KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2010- 2011 Mơn thi: Tốn Lớp: THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24/03/2011 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) Câu I (5,0 điểm) 1) Cho phương trình: x 2m x 2m Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm 2x x m thay đổi x1 , x2 với m Tìm giá trị lớn biểu thức P 2 x1 x2 2(1 x1 x2 ) 1 2) (a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn Chứng minh A a b c a b c số hữu tỉ (b) Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi phân biệt Chứng minh rằng: B 1 số hữu tỉ 2 ( x y ) ( y z ) ( z x) 2 x x 10 Câu II (5,0 điểm).1) Giải phương trình: x 1 x 1 1 1 x x 1 y y 2) Giải hệ phương trình: x x x y y y3 Câu III (2,0 điểm) Cho tam giác ABC, điểm D, E thuộc cạnh AC, AB, cho BD, CE cắt P diện tích tứ giác ADPE diện tích tam giác BPC Tính BPE Câu IV (4,0 điểm) Cho đường tròn tâm O dây cung AB cố định ( O AB ) P điểm di động đoạn thẳng AB ( P A, B P khác trung điểm AB) Đường tròn tâm C qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) A Đường tròn tâm D qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) B Hai đường tròn (C) (D) cắt N ( N P ) 1) Chứng minh ANP BNP bốn điểm O, D, C, N nằm đường tròn 2) Chứng minh đường trung trực đoạn ON qua điểm cố định P di động Câu V (4,0 điểm) 1) Cho a1 , a2 , , a45 45 số tự nhiên dương thoả mãn a1 a2 a45 130 Đặt d j a j 1 a j , ( j 1, 2, , 44) Chứng minh 44 hiệu d j xuất 10 lần 2) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: a b b c c a 2011 2011 a2 b2 c2 Chứng minh rằng: bc ca ab 2 HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm ThuVienDeThi.com KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 MƠN THI: TỐN LỚP: THCS Ngày thi: 24 - - 2011 Câu Câu I 6đ Ý Hướng dẫn chấm 1) Ta có ' (m 1) 0, m nên phương trình có hai nghiệm với m 2,5đ 4m Theo định lí viet, ta có x1 x2 2m, x1 x2 2m , suy P 4m (2m 1) 1 Max P 1, m 4m 2 2a) Từ giả thiết suy 2ab 2bc 2ca 1,5đ Suy A (a b c) a b c số hữu tỉ 2b) 1 1 1 1,0đ Đặt a x y , b y z , c x z suy a b c Áp dụng câu 2a) suy B 1 số hữu tỉ 2 ( x y ) ( y z ) ( z x) Câu II 1) Đk: x 1 Phương trình tương đương với 2 6đ 2,5đ x2 x x2 10 x 10 x x2 x 1 x 1 x 1 x 1 1,0 1,0 0,5 1,0 0,5 0,5 1,0 2x2 2 10 , ta phương trình t t t t x 1 2x 5 (vô nghiệm) Với t , ta x 1 3 2x2 2 suy x Với t , ta x 1 3 0,5 x y2 x y Đk: y Hệ tương đương với x3 x x y3 y y u x y u u 2v u 4u u Đặt ta hệ v u 2uv u u 2v v x , y 0,5 Đặt t 2) 2,5đ Điểm 0,5 ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 1,0 Câu III 2đ Câu IV 4,0đ 2 x y x u Với ta (thoả mãn điều kiện) x y v 1, 1 y Kẻ EF AC F, DG BC G Theo giả thiết S( ADPE ) S( BPC ) S( ACE ) S( BCD ) 1,0 0,5 Mà AC BC EF DG A C Suy AEF CDG AE CG 0,5 ECA Do AEC CDB (c g c) DBC 0,5 BPE PBC PCB PCD PCB 600 1) Gọi Q giao điểm tiếp tuyến 3,0đ chung (O) với (C), (D) A, B tương ứng QBP BNP Suy ANP QAP 0,5 1,0 Ta có ANB ANP BNP QAP QBP 0,5 1800 AQB , suy NAQB nội tiếp (1) Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2) Từ (1) (2) suy điểm O, N, A, Q, B nằm đường tròn 0,5 Suy điểm O, N, A, B nằm đường tròn 2OAN 2OBN ODN Ta có OCN , suy bốn điểm O, D, C, N nằm đường tròn 0,5 N H O D C đường tròn 2) Gọi E trung điểm OQ, suy E cố định E tâm qua 1,0đ điểm N, O, D, C Suy đường trung trực A ON qua điểm EBcố P định Câu V 1) d1 d d 44 (a2 a1 ) (a3 a2 ) (a45 a44 ) a45 a1 130 129 (1) 2đ 2,0 Nếu hiệu d ( j 1, 2, , 44) xuất khơng q 10 E lần j đ d1 d d 44 9(1 4) 8.5 130 mâu thuẫn với (1) Vậy phải có hiêụ d j ( j 1, , 44) xuất khơng 10 lần 2) Ta có 2(a b ) (a b) 2,0đ ThuVienDeThi.com Q 0,5 1,0 0,5 1,5 0,5 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Suy bc ca ab b c c a c a Đặt x b c , y c a , z a b , y z x2 z x2 y x2 y z suy VT 2x 2y 2z 2 ( z x) ( x y)2 ( y z ) x y z 2 x 2y 2z ( z x) ( x y)2 ( y z ) x 3x y 3y z 3z 2 x 2y 2z 2 2( y z ) x 2( z x) y 2( x y z Suy VT 2 ( x y z) 2011 2 GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com 1,0 0,5 ...KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 MƠN THI: TỐN LỚP: THCS Ngày thi: 24 - - 2011 Câu Câu I 6đ Ý Hướng dẫn chấm 1) Ta có ' (m... z x) y 2( x y z Suy VT 2 ( x y z) 2011 2 GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com 1,0 0,5 ... (a3 a2 ) (a45 a44 ) a45 a1 130 1 29 (1) 2đ 2,0 Nếu hiệu d ( j 1, 2, , 44) xuất khơng q 10 E lần j đ d1 d d 44 9( 1 4) 8.5 130 mâu thuẫn với (1) Vậy phải