IV Phương trình IV.1- Phương trình bậc ẩn Giải biện luận: Kiến thức - Phương trình bậc ẩn có dạng: ax + b = (a 0) víi a, b số đà cho - Giải biện luận phương trình bậc ẩn: Xét phương trình ax + b = ax = - b + NÕu a = 0; b = -> Ph¬ng trình có vô số nghiệm + Nếu a = 0; b -> Phương trình vô nghiệm + Nếu a 0, Phương trình có nghiệm x = b a Bµi tËp vÝ dơ VÝ dụ: Giải biện luận phương trình sau với m lµ tham sè m2 (x – 1) = x – 2m + (1) Giải: Phương trình (1) m2x – m2 = x – 2m + m2x – x = m2 – 2m + (m – 1) (m + 1) x = (m – 1)2 - Nếu m phương trình có nghiƯm lµ x = m 1 m 1 - NÕu m = phương trình 0x = => Phương trình có vô số nghiệm - Nếu m = -1 phương trình 0x = => Phương trình vô nghiệm IV.2 Phương trình bậc hai Hệ thức Viét áp dụng cho phương trình bậc hai Phương trình bậc hai ẩn: - Là phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0, (a 0) Trong x ẩn; a, b, c R - Cách giải: Cách 1: Dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, đưa phương trình tích Cách 2: Dùng công thức nghiệm phương trình bậc hai Ví dụ1: Giải phương trình: 3x2 7x + = (1) Cách 1: Phương tr×nh (1) 3x2 – 3x – 4x + = x 3 x (3x – 4) (x – 1) = x x Vậy phương trình có nghiệm: x1 = C¸ch 2: = 49 – 48 = 1; x1 ; x2 = 1 1 1 ; x2 6 DeThiMau.vn Vậy phương trình có nghiÖm: x1 = ; x2 = VÝ dụ 2: Cho phương trình: m(x2 4x + 3) + 2(x 1) = a) Giải phương trình víi m = - (1) b) Chøng minh phương trình có nghiệm với giá trị m c) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm nguyên Giải: Phương trình (1) mx2 – 2x (2m – 1) + 3m – = a) Víi m = - , phương trình (1) là: x2 8x + = Phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = b) Với m = 0, phương trình (1) lµ: 2x – = ; PT cã nghiƯm x = Víi m 0, ’ = 4m2 – 4m + – 3m2 + 2m = m2 – 2m + = (m – 1)2 Với m -> Phương trình có nghiệm Vậy phương trình (1) có nghiệm với m c) Với m = 0, phương trình có nghiệm lµ x = Z Víi m 0, phương trình có nghiệm phân biệt 2m m 3m m m 2m m x2 1 m x1 x2 Z => để phương trình có nghiệm nguyên 3m 2 Z Z m m 1;2 m m VËy víi m = 0; 1;2 phương trình (1) có nghiệm nguyên Ví dụ 3: Giải phương trình: x4 + x3 – 3a2x2 – 2a2x + 2a4 = (1) Gi¶i: Phương trình (1) 2a4 a2(3x2 + 2x) + x4 + x3 = (2) Coi phương trình (2) phương trình với ẩn a, tham số x Đặt a2 = t ( t 0) ta phương tr×nh: 2t2 – (3x2 + 2x) t + x4 + x3 = (3) = (3x2 + 2x)2 – (x4 + x3) x4 + 4x3 + 4x2 = (x2 + 2x)2 => Phương trình có nghiÖm 3x x x x 2x x 4 2 3x x x x x2 x t2 t1 DeThiMau.vn * Víi t1 x2 x2 ta cã: a2 = x2 = 2a2 2 - NÕu a = => x1 = x2 = - NÕu a => x3, = a * Víi t2 = x2 + x ta cã: a2 = x2 + x x2 + x – a2 = = + 4a2 > với a Phương trình cã nghiƯm ph©n biƯt: x5 4a 2 x6 4a 2 VËy nÕu a = 