Phòng giáo dục Huyện bá thước đề thi học sinh giỏi lớp cấp huyện Năm học 2006-2007 Đề thức Môn : toán ( Thời gian làm 150 phút ) Bài 1: (3 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3x2y + 6xy2 + 3y3 b(x2 + x + 4)2 + 8x(x2 + x + 4) + 15x2 Bài 2: (4 điểm) x2 x Cho biÓu thøc: A = x 5x abc- Tìm điều kiện xác định A, rút gọn A Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Tìm x ®Ĩ A < Bµi 3: (4,5 ®iĨm) aChøng minh nếu: a b a b ab b- x2 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: A = x x cTìm cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mÃn phương trình: 2x + = y2 Bài 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân đỉnh A, có số đo diện tích 10 bình phương số đo cạnh đáy BC Tính cạnh tam giác ABC, biết cạnh bên cạnh đáy 23cm Bài 5: (5 điểm) Cho hình thang ABCD (AB// CD); O giao điểm hai đường chéo AC BD Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD BC M vµ N 1 AB CD MN a- Chøng minh r»ng: b- BiÕt diƯn tÝch c¸c tam giác AOB; COD thứ tự a2; b2 hÃy tính diện tích hình thang ABCD Họ tên thí sinh: . SBD (§Ị thi gåm trang) DeThiMau.vn híng dÉn chÊm môn : toán phòng giáo dục bá thước Kì thi häc sinh giái líp cÊp hun Ngµy 18 tháng năm 2007 Hướng dẫn chấm gồm trang Đây hướng dẫn chấm, nên giám khảo phải vào làm thí sinh để chấm Nếu học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa Điểm toàn tổng điểm thành phần không làm tròn số Bài 1: (3 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a/ 3x2y + 6xy2 + y3 = 3y(x2+2xy+y2) = 3y(x+y)2 b/ Đặt x2+x+4 = t Ta có: (x2+x+4)2 + 8x(x2+x+4) + 15x2= t2+8xt+15x2 = t2+3xt+5xt+15x2= (t+3x)(t+5x) = (x2+4x+4)( x2+6x+4) = (x+2)2(x+3+ )(x+3- ) Bài 2: (4 điểm) a/ §K: x2+5x+6 (x+2)(x+3) x -2 vµ x -3 ( x 1)( x 2) x x x2 = = x x ( x 2)( x 3) x x 1 Ta cã: A = = 1x3 x3 Ta cã: A = b/ (0,75 ®) (0,75 ®) (0,5 ®) (0,5 ®) (0,5 ®) (0,5 ®) (1,0 ®) (0,5 đ) Với x nguyên để A nguyên x+3 phải ước x+3 = x= -2 (không tháa m·n §K) x+3 = -1 x= -4 x+3 = x= -1 x+3 = -2 x= -5 x+3 = x= x+3 = -4 x= -7 Vậy có giá trị nguyên x cần tìm -7; -5; -4; -1; (0,25 đ) c/ (0,5 ®) Ta cã: x 1 < (x-1)(x+3) < x3 (0,5 ®) (0,25 ®) -3 < x < (0,25 đ) Kết hợp với ĐK, để A < x (-3;1)\ (0,25 đ) Bài 3: (4,5 điểm) aTa có: a b ab (a+b)2 < (1+ab)2 (v× vÕ không âm) (0,5 đ) a2+ b2 – a2b2 < (0,5 ®) (a2- 1)(1- b2) < (*) (0,5 đ) 2 Vì a b nên (a - 1) < (1- b ) > bất đẳng thức (*) hiển nhiên Vậy BĐT đà cho ®ỵc chøng minh (0,5 ®) DeThiMau.vn x2 1 ( x 1) = 22 x2 x 1 x2 x 1 (V× (x-1)2 0; x2-x+1 = (x- )2 + > 0) b- Ta cã: A = (0,75 ®) (0,25 ®) => Amax = x = (0,5 đ) x cTìm nghiệm tự nhiên phương trình + = y x = (y-1)(y+1) => (y-1) vµ (y+1) ước 2x (0,25 đ) => y-1 = 2p vµ y+1 = 2q ( p < q; p,q N ) => y = 2p+1 = 2q-1 => 2q-2p = => 2p(2q-p-1) = (1) (0,25 ®) q-p NÕu q-p > => sè lỴ -1 ước vô lí Vậy q-p => q-p = thay vào (1) ta 2p = (0,25 ®) => p = => q = => y = => x = Vậy phương trình đà cho có nghiệm tự nhiên x = y = (0,25 đ) Bài 4: (3,5 điểm) Gọi x số đo cạnh đáy BC tam giác cân ABC (x>0) Gọi AH ®êng cao øng víi ®¸y BC => HB= HC= 10 bình phương số đo 10 cạnh đáy BC tức diƯn tÝch tam gi¸c b»ng: x2 2.10 x 20x - Đường cao AH có số đo: AH = = 9.x x (0,5 ®) - DiƯn tÝch tam giác A (0,5 đ) (0,5 đ) - Trong tam giác vuông ABH ta có: AB2 = AH2+BH2 = ( => AB= AC = 20x x 41x ) + ( )2 = ( ) 18 41x 18 (0,5 ®) B (0,25 ®) H C - Vì cạnh bên cạnh đáy 23cm nên ta có phương trình: 41x = x+23 18 x = 18 (cm) (0,75 ®) VËy: BC = 18 cm; AB = AC = 41cm Bài 5: (5 điểm) a/ Do MN song song víi AB vµ CD MO AM MO DM vµ CD AD AB AD MO MO => (1) CD AB => (0,5 ®) A (0,75 ®) M B O N (0,5 ®) D NO NO 1 T¬ng tù ta cịng cã: CD AB MN MN Tõ (1) vµ (2) => 2 CD AB (2) DeThiMau.vn C (0,5 ®) (0,75 ®) 1 CD AB MN S OB b/ Ta cã: AOB S AOD OD => (0,5 ®) ( Vì tam giác AOB AOD có đường cao xuất phát từ đỉnh A) (0,5 đ) Tương tự: S AOD OA S COD OC (0,25 đ) Lại có: hai tam giác AOB COD đồng dạng OB OA OD OC S S => AOB AOD S AOD S COD => (0,25 ®) (0,25 ®) => S AOD S AOB S COD = a2b2 => S AOD ab T¬ng tù ta cịng cã: S BOC ab VËy: S ABCD (a+b)2 (0,25 ®) (0,25 ®) (0,25 ®) HÕt DeThiMau.vn ... giáo dục bá thước Kì thi học sinh giỏi lớp cấp huyện Ngày 18 tháng năm 2007 Hướng dẫn chấm gồm trang Đây hướng dẫn chấm, nên giám khảo phải vào làm thí sinh để chấm Nếu học sinh làm cách khác... = 20x x 41x ) + ( )2 = ( ) 18 41x 18 (0,5 ®) B (0,25 ®) H C - Vì cạnh bên cạnh đáy 23cm nên ta có phương trình: 41x = x+23 18 x = 18 (cm) (0,75 ®) VËy: BC = 18 cm; AB = AC = 41cm Bài 5: (5... a/ 3x2y + 6xy2 + y3 = 3y(x2+2xy+y2) = 3y(x+y)2 b/ Đặt x2+x+4 = t Ta cã: (x2+x+4)2 + 8x(x2+x+4) + 15x2= t2+8xt+15x2 = t2+3xt+5xt+15x2= (t+3x)(t+5x) = (x2+4x+4)( x2+6x+4) = (x+2)2(x+3+ )(x+3- )