Bí quyết Giải phương trình lượng giác27461

BÍ QUYẾT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC - CÁC KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC SẮC - CÁC MẸO LOẠI NGHIỆM NHANH, CHÍNH XÁC - CÁCH BẤM MÁY TÍNH TÌM HƯỚNG GIẢI ThuVienDeThi.com CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG I CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN sin2 x   cos2 x   sin x  cos x    cos2 x   sin2 x  1 2   tan x  tan x  1  cos2 x cos2 x 1   cot2 x  cot2 x  1  sin x sin2 x  tan x cot x   cot x  tan x 4  sin x  cos x   sin x cos2 x ;   sin x  cos6 x   sin2 x cos2 x    sin3 x  cos x  (sin x  cos x )(1  sin x cos x )   sin x  cos3 x  (sin x  cos x )(1  sin x cos x )   2 II DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC sin x cos x tan x cotx Góc I     Góc II Góc III         Góc IV     III MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT  Hai cung đối cos(x )  cos x tan(x )   tan x sin(x )   sin x cot(x )   cot x  Hai cung bù sin(  x )  sin x tan(  x )   tan x cos(  x )   cos x cot(  x )   cot x  Hai cung phụ  sin(  x )  cos x  tan(  x )  cot x  cos(  x )  sin x  cot(  x )  tan x sin(  x )   sin x tan(  x )  tan x cos(  x )   cos x cot(  x )  cot x  Hai cung   Hai cung  ThuVienDeThi.com  sin(  x )  cos x  tan(  x )   cot x  Với k số ngun ta có: sin(x  k 2)  sin x tan(x  k )  tan x  cos(  x )   sin x  cot(  x )   cot x cos(x  k 2)  cos x cot(x  k )  cot x IV CÔNG THỨC CỘNG sin(x  y )  sin x cos y  cos x sin y sin(x  y )  sin x cos y  cos x sin y cos(x  y )  cos x cos y  sin x sin y tan x  tan y tan(x  y )   tan x tan y cos(x  y )  cos x cos y  sin x sin y tan x  tan y tan(x  y )   tan x tan y Đặc biệt:     sin 2x  sin x cos x   2 2 TH1: Cơng thức góc nhân đơi:  cos 2x  cos x  sin x  cos x    sin x   tan x   tan 2x     tan2 x   cos 2x  cos 2x ;cos2 x  Hệ quả: Công thức hạ bậc 2: sin x  2 sin 3x  sin x  sin x  TH2: Cơng thức góc nhân ba:  cos 3x  cos x  cos x  V CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG x y x y cos 2 x y x y cos x  cos y  2 sin cos 2 x y x y sin x  sin y  sin cos 2 x y x y sin x  sin y  cos sin 2 cos x  cos y  cos Chú ý:    sin x  cos x  sin x   sin x  cos x  1 cos(x  y )  cos(x  y )  sin x sin y   cos(x  y )  cos(x  y ) sin x cos y   sin(x  y )  sin(x  y ) cos x sin y  sin(x  y )  sin(x  y ) cos x cos y        cos x          sin x     cos x       ThuVienDeThi.com PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN u  v  k 2 u  v  k 2  sin u  sin v   u    v  k 2  cos u  cos v   u  v  k 2 u  v  k    tan u  tan v    u    k    cot u  cot v    sin x   x  k  cos x   x    u  v  k  u  k  Đặc biệt:   k cos x   x  k 2 cos x  1  x    k 2   k 2  sin x  1  x    k 2 sin x   x  Chú ý:  Điều kiện có nghiệm phương trình sin x  m cos x  m là: 1  m   Sử dụng thành thạo câu thần " Cos đối - Sin bù - Phụ chéo" để đưa phương trình dạng sau phương trình bản:   sin u  cos v  sin u  sin   v      cos u  sin v  cos u  cos   v    sin u   sin v  sin u  sin(v )  cos2 x   Đối với phương trình    sin x  cos u   cos v  cos u  cos(  v )  cos x  1  không nên giải trực tiếp phải giải   sin x  