Thông tin tài liệu
Bài ôn tập tổng hợp số m x m 2m Cho hµm sè: y = xm PhÇn 1: Trong phÇn nµy cho m = (H1): y = (Hm) x x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (H1) a TX§: D = R\{1} c VÏ: b ChiỊu biÕn thiªn: x -3 -1 TiƯm cËn: y x x 1 x = tiệm cận đứng x lim x 1 x x 1 y = -1 lµ tiƯm cËn ngang lim x x lim -5 -3 -2 x y Bảng biến thiên: y = x 1 x x 1 x y’ y x 1 - + > x x + + -1 + -1 - Khoảng nghịch biến: (-; 1) (1; +) -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -5 NhËn xét: Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận I(1; -1) làm tâm đối xứng Đồ thị (H1) qua điểm có toạ độ nguyên? y= x = -1 x 1 x 1 Gọi M(x0; y0) điểm thuộc (H1) có toạ độ số nguyên y0 = -1 Để x0; y0 Z (x0 - 1) x0 x0 x 1 x0 x x0 x 2 x0 x x x 4 x M1 2; 5 y 5 M 0;3 y0 y 3 1 y Vậy điểm có toạ độ nguyên là: x x 1 M 3; 3 M 1;1 M 5; 2 y 2 3 y M 3;0 B»ng đồ thị, biện luận theo a số nghiệm phương trình: x ax a (1) LG: (1) x0 a DeThiMau.vn sè nghiƯm cđa (1) b»ng sè giao ®iĨm cđa ®å thÞ (C): y = x x 1 y đường thẳng d: y = a d: y = a x x NÕu x -3 x C¸ch vÏ ®å thÞ (C): y = = x 1 x NÕu x > -3 x - Giữ nguyên phần đồ thị (H1) ứng với x -3 - Lấy đối xứng phần lại qua Ox - Hợp hai phần đồ thị đồ thị (C) Dựa vào đồ thị ta cã: x -3 -2 -1 O -3 a - NÕu: a (C) cắt d điểm (1) có nghiÖm a 1 - NÕu -1 < a < (C) cắt d điểm (1) cã nghiÖm - NÕu < a ≤ (C) d = (1) v« nghiệm Tìm m để phương trình sau có nghiƯm x tho¶ m·n sin x 0x đường thẳng y = m cắt đồ thị (H1) điểm có hoành độ (0; 1) (2) cã nghiÖm (0; 1) (1) cã nghiệm [0; ) Chứng tỏ đường thẳng d: y = -x + k cắt (H1) điểm phân biệt A, B Tìm k để đoạn AB ngắn Xét phương trình hoành độ giao điểm: x x k x x 1 x k x 1 f(x) = x2 - (k + 2)x + k - = (1) Do f(1) = -4 vµ = (k + 2)2 - 4(k - 3) = k2 + 16 > k Nên (1) có hai nghiệm phân biệt đường thẳng d: y = -x + k cắt (H1) điểm phân biệt A, B x A x B k x A x B k Khi theo định lí Viet ta cã: 2 2 2 AB2 = x B x A y B y A x B x A x B k x A k x B x A x B x A 4x A x B 2 = 2[(k + 2) - 4(k - 3)] = 2(k + 16) ≥ 32 AB ≥ KL: VËy víi k = AB ngắn Tìm đồ thị (H1) điểm có tổng khoảng cách đến tiệm cËn nhá nhÊt gäi M(x0; y0) (H1): y x x0 DeThiMau.vn TiƯm cËn ®øng d1: x = TiƯm cËn ngang d2: y = -1 d M;d1 x ; d M;d y x 1 x0 x0 d M;d1 d M;d x 4 x0 4 x0 x0 DÊu “=” x¶y x (x0 - 1)2 = x0 x 1 y x y 3 KL: VËy cã ®iĨm: M1(-1; 1) M2(3; -3) tổng khoảng cách đến tiệm cận nhỏ Chứng minh (H1) có vô số cặp điểm tiếp tuyến song song với y = x Xét phương trình: y’(x0) = k x 1 k (1) Ta thÊy nÕu k > (1) có nghiệm phân biệt với k > có điểm phân biệt có hoành độ nghiệm phương trình (1) mà tiếp tuyến hai điểm song song với ®fcm Cho ®êng th¼ng (D): y = ax + b tiếp xúc với (H1) tiệm cận M N Gọi I giao điểm tiệm cận Chứng minh tiếp điểm trung điểm đoạn thẳng MN diện tích IMN không phụ thuộc a, b Tìm a, b để khoảng cách từ I ®Õn (D) lín nhÊt d1 d2 = I(1; -1) Gäi (D) lµ tiÕp tun cđa (H1) t¹i A(x0; y0) (D): y x 1 x x0 x x0 - (D) d1 = {M} xM = x x x x 4 M 1; x0 x0 x0 x0 x 1 x0 x - (D) d2 = {N} yN = -1 1 x x0 M x0 x 1 yM x 1 1 x x M x 1 xM x0 x0 xM = 2x0 - x0 x0 x 1 N(2x0 - 1; -1) xN + xM = + 2x0 - = 2x0 A lµ trung ®iĨm cđa MN ®pcm IN = 2x x IM = SIMN = x 1 x0 x0 1 IM.IN đfcm Gọi H chân đường cao hạ từ I lên (D) d(I; (D)) = IH IM IN 16 1 Ta cã: IH = IM IN x IH IM IN IH max IH 16 x 1 max 64 x 1 x 1 x0 = (D): y = x - a = vµ b = -6 x0 = -1 (D): y = x + a = b = Từ đồ thị (H1) hÃy suy đồ thị hàm số sau ®©y: DeThiMau.vn 4.16 16 x0 x x 2 x 1 x 1 16 64 16 x x3 x x a) y = x 1 x 1 x x x 0 x 1 x NÕu 0 x 1 y NÕu C¸ch vẽ: Giữ nguyên đồ thị (H1) nằm bên Ox Lấy đối xứng phần lại qua Ox x3 Hợp hai phần đồ thị đồ thị y x 1 x x 1 x -3 -2 -1 O y x x b) y = x x 3 NÕu x > NÕu x < C¸ch vÏ: Giữ nguyên đồ thị (H1) ứng với x > Lấy đối xứng phần lại qua Ox x3 Hợp hai phần đồ thị đồ thị y x 1 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 x -5 y x c) y = x 1 x x3 x x 3 NÕu x > NÕu x < Cách vẽ: Giữ nguyên đồ thị (H1) bên phải Oy Lấy đối xứng qua Oy x Hợp hai phần đồ thị đồ thị y 1 x x -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -5 DeThiMau.vn y T×m tập hợp điểm M(x, y) cho: x x3 a) y x 1 1 x x x NÕu x ≥0 x 1 C¸ch vẽ: Giữ nguyên đồ thị (H1) bên Ox Lấy đối xứng qua Ox Hợp hai phần đồ thị tập hợp điểm x3 M(x, y) mặt phẳng toạ độ cho: y x x -3 -2 -1 O x x 1 x x3 b) y x 1 x y x x 1 y x x -2 -3 -5 Tập hợp điểm M(x, y) không thuộc phần gạch mặt phẳng toạ độ điểm cần tìm Phần II: Phần m tham số tuỳ ý Xác định m để hàm số luôn đồng biến y = x m x m hàm số đồng biến tong khoảng tập xác định Chứng minh (Hm) có tâm đối xứng Tìm quỹ tích tâm đối xứng m thay ®ỉi TiƯm cËn ®øng d1: x = m TiÖm cËn ngang d2: y = m - d1 d2 = I(m; m - 2) §ỉi hƯ trơc Oxy sang hƯ trơc IXY cho (IX // OX; IY // Oy) x X m thay vào đồ thị y Y m Công thức đổi trục: Y+m+2= m X m m2 2m Y = Xmm gX X Ta thÊy g(-X) = -g(X) hµm Y = g(X) lµ hàm số lẻ (Hm) nhận I làm tâm đối xứng CMR đồ thị (Hm) tiếp xúc với đường thẳng cố định m x m 2m Nh¸p: y = y(x - m) = (m - 2)x - m2 + 2m - xm - m(y + x + 2) + xy + 2x + = = x y xy 2x x y 2xy 4x 4y 12 = (x - y)2 - 4(x - y) - 12 = (x - y - 6)(x - y + 2) LG: Xét đường thẳng d1: y = x - y - = y = x - m2 m x m 2m x6 xm XÐt hÖ 1 x m 2 1 2 DeThiMau.vn (1) x2 - (2m + 4)x + m2 + 4m + = (x - m - 2)2 = x = m + ta thấy x = m + nghiệm cđa (1) hƯ (1); (2) lu«n cã nghiƯm x = m + VËy d1 lu«n tx víi d1 CM t¬ng tù víi d2: x - y + = đfcm Tìm điểm cố định mà đồ thị (Hm) qua Gọi M(x0; y0) điểm cố định (Hm) y0 = m2 m x m2 2m m x0 m - m(y0 + x0 + 2) + x0y0 + 2x0 + = m 1 y x v« nghiƯm (Hm) điểm cố định x y 2x 0 T×m điểm đường thẳng x = mà (Hm) không qua A d: x = A(2; a) (Hm) không qua A a = m m 2m 2m v« nghiƯm m - 2ma = -m2 + 4m - v« nghiƯm víi m m2 - 2(a + 2)m + 2a + = v« nghiƯm víi m = (a + 2)2 - (2a + 8) < a2 2a - < 1 a 1 (*) KL: VËy c¸c điểm cần tìm A(2; a) với a thoả mÃn (*) Tìm mặt phẳng Oxy điểm mà họ (Hm) không qua Gọi M(x0; y0) điểm mà (Hm) không qua m x m 2m y0 = v« nghiƯm víi m x0 m m2 - m(y0 + x0 + 2) + x0y0 + 2x0 + = v« nghiƯm víi m (1) ... nguyên đồ thị (H1) bên phải Oy Lấy đối xứng qua Oy x Hợp hai phần đồ thị đồ thị y 1? ?? x x -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -5 DeThiMau.vn y T×m tập hợp điểm M(x, y) cho: x x3 a) y x ? ?1 1 x x
Ngày đăng: 31/03/2022, 00:03
Xem thêm:
