www.VNMATH.com SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGH AN TRƯỜNG THPT HÀ HUY T P THI THỬ ĐẠI HỌC L N NĂM 2014 MƠN THI: TỐN; KH I A, A1, B, D Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO T T CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 đ✐ể♠) 2x −1 Câu (2,0 đ✐ể♠) Cho hàm số y = có đồ thị (C) x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y = mx + cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông O Câu (1,0 đ✐ể♠) Giải phương trình: ( tan x − 1) sin x + 3cos x − sin x = 3 x + y − x + 15 x + y − 14 = Câu (1,0 đ✐ể♠) Giải hệ phương trình: x + y + x + y = ♣ cos x + e tan x sin x ( ) dx Câu (1,0 đ✐ể♠) Tính tích phân: I = ∫ cos3 x Câu (1,0 đ✐ể♠) Cho hình chóp S.ABC tam giác ABC vng B, BC = a, AC = 2a tam giác SAB Hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm M AC Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA BC Câu (1,0 đ✐ể♠) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + ( y − 1) + z ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức: P = y ( x + z ) + x + y + z2 +1 2 II PHẦN RIÊNG (3,0 đ✐ể♠): Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Dành cho học sinh thi khối A, A1 Câu 7.a (1,0 đ✐ể♠) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn ( C ) : x + y = 25 ngoại tiếp tam giác nhọn ABC có tọa độ chân đường cao hạ từ B, C M ( −1; −3) , N ( 2; −3) Hãy tìm tọa độ đỉnh A, B, C, biết điểm A có tung độ âm Câu 8.a (1,0 đ✐ể♠) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y − z − = mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 11 = Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính nửa bán kính mặt cầu (S) Câu 9.a (1,0 đ✐ể♠) Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi xanh viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp Tính xác suất để viên bi chọn khơng có đủ màu B Dành cho học sinh thi khối B, D Câu 7.b (1,0 đ✐ể♠) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A ( 0;3) hai điểm B, C thc đường trịn ( C ) : x + y = Hãy tìm tọa độ B, C biết tam giác ABC có diện tích lớn điểm B có hồnh độ dương Câu 8.b (1,0 đ✐ể♠) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A (1; 2;3) , B ( 2; 2; −2 ) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AB vng góc với mặt phẳng (OAB) x +1 17 x y 4 − + 2.9 = Câu 9.b (1,0 đ✐ể♠) Giải hệ phương trình: log ( x + ) − log ( x − y + 1)3 = -H T T❤í sinh khơng s✮ dụng tài liệu Cán coi thi khơng gi✵i thích thêm Họ tên thí sinh:……………………………………………………Số báo danh:……………………… ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com THA G Đ ỂM ĐỀ TH THỬ ĐẠ HỌC 2014 LẦ Đ Đ C Đ ỂM Tập xác định: R \{-1} -) Chiều biến thiên: y ' = +) Sự biến thiên: ( x + 1) ❃ 0, ✧x ➵ 1 0,25 Hàm số đồng biến khoảng ( −➙; ✁1) ( −1; ✰➙ ) -) Giới hạn tiệm cận: lim y = lim y = , tiệm cận ngang : y = x ➤ −✂ x ➤✄✂ lim y = +✆; lim y = ✆ , tiệm cận đứng: x = −1 x ➤ ( −1) x ➤( ☎1) -) Bảng biến thiên: x −1 ✁➙ ✰➙ y’ y ✰➙ − a 0,25 + 0,25 ✁➙ +) Đồ thị: (1,0 điểm) 0,25 O Hoành độ giao điểm d: y = mx + với (C) nghiệm phương trình: 2x −1 x +1 1.b (1,0 điểm) = mx + 2, ( x ➵ −1) Û mx + mx + = (1) Dễ thấy với m = (1) vơ nghiệm Đường thẳng d cắt (C) hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác – Điều kiện là: ❉ ❃ ém ❁ (*) Û m − 12m ❃ Û ê ë m ❃ 12 m ( −1) + m ( −1) ✝ ➵ Với (*) giả sử x1 , x2 hai nghiêm phân biệt (1), tọa độ giao điểm là: A ( x1; mx1 + ) , B ( x2 ; mx2 + ) Dễ thấy điểm O không thuộc d nên ABO tam uuur uuur giác ✞ ABO vuông O khi: OAOB = ✟ (1 + m2 ) x1x2 + 2m( x1 + x2 ) + = Áp dụng định lí Viet ta có: x1 + x2 = −1; x1 x2 = m , thay vào ta được: 0,25 0,25 0,25 0,25 m + 4m + = ✠ m = −3 m = −1 (thỏa mãn (*)).Vậy m = −3 m = −1 ✡ Điều kiện: x ➵ ✝ k✡ Phương trình cho tương đương với: 2 (1,0 điểm) ( sin x − cos x ) ☛ sin x ☞ cos x sin x cos x − cos x ( sin x − cos x ) = (*) cos x = −1 ☛ ( sin x − cos x ) (1 − (1 + cos x ) ) = (**) Trang ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 www.VNMATH.com ➲ ( *) ✍ tan x = ✍ x = ( **) ✏ x = ➧ 2✎ ✌ + k✌ + k 2✎ ✏ x = ➧ 0,25 ✎ ✑ k✎ Đối chiếu đk ta c : x = ✎ ✎ + k✎ ; x = ➧ Điều kiện x ➩ 0, y ➩ Ta c : (1) ✒ ( − x ) + ( − x ) = y + y ✑ k✎ ( ) 0,25 số f ( t ) = t + 3t t n R , có f ' ( t ) = 3t + ✓ 0, ∀t ∈ R , f ( t ) đồng th biến R Phương trình (1') trở thành: y = − x , thay vào (2) ta có: (1,0 điểm) Điêu kiện ≤ x ≤ Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: 1+ x ≥ x; 1+ (2 − x) ≥ − x; 1+1+1+ x x + 2− x + x + 2−x ≤ 1+ x + ≥ 3− x 1+1+ 1+ (2 − x) x; + 3+ x + 5− x ≥ 0,25 2−x =4 Dấu xảy x = , ( ') có nghiệm x = (1,0 điểm) Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = (1;1) ✔ sin x ( cos x + e tan x ) ✔ sin xdx ✔ dx 4 tan x = + I =∫4 dx e tan x ∫ ∫ 0 cos x cos x cos x ✔ sin xdx ✔ d cos x ✔4 I1 = ∫ = − = ∫0 cos2 x cos x |0 = − cos x ✔ ✔ dx tan x I = ∫ e tan x = ∫ e tan x tan x.d tan x cos x Đặt ✉ = tan x; d✈ = e tan x d tan x , ta có d✉ = d tan x, ✈ = ✕ tan x Khi đó: ✔ ✔ ✔ tan x tan x tan x I = e tan x − ∫ e d tan x = e ( tan x − 1) = Vậy I = I1 + I = 0 ❙ (1,0 