0, phương trình có nghiệm là: x1 = 0; x2 = -1 Nếu a , phương trình có nghiƯm lµ: x1;2 = a ; x3;4 = 4a 2 * Quan hệ nghiệm phương trình bậc 2: Ví dụ: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm chung x2 + (m – 8)x + m + = (1) x2 + (m – 2)x + m - = (2) Giải: Giả sử x0 nghiệm chung phương trình, thì: x02 + (m – 8) x0 + m + = (1’) x02 + (m – 2) x0 + m – = (2’) => - 6x0 + 12 = x0 = Thay vào (1) tìm m = Với m = phương trình (1) lµ: x2 – 5x + = (x – 2) (x – 3) = => x1 = 2; x2 = Phương trình (2) là: x2 +x – = (x – 2) (x + 3) = => x1 = 2; x2 = -3 Khi nghiệm chung phương trình x = Vậy với m = phương trình có nghiệm chung x = DeThiMau.vn Hệ thức Viét áp dụng cho phương trình bậc hai a) HÖ thøc ViÐt: b S x x a + NÕu x1, x2 nghiệm phương trình ax2 + bx + c = ( a ) th×: c P x x a + Ngược lại: Nếu có số x1; x2 cho x1 + x2 = S; x1.x2 = P x1; x2 nghiệm phương trình: X2 – SX + P = b) Mét sè áp dụng: Hệ thức Viét thường ứng dụng để giải số dạng tập sau: b1) Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = ( a ) - NÕu a + b + c = phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = - NÕu a – b + c = th× x1 = -1; x2 = - c a c a VÝ dơ: TÝnh nhÈm nghiƯm cđa c¸c phương trình sau: a) x2 (3 - )x + ( - 1)2 = (1) b) mx2 – (1 – m) x – = (2) Giải: a) Phương trình (1) phương trình bậc hai d¹ng ax2 + bx + c = 0, cã: a+b+c= = -3+ - (3 - ) + ( - 1)2 +3-2 =0 c => Phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = = a 1 2 b) + Với m = 0, phương trình là: -x = x = -1 + Víi m , phương trình (2) phương trình bậc hai có ab+c=m+1m1=0 Phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = - c = a m b2) Xét dấu nghiệm phương trình Cho phương trình: ax2 + bx + c = (a ) Gäi S = x1 + x2; S = - b c ; P = x1.x2; P = a a Điều kiện để phương trình: - Có nghiệm trái dấu: P < (khi hiển nhiên > 0) DeThiMau.vn 24 - Cã nghiÖm cïng dÊu P - Cã nghiƯm cïng d¬ng: P S - Cã nghiƯm cïng ©m P S Ví dụ: Cho phương trình: x2 + 2( m – 2)x – 2m + = (1) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm dương? nghiệm trái dấu Giải: Phương trình (1) có nghiệm dương: m 2 (2m 1) 2m 2(m 2) P S m 12 m m 1 m m 2 m m m < TM víi mäi m Vậy với m < phương trình có nghiệm dương b3) Tính giá trị hệ thức nghiệm phương trình Trước hết, kiểm tra điều kiện có nghiệm phương trình Sau ®ã tÝnh S = x1 + x2; P = x1.x2 biến đổi hệ thức cần tính theo S P Ví dụ: Cho phương trình x2 5x + = (1) Gäi x1; x2 lµ nghiƯm phương trình Không giải phương trình, hÃy tính: a) x12 + x22 b) x12 – x22 c) 1 3 x1 x Giải: Phương trình (1) cã: = 25 – 12 = 13 > -> Phương trình có nghiệm x1; x2 Theo ®Þnh lý ViÐt ta cã: x1 + x2 = 5; x1.x2 = a) x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 