1 phương trình thành phần, việc kết hợp nghiệm khó khăn Ta nên dựa vào công  cos2 x  sin x   thức sin x  cos x  để biến đổi sau:     sin 2x   x sin  cos x    cos x  2 cos2 x       cos 2x   Tương tự phương trình   sin2 x  1  sin x    2 Bài Giải phương trình sau    cos x          cos x     sin 2x          tan   x          Hướng dẫn giải:     3  cos x    cos  cos x         ThuVienDeThi.com  3 ,v  , nên dựa vào cơng thức nghiệm ta có 4  3  3 x   k 2 x     k 2 4 4  Vậy nghiệm phương trình là: x    k 2 ; x    k 2 , (k  )          sin 2x      sin 2x      sin 2x    sin           Ta xác định phương trình u  x    2x       k 2 x     k    12   (k  )    2x     k 2  x   k            cos x    cos  cos x      cos x              x      k 2 x     k 2   12   (k  )   x     k 2 x     k 2   12           tan   x    tan   x    tan   x   tan           x   k   x   k  , (k  ) 6 Chú ý: Đối với phương trình tan x  m ( tan x  m ), m số điều kiện  cos x  ( sin x  ) không cần thiết Bài Giải phương trình sau    sin x  sin 2x            tan 3x    tan x           sin x    cos 2x            cot 2x    tan   x     6 4     Hướng dẫn giải:   x  2x    k 2 x     k 2   4  , (k  )    x    2x   k 2 x   k 2   4     2x    2  x  k 2 x  5  k 2         36  x      PT  cos 2x    cos        11  4 3   x    k 2 2x     x  k 2  12    Do PT có dạng tan u  tan v nên ta cần điều kiện cos u  cos v  Để đơn      giản ta chọn điều kiện: cos x     x    k   x   k  Khi đó:      sin x  sin 2x      ThuVienDeThi.com       5   k , (k  ) tan 3x    tan x    3x   x   k   x    24   5   k , (k  ) 24  Do biến đổi PT dạng tan u  tan v nên ta cần điều kiện cos u  cos v  Để đơn giản ta chọn điều kiện:      cos   x     x   k   x    k    Kết hợp nghiệm đường tròn lượng giác thu nghiệm PT: x      3      2x  PT  cot 2x    tan x    tan x    tan       x         3 11    2x  k   x   k (k  ) 36 Kết hợp nghiệm đường tròn lượng giác thu nghiệm PT: x  Bài Giải phương trình sau  cos2 x  2(  1) cos x    tan2 x  (1  3) tan x   11   k , (k  ) 36  cos2 x  sin x       2  sin x    cos x  Hướng dẫn giải:    cos x  x     k 2   (k  )  PT      x    k 2  cos x     sin x  (lo¹i)   PT  2(1  sin2 x )  sin x    sin2 x  sin x     sin x  (t/m)   5 Vậy phương trình có nghiệm: x   k 2 x   k 2 , (k  ) 6  tan x  sin x  (lo¹i)     PT   x x      sin sin  tan x  sin x      5  k 2 , (k  ) Vậy phương trình có nghiệm: x   k 2 x  6    cos 2x        cos 2x  PT   sin 2x   cos 2x  tan 2x  1  x    k  2 Bài Giải phương trình sau  sin x  cos x  sin 2x   sin ThuVienDeThi.com x x  cos4   sin x 2    4  2(sin x  cos x )  cos   2x     sin6 x  cos6 x  cos 4x Hướng dẫn giải: 1   sin2 2x  sin 2x  2  sin 2x  1    2x    k 2  x    k,(k  )  sin2 2x  sin 2x      sin 2x  (lo¹i) sin x   PT   sin2 x   sin x  sin2 x  sin x     x  k  (k  )  (lo¹i) sin x   sin 2x      x x   sin  sin   PT  sin 2x  sin 2x          sin 2x  2 (lo¹i)    2x   k 2  x   k ,(k  )  PT   sin2 x cos2 x   sin2 2x   sin2 2x   sin2 2x   sin 2x   2x  k   x  k ,(k  )  PT   sin2 x cos2 x  sin 2x  Bài Giải phương trình sau 4 2(sin6 x  cos6 x )  sin x cos x  (A06)  sin x  cos x  sin x cos x    cos x  sin