TÍCH CỦA HAI VECTƠ Bài 1: Tính tích vơ hướng vecto Phương pháp: -Áp dụng công thức a , b a b cosa ; b -Tính a ; a góc tạo vecto a ; b Thí dụ : Cho tam giác ABC vng cân A có AB =AC = a Tính AB.AC ; AC.CB GIẢI AB AC AB.AC AC, CB CA.CB CA.CB cos 45 a 2 a 2 BÀI TẬP 1.Cho hình vng ABCD có cạnh a Tính AB.AD ; AB.AC ĐS: ; a2 2.Cho tam giác ABC vng C có AC = BC = Tính AB.AC ĐS:81 3.Cho tam giác ABC có AB=2 BC = CA = a.Tính AB.AC suy cos A b.Gọi G trọng tâm tam giác Tính AG.BC c.Tính GA.GB GB.GC GC.GA d.Gọi D giao điểm phân giác góc A với BC Tính AD theo AB; AC roài suy AD HD: BC AC AB bình phương vế : ĐS : - cos A 1 b.AG AM AB AC AG.BC AB AC AC AB ÑS : 3 3 29 c.ÑS: AD Bài 2:Chưng minh đẳng thức vec tơ có lien quan đến tích vô hướng hay đẳng thức độ dài Phương pháp : -Ta sử dụng phép toán vec tơ tính chất tích vơ hướng -Về độ dài ta ý :AB2 = AB Thí dụ1 : Cho tam giác ABC M điểm 1.Chứng minh MA.BC MB.CA MC.AB 2.Gọi G trọng tâm tam giác chứng minh MA MB MC 3MG GA GB GC 3.Suy GA GB GC a b c với a ; b ;c độ dài cạnh tam giác Chưng minh - ThuVienDeThi.com - VT MA.(MC MB) MB(MA MC) MC(MB MA ) MA.MC MA.MB MB.MA MB.MC MC.MB MC.MA 2.MA MA MG GA MG MG GC MG GA 2MG.GA MB MB MG GB MG GB 2MG.GB MC MC 2 GC 2MG.GC VT 3MG GA GB GC MG.GA MG.GB MG.GC 3MG GA GB GC 2MG GA GB GC 3MG GA GB GC 3.M A AB AC 4GA GB GC M B BA BC 4GB GA GC M C CB AC 4GC GB GA GA GB GC 2(a b c ) GA GB GC a b2 c2 BÀI TẬP: 1.Cho điểm cố định A B M điểm H hình chiếu M lên AB I trung điểm AB.Chứng minh : AB AB a)MA.MB MI b)MA MB 2MI c)MA MB 2AB.IH 2.Cho tứ giác ABCD a.Chứng minh AB BC CD DA 2AC.DB b Chưng minh điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD có đường chéo vng góc :AB2+CD2=BC2+AD2 3.Cho tam giác ABC vng A có cạnh huyền BC = a3 Gọi M trung điểm BC biết a2 AM, BC Tính AB AC ĐS : AB a AC a 4.Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Gọi M N điểm thuộc đương tròn AM BN cắt I a.Chưng minh AI.AM AI.AB ; BI.BN BI.BA :b,Từ tính AI.AM BI.BN theo R BC 6.Cho tứ giác ABCD có đường chéo AC BD vng góc với M P trung điểm AD Chứng minh MP BC MA.MC MB.MD 5.Cho tam giác ABC có trực tâm H M trung điểm BC Chứng minh MH.MA Bài 3: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) Xác định hình dạng tam giác ABC Phương pháp : Tính AB x x1 2 y y1 2 BC x x 2 y y 2 –Nêu AB = BC = CA =>Tam giác ABC –Nếu AB = AC =>Tam giác ABC cân –Nếu AB = AC BC = AB2 => Tam giác ABC vuông cân B –Nếu BC2=AB2 +AC2 =>tam giác ABC vuông A - ThuVienDeThi.com - CA x1 x 2 y1 y 2 Thí dụ 1: TRong mpOxy cho tam giác ABC với A( 1;5) B(3;–1) C(6;0).Xác định hình dạng tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC GIẢI : AB 3 12 (1 5) 40 6 32 (0 1) BC 10 CA 1 62 5 02 50 CA 50 ; AB BC 40 10 50 CA AB BC ABC vuoâng B S BA.BC 10đvdt Thí dụ 2:Cho tam giác ABC với A(–1;3) B(3;5) C(2;2).Xác định hình dạng tam giác ABC ,Tính diện tích tam giác ABC chiều cao kẻ từ A AB 20 BC 10 ; CA 10 AB BC ABC vuông cân A S=5đvdt Thí dụ 3:Trong mpOxy cho A(4;0) B 2;2 Chứng minh tam giac OAB Tìm trực tâm tam giác OAB Giải : OA OB AB 2 42 2 30 4 OA OB AB OAB 3 Trực tâm H tam giác OAB trọng tâm tam giác OAB H 2; Bài Tập : Cho tam giác ABC với A(1;0) B(–2;–1) C(0;3).Xác định hình dạng tam giác ABC Tìm Tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS: Vuông A , Tâm I (–1;1) 2.