52 – 2.3 = 19 b) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – x1x2 = 52 – 4.3 = 13 x1 - x2 = 13 DeThiMau.vn Ta cã: x12 – x22 = (x1 – x2)(x1 + x2) = 5 13 c) x23 x13 ( x2 x1 )( x2 x12 x2 x1 ) 5(19 3) 80 80 1 = 27 x23 x13 x23 x13 33 x13 x 23 b4) Xác định hệ số phương trình, biết hệ thức nghiệm Ví dụ: Cho phương trình: x2 – 3x + (k – 1) = (1) X¸c định hệ số k để phương trình có nghiệm x1; x2 thoả mÃn điều kiện sau: a) 2x1 – 5x2 = - b) x12 – x22 = 15 c) x12 + x22 = Gi¶i: Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là: = – (k – 1) = – 4k + = 13 – 4k 13 – 4k k 13 (2) Gäi nghiƯm cđa ph¬ng trình (1) x1; x2 áp dụng hệ thức Viét ta cã: x1 + x = x1.x2 = k – (3) x x2 a) Giải hệ phương trình: x1 x 8 2 x x 7 x 14 x 2 x1 x 8 x1 x x1 Khi đó, thay vào (3) ta cã: 1.2 = k – => k = (TMĐK (2)) b) Giải hệ phương trình: x1 x x1 x x1 x x1 2 ( x1 x )( x1 x ) 15 x1 x x 1 x1 x 15 Thay vµo (3) ta cã: (-1) = k – k = -3 (TM§K) x1 x c) Gi¶i hệ phương trình: x12 x 22 x x k Ta cã: x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 => = 32 – (k – 1) k = 4, không TMĐK (2) Vậy không tồn số k để thoả mÃn x12 + x22 = b5) Tìm hệ thức nghiệm độc lập với tham số DeThiMau.vn Ví dụ: Cho phương trình bậc 2: ( m – 2)x2 – 2(m + 2)x + (m 1) = (1) Khi phương trình có nghiệm, hÃy tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Giải: Vì phương trình đà cho phương trình bậc hai nên m ' =[-(m+2)]2 – 2(m – 2) (m – 1) = -m2 + 10m Phương trình đà cho có nghiƯm vµ chØ khi: ' m2 – 10m m ( m – 10) m 10 Gäi x1; x2 nghiệm phương trình (1) Theo hệ thøc ViÐt ta cã: 2(m 2) x1 x m x x 2(m 1) m2 (1) (2) ( x x2 ) 2m 2 m2 m2 m2 Tõ (1) : x1 + x2 = (3) Tõ (2): x1.x2 = x x 2 2m 2m 2 m2 m2 m2 m2 Tõ (3); (4) => x1 x x1 x x1 x ( x1 x ) Vậy hệ thức cần tìm là: 4x1x2 (x1 + x2) = b6) Lập phương trình bËc hai biÕt nghiƯm cđa nã VÝ dơ: Gäi m, n nghiệm phương trình: x2 (1 + 2)x+ = (1) (m < n) Lập phương trình bậc có nghiệm là: x1 m ; x2 1 n Giải: Phương trình (1) có: a + b + c = (1 + => Phương trình có nghiƯm lµ vµ 2)+ =0 Gäi m, n nghiệm phương trình (1) với m < n => m = 1; n = x1 m x1 + x = x1.x2 = 1 1 ; x2 1 1 1 1 1 n 1 2 1 DeThiMau.vn (4) => x1; x2 lµ nghiệm phương trình: x2 + 2x = Bài tập tự luyện Giải biện luận phương trình bậc ẩn Bài 1: Giải phương trình sau: a) (2x 1)2 (2x 2) (2x + 2) = x (2x – 1) – (2x2 + 5x – 3) b) 3x 3x 3x 3x 2005 2004 2003 2002 c) x 1050 x 1055 x 1060 x 1065 x 1070 x 1075 956 951 946 941 936 931 d) x3 x4 x6 6 201 100 66 1 148 49 e) x . x 1 x 97.99 99 99 1.3 3.5 5.7 g) x 3 2x 7 3x 5 4x Bài 2: Giải phương trình sau (với x ẩn số): a) 4m2 (x – 1) = x – 4m + b) m( x 1) m x 2 c) x a