MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Việc giải phương trình nghiệm ngun (PTNN), ln địi hỏi HS khả phân tích, đối chiếu dự đốn phương pháp (PP) tư lơgíc để lựa chọn nghiệm thích hợp Vì tốn thường thấy đề thi tốn tạp chí tốn học sơ cấp, đề thi toán chọn học sinh giỏi (HSG), đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Tốn Với loại tốn này, khơng có PP giải tổng quát mà có PP giải phù hợp với tốn loại Trong q trình giảng dạy, tìm tịi nghiên cứu, tơi hệ thống số phương pháp giải PTNN Hi vọng rằng, giúp em HS biết lựa chọn phương pháp thích hợp giải tốn loại Sau vài phương pháp giải PTNN thường gặp Phương pháp 1: ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH Mục đích phương pháp biến đổi PT dạng: vế trái tích đa thức chứa ẩn, vế phải tích số nguyên Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x xy 3x y (1) (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2005-2006-Trường THPT chuyên Lưong Văn Chánh-TP Tuy Hồ-Phú n) Hướng dẫn : Ta có : x xy 3x y ( x 4)( x y 1) 5 x 1 x x y 1 x y 1 x x x y 1 y 11 y 11 x x 5 x y 5 x y 1 x 1 y 1 Vậy PT cho có nghiệm nguyên ( x; y ) (3; 1);(9;11);(5;11);(1; 1) Phương pháp 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI Nội dung phương pháp biến đổi PT dạng PT bậc hai ẩn, xem ẩn khác tham số, sử dụng tính chất nghiệm PT bậc hai để xác định giá trị tham số Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun phương trình: x xy 3x y (2) (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2005-2006-Trường THPT chuyên Lưong Văn Chánh-TP Tuy Hoà-Phú Yên) Hướng dẫn : Ta có : (2) x ( y 3) x (4 y 1) Giả sử PT (2) ẩn x có nghiệm nguyên x1 x2 theo hệ thức Viet, ta có: x1 x2 y 4 x1 x2 y 12 x1.x2 y x1.x2 y ( x1 4).( x2 4) 1.5 (1).(5) x1 x2 14 x1 x2 y 11 y 1 Lần lượt giá trị y 1 y 11 vào PT (5) ta tìm nghiệm x là:-1;3;5:9 Vậy PT cho có nghiệm nguyên : (x;y) (1; 1);(3; 1);(5;11);(9;11) DeThiMau.vn Ví dụ : Tìm tất nghiệm ngun PT : ( x y )( y x) ( x y )3 (3) (Trích đề thi HSG Tỉnh Phú n-Bảng A-Vịng 2-Năm học 1999-2000) Hướng dẫn : 2 Ta có : (3) y y ( x 3x) y (3x x) +Xét trường hợp y = x = k ( k số nguyên ) ( x; y ) (k ;0) +Xét trường hợp y Khi đó: y y ( x 3x) y (3x x) y ( x x) y (3 x x) Xem PT bậc hai ẩn y Để PT có nghiệm thì: ( x x) 8(3 x x) ( x 1) x.( x 8) phải số phương Tức : x( x 8) a (với a N ) ( x a )( x a ) 16 Do a N ( x a) ( x a) Ta có hệ PT sau: x a x a x a 16 x a x a 8 x a 16 x a 2 x a 1 x a x a x a 4 x a 4 Giải hệ PT tập số nguyên x, ta x = 9; 8; 0; -1 Từ ta tìm giá trị tương ứng y = -6; -21; -10; 0; -1 Tóm lại, PT (3) có nghiệm (x;y) = (9;-6); (9;-21); (8;-10); (-1;-1) (k;0) với k Z Phương pháp 3: ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG Mục đích phương pháp biến đổi PT dạng: vế trái tổng bình phương cịn vế phải tổng số phương Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên PT : x xy y 16 (4) Hướng dẫn : Ta có : x xy y 16 ( x y ) y 16 42 02 02 42 x y x y y y Giải hệ PT thử lại, ta nghiệm nguyên : (x;y) (4;0);(4;0);(4;8);(8; 4) Phương pháp 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN Ý tưởng PP vận dụng tính chia hết tính chất số nguyên để thu hẹp miền xác định nghiệm Trong nhiều trường hợp, thử trực tiếp để tìm nghiệm PT Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên PT : ( x 3)( y 4) 3xy (5) (Trích đề thi HSG Tốn, lớp9, Tỉnh Phú Yên, Bảng A, Vòng 2, Năm học: 2003-2004) Hướng dẫn : Ta có : ( x 3)( y 4) 3xy y (2 x 3) x 12 y 2 18 (vì x Z x ) 2x DeThiMau.vn Do x, y số nguyên nên 18 phải chia hết cho (2 x 3) (2 x 3) ước số 18 (2 x 3) 1; 2; 3; 6; 9; 18 Từ ta tính giá trị ngun x : 2; 1; 3; 0; 6; 3 Các giá trị tương ứng y : 20; 16 ; 8; 4 ; 4; Vậy PT (7) có nghiệm nguyên ( x; y ) (2; 20);(1; 16);(3;8);(0; 4);(6; 4);(3;0) Phương pháp 5: VẬN DỤNG VAI TRỊ BÌNH ĐẲNG CỦA CÁC ẨN Nếu