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(0;2) B(m ; 0) C(m+3; 1) Định m để tam giác ABC vuông A ĐS:m = –1 hay m =-2 Cho tam giác ABC biết A(–1;3) B(–3;–2) C(4;1) , Chứng minh tam giác ABC vuông từ suy khoảng cách từ C đến AB 4.Ch điểm A (2 ; –1) B(–2;1) Tìm điểm M biết tung độ tam giác ABM vuông C ĐS: M(1;2) M(–1;2) 5.Trong mpOxy cho điểm A(2;4) B(1 ; 1) Tìm điểm C cho tam giác ABC vuông cân B ĐS: C(4;0) C(–2;2) Bài 4: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) Xác định trọng tâm G , trực tâm H tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Phương pháp : x x x y1 y y –Trọng tâm G ; 3 Tìm trực tâm H -Gọi H(x;y)là trực tâm tam giác ABC Tính AH x x1 ; y y1 Tính AH.BC Tính BH (x x ; y y ) ; BH.CA AH.BC Do H trực tâm Giải hệ tìm x ; y BH.CA Tìm tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC - ThuVienDeThi.com - Gọi I(x;y) Tính AI2=(x-x1)2+(y–y1)2 BI2=(x-x2)2+(y–y2)2 CI2=(x-x3)2+(y–y3)2 I tâm đường tròn ngoai tiếp tam giác ABC AI = BI =CI Giải hệ tìm x ; y Thí dụ : Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(5 ;4) B(2 ;7) C(–2 ;–1) a.Tìm trọng tâm G , trực tâm H tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b.Chứng minh I ; G ;H thẳng hang GIẢI - 1 10 a)Gọi G trọng tâm tam giác ABC G ; G ; 3 Gọi H(x; y ) trực tâm tam giác ABC AH x 5; y ; BC (4;8) AH, BC 4(x 5) 8(y 4) 4x 8y 52 BH x 2; y ; CA (7;5) BH, CA 7(x 2) 5(y 7) x 5y 49 11 x 4x 8y 52 11 14 H laø trực tâm tam giác ABC H ; 3 3 7x 5y 49 y 14 Gọi I(x; y) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC x (x 5) (y 4) (x 2) (y 7) AI BI 6x 6y 12 8 I ; 2 2 2 (x 5) (y 4) (x 2) (y 1) AI CI 3 14x 10y 36 y 2 2 b, IG 1; IH 3;2 31; 3IG I; G; H thẳng hàng 3 3 BÀI TẬP: 1.Cho tứ giác ABCD với A(3;4) B(4;1) C(2;–3;D(–1;6) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn HD: Tìm tâm I bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC (ĐS: I(-1;1), Chứng minh IA =ID 2.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;–3) B(2;5) C(4;0).Xác định trực tâm H tam giác ABC 164 15 ĐS: ; 31 31 3.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;4) B(–4;0) C(2;–2) Tìm tâm I đường trịn ngoại tiếp tam 1 giác ABC ĐS: I ; 2 4.Trong mpOxy cho điểm A(–2;–2) B(5 ;–4) a)Tìm điểm C cho trọng tâm tam giác ABC điểm G(2;0) ĐS:C(3;6) 169 47 ; b)Tìm tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS I 66 33 5.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(0;1) B(3;2) C(1;5) Tìm trực tâm H tam giác ABC 21 25 ĐS: H ; 11 11 2 2 2 - ThuVienDeThi.com - Bài 5: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) Xác định tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ABC A Phương Pháp: –Tính AB ;AC; k =-AB/AC –Gọi D giao điểm đường phân giác góc A với cạnh BC DB k DC tọa độ D J –Tính BA BD =k’= –BA/BD –Gọi J giao điểm đường phân giác góc A góc B B D => JA k' JD =>tọa độ J C 1 Thí dụ :Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–2;3) B ;0 C(2;0) 4 Tìm tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ABC GIẢI 15 AB AB ; AC k AC Gọi D giao điểm phân giác góc A BC DB DC 1 2 x x x 4 D(1;0) y y 0 y) 15 BA ; BD k' 5 4 Gọi J giao điểm phân giác góc B AD JA 5JD x x 5(1 x) J ; 2 3 y 5(0 y) y Bài tập: 1.