x a x 2a 0 a 1 a 1 1 a2 d) ab x ac x bc x 4x c b a abc Phương trình bËc hai – HƯ thøc ViÐt vµ øng dơng: Bµi 3: Giải phương trình sau: a) x2 – ( +1)x b) c) x2 + (2 -3)x + +1=0 -3 = x 12 x 2x 3 x Bài 4: Chứng minh phương tr×nh sau cã nghiƯm víi mäi m (m – 2) x2 – (5m2 + 4m – 1)x – m + = Bài 5: Tìm số nguyên n để nghiệm phương trình sau số nguyªn x2 – 2(2n + 1)x + (n – 2) = Bài 6: Gọi x1; x2 nghiệm phương trình: x2 x = a) TÝnh x12 + x22 b) Chøng minh: Q = (x12 + x22 + x14 + x24) DeThiMau.vn Bài 7: Tìm m để phương trình: x2 mx + m2 – = cã nghiƯm nµy gấp đôi nghiệm Bài 8: Cho phương trình: x2 – mx + m2 – = a) T×m m để phương trình có nghiệm dương phân biệt b) Tìm m để phương trình có nghiệm dương Bài 9: Cho phương trình: x2 2( m+ 1) x + m2 + 3m + = a) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mÃn: x12 + x22 = 12 b) Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc m? Bài 10: Cho phương trình: x2 2(m + 1)x + 2m – 15 = Gäi c¸c nghiệm phương trình x1; x2 a) Tìm m cho x1 + 5x2 = b) T×m sè nguyªn m cho F = 1 cịng số nguyên x1 x Bài 11: Cho phương tr×nh: (m + 1) x2 – 2(m – 1) x + m = a) Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt b) Xác định m để phương trình có nghiệm tính nghiệm c) Xác định m để phương trình có nghiệm x1; x2 thoả mÃn hệ thức 1 x1 x d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 2x12 + 2x22 + x1x2 Bài 12: Cho phương trình bËc hai: x2 – 2( m + 1) x + 2m + 10 = (1) (m lµ tham sè) a) Tìm m để (1) có nghiệm b) Cho biểu thøc A = 6x1x2 + x12 + x22 (x1; x2 nghiệm (1) Tìm m cho A đạt giá trị nhỏ HÃy tìm giá trị x 3 x 4x x 1 : Bµi 13: Cho biĨu thøc: P = 3 x 3 x x 9 3 x x x BiÕt víi x ≥ 0, x 9, x th× P cã nghÜa a) Rót gän P b) Gäi x0 nghiệm phương trình: x2 11x + 18 = Tính giá trị P x0 Bài 14: Cho phương trình: (m 1) x2 2mx+ m + = (víi m lµ tham số) a) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1; x2 Khi tìm hệ thức liên hệ x1; x2 không phụ thuộc vào m b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mÃn hệ thức: x1 x 60 x x1 Bài 15: Cho phương tr×nh: (x + 1)4 – (m – 1) (x + 1)2 – m2 + m – = DeThiMau.vn (1) a) Giải phương trình với m = -1 b) Chứng minh phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1; x2 với giá trị tham số m Bài 16: Cho phương trình: x m2 = - - mx (1) a) T×m tham số m để phương trình có nghiệm TÝnh nghiƯm ®ã víi m = + b) Tìm giá trị m để phương trình (1) nhËn x = - lµ nghiƯm c) Gọi m1; m2 hai nghiệm phương trình (1) ẩn m tìm x để m1; m2 số đo cạnh góc vuông tam giác vuông có cạnh huyền 2 Bài 17: Cho phương trình bậc hai x: x2 2(m 1)x + m – = (1) a) Gi¶i phương trình (1) với m = b) Chứng minh phương trình (1) có