Dòng chảy chất khí trong đường ống có cấp nhiệt

1 1 B p,V A,M T,ρ dQ dm dW pp+D VV+D AA+D MM+D TT+D rr+D 2 2 Hình 1.1 Dòng chảy chất khí trong đường ống có cấp nhiệt Nguyễn Công Hảo Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Chuyên ngành: Cơ học Chất lỏng; Mã ngành: 60 44 22 Người hướng dẫn: PGS - TS. Trần Văn Trản Năm bảo vệ: 2011 Abtract: Tổng quan về dòng chảy một chiều của chất khí hoàn hảo trong đường ống. Nghiên cứu chuyển động của chất khí trong đường ống có ma sát. Tìm hiểu dòng chảy một chiều trong đường ống có cấp hoặc thu nhiệt. Trình bày các kết quả tính toán. Keywords: Cơ học chất lỏng; Dòng chảy chất khí; Ống cấp nhiệt; Vật lý Content 1. DÒNG CHẢY MỘT CHIỀU CỦA CHẤT KHÍ HOÀN HẢO TRONG ĐƯỜNG ỐNG TRONG TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT Trên thực tế các yếu tố như thay đổi thiết diện đường ống, ma sát đường ống, trao đổi nhiệt của dòng khí và một yếu tố khác nữa cùng một lúc tồn tại nên việc nghiên cứu dòng chảy là hết sức phức tạp. trong chương này chúng ta sẽ thu nhận hệ phương trình tổng quát khi mà nhiều yếu tố ảnh hưởng cùng hiện diện và xem xét một số trường hợp đặc biệt. Ngoài các yếu tố như thay đổi thiết diện đường ống, ma sát đường ống, trao đổi nhiệt của dòng khí chúng ta còn đề cập thêm các yếu tố như sau: sự tồn tại của các vật rắn trong dòng chảy; dòng chảy có thêm vào hoặc bớt đi một lượng khí tại một thiết diện nào đó; dòng khí trong khi chuyển động thực hiện một công cơ học hoặc được tạo một công cơ học trên nó. Bên cạnh các yếu tố thuần túy cơ học nói trên còn phải kể đến các yếu tố ít nhiều mang bản chất hóa học cũng ảnh hưởng nhiều đến dòng chảy. Đó là các yếu tố như phản ứng hóa học xảy ra trong dòng chảy; sự chuyển pha: ngưng tụ hoặc bốc hơi của các chất lỏng có trong dòng chảy: sự thay đổi trọng lượng phân tử hoặc các đặc trưng về nhiệt do phản ứng hóa học hoặc sự ngưng tụ, bốc hơi gây nên. Các yếu tố ’’hóa học’’ này được xem xét cùng với các yếu tố cơ học nói trên trong [3] khá kỹ. Trong luận văn này chúng ta chỉ đề cập đến nhóm các yếu tố cơ học. Chúng ta cần đến các giả thiết: dòng chảy là một chiều, dừng và liên tục. Hệ phương trình tổng quát Xét một phần tử thể tích như trên hình 1.1, giới hạn bởi hai thiết diện 1-1 và 1-2 và phần tử đường ống tiếp xúc với dòng khí giữa hai thiết diện đó. Giả sử B là vật rắn tồn tại trong không khí. Để cho đơn giản, ta giả thiết rằng, trong trường hợp nếu một lượng khí được phun thêm vào dòng chảy thì chất khí phun thêm có cùng tính chất cần thiết như chất khí chính. Khi đó phương trình liên tục viết cho thể tích chọn trên sẽ có dạng: 2 2 2 1 1 1 V A V A mrr- =D trong đó Δm là lượng khí thêm vào hoặc bớt đi từ dòng chảy trong thể tích đang xem xét. Ký hiệu m=ρAV là