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(2;6) B(–3;–4) C(5;0) a.Chứng minh tam giác ABC vng b.Tìm tâm J đường trịn nội tiếp tam giác ABC ĐS : J(2;1) Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(1;5) B(–4;–5) C(4;-1).Tìm tâm J đương tròn nội tiếp tam giác ABC ĐS J(1;0) 15 Trong mpOxy cho tam giác ABC với A ;2 B(12;15) C(0;3) Tìm tâm J đương trịn nội tiếp tam giác ABC ĐS J(-1;2) Bài 6: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3).Gọi A’ chân đường vng góc kẻ từ A lên BC.Tìm A’ Phương pháp: Gọi A’(x;y) - ThuVienDeThi.com - Tính AA' (x x1 ; y y1 ) ; BC (x x ; y y ) BA' (x x ; y y ) (x x1 )(x x ) (y y1 )(y y ) AA'.BC Giải hệ x x t (x x ) BA' t BC y y t ( y y ) Tìm x ; y theo t , Thay vào (1) tìm t từ x y Thí dụ :Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(1 ; 5) B(3;–1) C(6;0).Tìm chân đường cao B’ kẻ từ B lên CA GIẢI: Goïi B' (x; y) : BB' (x 3; y 1) CA (5;5) AB' (x 1; y 5) 5(x 3) 5(y 1) BB'.CA B' chân đường cao kẻ từ B lên AC x 5t AB' t AC y 5t t x 5t y 5t x B' (5;1) x y 4 y BÀI TẬP: 1.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(3;–1) B(1;5) C(6;0) Gọi A’ chân đường cao kẻ từ A lên BC tìm A’ ĐS:A’(5;1) 6 8 2.Trong mpOxy cho điểm A(2;1) B(–2;4) Gọi H hình chiếu O lên AB Tìm H ĐS:H ; 5 5 3.Trong mpOxy cho tam giác BAC với A(3;–4) B(–4;–2) C(1;3) Tìm chân đường cao A’ đường cao 37 156 kẻ từ A lên BC ĐS:A’ ; 53 53 Bài Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3),Tính cosA Phương pháp : Tính AB ; AC Tính AB AC ; Tính AB.AC AB.AC AB.AC Thí dụ : Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(0;3) B(2;2) C(–6;1).Tínhsố đo góc A AB (2;1) AB AC (6;2) AC 40 10 AB.AC 12 10 AB.AC 10 cos A A 135 AB.AC 10 CosA - ThuVienDeThi.com - BÀI TẬP TÍCH VƠ HƯỚNG 1.Cho hai vectơ avàb Chứng minh : 2 2 2 2 2 2 2 2 a.b= a b a b = a b a b = a b a b 2 2 4 2.Cho hai vectơ a ,b có a = , b = 12 a + b = 13.Tính tích vơ hướng a.(a + b) suy góc hai vectơ a a + b 3.Cho tam giác ABC cạnh a Gọi H trung điểm BC,tính a) AH.BC b)AB.AC c) AC.CB 4.Cho hình vng ABCD tâm O,cạnh a.Tính: a)AB.AC b)OA.AC c) AC.CB Tam giác ABC có AC = ,BC = ,C = 90o ,tính AB.AC Tam giác ABC có AB = ,AC = ,A = 120o a)tính AB.BC b) Gọi M trung điểm AC tính AC.MA Tam giác ABC có AB = ,BC = ,CA = a)Tính AB.AC suy giá trị góc A b)Tính CA.CB c)Gọi D điểm cạnh CA cho CD = CA Tính CD.CB 8.Cho hai vectơ a b thỏa mãn |a| = , |b| = (a,b) = 120o Với giá trị m hai vectơ a + mb a – mbvng góc Tam giác ABC có AB = ,AC = góc A = 60o Trên tia AC lấy điểm M đặt AM = kAC.Tìm k để BM vng góc với trung tuyến AD tam giác ABC 10.Cho tam giác ABC cân đỉnh A, cạnh bên = a hai trung tuyến BM, CN vng góc Tính cosA 11 Tam giác ABC có AB = 6,AC = 8,BC = 11 a)Tính AB.AC b)Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM = 2.Trên cạnh AC lấy điểm N cho AN = 4.Tính AM.AN 12.Cho O trung điểm AB,M điểm tuỳ ý Chứng minh : MA.MB = OM2 – OA2 13.Cho hình vng ABCD tâm O, M điểm thuộc cạnh BC.Tính MA.AB MO.AB 14.Cho tứ giác ABCD , I trung điểm BC, chứng minh : a) AB.AC = IA2 – IB2 b) AB.AC = (AB2 + AC2 – BC2) c) AB.CD = (AD2 + BC2 – AC2 – BD2) 15.Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh : MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 16.Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a,b,c Gọi G trọng tâm,hãy tính: a) AB.AC b)GA.GB c) GA.GB + GB.GC + GC.GA d) Chứng minh : BC.CA + CA.AB + AB.BC = – (a2 + b2 + c2) e)Tính AG theo a ,b ,c 17.Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh : BC.AD + CA.BE + AB.CF= 18.Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R.Gọi M, N hai điểm (O) I = AM∩BN Chứng minh : - ThuVienDeThi.com - a) AI.AM = AI.AB b) BI.BN = BI.BA c) AI.AM + BI.BN= 4R2 19.Cho điểm A,B,C,D tuỳ ý a) Chứng minh : AB.CD+ AC.DB+ AD.BC= b)Từ chứng minh tam giác,ba đường cao đồng qui 20.Cho tam giác ABC cân A.Gọi H trung điểm BC,và D hình chiếu H AC, M trung điểm HD Chứng minh AM BD 21.Cho hình vng ABCD Gọi M N trung điểm BC CD Chứng minh : AN DM 22.Cho hình chữ nhật ABCD Gọi K hình chiếu vng góc B AC, M N trung điểm AK DC Chứng minh : BM MN 23.Cho hình thang ABCD vng A B AB = h, cạnh đáy AD = a, BC = b Tìm điều kiện a ,b ,h để a) AC BD b) IA IB với I trung điểm CD 24.Cho tam giác ABC có AB = ;AC = A = 45o Gọi L chân đường phân giác góc A a)Tính AB.AC b)Tính AL theo AB AC độ dài AL c)M điểm cạnh AC cho AM = x Tìm x để AL BM 25.Cho tam giác ABC có AB = 2a ,AC = a A = 120o a) Tính BC BA.BC b)Gọi N điểm cạnh BC cho BN = x Tính AN theo AB AC,x c)Tìm x để AN BM 26.Cho tứ giác ABCD,chứng minh rằng: AB2 – BC2 + CD2 – DA2 = 2AC.DB 27.Cho tam giác ABC có H trực tâm M trung điểm BC Chứng minh : MH.MA = BC2 28.Cho tứ giác ABCD Hai đường chéo cắt O Gọi H ,K trực tâm tam giác ABO CDO; I J trung điểm AD BC Chứng minh HK IJ 28.Cho đường tròn (O;R) hai dây cung AA’ ,BB’ vng góc S Gọi M trung điểm AB chứng minh rằng: SM A’B’ 29.Cho tam giác ABC Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn : a) AM.AB = AC.AB b) MA2 + MA.MB + MA.MC = c) MA2 = MC.MA d) (MA+ MB).(MA+ MC) = e) (MA – MB).(2MB – MC) = 30.Cho điểm A cố định nằm ngồi đường thẳng , H hình chiếu A .Với điểm M , ta lấy điểm N tia AM cho AN.AM = AH2 Tìm quĩ tích điểm N 31.Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với M,gọi P trung điểm đoạn thẳng AD Chứng minh MP BC MA.MC= MB.MD 32* Xác định dạng tam giác ABC biết rằng: (AB.BC)CA + (BC.CA)AB +(CA.AB)BC = AC 33.Cho hình vng ABCD,điểm M nằm đoạn thẳng AC cho AM = N trung điểm đoạn thẳng DC,chứng minh BMN tam giác vuông cân - ThuVienDeThi.com - 34.Cho AA’ dây cung đường tròn (O) M điểm nằm dây cung Chứng minh 2MA.MO= MA(MA – MA’) 35.