nghiệm x1; x2 với m c) Tìm hệ thức liên hệ x1; x2 không phụ thuộc m d) Xác định giá trị m cho phương trình có nghiệm GTTĐ trái dấu Bài 18: Giải phương trình: x4 10x3 2( a – 11)x2 + 2(5a + 6)x + 2a + a2 = Bài 19: Giải phương trình: x4 - 2 x2 – x + - (a > -6) =0 Hướng dẫn giải tập tự luyện Giải biện luận phương trình bậc Bài 1: Giải phương trình sau: a, (2 x 1) (2 x 2)(2 x 2) x(2 x 1) (2 x x 3) x x (4 x 4) x x x x 4 x x x x 2 x Vậy phương trình có nghiệm x = -1 b, 3x 3x 3x 3x 2005 2004 2003 2002 3x 3x 3x 3x 1 1 1 1 2005 2004 2003 2002 x 2006 x 2006 x 2006 x 2006 2005 2004 2003 2002 1 1 (3 x 2006)( )0 2005 2004 2003 2002 DeThiMau.vn 1 1 1 1 ( )0 vµ 2005 2003 2004 2002 2005 2004 2003 2002 Do x 2006 x VËy phương trình có nghiệm x c, x 1050 x 1055 956 951 2006 2006 x 1060 946 x 1065 941 x 1070 936 x 1075 931 x 1050 x 1055 x 1060 ( 1) ( 1) ( 1) 956 951 946 x 1065 x 1070 x 1075 ( 1) ( 1) ( 1) 941 936 931 x 2006 x 2006 x 2006 x 2006 x 2006 956 951 946 941 936 1 1 1 ( x 2006)( ) 956 951 946 941 936 931 t¬ng tù ta cã: ( d, 1 1 956 951 946 941 936 ) 931 x 2006 931 x 2006 x3 x4 x6 6 201 100 66 x x x ( 1) ( 2) ( 3) 201 100 66 x 204 x 204 x 204 201 100 66 1 ( x 204)( ) 201 100 66 x 204 x 204 Vậy phương trình có nghiÖm x = - 204 e, ( 1 1 148 x 49 )( x 1) x 1.3 3.5 5.7 97.99 99 99 2 2 148 x 99 x 49 ( )( x 1) 1.3 3.5 5.7 97.99 99 99 1 1 1 1 49 x 49 (1 )( x 1) 3 5 97 99 99 99 1 49 1 49 (1 )( x 1) )0 ( x 1) ( x 1)( 99 99 2.99 99 x x Vậy phương trình có nghiệm x = g, x 3 2x 7 3x 5 4x 7 DeThiMau.vn x 2006 x ( 2) x ( 5) x ( 2) x ( 3) 75 52 73 x 3 x.0 (vô lý) Vậy phương trình đà cho vô nghiệm Bài 2: Giải phương trình sau (víi x lµ Èn sè) 1) x 4m a, 4m ( x 4m x 4m x(4m 1) 4m 4m x 4m x(2m 1)(2m 1) (2m 1) m * NÕu (2m 1)(2m 1) m Víi m 1 ph¬ng trình có vô số nghiệm 2 m 1 2( ) phương trình v« sè nghiƯm 2 * NÕu (2m 1)(2m 1) m x KÕt luận: 1 m phương trình có nghiÖm 2 (2m 1) 2m (2m 1)(2m 1) 2m m phương trình có vô số nghiệm m phương trình vô nghiệm 1 2m m ; m ph¬ng tr×nh cã nghiƯm: x 2 2m b, m( x 1) m x 2 3m( x 1) 2(m x) 12 3mx 3m 2m x 12 x(3m 2) 12 5m * NÕu 3m m ®ã 12 5m 12 phương trình vô nghiÖm * NÕu 3m m 12 5m phương trình có nghiÖm x 3m DeThiMau.vn KÕt luận: c, m phương trình vô nghiệm m 12 5m phương trình có nghiệm x 3m x a x a x 2a 0 a 1 a 1 a2 (®k: (1 a )(1 a ) a1 a1 ( x a 2)(a 1) ( x a )(a 1) ( x 2a ) 0 a2 1 x(a 1) a a x(a 1) a a x 2a x(a a 1) 2a x(2a 1) 2(a 1) * NÕu 2a a 1 2(a 1) 2( 1) phương trình vô nghiệm 2 a 2(a 1) 2a phương trình có nghiệm x a1 2a KÕt luËn: a phương trình vô nghiệm a 1 2(a 1) a phương trình có nghiệm x 2a a 1 d, ab x ac x bc x 4x 1 c b a abc ®k: a 0; b 0; c ab x acx bcx 4x 1 1 1 c b a abc ab xc ac xb bc xa abc x 4 c b a abc 1 (a b c x)( )0 c a b abc a b c x x a b c 1 0 a b c abc Phương trình bậc hai – HƯ thøc ViÐt vµ øng dơng Bµi 3: a, x ( 1) x ( 1) 3.4.