà  a  b  c  d  (a, b, c, d số nguyên) c a Ta tìm giá trị nhỏ p  q   d b b 1 Do b, c số tự nhiên nên: c  b  c  b  Vì : pq  b b 1 b pq    2   9 b 9 b 0,25 0,75 0,25 b trường hợp c  b  1, d  9, a  1,  9 b Vậy số thỏa mãn điều kiện toán là: 1349 pq  0,25 B.5 1,0 Gọi a, b, c độ dài cạnh tam giác vuông ABC, c cạnh huyền ab Ta có a  b  c ; a, b, c  N* , diện tích tam giác ABC S  Trước hết ta chứng minh ab chia hết cho 12 0.25 DeThiMau.vn + Chứng minh ab Nếu a b đồng thời không chia hết cho a  b chia dư Suy số phương c chia dư 2, vô lý + Chứng minh ab - Nếu a, b chẵn ab - Nếu hai số a, b có số lẻ, chẳng hạn a lẻ Lúc c lẻ Vì c chẵn c  , lúc a  b chia hết cho Đặt a = 2k + 1, c = 2h + 1, k, h  N Ta có : 2 b   2h  1   2k  1 =  h  k  h  k  1 =  h  k  h  k  1  8k  h  k 8 0,25 0,25 Suy b Nếu ta chia cạnh AB (chẳng hạn) thành phần nhau, nối điểm chia với C ab tam giác ABC chia thành tam giác, tam giác có diện tích 12 s nguyờn Ghi chú: Học sinh làm cách khác ®¸p ¸n nh­ng ®óng vÉn cho ®iĨm tèi ®a  Điểm toàn không làm tròn DeThiMau.vn 0.25 ...Sở Giáo dục đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC Thừa Thi? ?n Huế Môn: TOáN - Năm học 2008-2009 P N - THANG IM NI DUNG BÀI B.1 1.a   13   ... thành tam giác, tam giác có diện tích 12 số ngun Ghi chú: Học sinh làm cách khác đáp án cho điểm tối đa Điểm toàn không làm tròn DeThiMau.vn 0.25 ... t1  x4  t2 0,25 Theo giả thi? ??t: x4  x1   x3  x2   t2  t1  t2  t1  t2  9t1 (4) Theo định lí Vi-ét, ta có: t1  t2  2m t1t2  2m  (5) Từ (4) (5) ta có: 10t1  2m 9t12  2m   9m