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) điểm M cho góc AMB ,BMC ,CMA 120o Các đường thẳng AM ,BM ,CM cắt đường tròn (O) A’ ,B’ ,C’ Chứng minh rằng: MA + MB + MC = MA’ + MB’ + MC’ 36*.Cho tam giác ABC có cạnh Gọi D điểm đối xứng với C qua đường thẳng AB , M trung điểm cạnh CB a)Xác định đường thẳng AC điểm N cho tam giác MDN vng D.Tính diện tích tam giác b)Xác định đường thẳng AC điểm P cho tam giác MPD vng M.Tính diện tích tam giác c) Tính cosin góc hợp hai đường thẳng MP PD 37.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M điểm tuỳ ý,chứng minh : a) MA +MC = MB +MD b) MA.MC = MB.MD c) MA2 + MC2 = MB2 + MD2 d) MA2 + MB.MD = 2MA.MO 38.Cho tam giác ABC hình vng ABED, ACHI ,BCGH Chứng minh : I a) (AD+ BF).AC= b) (AD+ BF+ CH).AC= D c) AD+ BF+ CH= H d) AE+ BG+ CI= A 39.Cho tam giác ABC vuông A, ABE = c, AC = b Gọi M điểm cạnh BC cho CM = 2BM, N điểm cạnh AB cho BN = 2AN a) Tính vectơ AMvàCNtheo hai vectơ ABvàAC C b)Tìm hệ thức liên hệ b c cho AMB CN 40.a)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O,R) M điểm tuỳ ý đường tròn Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 b) Tổng quát toán cho đa giác n cạnh 41*.Cho lục giác A1A2…A6 nội tiếp đường tròn (O,R) điểm M thay đổi đường trịn Chứng minh : ˆ A + cos MO ˆ A + …+ cos MO ˆ A =F0 G a) cos MO b) MA12 + MA22+ …+ MA62 số ( = 12R2) 45.Cho tam giác ABC có AB = AC = , góc BAC = 120o nội tiếp đường tròn tâm I Gọi D trung điểm AB E trọng tâm tam giác ADC a)Tính AB.AC b)AH đường cao tam giác ABC.Tính AH theo AB AC c)Chứng minh IE CD 49.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(– 1;1) ,B(1;3) ,C(1;– 1) Chứng minh rằng: tam giác ABC vuông cân A 50 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;4) ,B(– 3;1) ,C(3;– 1) a)Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành b)Kẻ đường cao AH Tìm tọa độ chân đường cao H 51.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A,B,C,D với A(– 1;1) ,B(0;2) ,C(3;1) D(0;– 2) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD hình thang cân 52.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A,B,C với A(– 1;– 1) ,B(3;1) ,C(6;0) a)Chứng minh rằng: điểm A ,B ,C tạo thành tam giác - ThuVienDeThi.com - b)Tính góc B tam giác ABC 53.Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A,B với A(5;4) ,B(3;– 2).Một điểm M thay đổi trục hồnh.Tìm giá trị nhỏ MA + MB 54.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;– 3) ,D(– 1;6) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn 55.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(– 8;0) ,B(0;4) ,C(2;0) ,D(– 3;– 5) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn - 10ThuVienDeThi.com - ... - BÀI TẬP TÍCH VÔ HƯỚNG 1.Cho hai vectơ avàb Chứng minh : 2 2 2 2 2 2 2 2 a.b= a b a b = a b a b = a b a b 2 2 4 2.Cho hai vectơ a... tam giác ABC 10.Cho tam giác ABC cân đỉnh A, cạnh bên = a hai trung tuyến BM, CN vng góc Tính cosA 11 Tam giác ABC có AB = 6,AC = 8,BC = 11 a)Tính AB.AC b)Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM = 2.Trên... điểm N cho tam giác MDN vng D.Tính diện tích tam giác b)Xác định đường thẳng AC điểm P cho tam giác MPD vng M.Tính diện tích tam giác c) Tính cosin góc hợp hai đường thẳng MP PD 37.Cho hình chữ