-Bộ đề thi vào trường chun- §Ị thi tun sinh *Trường THPT Nguyễn TrÃi ( Hải Dương 2002- 2003, dành cho lớp chuyên tự nhiên) Thời gian: 150 phút Bài (3 điểm) Cho biểu thức A= x x x x 4 1 x2 x 1) Rót gän biĨu thøc A 2) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên Bài 2.( điểm) 1) Gäi x vµ x lµ hai nghiƯm cđa phương trình x2 -(2m-3)x +1-m = Tìm giá trị m để: x 2+ x 2 +3 x x (x + x ) đạt giá trị lớn 2) Cho a,b số hữu tỉ thoả mÃn: a2003 + b2003 = 2.a2003.b2003 Chứng minh phương trình: x2 +2x+ab = có hai nghiệm hữu tỉ Bài ( điểm) 1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 1800 Tính tỉ số BC AB 2) Cho hình quạt tròn giới hạn cung tròn hai bán kính OA,OB vuông góc với Gọi I trung điểm OB, phân giác góc AIO cắt OA D, qua D kẻ đường thẳng song song với OB cắt cung ë C TÝnh gãc ACD Bµi ( điểm) Chứng minh bất đẳng thức: | a b a c | | b-c| với a, b,c số thực bÊt k× ThuVienDeThi.com -Bộ đề thi vào trường chuyên- *Trường khiếu Trần Phú, Hải Phòng.(150ph) Bài ( ®iĨm) cho biĨu thøc: P(x) = 2x x 3x x 1) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) 2) Chứng minh x > P(x).P(-x) < Bài ( điểm) 1) cho phương trình: x 2(2m 1) x 3m 6m (1) x2 a) Giải phương trình m = b) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x x thoả mÃn x +2 x =16 2) Giải phương trình: 2x 1 x 2x Bài (2 điểm) 1) Cho x,y hai số thực thoả mÃn x2+4y2 = Chøng minh r»ng: |x-y| n2 2) Cho ph©n sè : A= n5 Hái có số tự nhiên thoả mÃn n 2004 cho A phân số chưa tối giản Bài 4( điểm) Cho hai đường tròn (0 ) (0 ) cắt P Q Tiếp tuyến chung gần P hai đường tròn tiếp xúc với (0 ) A, tiÕp xóc víi (0 ) t¹i B TiÕp tuyến (0 ) P cắt (0 ) điểm thứ hai D khác P, đường thẳng AP cắt đường thẳng BD R HÃy chứng minh r»ng: 1)Bèn ®iĨm A, B, Q,R cïng thc mét ®êng tròn 2)Tam giác BPR cân 3)Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB RB Bài (1 điểm)Cho tam giác ABC có BC < CA< AB Trên AB lấy D, Trên AC lấy điểm E cho DB = BC = CE Chøng minh r»ng kho¶ng cách tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE ThuVienDeThi.com -B thi vo trng chuyờn- Trường Trần Đại Nghĩa - TP HCM (năm học: 2004- 2005 thời gian: 150 phút ) Câu Cho phương trình x +px +1 = cã hai nghiƯm ph©n biƯt a , a phương trình x2 +qx +1 = có hai nghiƯm ph©n biƯt b ,b Chøng minh: (a - b )( a - b )( a + b b +b ) = q2 - p2 C©u 2: cho số a, b, c, x, y, z thoả m·n x = by +cz y = ax +cz z = ax +by ; víi x + y+z Chøng minh: 1 2 1 a b c Câu 3: a) Tìm x; y thoả mÃn 5x2+5y2+8xy+2x-2y+2= b) Cho số dương x;y;z tho¶ m·n x3+y3+z3 =1 Chøng minh: x2 1 x2 y2 1 y2 z2 1 z2 2 C©u Chứng minh có số nguyên x,y thoả