x  x  (2  3) cos x  sin2 (  ) 1  cos x   sin x Hướng dẫn giải: 1  PT   sin2 2x  sin 2x   sin2 2x  sin 2x    2 x   sin 2x  1   sin 2x  (lo¹i)    k ,(k  )  x    k     (A-2006) Điều kiện:  sin x   sin x   x    k 2     PT  2(sin6 x  cos6 x )  sin x cos x   1  sin2 2x   sin 2x      sin 2x    x   k  , (k  )  sin 2x  sin 2x      sin 2x   (lo¹i)  5 Kết hợp nghiệm ta thu nghiệm phương trình x   k 2 ThuVienDeThi.com   cos x  1   PT  cos4 x   cos2 x   cos x  cos2 x      cos2 x   (lo¹i)       cos2 x    cos 2x   2x   k   x   k , (k  )   Điều kiện: cos x   x    k 2   x    PT  (2  3)cos x  sin2 (  )  cos x    cos x  1  cos x    1        cos x  cos   x    cos x  sin x   tan x   x   k ,(k  )   Bài Giải phương trình sau  sin 5x  cos2 x  (B-2013)  sin 3x  cos 2x  sin x  (D-2013)  sin x  cos x   sin 2x (A-2014)  cos 3x  cos 2x  cos x   (D-2006) Hướng dẫn giải:  PT  sin 3x  sin x  cos 2x   cos 2x sin x  cos 2x   cos 2x (2 sin x  1)   x    k    cos 2x        x    k 2  sin x      7  k 2 x    PT  sin 5x   cos 2x   cos 2x   sin 5x  cos 2x  sin 5x     x     k 2  x x k         (k  )   cos 2x  cos   5x     2  x     k 2 2x     5x  k 2   14    PT  sin x  cos x   sin x cos x  sin x (1  cos x )  2(2 cos x  1)    sin x  (lo¹i)   (sin x  2)(1  cos x )     x    k 2  cos x    PT  cos 3x  cos x  cos 2x    2 sin 2x sin x  sin2 x   sin x    sin x (sin 2x  sin x )    sin  sin  x x  ThuVienDeThi.com x  k   sin x      2 cos x   x   2  k 2   MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phương trình: a sin x  b cos x  c  Cách giải: Chia hai vế phương trình cho  a a2  b2 C1: Đặt C2: Đặt sin x  a a2  b2 a a2  b2 b a  b2  cos ,  sin , cos x  b a  b2 b a  b2 a  b2 c a  b2  sin  Khi PT  sin(x  )   cos  Khi PT  cos(x   )  c a  b2 c a  b2 x ? x ?  Điều kiện có nghiệm phương trình: a  b  c  Chú ý: Khi phương trình có a  c b  c dùng cơng thức góc nhân đơi sử dụng phép nhóm nhân tử chung Bài Giải phương trình sau  cos x  sin x   cos 3x  sin 3x   sin x  cos x   sin x  cos x  sin 5x Hướng dẫn giải:  Nhận xét: Trong PT ta xác định hệ số a  1, b  3, c  thỏa mãn điều kiện a  b  c phương trình có nghiệm Để giải PT ta cần chia hai vế cho a  b  12  ( 3)2   x    k      12 sin x   sin x     PT  cos x    2 6 x    k 2  12   x    k 2   1   12 cos x  sin x   sin x      PT    4  x  5  k 2 2  12     3x    k     2  cos 3x  sin 3x   sin   3x    3  PT     2 2   3x    k 2 3   x    k   36 , (k  )   2 x   k  36   1   PT  sin x  cos x  sin 5x  sin x    sin 5x   2 ThuVienDeThi.com   5x  x    k 2 x    k    16      5x  x   k  x  k 2     Bài Giải phương trình sau    sin 2x  sin   2x      (  1)sin x  (  1)cos x     sin x  cos 3x   sin x  2 6  ;     cos 7x  sin 7x   0, x   Hướng dẫn giải:  PT  sin 2x  cos 2x    1  sin 2x  cos 2x   sin 2x     2    2x      k 2 x  k   6  (k  )  x    k   2x     k 2   6  1 1 1 sin x  cos x   PT  8 1 Nhận xét: Sử dụng máy tính 570ES PLUS ta bấm SHIFT SIN sin 5  12 1 Vậy ta có nên đưa phương trình dạng cos hay chưa? Câu trả lời chưa Bởi kết thu 5 , tức 12 5 5 1 sin x  sin cos x  12 12 5 giá trị cung lượng giác đặc 12 biệt có mặt SGK?Vì ta nên làm sau cho thuyết phục:   