lưu lượng dòng chảy chính. Khi đó từ biểu thức trên ta có thể thu nhận phương trình vi phân như sau: dV d dA dm V A m r r + + = (1.1) Phương trình động lượng viết cho phần tử thể tích đã chọn có dạng: ( ) 1 1 2 2 w 2 1 os ba p A p A p A Ac R m m V mV mVtj- + D - D - D = +D - - D trong đó: - pΔA là tổng hợp lực áp suất tác động lên ΔA w được chiếu xuống phương dòng chảy Ox; - τ w ΔA w cosφ lực ma sát của đường ống tác động lên dòng khí với φ là góc lệch của đường sinh của đường ống so với Ox - ΔR b là lực cản của vật rắn B - ΔmV a là động lực của phần khí thêm vào hoặc bớt đi với vận tốc V a . Ta coi φ là góc nhỏ (do giả thiết dòng một chiều) nên có thể lấy cosφ=1. Mặt khác, lực ma sát đường ống có thể biểu diễn ở dạng: 2 w 4 2 Vx Af D tr D D = trong đó f là hệ số ma sát, D là đường kính thủy lực tương đương của tiết diện đường ống. Tương tự như vậy, đối với lực cản của vật rắn người ta cũng biểu diễn ở dạng: 2 2 b x b V R c S r D= trong ú c x l h s lc cn; S b l din tớch c trng ca vt. s dng cỏc biu thc ny cho lc ma sỏt v lc cn thay vo phng trỡnh ng lng trờn ri chia hai v cho V 2 v ly gii hn khi hai thit din 1-1 v 1-2 ca phõn t th tớch tin sỏt vo nhau, ta c phng trỡnh dng vi phõn: 2 4dx 22 xa b cV dp f dV dm dm S V D V m V mr - - - = + - (1.2) Thay 22 22 V p V p V M p RT RT g rg g = = = s hng u trong (1.2), ta thu c: 2 22 4dx 1 2 a xb V dp dV M dm M f c S M p V D V m g gg ổử ổử ỗữ ỗữ + = + + - ỗữ ỗữ ốứ ốứ (1.3) Tip theo, ta xem xột phng trỡnh nng lng. Trc tiờn vit cho phn t th tớch: 22 2 1 0a W 22 aa VV m h h m h Q ộự ờỳ + - - - D D =D +D ờỳ ởỷ trong ú Q l lng nhit trao i trong th tớch xem xột; W l cụng cho dũng khớ thc hin(nh lm quay tuc bin) hoc cụng cp cho dũng khớ (nh mỏy nộn hoc cỏnh qut y). Trong trng hp th nht ta ly du tr, trng hp th hai ta ly du cng trc s hng W. Tng t, nu cp nhit ta ly du cng v nu thu nhit ta ly du tr trc Q , cũn h 0a l chờnh lch enthanlpy ton phn ca lng khớ thờm vo hoc bt i. Do ú: ( ) 22 0a 2 a pa VV h m c T T ộự - ờỳ D D - + ờỳ ởỷ trong ú T a v V a l nhit v vn tc ca lng khớ ú. Thay h=c p T, chia phng trỡnh nng lng cho m v li xột gii hn khi phõn t th tớch co v mt thit din, ta nhn c mt phng trỡnh : 0a 0 dw pp dm c dT V V dh dq d c dT m + = + + = Tip theo vit 2 d dV V V V V = v thay ( ) 2 1 p a cT l = - ri chia 2 v ca phng trỡnh trờn cho c p T, ta thu c: ( ) ( ) 2 0 0a 1 w / p dT dT dV dm M dh dq d c T T V m T g ộự + - = + + = ờỳ ờỳ ởỷ (1.4) Phng trỡnh trng thỏi ca cht khớ hon ho dng vi phõn cú dng: 0 dp d dT pT r r - - = (1.5) Cỏc phng trỡnh (1.1), (1.2), (1.3), (1.4), (1.5) xỏc nh dV/V, dT/T, dp/p, v d/. Do s m cú mt trong cỏc phng trỡnh ú nờn s tin li hn nu ta thu nhn thờm phng trỡnh na cho m. Ta cú: M 2 V 2 /(RT) t õy ta cú th rỳt ra: 0 2 dM dV