PT có hệ số nguyên mà ẩn x, y, z, … có vai trị bình đẳng, ta giả x y z để thu hẹp miền xác định ẩn Từ dùng phép hoán vị để suy sử nghiệm PT cho Ví dụ : Tìm nghiệm ngun dương PT : x y z xyz (6) Hương dẫn : + Do nghiệm x, y, z nguyên dương vai trò chúng bình đẳng, khơng tính tổng qt nên ta giả sử x y z Từ (6) suy : 1 x2 x xy yz zx x y 1 y z 1 z + Với x ta có : x y z xyz ( y 1)( z 1) Vậy PT (6) có nghiệm nguyên dương (x;y;z) (1;2;3) hốn vị Phương pháp : LÙI VÔ HẠN Thực chất phương pháp xuất phát từ nghiệm, xây dựng dãy vô số nghiệm có tính chất k ngun dương, giảm vô hạn Phương pháp thường áp dụng để chứng minh dạng PT khơng có nghiệm ngun khác (7) Ví dụ :Tìm nghiệm ngun phương trình : x y Hướng dẫn : Giả sử ( x0 ; y0 ) nghiệm PT (7) : x0 y0 suy : x0 , đặt x0 x1 ( x1 Z ) Ta có : x12 y0 x12 y0 suy : y0 , đặt y0 y1 ( y1 Z ) Từ , ta có : x12 25 y12 x12 y12 Vậy ( x0 ; y0 ) nghiệm nguyên PT (7) ( Tiếp tục lập luận tương tự, ta có: ( x0 y0 ; ) nghiệm PT (7) 5 x0 y0 ; ) (với k số nguyên dương bất kỳ) nghiệm 5k 5k nguyên PT (7) Hay ( x0 ; y0 ) chia hết cho 5k với k số nguyên dương tuỳ ý Điều xảy x0 y0 Vậy PT (7) có nghiệm nguyên : x0 y0 DeThiMau.vn Phương pháp : SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC Đôi dùng bất đẳng thức để đánh giá ẩn từ đánh giá suy giá trị nguyên ẩn Trong PP ta sử dụng tính chất luỹ thừa bậc số nguyên liên tiếp… để đưa PTNN cần giải dạng PT khác ẩn Từ dễ, dàng tìm nghiệm ngun PT cho.Trong PP này, thường vận dụng nhận xét sau: “Cho x , y số nguyên; a, n, số nguyên lớn Nếu x n y n ( x a) n y n ( x i ) n với i 1; a ” Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình : x x x3 y (8) (Trích đề thi HSG cấp II –Tồn quốc –Bảng A –Năm 1992) Hướng dẫn : 2 + Dễ thấy : x x 5x + 11x + > với giá trị x + Do : x3 < x3 + x2 +x +1 < x3 + x2 +x +1 +5x2 + 11x + + Hay : x3 < y3 < (x +2)3 Theo nhận xét trên, suy : y3 = (x +1)3 x Kết hợp với PT (8), ta có : (x +1)3 = + x + x2 + x3 x(x +1) = x 1 Thay giá trị x vào PT (8), ta nghiệm nguyên (x;y) (0;1) (-1;0) Phương pháp : VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA SỐ VÔ TỈ Các tập sau giúp thấy vận dụng tính chất số vơ tỉ để giải lớp toán phương trình nghiệm ngun Sau vài vài ví dụ minh họa Ví dụ : Tìm nghiệm ngun dương phương trình : x y z (9) Hướng dẫn : Vì vai trị y, z nên giả sử y z Từ PT (9), ta suy : x y z yz ( x y z ) 3( x y z ) yz 12 (*) Vì số vô tỉ nên từ (*) ta suy : x – y – z = 4yz – 12 = y = 3; z = x = y + z = Từ ta dễ dàng tìm nguyên dương (x;y;z) (4;3;1) (4;1;3) Trên mà trình giảng dạy làm tốn, tơi chọn phươngpháp giải thường gặp dạng toán này.Với tinh thần đó, tơi tin rằng: đọc viết em học sinh phần chọn cho phương pháp giải PT nghiệm nguyên kỳ thi HSG mà đặc biệt kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán THPT Các bạn thử sức số tập sau : Bài : Tìm nghiệm tự nhiên PT sau : a) x2 + y3 – 3y2 = 65 – 3y b) x2 + y3 + 27y = 36 + 9y2 Bài : Tìm nghiệm nguyên PT sau : a) x2 – y2 = 91 b) x3 +y3 +z3 = (x +y +z)2 ĐỖ QUANG MINH (Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc – An Xuân – Tuy An – Phú Yên) DeThiMau.vn DeThiMau.vn ... có nghiệm nguyên dương (x;y;z) (1;2;3) hốn vị ? ?Phương pháp : LÙI VÔ HẠN Thực chất phương pháp xuất phát từ nghiệm, xây dựng dãy vô số nghiệm có tính chất k ngun dương, giảm vô hạn Phương pháp. .. ? ?Phương pháp 3: ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG Mục đích phương pháp biến đổi PT dạng: vế trái tổng bình phương cịn vế phải tổng số phương Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên PT : x xy y 16 (4) Hướng dẫn : Ta... PT (8), ta nghiệm nguyên (x;y) (0;1) (-1;0) ? ?Phương pháp : VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA SỐ VÔ TỈ Các tập sau giúp thấy vận dụng tính chất số vơ tỉ để giải lớp toán phương trình nghiệm ngun