( 1) 24 28 phương trình có nghiÖm DeThiMau.vn x1 b, 28 28 ; x2 4 x (2 3) x (2 3) 2( 3) 4.2 12 12 90 phương trình có nghiệm x1 (2 3) 1 2 x2 (2 3) 3 2 x1 1 VËy phương trình có nghiệm: x2 2 ( x 1) ( x 2)( x 3) x 1 c, 3( x x 1) 2( x x 6) 6( x 1) x 10 x 25 15 40 phương trình có nghiệm: x1 40 40 ; x2 5 Bµi +Víi m m Khi phương trình (5.4 4.4 1) x x + Víi m (5m 4m 1) 4(m 2) m Vậy với m phương trình có nghiệm Bài 5: (2n 1) 4(n 2) 4n Phương trình có nghiÖm x1 2n 4n x2 2n 4n §Ĩ x1 ; x2 Z 2n 4n Z vµ 2n 4n Z 4n Z DeThiMau.vn Đặt 4n k (k Z ) k 0 4n k k 4n (k 2n)(k 2n) mµ k , n Z nªn ta cã: k 2n k - NÕu k 2n n k 2n 1 k 5 - NÕu k 2n 9 n 2 k 2n k - NÕu k 2n n k 2n 3 k 3 - NÕu k 2n 3 n Vậy giá trị cần tìm là: n 2; n Bµi 6: Gäi x1; x2 nghiệm phương trình x2 x 1 a, phương trình có nghiệm x1; x2 x12 x22 ( x1 x2 ) x1 x2 ¸p dơng Viet: x1 x2 x1 x2 1 Khi ®ã: x12 x22 12 b, Q x12 x22 ( x12 x22 ) 2 x12 x22 10 Bµi 7: Ta cã: m 4(m 7) 28 3m Để phương trình cã nghiƯm cÇn: 28 3m Theo hÖ thøc Viet ta cã: x1 x2 m x1.x2 m theo yêu cầu đề bài: (1) x1 x2 DeThiMau.vn 28 28 m 3 Thay vµo (1) ta cã: * m m2 2m 9(m 7) m 63 m m 3 tho¶ m·n * m x2 m x2 2 x m x m 2 28 28 m 3 m m2 m Khi ®ã 2m 3 m m 3 thoả mÃn Vậy m giá trị cần tìm Bài 8: a, Để phương trình có nghiệm dương phân biệt cần m 4(m 3) P m2 S 0 m m m VËy 12 3m m m m0 m m phương trình có nghiệm dương b, Để phương trình có nghiệm dương P m2 m Bài 9: Để phương trình có nghiệm x1; x2 th× (m 1) (m 3m 2) m 2m m 3m m m 1 ¸p dơng hƯ thøc Viet ta cã: x1 x2 2(m 1) x1.x2 m 3m (3) (4) a, Ta cã: x12 x22 12 ( x1 x2 ) x1 x2 12 4(m 1) 2(m 3m 2) 12 2m 4m m 3m m2 m m m 3 (m 3)(m 2) m m Vì m < -1 phương trình có nghiệm nên có m = -3 thoả mÃn DeThiMau.vn Vậy với m = -3 phương trình có nghiẹm x1; x2 tho¶ m·n: x12 x22 12 b, Tõ (3): x1 x2 2m m Tõ (4) ta cã: x1 x2 2 (*) x1.x2 (m 1)(m 2) KÕt hỵp víi (3) (*) ta được: x1 x2 x1 x2 2 ( x x )( x x 2) x1.x2 2 x1.x2 ( x1 x2 ) 2( x1 x2 ) x1.x2 Vậy hệ thức liên hệ x1 x2 kh«ng phơ thc m x1.x2 ( x1 x2 ) 2( x1 x2 ) Bài 10: Để phương trình đà cho có nghiệm (m 1) (2m 15) m 17 m ¸p dơng hƯ thøc Viet ta cã: x1 x2 2(m 1) x1.x2 2m 15 Giải hệ phương trình: (*) x1 x2 2(m 1) (**) x1 x2 x x 2m 15 (***) Tõ (*) vµ (**) ta được: m x1 x 5m 2 Thay vào (***) ta được: m 5m 2m 15 2 2m 5m 8m 60 5m 6m 63 m3 m 21 VËy víi m m 21 phương trình có nghiÖm x1; x2 cho x1 x2 DeThiMau.vn b, Ta cã: F 1 x1 x2 2(m 1) 2m 15 17 17 1 x1 x2 x1 x2 2m 15 2m 15 2m 15 Để F nguyên (2m - 15) phải lµ íc cđa 17, mµ íc cđa 17 lµ: 