mÃn phương trình: x3-y3 = 1993 ThuVienDeThi.com -B thi vo trng chuyờn- Chuyên Lê Quý Đôn _ tỉnh Bình Định (năm học 2005-2006, môn chung, thời gian:150) Câu 1(1đ): tính giá trị biểu thức A= 1 1 víi a= vµ b= a 1 b 3 Câu 2(1.5đ): Giải pt: x 4x x C©u 3(3đ): Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P) hai điểm A,B thuộc (P) có hoành độ -1 a) Viết phương trình đường thẳng AB b) Vẽ đồ thị (P) tìm toạ độ điểm M thuộc cung AB đồ thị (P) cho tam giác MAB có diện tích max Câu4(3,5đ): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H Phân giác góc A cắt đường tròn (O) M Kẻ đường cao Ak tam giác.Chứng minh: a) đường thẳng OM qu trung điểm N BC b) góc KAM MAO c) AH=2NO Câu (1đ): tính tổng: S= 1.2 +2.3 + 3.4 + …+n(n+1) ThuVienDeThi.com -Bộ thi vo trng chuyờn- Đề thi vào chuyên 10( Hải Dương) thời gian: 150ph Bài 1(3) Giải phương trình: 1) |x2+2x-3|+|x2-3x+2|=27 2) 1 x( x 2) ( x 1) 20 Bµi 2(1) Cho số thực dương a,b,c ab>c; a3+b3=c3+1 Chứng minh a+b> c+1 Bài 3(2) Cho a,b,c,x,y số thực thoả mÃn đẳng thức sau: x+y=a, x3+y3=b3,x5+y5=c5 Tìm đẳng thức liên hệ a,b,c không phụ thuộc x,y Bài 4(1,5) Chứng minh phương trình (n+1)x2+2x-n(n+2)(n+3)=0 có nghiệm số hữu tỉ với số nguyên n Bài 5(2,5) Cho đường tròn tâm O dây AB( AB không qua O) M điểm đường tròn cho tam giác AMB tam giác nhọn, đường phân giác góc MAB góc MBA cắt đường tròn tâm O P Q Gọi I giao điểm AP BQ 1) Chøng minh r»ng MI vu«ng gãc víi PQ 2) Chøng minh tiếp tuyến chung đường tròn tâm P tiếp xúc với MB đường tròn tâm Q tiếp xúc với MA song song với đường thẳng cố ®Þnh M thay ®ỉi ThuVienDeThi.com -Bộ đề thi vo trng chuyờn- *Chuyên tỉnh Bà Ra- Vũng Tàu (2004-2005) thời gian:150 phút Bài 1: 1/iải phương trình: x x 2x 4 2x 2/chøng minh không tồn số nguyên x,y,z thoả mÃn: x3+y3+z3 =x +y+z+2005 Bài 2: Cho hệ phương trình: x2 +xy = a(y – 1) y2 +xy = a(x-1) 1/ giải hệ a= -1 2/ tìm giá trị a để hệ có nghiệm Bài 3: 1/ cho x,y,z số thực thoả mÃn x2+ y2+z2 =1 Tìm giá trị nhỏ A =2xy +yz+ zx 2/ Tìm tất giá trị m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x4 – 2x3 +2(m+1)x2 –(2m+1)x +m(m+1) =0 Bµi 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) , D điểm cung BC không chứa đỉnh A Gọi I,K H hình chiếu cuả D đường thẳng BC,AB,và AC Đường thẳng qua D song song với BC cắt đường tròn N ( N# D); AN cắt BC M Chứng minh: 1/Tam giác DKI đồng dạng với tam giác BAM 2/ BC AB AC DI DK DH ThuVienDeThi.com -B thi vo trng chuyờn- *Chuyên toán- tin tỉnh Thái Bình (2005-2006,150 phút) Bài (3đ): Giải pt: x 3x x Trong hệ trục toạ độ Oxy hÃy tìm đường thẳng y= 2x +1 điểm M(x;y) thoả mÃn ®iỊu