điểm) ❊ 0,25 0,25 0,25 AC = a , AB = AC2 − BC2 = a đó: S ABC = ▼ ❇ ❈ ❋ AB.BC = a2 0,25 DSAB nên: SB = AB = a Từ giả thiết ta có SM ⊥ ( ABC ) Xét tam giác SMB vuông M có: SM = SB − BM = a 1 a2 3 Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: ❱S ABC = SM S ABC = a = 0,25 a3 Gọi F trung điểm BC, (ABC) lấy E đối xứng với F qua M Khi ABFE hình chữ nhật, nên BC / / ( SA✖ ) ⇒ d ( SA; BC ) = d ( ✗ ; ( ✘✙✖ ) ) Gọi H hình chiếu F lên SE, ta có: ✗✚ ⊥ ✘✖ A✖ ⊥ ✖✗ , A✖ ⊥ SM ⇒ A✖ ⊥ ( ✘✖✗ ) ⇒ A✖ ⊥ ✗✚ ⇒ d ( ✜; ( SA✛ ) ) = ✜✢ = 0,25 Tam giác ABC vuông B nên: ❍ ❆ 0,25 BM = 0,25 ( ') x + 2− x + x + 2− x = Suy ra: 0,25 SM ✛✜ ✤✛ = SM.✛✜ SM + ✛✥ 2 = 2✣ 11 (1) ( ) Từ (1) , ( ) ⇒ ✗✚ ⊥ ( ✘✙✖ ) Vậy: d ( SA; BC ) = 2a 11 Từ giả thiết ta có: ( y + 1) + ≥ ( x + 1) + ( y + ) + ( z + 1) ≥ x + y + z Suy ra: < x + y + z ≤ Đặt t = x + y + z , < t ≤ Ta có: Trang ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 www.VNMATH.com (1,0 điểm) P ≤ x2 + th y + y 2 + z2 + số f ( t ) = t + x + y + z +1 2 =t+ t +1 (1) 0,25 1 > 0, ∀0 < t ≤ với < t ≤ , ta c : f ( t ) = − t +1 ( t + 1) 21 (2) o f ( t ) đồng biến ( 0; 4] Suy f ( t ) ≤ f ( ) = 21 đạt khi: x = z = 1, y = Từ (1), (2) suy giá trị lớn P (C) có tâm O(0;0) Ta có: · = CNB · = 900 nên CMNB tứ giác CMB · = CBM · (1) nội tiếp, đó: CNM Gọi AT tiếp tuyến (C) đó: ·+· AB = · ACB mà CBM ACB = 900 (2) ❚· ❖ · + MNA · = 900 CNM (3) · · Từ (1), (2), (3) suy ra: MNA = ❚AB , 7.a (1,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 đó: MN / / ✦❚ suy MN ⊥ OA uuuur MN ( 3;0 ) vectơ pháp tuyến OA, T nên OA có phương trình là: x = x = x = Tọa độ điểm A nghiệm hệ: ⇔ Vì y A < nên: A ( 0; −5 ) x + y = 25 y = ±5 uuuur uuur AM ( −1; ) , AN ( 2; ) vectơ phương AC , AB 0,25 Nên AC có phương trình là: ( x − ) + 1( y + ) = ⇔ x + y + = AB có phương trình là: ( x − ) − ( y + ) = ⇔ x − y − = 8.a 2 x + y + = x = 0, y = −5 ⇔ ⇒ C ( −4; 3) Tọa độ điểm C nghiệm hệ: 2 x = −4, y = x + y = 25 x − y − = x = 0, y = −5 Tọa độ điểm B nghiệm hệ: ⇔ ⇒ B ( 5; ) x + y = 25 x = 5, y = uuur uuur uuur uuur uuur uuur Dễ thấy AB AC > 0, BA.BC > 0, CA.CB > , nên DABC nhọn Vậy B ( 5; ) , C ( −4;3) 0,25 Mặt cầu (S) có tâm I (1; −2;1) , bán kính ❘ = 14 0,25 Vì (Q) // (P) nên (Q) có phương trình dạng: ( Q ) : x + y + z + d = 0, d ≠ −11 0,25 Theo giả thiết (Q) cắt (S) theo đường trịn có bán kính r = (1,0 điểm) d ( I ; (Q )) = ★ −r = 2 21 ⇔ d −3 14 = 21 ★ = 14 nên ta có: 0,25 ⇔ d = 3± Vậy có mp cần tìm là: ( Q1 ) : 2x + 3y + z + + = 0; ( Q2 ) : 2x + 3y + z + − = 9.a (1,0 điểm) Số kết có là: W = C = 1365 Gọi A biến cố ”4 viên bi lấy có đủ màu”, kết thuận lợi cho biến cố A cho bảng sau: số bi đỏ số bi xanh số bi vàng Số kết 1 C41 C51.C62 C41 C52 C61 15 0,25 1 Do đó: W A = C41 C51.C62 + C41 C52 C61 + C42 C51.C61 = 720 Trang ThuVienDeThi.com C C C 0,25 0,25 0,25 www.VNMATH.com Ta có A biến cố ”4 viên bi lấy khơng có đủ màu” 720 43 Do xác suất cần tìm là: P A = − P ( A ) = − = 1365 91 Đường trịn ( C ) có tâm O ( 0;0 ) , bán kính ✯ = Dễ ✭ · = COA · = x, < x < ✱ thấy A ∈ ( C ) Đặt BOA ( ) b (1,0 điểm) 8.b (1,0 điểm) Khi đó, diện tích tam giác ABC là: S = S AOB + S BOC = ✲ sin x − ✲ sin ✳ ✬ ✪ ✩ x x ✫ = ✲ sin x (1 − cos ✳ ) = ✲ sin cos 2 2x 2x 2x x sin + sin + sin + cos 2 3 2 ≥ sin x cos x suy Áp dụng bđt cơsi ta có: 2 x x x x x 2✴ sin3 cos ≤ , dấu xảy khi: sin2 = 3cos2 ⇔ cos = ⇔ x = 2 16 2 2 Vậy diện tích tam giác ABC lớn ABC tam giác uuur uuur 3 Gọi E trung điểm BC Ta có: A✷ = AO ⇒ x✶ = 0; ② ✶ = − ⇒ ✷ 0; − 2 2 27 x=± = − y ⇔ BC có pt là: y = − Tọa độ B, C nghiệm hệ: 2 x2 + y2 = y = − 27 27 Vì xB > nên B ; − ; C − ; − 2 2 uuur uuur uuur Ta có: AB (1; 0; −5 ) ; OA (1; 2;3) , OB ( 2; 2; −2 ) ur uuur uuur OA, OB = ( −10;8; −2 ) Mặt phẳng (OAB) có vectơ pháp tuyến n1 ( 5; −4;1) uuur ur AB; n1 = ( −20; −26; −4 ) Vì (P) chứa AB (P)⊥(OAB) nên (P) có vectơ pháp r tuyến n (10;13; ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Phương trình mp(P) là: 10 ( x − 1) + 13 ( y − ) + ( z − 3) = ⇔ 10 x + 13 y + z − 42 = 0,25 Điều kiện: x > −1; x − y + > , pt thứ hai hệ tương đương với: log ( x + 1) = log ( x − y + 1) ⇔ x = y Thế vào pt (1) ta có: 0,25 2x x 9.b 17 2 2 4.4 − x + 2.9 x = ⇔ 12 − 17 + = 3 3 (1,0 điểm) 3 2 2 ⇔ x = x = log = = 4 3 3 0,25 3 Đối chiếu điều kiện, hệ có hai nghiệm: ( x; y ) = (1;1), ( x; y ) = log ; log 4 34 0,25 x x 0,25 x TỔNG HẾT Trang ThuVienDeThi.com 10,0 ... sau: số bi đỏ số bi xanh số bi vàng Số kết 1 C 41 C 51. C62 C 41 C52 C 61 15 0,25 1 Do đó: W A = C 41 C 51. C62 + C 41 C52 C 61 + C42 C 51. C 61 = 720 Trang ThuVienDeThi.com C C C 0,25 0,25 0,25 www.VNMATH.com... ) : x + y + z + d = 0, d ≠ ? ?11 0,25 Theo giả thi? ??t (Q) cắt (S) theo đường trịn có bán kính r = (1, 0 điểm) d ( I ; (Q )) = ★ −r = 2 21 ⇔ d −3 14 = 21 ★ = 14 nên ta có: 0,25 ⇔ d = 3± Vậy có mp... THA G Đ ỂM ĐỀ TH THỬ ĐẠ HỌC 2 014 LẦ Đ Đ C Đ ỂM Tập xác định: R { -1} -) Chiều biến thi? ?n: y ' = +) Sự biến thi? ?n: ( x + 1) ❃ 0, ✧x ➵ ? ?1 0,25 Hàm số đồng biến khoảng ( −➙; ? ?1) ( ? ?1; ✰➙ ) -)