dT M V T - + = (1.6) Nh vy, khi ó cho quy lut thay i ca dA, dm, f, c x , D, V a , T a , dq, dw, t (1.1), (1.3), (1.4), (1.5) v (1.6) chỳng ta hon ton xỏc nh s bin thiờn ca V, p, , T, M theo cỏc i lng va k trờn v dc theo chiu di dũng chy trong ng. C th, ta nhn c cỏc phng trỡnh sau: ( ) 2 1 1 dV e a d VM = - - - ; ( ) 2 1 1 d a e d M r r = + - - ; 2 2 2 22 2 2 2 2 1 1 (1 ) 1 ( 1) 2 1 2 1 1 1 1 M M M dT M M a d e T M M M M g g gg g ộự ổử - ờỳ - + - + ỗữ ỗữ ờỳ ốứ = + + ờỳ - - - - ờỳ ờỳ ởỷ ; ( ) 2 2 2 22 22 22 1 1 2 1 2 11 ( 1) 1 M M M dp M M a d e p M M MM g g gg g ổử - - - + ỗữ ỗữ ốứ = + + 22 2 2 2 2 11 11 1 22 1 1 2( 1) MM dM M a d e M M M M gg g ++ + = - + - - - - Trong ú 22 2dx ; ( 1) 2 x ba c dm dA dm a d M f S M r m A D m gg ổử ỗữ - - + + - ỗữ ốứ 0 ; a a dT V er TV thy rừ nh hng ca tng yu t n M, ta xem xột k phng trỡnh cho dM/M ta cú: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2dx 2 2 2 1 1 2 1 x b M M M c dM dA M f S M M A M D M g g g g - - - + + + ổử ỗữ = - - + - ỗữ - - - ốứ 2 2 0 2 1 [1 ( 1)] 1 a dT dm M Mr m M T g g + - - - - (1.7) trong ú dT 0 biu din qua dq v dw bng hai v ca (1.4). bng cỏch xem xột tng yu t riờng bit v phi ca (1.7), chỳng ta cú th thy tỏc ng ca mi yu t ú lờn dũng chy. Chng hn, gi li s hạng đầu tiên của vế phải, các số hạng khác cho bằng không ta sẽ rút ra được kết luận như ở chương 4 về ảnh hưởng của dA lên dòng chảy. Để tính các thông số của dòng chảy dọc theo đường ống khi đã biết các thông số đó ở một thiết diện nào đó trong dòng chảy, ta tích phân cùng lúc (1.7) và phương trình cho T. Sau khi đã tính được M(x) và T(x), các thông số còn lại được tính trực tiếp từ các biểu thức giải tích: 1 1 1 ;àV Ma M RT VA V A m v p RTg r r r= = = +D = Cần lưu ý đặc điểm sau của dòng chảy trong trường hợp tổng quát này. Từ (1.7) chúng ta thấy, nói chung, có thể tồn tại thiết diện ở đó M=1 và tại đó vế phải của (1.7) và các phương trình khác sẽ không xác định. Nếu ta viết (1.7) ở dạng: 2 ( 1) ( ( ), ( ), , , , w, ) x M dM M M x A x f c dq d dmj-= trong đó φ là biểu thức vế phải của (1.7), chúng ta thấy, tại thiết diện x=x * nơi có M=1 thì φ(1, A(x * ), f, c * , dq(x * ), dw(x * ), dm(x * ))=0. Đây cũng chính là phương trình để tìm x * . về nguyên tắc, khi chúng ta tích phân (1.7) thì các đại lượng f và c x trong biểu thức vế phải được coi là các hằng số và bằng một giá trị trung bình nào đó. Sau khi tìm được x * , ta cần tìm dM(x * ).Giá trị đó tìm như sau: ta cho dM(x * ) một giá trị nào đó và tích phân ngược trở lại đến thiết diện mà ở đó đã biết trước M. Chẳng hạn ta tích phân (1.7). từ x * đến x 1 (x 1 <x * ) và theo giá trị M 1 đã cho để chỉnh dM(x * ) cho phù hợp. Quy trình tìm dM(x * ) cũng giống như tìm hệ số f khi chưa cho biết lưu lượng dòng