kiƯn: y2 – 5y x +6x = Bµi 2(2,5®): Cho pt: (m+1)x2 – (m-1)x +m+3 = (m tham số) tìm tất giá trị m dể pt có nghiệm số nguyên Cho ba số x,y,z Đặt a= x +y +z, b= xy +yz + zx, c= xyz Chøng minh phương trình sau có nghiệm: t2 + 2at +3b =0; at2 – 2bt + 3c =0 Bµi 3(3đ) Cho tam giác ABC Gọi M trung ®iĨm cđa AC Cho biÕt BM = AC Gäi D điểm đối xứng B qua A, E ®iĨm ®èi xøng cđa M qua C chøng minh: DM vuông góc với BE Lấy điểm O nằm tam giác ABC Các tia AO,BO,CO cắt cạnh BC,CA,AB theo thứ tự điểm D,E,F chøng minh: a) OD OE OF =1 AD BE CF AD BE CF b) 1 1 1 64 OD OE OF Bài 4(0.75đ) xét đa thøc P(x)= x3+ ax2 +bx +c Q(x)=x2 +x + 2005 Biết phương trình P(x)=0 có nghiệm phân biệt, pt P(Q(x)) =0 vô nghiệm Chứng minh P(2005)>1/64 Bài (0,75đ) Có hay không 2005 điểm phân biệt mặt phẳng mà ba điểm chúng tạo thành tam giác có góc tù ThuVienDeThi.com -Bộ đề thi vào trường chun- §Ị thi tun sinh lớp 10 tỉnh Hải Dương (2004-2005) thời gian :150ph Bài 1: (3đ) Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y= (m+2)x2 (*) 1/ tìm m để đồ thị hàm số (*) qua điểm: a) A(-1;3), b) B( ; -1), c) C(1/2; 5) 2/ thay m=0 Tìm toạ độ giao điểm đồ thị (*) với đồ thị hàm số y= x+1 Bài 2: (3đ) Cho hệ phương trình: (m-1)x + y = m x + (m-1)y =2 gọi nghiệm hệ phương trình (x;y) 1/ Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m 2/ Tìm giá trị m thoả mÃn 2x2 -7y =1 3/ Tìm giá trị m để biểu thức 2x 3y nhận giá trị nguyên x y Bài (3đ) Cho tam gi¸c ABC ( Aˆ 90 ) Tõ B dựng đoạn thẳng BD phía tam giác ABC cho BC=BD vµ ABˆ C CBˆ D ; gọi I trung điểm CD; AI cắt BC t¹i E Chøng minh: CAˆ I DBˆ I ABE tam giác cân AB.CD = BC.AE Bài 4: (1đ) tính giá trị biểu thức A= x x 3x x4 víi x 11 ThuVienDeThi.com x x x 1 -Bộ đề thi vo trng chuyờn- *Trường Chu Văn An HN AMSTERDAM(2005 2006) (dành cho chuyên Toán chuyên Tin; thời gian :150) Bài 1: (2đ) Cho P = (a+b)(b+c)(c+a) abc với a,b,c số nguyên Chứng minh nÕu a +b +c chia hÕt cho th× P chia hết cho Bài 2(2đ) Cho hệ phương tr×nh: (x+y)4 +13 = 6x2y2 + m xy(x2+y2)=m GiaØ hệ với m= -10 Chứng minh không tồn giá trị tham số m để hệ có nghiệm nhất./ Bài (2đ): Ba số dương x, y,z tho¶ m·n hƯ thøc , xÐt biÓu thøc P = x + y2+ z3 x y z Chøng minh P x+2y+3z-3 2.Tìm giá trị nhỏ P Bài (3đ): Cho tam giác ABC, lấy điểm D,E,F theo thứ tự cạnh BC,CA,AB cho AEDF tứ giác nội tiếp Trên tia AD lấy điểm P (D n»m gi÷a A&P) cho DA.DP = DB.DC chøng minh tứ giác ABPC nội tiếp tam giác DEF, PCB đồng dạng s ' EF gọi S S diện tích hai tam gi¸c ABC & DEF, chøng minh: s AD Bài 5(1đ) Cho hình vuông ABCD 2005 đường thẳng thoả mÃn đồng thời hai điều