5     3 1   sin     sin cos  cos sin   12 6 2 2     5  5 5 1 5  sin x  sin cos x    sin x     cos   Nên PT  cos   12  12  12 12  x  5     k 2         5 7 5   12 12  sin x    cos    sin x    sin       12    12  13   12  12  x    k 2  12 12   2  k 2 , (k  ) Vậy phương trình có nghiệm: x    k 2 x  Ta có sin sin 3x  cos 3x  2   x     k    k 2  18  5  2    k 2 x   k   PT  sin 3x  cos 3x     3x        sin 3x         3x     ThuVienDeThi.com  7x      k 2     sin 7x  cos 7x    PT   sin 7x       2 6  7x     k 2     x  5  k 2 7x  5  k 2   84 (k  ) 12   x  11  k 2 7x  11  k 2   84 12    2 6  Nhận xét: Để tìm nghiệm x   ;  thực chất ta phải chọn số nguyên k thỏa mãn   2 5 2 6 2 11 2 6 tức ta phải giải bất phương trình  k   k  84 7 84 7 2k 11 2k    ;    để tìm miền giá trị k sau chọn k số 84 7 84 7 nguyên 53 5 59 ,x  x  84 12 84 KL: Vậy phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện là: x  Ngồi ra, ta khơng cần giải BPT nghiệm nguyên cách sử dụng 570ES PLUS sau: 2 6   - Trước tiên ta tìm khoảng gần  ;  0, 4; 0, 857 5 7   2X vào máy tính (vì máy tính khơng có k nên ta coi X k )  84 CALC với giá trị X  0; 1; 2; 3 để kiểm tra xem có thỏa mãn hay khơng Khi ta tìm - Nhập biểu thức thứ k  , ứng với nghiệm x  53 84 - Tương tự cho biểu thức thứ thu k  1; k  , tương ứng với nghiệm x  5 59 x  12 84 Bài Giải phương trình sau  cos 7x  sin 5x   3(cos 5x  sin 7x ) 3(1  cos 2x )  cos x sin x  tan x  cot x  4(sin x  cos x )  sin x  sin 2x  (CĐ2004) cos x  cos 2x Hướng dẫn giải:  Nhận xét: Đối với PT dạng a sin x  b cos x  c giải cách dễ dàng cách chia cho a  b Nhưng gặp dạng a sin mx  b cos mx  c sin nx  d cos nx a  b  c  d làm nào? Cứ bình tĩnh quan sát nhé! Chúng ta nhận thấy vế phương trình có dạng bậc sin cos, ta thử chia vế cho a  b , may a  b  c  d Nhưng lưu ý rằng, ta phải chuyển vế cho vế có cung Từ ta có lời giải sau: PT  cos 7x  sin 7x  sin 5x  cos 5x  3 cos 7x  sin 7x  sin 5x  cos 5x 2 2 ThuVienDeThi.com 10      sin 7x    sin 5x          7x    5x    k 2 x    k    12     7x   x    k   5x  k 2   24   sin x    sin 2x   x  k  Điều kiện:   cos x    sin2 x  cos2 x  sin x  cos x  4  PT   4(sin x  cos x )  (sin x  cos x )  sin x cos x  sin x cos x    sin x  cos x   tan x         sin x    sin 2x  sin x  cos x  sin 2x        Giải kết hợp nghiệm đường tròn lượng giác ta thu được: x    k ; x   k 2; 3 2 2 , (k  ) x k  Điều kiện: sin x   x  k  2x      k 2     3  PT  sin 2x  cos 2x   sin 2x       2x     k 2  3  x  k  (lo¹i)   Vậy phương trình có nghiệm: x   k ,(k  )   x   k   2  Điều kiện: cos x  cos 2x   2x  x  k 2  x  k PT  sin x  sin 2x  3(cos x  cos 2x )  sin x  cos x  sin 2x  cos 2x   3   sin x  cos x  sin 2x  cos 2x  sin x    sin 2x      2 2  x  k 2  (k  )  x  5  k 2   Vậy phương trình có nghiệm: x  k 2; x  Bài Giải phương trình sau  cos x  sin x   5 2 k   cos x   tan x  2 sin x  cos 5x  sin 3x cos 2x  sin x  (D09)  sin x  cos x     (A2013)  6 sin x  cos x  Hướng dẫn giải: ThuVienDeThi.com 11  Điều kiện: cos x   x    k  PT  cos2 x  sin x cos x   cos 2x  sin 2x    2x      k 2     6  sin 2x           2x     k 2  6   Vậy phương trình có nghiệm: x  