chảy trong mục 2.2 để cho quá trình sấp sỉ liên tục(chẳng hạn bằng phương pháp Newton) chóng hội tụ, ta có thể lấy giá trị gần đúng ban đầu cho dM(x * ) bằng cách sau. Ta coi ** ' * 2 ( , ) ( , ) ( ) lim lim 1 2 d x x x x x xM xM dM x M M M j j ®® == - (1.8) Trong biểu thức (1.8), giới hạn của vế phải sẽ là ' ** ( ,1)/ ( ) x x dM xj khi đó * ()dM x sẽ được tìm từ phương trình: 2' ** ( ( )) ( ,1) x dM x xj= (1.9) Cần phải giải thích rằng, giá trị dM(x * ) tìm từ phương trình (1.9) không phải là phù hợp ngay cho bài toán của chúng ta trong trường hợp này, bởi vì việc coi f và c x là các consts trên toàn bộ độ dài đường ống sẽ dẫn đến sự không phù hợp trên, nghĩa là, nếu ta tích phân (1.7) từ x * ngược trở lại x 1 với dM(x * ) từ (1.9) thì giá trị M 1 nhận được tại x 1 có thể sẽ khác nhiều so với giá trị đã cho trước của M tại đó. Sau khi đã làm được dM(x * ) phù hợp theo thuật toán xấp xỉ liên tục nói trên, ta tiếp tục tích phân (1.7) và phương trình cho dT từ x * đến cuối đường ống. Để kết thúc phần này, chúng ta nói thêm về việc xác định T(x * ) như một giá trị ban đầu cho bài toán tích phân (1.7) và phương trình cho dT từ x * về hai phía của đường ống: một là từ x * ngược về x 1 , hai là từ x * xuôi về cuối đường ống. Ta có phương trình: 0 0a w p dm c dT dq d dh m = + + với vế phải là một hàm số đã biết theo x. Do vậy, ta dễ dàng tính được T 0 (x * ) bằng cách tích phân phương trình này từ x 1 đến x * . ta có biểu thức liên hệ giữa T và T 0 theo (4.19). Tại x * do M=1 nên * 0 * 1 ( ) ( ) / 1 2 T x T x g æö - ç÷ =+ ç÷ èø Như vậy, bài toán có thể giải được chọn vẹn trong trường hợp tổng quát. Cuối cùng, cần lưu ý thêm rằng, do ảnh hưởng tổng hợp của nhiều yếu tố cùng một lúc, dòng chảy hoàn toàn có thể từ trên âm trở thành dưới âm hoặc ngược lại với sự tồn tại của thiết diện x=x * trong đường ống ngay cả khi A=const. 2. DÒNG CHẢY CÓ TRAO ĐỔI NHIỆT TRONG ĐƯỜNG ỐNG CÓ MA SÁT Ta xem xét trong mục này ảnh hưởng của các yếu tố: trao đổi nhiệt, thiết diện thay đổi, ma sát ống đến dòng chảy. Để đơn giản, chúng ta xem xét hai trường hợp sau: -2.1 Dòng chảy có trao đổi nhiệt trong đường ống thiết diện thay đổi Trong trường hợp này chúng ta có các phương trình sau: 0 d dA dV AV r r + + = (3.39) d0dp V Vr+= (3.40) 0 dd pp q c dT c dT V V= = + (3.41) dp d dT pT r r =+ (3.42) Bằng các phép biến đổi đại số, từ (3.39) ÷ (3.42) và sử dụng biểu thức 2 2 2 2 V M a M RTg== , chúng ta có thể thu nhận được phương trình sau: 22 22 11 0 1 ( 1) / 2 1 ( 1) / 2 p M dM M dq dA M M M c T A g gg + - = + - + - (3.43) Phương trình này biểu diễn sự thay đổi của M dọc theo đường ống dưới tác động của dA và dq. Cũng từ (3.43) ta suy ra rằng M=1 tại thiết diện mà ở đó điều kiện sau phải thỏa mãn: 1 1 ( 