kiện: Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vuông Mỗi đường thẳng chia hình vuông thành hai phần có tỷ số diện tích 0.5 Chứng minh 2005 đường thẳng có 502 đường thẳng đồng quy ThuVienDeThi.com -Bộ đề thi vào trường chun- §Ị thi HS giỏi TP Hải Phòng (2004-2005) (toán bảng B – thêi gian: 150’) Bµi a) Rót gän biĨu thøc: P= x 2y ( x y) xy x y b)Giải phương trình: x2 x y y (5 (5 10 x x Bài a) Số đo hai cạnh góc vuông tam giác vuông nghiệm phương trình bậc hai: (m-2)x2 -2(m-1)x +m =0 HÃy xác định giá trị m để số đo đường cao ứng với cạnh huyền tam gíac b) T×m Max & Min cđa biĨu thøc y= 4x x2 1 Bµi Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, có góc C=450 Đuờng tròn đường kính AB cắt cạnh AC & BC M& N a> chứng minh MN vu«ng gãc víi OC b> chøng minh MN = AB Bài 4: Cho hình thoi ABCD có góc B= 600 Một đường thẳng qua D không cắt hình thoi, cắt đường thẳng AB,BC E&F Gäi M lµ giao cđa AF & CE Chøng minh đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF 10 ThuVienDeThi.com -B thi vo trng chuyờn- *Trường Chu Văn An & HN AMSTERDAM ( 2005-2006) (dành cho đối tượng , thời gian: 150) Bài 1(2đ): Cho biểu thức P= x x 1 x x x x 1 x x x 1 x 1.Rót gän P T×m x biÕt P= 9/2 Bài 2(2đ): Cho bất phương trình: 3(m-1)x +1 > 2m+x (m tham số) Giải bpt với m= 1- 2 Tìm m để bpt nhận giá trị x >1 nghiệm Bài 3(2đ): Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d):2x y –a2 = vµ parabol (P):y= ax2 (a lµ tham số dương) Tìm a để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A&B Chứng minh A&B nằm bên phải trục tung Gọi xA&xB hoành độ A&B, tìm giá trị Min biÓu thøc T= x A xB x A xB Bài 4(3đ): Đường tròn tâm O có dây cung AB cố định I điểm cung lớn AB Lấy điểm M cung lớn AB, dựng tia Ax vuông góc với đường thẳng MI H cắt tia BM C Chứng minh tam giác AIB & AMC tam gíac cân Khi điểm M di ®éng, chøng minh ®iĨm C di chun trªn mét cung tròn cố định Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác AMC đạt Max Bài 5(1đ): Cho tam giác ABC vuông A có AB < AC vµ trung tuyÕn AM, gãc ACB = ,gãc AMB = Chøng minh r»ng: (sin +cos )2= 1+ sin 11 ThuVienDeThi.com -Bộ đề thi vào trường chuyên- Thi häc sinh giái TP H¶i Phòng (2004-2005) (Toán bảng A- thời gian:150) Bài 1: a Rót gän biĨu thøc: P = b Gi¶i phương trình: x y x2 y2 xy 2 x 2 x x y x2 x 2 x 2 x y y Bài 2: a ( đề bảng B) b Vẽ đường thẳng x=6, x=42, y=2, y=17 hệ trục toạ độ Chứng minh hình chữ nhật giới hạn bơỉ đường thẳng điểm nguyên thuộc đường thẳng 3x + 5y = Bài 3: Cho tứ giác ABCD có cạnh đối diện AD cắt BC E & AB cắt CD F, Chứng minh điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn là: EA.ED + FA.FB = EF2 Bài 4: Cho tam giác ABC cân A, AB =(2/3).BC, đường cao AE Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiÕp xóc víi AC t¹i F a chøng minh r»ng BF tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ECF b Gọi M giao điểm BF với (O) Chứng minh: BMOC tứ giác nội tiếp 12 ThuVienDeThi.com -Bộ đề thi vào trường chuyên- Thi häc sinh giái tØnh H D¬ng (2004-2005) ( líp 9, thêi gian: 150) Bài 1(3,5đ): Gọi x1, x2 la nghiệm phương trình x2 + 2004x + = x3, x4 nghiệm phương trình x2 + 2005 x +1 =0 Tính giá trị biểu thức: ( x1+x3)(x2+x3)(x1x4)(x2-x4) Cho a,b,c số thực a2 + b2 < Chứng minh:phương trình (a2+b2-1)x2 2(ac + bd -1)x +c2+d2 -1 =0 có nghiệm Bài (1,5đ): m n số nguyên chøng minh r»ng: n m íc chung lín nhÊt cđa m n không lớn m n Cho hai số tự nhiên m n thoả mÃn Bài (3đ): Cho hai đường tròn (O1), (O2) cắt A & B Tiếp tuyến chung gần B hai đường tròn tiếp xúc với (O1), (O2) C & D Qua A kẻ đường thẳng song song với CD, cắt (O1), (O2) M & N Các đường thẳng BC,BD cắt đường thẳng MN P & Q; đưòng thẳng CM, DN cắt E Chứng minh: a Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD b Tam giác EPQ tam giác cân Bài (2đ): Giải hệ phương trình: x+y = x5 + y5 =11 13 ThuVienDeThi.com -Bộ đề thi vào trường chun- §Ị thi häc sinh giỏi lớp (năm học 2003-2004) Tỉnh Vĩnh Phúc (150phút) x4y x Câu 1: (3đ) Cho hệ pt víi tham sè a: y x a a giải hệ pt a=-2 b tìm giá trị tham số a để hệ pt có hai nghiệm Câu 2(2đ): a cho x,y,z số thực không âm thoả mÃn x=y=z = Tìm giá trị max biểu thức: A= -z2+z(y+1) +xy b.Cho tứ giác ABCD (cạnh AB,CD có độ dài) nội tiếp đường tròn bán kính Chứng minh: tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn bán kính r r Câu 3(2đ): Tim tất số nguyên dương n cho phương trình: 499(1997n +1) = x2 +x có nghiệm nguyên Câu (3đ): Cho tam giác ABC vuông C đường tròn (O) đường kính CD cắt AC & BC E & F( D hình chiếu vuông góc C lên AB) Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng BE với (O), hai đường thẳng AC, MF cắt tạiK, giao điểm đường thẳng EF BK P a chứng minh bốn điểm B,M,F,P thuộc đường tròn b giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng tính số đo góc tam giác ABC c giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng, gọi O trung điểm đoạn CD Chứng minh CM vuông góc với đường thẳng nối tâm đương tròn ngoại tiếp tam giác MEO với tâm đường tròn ngoại tiếp tam gi¸c MFP 14 ThuVienDeThi.com -Bộ đề thi vào trường chuyên- Tỉnh Haỉ Dương (150 phút) Bài 1(2.5đ): Giải pt: xy x y a x y x y xy xy 4b víi a= 57 38 57 38 b= 17 12 2 2 Bài 2(2.5đ) Hai phương trình: x2+ (a-1)x +1 =0; x2 + x + c =0 