Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 năm học 2013 2014 môn Toán36469

UBND HUY N NGHI XUÂN PHÒNG GIÁO D C- ÀO T O K THI CH N I TUY N H C SINH GI I L P N M H C 2013 -2014 Th i gian làm bài: 150 phút Mơn: Tốn Câu 1: a Tính giá tr c a bi u th c: A    14  b Tìm x; y th a mãn: x  y  xy  x   Câu 2: a Gi i ph ng trình nghi m nguyên: x  y  x y  85  5  P   x  2012    y  2013   z  2014  b Cho x ; y ; z s nguyên   S  x  y  z  2013 Ch ng minh r ng P chia h t cho 30 ch S chia h t cho 30 Câu 3: Cho ba s x, y, z khác tho mãn:  x  y  z   1 1   2 2 2 y z xyz x 1 1    0 x y z  Tính giá tr c a bi u th c: P  y 2009  z 2009  z 2011  x 2011  x 2013  y 2013  Câu 4: a Cho tam giác nh n ABC có tr c tâm H, tr ng tâm I; Giao m đ tr c O, trung m c a BC M Tính giá tr bi u th c: IO  OM IH  HA2  M t đ b Cho góc xOy Bi t giá tr bi u th c ng trung ng th ng d thay đ i c t tia Ox; Oy t i M N 1  không thay đ i đ OM ON ng th ng d thay đ i Ch ng minh r ng đ ng th ng d qua m t m c đ nh Câu 5: a Cho s x; y; z không âm, không đ ng th i b ng th a mãn: 1    x 1 y  z  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P  x  y  z  xyz b Cho s d ng x, y, z tho mãn u ki n: xy + yz + zx = 671 Ch ng minh r ng: x y z    x  yz  2013 y  zx  2013 z  xy  2013 x  y  z H t Trung tâm luy n thi EDUFLY-hotline: 0987708400 DeThiMau.vn Page H tên thí sinh SBD PHÒNG GD- T NGHI XUÂN H NG D N CH M MƠN TỐN THI CH N I TUY N H C SINH GI I L P N M H C 2013-2014 Câu 1:(4 m) a) 1,5 m a) A    14   b) 2,5 m   1  BI U I M 3    1     x  0; y b) KX :   x  0; y  Xét x = Suy y = - ( Th a mãn) Xét x  0; y  Bi n đ i PT v d ng: L p lu n tính đ 0,5 0,75  x y   x 2  0 c x = y = ( Th a mãn) KL:  x; y    0; 4  ho c  x; y    4;  Câu 2: (4,5 m) a) Ph ng trình cho t L p lu n ng đ x  85  44 1,5 1,0 0,25 a) 2,25 m b) 2,25 m ng v i x  85   y  x  Mà x  Z Suy x  { ;14 ; ;34 } 0,5 1,0 x  y  85 ( lo i) 4 x  14 x  24  y    84 ( lo i)  y    71 ( lo i)  y  18   y  20 x  Khi  x  34  y  18       y  18  2  y  16  x  3 V y ph ng trình có nghi m ngun  x; y  là: (3 ; 20); (-3 ; 20); (3 ; 16); (-3 ; 16) 0,75 b) t a  x  2012; b  y  2013; c  z  2014 Ta có: ( a ; b ; c s nguyên ) P  a  b5  c S  abc 0,5 Xét P  S   a  a   b  b    c5  c  DeThiMau.vn Ta có : v i m i s nguyên m m5  m chia h t cho 30 Th t v y: m5  m  m(m4 1)  m(m2 1)(m2 1)   m(m 1)(m 1)(m  2)(m  2)  5m(m 1)(m 1) (1) V i m i s nguyên m m; (m  1);(m  1);(m  2);(m  2) s nguyên liên ti p nên có th a s chia h t cho 2; th a s chia h t cho 3;1 th a s chia h t cho mà 2; 3; nguyên t t ng đơi m t nên tích c a chúng chia h t cho 2.3.5 Hay m(m  1)(m  1)(m  2)(m  2) chia h t cho 30 (2) Và m; (m  1); (m  1) m; (m  1);(m  1);(m  2);(m  2) s nguyên liên ti p nên có th a s chia h t cho 2; th a s chia h t cho mà 2; nguyên t nên tích c a chúng chia h t cho 2.3 Hay 5m(m  1)(m  1) chia h t cho 30 (3) T (1); (2); (3) Suy v i m i s nguyên m m5  m chia h t cho 30 1,75 Do P  S   a  a    b5  b    c5  c  chia h t cho 30 v i a; b; c s nguyên Câu 3: (2,5 m) T gi thi t suy ra:  1  1 1 1 1 1 2(x  y  z) 1  2 2 2     2         4    x y z xyz x y z xyz x y z  xy yz zx   x y z  1 1 1    suy    (1) x y z x y z 1 M t khác x  y  z  suy  (2) xyz 1 1 (3) T (1) (2) suy    x y z xyz Mà (3)   x  y  y  z  z  x   Bi n đ i  x 2013   y 2013  x 2013  y 2013  x  y  x   y     z  y    y   z   y 2009   z 2009   y 2009  z 2009   2011   x 2011  2011 2011  x  z   z   x z z  x  Câu :(5,5 m) a) m A K H I B 1,0 O C M 1,0 nên P = 0,5 b) 2,5 m a) Ta có MO // HA (cùng vng góc v i BC) OK // BH (cùng vng góc v i AC)   (góc có c nh t ng ng song song)  KOM = BHA MK // AB (M, K trung m BC AC)  = OMK  (góc có c nh t ng ng song song)  HAB  ABH đ ng d ng v i MKO (1,0) MO MK  ( 0,5 )   AH AB 2 DeThiMau.vn MO MI  = HAI  (so le trong)   OMI AH AI IO IO OM      AIH đ ng d ng v i MIO  IH IH HA Xét AIH MIO có  IO2 OM IO2  OM     IH HA IH  HA IO  OM  IH  OA2 1,0 0,5 d x M I E O b) Gi s y N D 1   (1) ( a s d OM ON a ng cho tr c) L y m D Oy cho OD = a OD < ON V DI song song v i Ox ( I  đo n MN ) L y E Ox cho OE = ID Khi OEID hình bình hành Ta có OE OD NI EI NI MI OE 1       =>    (2) OM ON NM ON NM MN ON OD.OM OD a T (1) (2) => OE OE  =>  => OE = OD = a không đ i, mà OM OD.OM OD D  Oy; E  Ox nên D; E c đ nh M t khác O c đ nh OEID hình bình hành nên I c đ nh V y d qua I c đ nh ( PCM) a) Tr 1,0 0,75 0,75 CÂU (3,5 m) Câu a) m Câu b) 1,5 m c tiên ta ch ng minh b t đ ng th c: V i  a, b, c  R x, y, z > ta a2 b2 c2  a  b  c  có    x y z x yz D u “=” x y  (*) Th t v y, v i a, b  R x, y > ta có a2 b2  a  b    x y x y a b c   x y z (**)   a y  b x   x  y   xy  a  b    bx  ay   (luôn đúng) 2 áp d ng b t đ ng th c (**) ta có a2 b2 c2  a  b  c2  a  b  c       x y z x y z x y z 2 D u “=” x y  a b c   x y z 1   1  1 Áp d ng v i a = b= c = ta có     x 1 y  z  x  y  z  x  y  z  => x  y  z   => x  y  z  ( Có th ch ng minh B T nh áp d ng B T Bunhicopski ) Áp d ng B T Côsi cho s d ng ta có: 0,75 DeThiMau.vn P  x  yz 8(x  y  z) x  y  z 8.3 x  y z 10       x yz 9 x yz 9 x yz D u “=” x y ch s x; y; z không âm không đ ng th i b ng x  y  z  x  y  z   x  xyz   th a mãn :    y  ( Th a mãn) x   y   z  z    1   1   x 1 y  z  10 V y Min P   x = 2; y = 1; z = b) Áp d ng b t đ ng th c (*) ta có VT   0,25 x y z   x  yz  2013 y  zx  2013 z  xy  2013 x2 y2 z2   x  x  yz  2013 y  y  zx  2013 z  z  xy  2013  x  y  z 0,75 (1) x3  y  z  xyz  2013  x  y  z  Chú ý: xy + yz + zx = 671 nên x  x  yz  2013 = x  x  xy  zx  1342   , y  y  zx  2013  z  z  xy  2013  Ch ng minh: x  y  z  3xyz   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx    x  y  z   x  y  z    xy  yz  zx   (2)   x3  y3  z3  3xyz  2013 x  y  z    x  y  z   x  y  z    xy  yz  zx   2013   (3) =  x  y  z   x  y  z   3.671  2013 =  x  y  z    0,5 T (1) (3) ta suy  x  y  z  x  y  z VT   x y z D u “=” x y  x = y = z = 0,25 2013 ( Ghi chú: M i cách gi i khác h p lí đ u cho m t i đa t ng ng) H t - DeThiMau.vn ...  y  z  z  x   Bi n đ i  x 2013   y 2013  x 2013  y 2013  x  y  x   y     z  y    y   z   y 20 09   z 20 09   y 20 09  z 20 09   2011   x 2011  2011 2011... 0,25 x y z   x  yz  2013 y  zx  2013 z  xy  2013 x2 y2 z2   x  x  yz  2013? ?? y  y  zx  2013? ?? z  z  xy  2013? ??  x  y  z 0,75 (1) x3  y  z  xyz  2013  x  y  z  Chú...H tên thí sinh SBD PHÒNG GD- T NGHI XUÂN H NG D N CH M MƠN TỐN THI CH N I TUY N H C SINH GI I L P N M H C 2013- 2014 Câu 1:(4 m) a) 1,5 m a) A