1)/ 2 p dq dA c T A g g - = +- (3.44) Cũng giống như trường hợp dòng chảy có ma sát trong đường ống thiết diện thay đổi, M đạt giá trị 1 không phải tại nơi A có giá trị nhỏ nhất mà tại nơi có dA > 0 xác định từ (3.44). Bõy gi chỳng ta xem xột vic tớnh toỏn cỏc thụng s ca dũng chy thit din vi x=l 2 nu ta bit cỏc thụng s ú thit din vi x=l 1 v qui lut bin thiờn A(x), q(x) vi l 1 <x< l 2 Cng t (3.39) v (3.42) d dng nhn c: 2 2 1 ( 1) 0 2 M dT dM dA M T M A g g + + - - = (3.45) T (3.43)ta cú: 22 22 1 ( 1) / 2 1 11 p dM M dA M dq M M A M c T gg+ - + =- (3.46) Thay dM/M t (3.46) vo (3.45) v sau khi rỳt gn ta c : 22 22 2( 1) ( 1) 11 p dT M dq M dA T M c T M A gg =- (3.47) Nh vy, vi qui lut A=A(x), q=q(x) ó cho trờn [l 1 ,l 2 ], ta tớch phõn h hai phng trỡnh (3.46) v (3.47) trờn on [l 1 ,l 2 ] tớnh 2 2 2 2 2 ( ), ( )M M l T T l== . Sau ú ta tớnh 2 2 2 V M RTg= v 2 1 1 1 2 2 / ( )V A V Arr= v 2 2 2 p RTr= . 2.2 Dũng chy cú trao i nhit, cú ma sỏt trong ng ng thit din khụng i Trong trng hp ny h phng trỡnh mụ t chuyn ng ca cht khớ hon ho bao gm: 0 dV d V r r += (3.48) 2 14 d x d 0 2 f p V d V V D rr+ + = ; (3.49) 0 dd pp q c dT V V c dT= + = ; (3.50) dp d dT pT r r =+ ; (3.51) Trong ú f l h s ma sỏt ó a vo trong trang 6. t cỏc phng trỡnh trờn, s mt s phộp bin i ta cú th nhn c: 22 1 1 ( 1) 0 2 p dT dM dq MM T M c T g g ổử - ỗữ + + - - = ỗữ ốứ , (3.52) 2 22 14 x (1 ) 0 22 M dT f dM M d M T D M gg g + + - - = , (3.53) T õy ta cú th rỳt ra: 2 2 2 2 4 2 22 (1 ) (1 )(1 ) ( 1) 4 dx 1 2(1 ) 2(1 ) 1 2 p dT M M M dq M f T c T M D MM g g g g g - - + - =+ ổử - - -+ ỗữ ỗữ ốứ (3.54) 22 2 2 1 1 1 4 dx 1 1 2 2 2 p dM M dq M f M M M c T D g g g ộự ổử +- ờỳ ỗữ = + + ỗữ ờỳ - ốứ ởỷ (3.55) Để tính toán các thông số của dòng chảy khi đã biết q=q(x) và f trước tiên ta tích phân các phương trình (3.54) và (3.55) để tìm M(x) và T(x), sau đó ta cũng tính p(x), ρ(x) theo trình tự như đã nói trong mục trước. References 1. Trần Văn Trản, 2004, Khí động lực học cơ bản, NXB ĐHQG HN 2. Trần Văn Trản, 2007, Phương pháp số thực hành Tập 1 và Tập 2, NXB ĐHQG HN 3. Ascher H. Shapiro, 1953, The Dynamic and Thermodynamics of Compressible Fluid Flow. The Ronald Press Company 4. Schlichting H., 1960, Boundary Layer Theory. McGraw-Hill 5. Fundamental of Gas Dynamics, vol. III : High speed Aerodynamics and Jet Propulsion. Oxford University Press, 1958 6. Zel’dovich Y.B., 1968, The Theory of Detonation. Oxford University Press, . quan về dòng chảy một chiều của chất khí hoàn hảo trong đường ống. Nghiên cứu chuyển động của chất khí trong đường ống có ma sát. Tìm hiểu dòng chảy một. một chiều trong đường ống có cấp hoặc thu nhiệt. Trình bày các kết quả tính toán. Keywords: Cơ học chất lỏng; Dòng chảy chất khí; Ống cấp nhiệt; Vật