cã nghiƯm chung, ®ång thêi hai pt: x2 + x +a -1= 0; x2 +cx +b +1 =0 cịng cã nghiƯm chung TÝnh gi¸ trị biểu thức (2004a)/ (b +c) Bài 3(3đ): Cho hai đường tròn tâm O1, O2 cắt A,B Đường thẳng O1A cắt (O2) D, đường thẳng O2A cắt (O1) C Qua A kẻ đường thẳng song song với CD căt (O1) M (O2) N Chứng minh rằng: Năm điểm B,C,D,O1,O2 nằm đường tròn BC+BD = MN Bài 4(2đ) Tìm sè thùc x, y tho¶ m·n x2 +y2 = x+y số nguyên 15 ThuVienDeThi.com -B thi vo trng chuyờn- Tỉnh Bình Thuận (150 phút) Bài 1(6®): Chøng minh r»ng: A = 13 48 số nguyên Tìm tất số tự nhiên có ch÷ sè abc cho: abc = n2 – cba =(n-2)2 Baì 2(6đ) Giải pt: x3 + 2x2 + 2 x +2 =0 Cho Parabol (P): y=(1/4)x2 đường thẳng (d): y= (1/2)x +2 a) Vẽ (P), (d) hệ trục toạ độ Oxy b) Gọi A,B giao điểm (P),(d) Tìm ®iĨm M trªn cung AB cđa (P) cho diƯn tích tam giác MAB max c) tìm điểm N trục hoành cho NA+NB ngắn Bài 3(8đ): Cho đường tròn tâm O dây cung BC không ®i qua O Mét ®iĨm A chun ®éng trªn ®êng tròn (A#B,C) gọi M trung điểm đoạn AC, H chân đường vuông góc hạ từ M xuống đường thẳng AB Chứng tỏ H nằm đường tròn cố định Cho đường tròn (O,R) (O,R) (R>R), cắt A,B Tia OA căt (O) D; tia BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD E So sánh độ dài đoạn BC & BE 16 ThuVienDeThi.com -Bộ đề thi vào trường chuyờn- * Tỉnh Phú Thọ (150 phút) Bài 1(2đ): a) chứng minh p số nguyên tố lớn (p-1)(p+1) chia hết cho 24 b) tìm nghiệm nguyên dương pt: xy 2x 3y +1= Bài 2(2đ): Cho số a,b,c khác đôi khác nhau, thoả mÃn điều kiện a3 + b3 + b c c a a b a b c c3 = 3abc TÝnh: a b c b c ca ab Bài 3(2đ) a) tìm a để pt: x +2ax = 3a -1 cã nghiÖm nhÊt b) cho tam thøc bËc hai f(x)=ax2 +bx+ c thoả mÃn điều kiện f (x) víi mäi x 1;1 T×m max biểu thức 4a2 +3b2 Bài (1,5đ) Cho góc xOy hai điểm A,B nằm hai tia Ox,Oy thoả mÃn OAOB = m (m độ dài cho trước) Chứng minh:đường thẳng qua trọng tâm G tam giác ABO vuông góc với AB qua điểm cố định Bài 5(2.5đ): Cho tam giác nhọn ABC Gọi ha,hb,hc đường cao ma,mb,mc đường trung tuyến cạnh BC,CA,AB; R&r bán kính đường tròn ngoại tiếp & nội tiếp tam gÝac ABC Chøng minh r»ng m a mb m c R r hb hc r 17 ThuVienDeThi.com -Bộ đề thi vào trường chun- §Ị số 1: Bài cho số a1,a2,a3,a2003 Biết: ak = 3k 3k k k 3 víi mäi k = 1,2,3….2003 TÝnh tỉng:a1 + a2 + a3+ +a2003 Bµi Cho A = 1- +13 -19 +25 -31 +……… a) BiÕt A cã 40 số hạng Tính giá trị A b) Biết A có n số hạng Tính giá trị A theo n Bài Cho tam giác ABC cân A, góc BAC = 400, đường cao AH Các điểm E, F theo thứ tự thuộc đoạn thẳng AH, AC cho gãc EBA = gãc FBC = 300 Chứng minh AE = AF Bài Cho sáu sè tù nhiªn a , a , a , a , a , a tho¶ m·n: 2003 = a