1; 17 + Víi 2m 15 2m 16 m + Víi 2m 15 1 2m 14 m + Víi 2m 15 17 2m 32 m 16 + Víi 2m 15 17 2m 2 m 1 VËy víi m = -1; m = 7; m = 8; m = 16 th× F 1 số nguyên x1 x2 Bài 11: a, Để phương trình có nghiệm phân biệt (m 1) (m 1)(m 2) m m m 1 m m 1 m Vậy để phương trình có nghiệm phân biệt m (; 1) (1;3) b, Giả sử phương trình có nghiệm x1 = 2x2 Theo hÖ thøc Viet ta cã: 2(m 1) x1 x2 m 1 x1 x2 m 2(m 1) 2(m 1) m 1 4(m 1) m 4(m 1) m 6 Víi m 6 th× x2 6 x2 6 VËy với m phương trình có nghiệm b»ng vµ nghiƯm b»ng c, Ta cã x x 1 7 x1 x2 x1 x2 2(m 1) 2(m 1) m 1 m2 m2 m 1 8m m 14 m 6 Vậy với m phương trình có nghiệm x1 , x2 thoả mÃn: d, Tìm GTNN biểu thức: DeThiMau.vn 1 x1 x2 4 A x12 x22 x1 x2 2( x1 x2 ) x1 x2 4(m 1) m 5m 13m 14 (m 1) (m 1) m 1 A(m 1) 5m 13m 14 Am Am A 5m 13m 14 m ( A 5) m(2 A 13) A 14 Víi A = phương trình m 23 Với A để có m (2 A 13) 4( A 5)( A 15) 132 A 131 131 A 132 Vậy giá trị nhỏ cđa biĨu thøc lµ 131 132 Bµi 12: a, Để phương trình (1) có nghiệm (m 1) (2m 10) m 3 m2 m3 VËy víi m ; 3; phương trình (1) có nghiÖm b, A x1 x2 x12 x22 ( x1 x2 ) x1 x2 4(m 1) 4(2m 10) 4m 16m 44 (2m 4) 28 28 Amin 28 2m m 2 VËy víi m 2 th× Amin 28 Bµi 13: Cho biĨu thøc P( 3 x 3 x 4x x 1 ):( ) 3 x 3 x x 9 3 x x x a, Rót gän DeThiMau.vn P (3 x ) (3 x ) x :( x9 3 x x 1 x (3 x ) (3 x ) (3 x ) x x x : x9 x (3 x ) 12 x x x 1 : x9 x (3 x ) x (3 x ) (3 x )(3 x ) x (3 x ) x 1 ) 4 x x 1 x 11x 18 x = 2; x= (không thoả mÃn ĐK) Với x0 P 4.2 1 1 Bµi 14: a, Để phương trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 th×: m 1 m m m m (m 1)(m 2) VËy víi m ;1 1; phương trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 áp dụng hệ thức Viet ta cã: 2m 2(m 2) 2(m 2) x1 x2 x1 x2 m x1 x2 m 1 m 1 m 1 m2 m2 x x m2 x1 x2 x1 x2 m 1 m 1 m 1 Tõ x1 x2 m2 (m 1) x1 x2 m m 1 mx1 x2 x1 x2 m m( x1 x2 1) x1 x2 m Khi ®ã tõ x1 x2 x1 x2 x1 x2 m2 m 1 m 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 1 x1 x2 4( x1 x2 1) 3( x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 x1 x2 b, Ta cã: x1 x2 x12 x22 6 x2 x1 x1 x2 DeThiMau.vn ( x1 x2 ) 2 x1 x2 x1 x2 ... DeThiMau.vn Ví dụ: Cho phương trình bậc 2: ( m 2)x2 – 2(m + 2)x + (m – 1) = (1) Khi phương trình có nghiệm, hÃy tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Giải: Vì phương trình đà cho phương. .. x = -1 + Với m , phương trình (2) phương trình bậc hai có ab+c=m+1m1=0 Phương trình cã nghiÖm: x1 = -1; x2 = - c = a m b2) XÐt dÊu c¸c nghiƯm cđa phương trình Cho phương trình: ax2 + bx + c... 1;2 phương trình (1) có nghiệm nguyên Ví dụ 3: Giải phương trình: x4 + x3 3a2x2 2a2x + 2a4 = (1) Giải: Phương trình (1) 2a4 – a2(3x2 + 2x) + x4 + x3 = (2) Coi phương trình (2) phương trình