k ; x   k    Điều kiện: cos x   x   k  cos 2x  sin 2x  2  x  k  (t/m)  (k  ) x    k  (t/m)    sin x  2    2(sin x  cos x )  (sin x  cos x )  PT    cos x cos x  Kết hợp với điều kiện thu nghiệm PT: x    tan x  1    cos x      k ; x    k 2 , (k  )  PT  cos 5x  (sin 5x  sin x )  sin x   cos 5x  sin 5x  sin x    x     k     x x k      18 , (k  )   sin   5x   sin x          5x    x  k 2 x    k 3        Vậy phương trình có nghiệm: x    k ; x    k 18  Đặt t  sin x  cos x  , (t  0) t   t   + Với t  ta có sin x  cos x   sin x  cos x  5  cos  sin x  sin  cos x   sin x     x    k  PT  t     t  7t    t + Với t  ta có sin x  cos x   sin x  cos x  5  cos  sin x  sin  cos x   sin x      x    Vậy phương trình có nghiệm: x    k 2; x      k 2    k 2 sin   cos   5 DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THUẦN BẬC HAI VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phương trình: a sin2 x  b sin x cos x  c.cos2 x  d   Cách giải: Cách 1: + Xét cos x  có nghiệm phương trình khơng? ThuVienDeThi.com 12 + Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được: a tan2 x  b tan x  c  d(1  tan2 x )   tan x  x Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa phương trình bậc với sin 2x cos 2x (dạng 1) Bài Giải phương trình sau  sin2 x  sin x cos x  cos2 x   sin2 x  sin x cos x  cos2 x   sin2 x  10 sin x cos x  21 cos2 x   sin2 x  sin x cos x  cos2 x  Hướng dẫn giải: 2  sin x  sin x cos x  cos x  + Xét cos x  (tức sin x  ): Khi PT trở thành  nên cos x  không thỏa mãn + Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos x ta được:   tan x  x    k    (k  ) tan2 x  tan x       tan x   x  arctan    k         Cách 2: PT  2(1  cos 2x )  sin 2x  3(1  cos 2x )   sin 2x  cos 2x  Đặt t  tan x sin 2x  2t 1t2 x  ; cos Phương trình trở thành  t2  t2 t   2t  t     t     sin2 x  sin x cos x  cos2 x  + Xét cos x  (tức sin x  ): Khi PT trở thành  nên cos x  không thỏa mãn + Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được:   tan x  x    k    (k  ) tan2 x  tan x       tan x  x  arctan    k          sin2 x  10 sin x cos x  21 cos2 x  + Xét cos x  (tức sin x  ): Khi phương trình trở thành  nên cos x  không t/m + Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được:  tan x  x  arctan  k     tan x  10 tan x  21    (k  )  tan x  x  arctan  k   sin2 x  sin x cos x  cos2 x  + Xét cos x  (tức sin x  ): Khi phương trình trở thành  nên cos x  không t/m + Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được:   tan x  x    k     (k  ) tan x  tan x       tan x  x  arctan    k       Bài Giải phương trình sau  sin2 x  (1  3)sin x cos x  cos2 x   sin2 x  sin 2x  cos2 x  ThuVienDeThi.com 13  sin2 x  sin x cos x  cos2 x   sin2 x  sin 2x  (8  3) cos2 x  Hướng dẫn giải:  sin2 x  (1  3)sin x cos x  cos2 x  + Xét cos x  (tức sin x  ): Khi phương trình trở thành  nên cos x  không t/m + Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos x ta được:  tan x  1  tan x  (1  3) tan x      tan x   x     k   (k  )   x   k     PT  sin2 x  sin x cos x  cos2 x  + Xét cos x  (tức sin x  ): Khi phương trình trở thành  nên cos x  không t/m + Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos x ta được: x  arctan(2)  k   tan x  2      tan2 x  tan x      x  arctan    k  (k  )  tan x         sin2 x  sin x cos x  cos2 x  + Xét cos x  (tức sin2 x  ): Khi phương trình trở thành  nên cos x  không t/m + Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được:   tan x  x    k  2  tan x  tan x   2(1  tan x )   (k  )   tan  x  arctan x k      PT  sin2 x  sin x cos x  (8  3) cos2 x  + Xét cos x  (tức sin x  ): Khi phương trình trở thành  nên cos x  thỏa mãn   k  nghiệm phương trình + Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được: Tức x    tan2 x  tan x    3(1  tan2 x )  tan x   x  Vậy phương trình có nghiệm: x    k  (k  )    k , x   k  DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phương trình: a sin x  b cos x  c sin2 x cos x  d cos2 x sin x  e sin x  f cos x   Cách giải: + Xét cos x  có nghiệm phương trình khơng? + Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos x với ý: Bài Giải phương trình sau  sin x  sin x  cos x   cos x  sin 3x   tan2 x cos x  sin x  cos x  cos3 x  sin x  sin x  Hướng dẫn giải: ThuVienDeThi.com 14  sin x  sin x  cos x  + Xét cos x  (tức sin x  1 ): Khi PT trở thành 3  nên cos x  không thỏa mãn + Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos x ta được: tan x (1  tan2 x )  tan x  (1  tan2 x )   tan x  tan2 x  tan x    (tan x  1)(3 tan2 x  tan x  1)   tan x   x    k  (k  ) Nhận xét: Khi giải phương trình bậc em thường bấm máy tính để nghiệm ngay, nên em biến đổi phương trình 3t  t  t    t  Như liệu đầy đủ chưa? Câu trả lời chưa đủ khơng học cơng thức nghiệm phương trình bậc Các em cần phải phân tích thành nhân tử trước đưa nghiệm Vậy làm để phân tích nhanh nhất? Bước 1: Dùng máy tính 570ES PLUS thu nghiệm sau t  , t    0, 47i (1 nghiệm nhé! Bước 2: Viết nhân tử: PT có nghiệm t  nên có nhân tử (t  1) , nhân tử cịn lại gì? thực nghiệm phức) Chú ý đến số  Dựa vào hệ số cuối phương trình bậc ta thu hệ số cuối nhân tử cịn lại, tức có nhân tử (3t  Bt  1) Để tìm B ta dựa vào phần thực B từ suy B  Vậy ta phân tích phương trình thành  2A (t  1)(3t  2t  1)  t  nghiệm phức lại   sin x  cos x + Xét cos x  (tức sin x  1 ): Khi PT trở thành 2  nên cos x  không thỏa mãn + Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos3 x ta được: tan x   tan2 x  tan x  tan x    (tan x  1)(2 tan2 x  tan x  1)   tan x   x    k  (k  )  cos x  sin 3x  cos x  sin x  sin x + Xét cos x  (tức sin x  1 ): Khi PT trở thành  1 nên cos x  không thỏa mãn + Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos x ta được:  tan x (1  tan2 x )  tan3 x  tan x  tan x     tan x  x    k    (tan x  1) (tan x  2)    (k  )    tan x  2 x arctan( 2) k      Nhận xét: Khi bấm máy tính giải phương trình t  3t   , thu nghiệm t  1, t  2 Khi phân tích phương trình thành t  3t   (t  1)(t  2) Như liệu đầy đủ chưa? Các em để ý bậc hai vế để tự đưa câu trả lời Như đa thức cịn có nhân tử nữa, theo em nhân tử t  hay t  Câu trả lời t  , lại vậy? Rất dễ dàng nhân tử thứ ba t  số hạng tự đa thức ban đầu phải 4 , không ổn Vậy kết t  3t   (t  1)(t  2)(t 1)  (t 1)2 (t  2)  cos3 x  sin x  sin x  + Xét cos x  (tức sin x  1 ): Khi PT trở thành 1  nên cos x  không thỏa mãn + Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos3 x ta được:  tan3 x  tan x (1  tan2 x )   tan x  tan x   ThuVienDeThi.com 15  (tan x  1)(tan2 x  tan x  4)   tan x   x  Bài Giải phương trình sau  sin x sin 2x  sin 3x  cos x  sin x  cos x  sin 2x cos x   k  (k  )  cos3 x  sin3 x  sin x  cos x  cos3 x  sin x  sin2 x cos x  Hướng dẫn giải:  sin x sin 2x  sin 3x  cos3 x  sin2 x cos x  sin x  sin x  cos3 x + Xét cos x  (tức sin x  1 ): Khi PT trở thành 1  nên cos x  không thỏa mãn + Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos x ta được: tan2 x  tan x (1  tan2 x )  tan x   tan x  tan2 x  tan x    x    k   tan x        (tan x  2)(tan2 x  3)    tan x   x   k  (k  )    tan x      x    k    PT  cos3 x  sin3 x  sin x  cos x  + Xét cos x  (tức sin x  1 ): Khi PT trở thành 2  nên cos x  không thỏa mãn + Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos x ta được:  tan3 x  (tan x  1)(1  tan2 x )    tan3 x  (tan x  tan2 x  tan x  1)  x  k   tan x   (k  )   tan2 x  tan x      x tan      x k     sin x  cos x  sin 2x cos x  sin x  cos x  10 sin x cos2 x + Xét cos x  (tức sin x  1 ): Khi PT trở thành 6  nên cos x  không thỏa mãn + Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos x ta được: tan x (1  tan2 x )   10 tan x  tan x  tan x    (tan x  1)(6 tan2 x  tan x  2)   tan x   x    k  (k  )  cos x  sin x  sin2 x cos x  + Xét cos x  (tức sin x  1 ): Khi PT trở thành 1  nên cos x  không thỏa mãn + Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos x ta được:  tan x (1  tan2 x )  tan2 x   tan x  tan x    (tan x  1)(2 tan2 x  tan x  1)   tan x   x  Bài Giải phương trình sau  cos3 x  sin3 x  cos x sin2 x  sin x   sin x  cos x  3  cos x sin x   k  (k  )   tan x  sin 2x  tan x sin2 x  2sin2 x  3(cos2x  sin x cos x ) Hướng dẫn giải:  cos x  sin x  cos x sin x  sin x  + Xét cos x  (tức sin x  1 ): Khi PT trở thành 1  nên cos x  không thỏa mãn + Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos x ta được: ThuVienDeThi.com 16  tan3 x  tan2 x  tan x (1  tan2 x )   tan x  tan2 x  tan x     x     k   tan x  1       x   k  (k  )  (tan x  1)(3 tan x  1)    tan x       x    k   tan x      Điều kiện: cos x  Khi phương trình trở thành: cos x  sin x  sin x cos2 x Chia hai vế phương trình cho cos3 x ta được: (1  tan x )(1  tan2 x )  tan x  tan x  tan2 x  tan x    (tan x  1)(3 tan2 x  tan x  1)   tan x  1  x    (t/m), (k  )  Điều kiện: cos x  PT trở thành: sin2 x cos x  cos2 x sin x  sin x  cos x Chia hai vế phương trình cho cos x ta được: tan2 x  tan x  ( tan x  1)(tan2 x  1)  tan3 x  tan2 x  tan x     x    k     tan x      (tan2 x  1)( tan x  1)    tan x  1  x    k  (t/m), (k  )       tan x  x   k     Điều kiện: cos x  PT trở thành: sin x  sin2 x cos x  3(2 cos3 x  sin x cos2 x  cos x ) Chia hai vế phương trình cho cos x ta được: tan3 x  tan2 x  3(2  tan x   tan2 x )  tan x  tan2 x  tan x    x    k   tan x        (tan x  1)(tan x  3)    tan x   x   k  (t/m), (k  )    tan x      x    k   Bài Giải phương trình sau  cos3 x  sin3 x  cos2 x  sin2 x  cos x  sin x   cos3 x  sin x  cos 2x 13 cos2 2x  sin x  cos4 x      cot x   cot   x      Hướng dẫn giải: 3 2  PT  cos x  sin x  cos x  sin x  (cos x  sin x )(1  sin x cos x  cos x  sin x )   cos x  sin x (1)   1  sin x cos x  sin x  cos x  (2)     Giải (1): cos x  cos   x   x   x  k 2  x   k    ThuVienDeThi.com 17 t2 1 Khi (2)   (t  1)  2t  Giải (2): Đặt t  sin x  cos x  sin x cos x     t  2t    t   sin x  cos x   sin x       x  k 2 x      k 2   4 (k  )   x    k 2 x    3  k 2   4    Vậy phương trình có nghiệm: x   k ; x  k 2; x   k 2 (k  ) 2  PT  (cos x  sin x )(1  sin x cos x )  cos x  sin x  (cos x  sin x )(1  sin x cos x  sin x  cos x )   sin x  cos x   tan x  1  x     sin x cos x  sin x  cos x    k  t2 ta có:  t   2t   t  1  x  k 2 x       k 2       4  sin x  cos x  1  sin x        x  3  k 2    x    k 2   4   3  k 2 (k  ) Vậy phương trình có nghiệm: x    k ; x  k 2; x  13  PT  (cos2 x  sin2 x )(cos x  sin x  sin2 x cos2 x )  cos2 2x   13 13  cos 2x (1  sin2 x cos2 x )  cos2 2x  cos 2x 1  sin2 2x  cos 2x     8 Đặt t  sin x  cos x  sin x cos x      k  x   k 2   sin 2x  13 cos 2x   cos 2x  13 cos 2x     cos 2x  , cos 2x  (loại)  x    k     Vậy phương trình có nghiệm: x   k ; x    k  (k  )          2  0  Điều kiện: sin x   sin   x    sin x   cos x     sin 2x             cos 2x   2x    sin2 x cos2 x  7 1   sin2 2x   sin2 2x   sin 2x   8 Vậy phương trình có nghiệm: x  5  7  k ; x   k ; x    k ; x   k  (k  ) 12 12 12 12 ThuVienDeThi.com 18 DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phương trình: f (sin x  cos x , sin x cos x )   Cách giải: t2 1 + Đặt t  sin x  cos x  sin x cos x  1t2 + Đặt t  sin x  cos x  sin x cos x  Đưa phương trình ẩn t   Chú ý: Nếu t  sin x  cos x  sin x     t    Bài Giải phương trình sau  2(sin x  cos x )  sin 2x    sin x cos x  6(sin x  cos x  1)   tan x  2 sin x   sin 2x  sin(x  )  Hướng dẫn giải:  2(sin x  cos x )  sin 2x    2(sin x  cos x )  sin x cos x     t2 1 sin x    sin x cos x   t    t  (t/m) Phương trình trở thành: 2t  (t  1)    t  2t    t  2 (lo¹i)    Khi sin x  cos x   sin x     x    k     Đặt t  sin x  cos x   Vậy phương trình có nghiệm:  sin x cos x  6(sin x  cos x  1)   Đặt t  sin x  cos x  sin x     t2   sin x cos x    t   t  (t/m)  Phương trình trở thành:  t  12(t  1)  t  12t  13    t  13 (lo¹i)   Vì sin x  cos x   sin x      2 Vậy phương trình có nghiệm: x    k ; x    k 2 (k  )   sin 2x  sin(x  )   sin x cos x  sin x  cos x      t2  Đặt t  sin x  cos x  sin x    sin x cos x     t   t  (t/m)  Phương trình trở thành:  t  t   t  t    t  (t/m) 2 ThuVienDeThi.com 19 ...  k 2   MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phương trình: a sin x  b cos x  c  Cách giải: Chia hai vế phương trình cho  a a2  b2 C1:... sin x  e sin x  f cos x   Cách giải: + Xét cos x  có nghiệm phương trình khơng? + Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos x với ý: Bài Giải phương trình sau  sin x  sin x  cos x... ?  Điều kiện có nghiệm phương trình: a  b  c  Chú ý: Khi phương trình có a  c b  c dùng cơng thức góc nhân đơi sử dụng phép nhóm nhân tử chung Bài Giải phương trình sau  cos x  sin x