UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015 – 2016 Mơn thi: Tốn – Lớp 12 Chuyên Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24 tháng năm 2016 Câu (4,0 điểm) x 1 (C) Chứng minh với m đường thẳng y x m 2x 1 cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến Cho hàm số y với (C) A B Tìm m để k12016 k22016 đạt giá trị nhỏ Câu (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x3 x x (3 x 7) 3 x x y y9 ) ( x y )( x x y y 2) 6.ln( b) Giải hệ phương trình: x x2 3 y x xy Câu (3,0 điểm) Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x y Tìm giá trị lớn biểu thức: F x2 y 2z 2z ( x y )3 ( z 2)3 Câu (6,0 điểm) a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P ) : x y z -14 0, (Q) : x y - z 16 điểm M 6;2;4 Tìm tọa độ điểm E thuộc mặt phẳng (P), F thuộc mặt phẳng (Q) cho ME EF FM 30 b) Cho tam giác ABC cân A Gọi M trung điểm cạnh AB, G trọng tâm tam giác AMC I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh đường thẳng GI vuông góc với đường thẳng CM Câu (2,0 điểm) u1 Cho dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện: 2014un un2 u n 1 2016 2016 a) Chứng minh: (un ) dãy số tăng b) Với n 1, n ¥ , đặt un Chứng minh với n un 1 v1 v2 2016 - Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: Toán - Lớp 12 Chuyên Ngày thi: 24 tháng năm 2016 -// - UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Đáp án Câu PT hoành độ giao điểm (d) (C) x m Điểm 4,0 đ x 1 x 2mx m (*) (vì 2x 1 khơng nghiệm) Dễ thấy đường thẳng (d ) : y x m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt với m x Gọi x1 , x2 nghiệm (*), ta có k1 2,0 1 , k2 , k1k2 (2 x1 1) (2 x2 1) Áp dụng BĐT AM-GM, ta có k12016 k22016 2(k1k2 )1013 Dấu xảy k1 k2 2( x1 x2 ) m 1 Vậy Min(k 2016 k 2016 2,0 ) m=-1 (2,5 đ) 2.a Phương trình cho ( x 1)3 x (3 x 7) (3 x 7)( x 1) x Đặt u x 1, v (3 x 7)( x 1) x Ta có hệ: u x (3 x 7)v (u v)(u uv v x 7) v x (3 x 7)u Vì u x 18 x 31 u uv v x ( v) 0, x nên u v 0,5 0,5 Do x x x x x (1) 3 Nếu x 2;2 đặt x 2cos ( [0; ]) , (1) trở thành: 8cos3 cos Ta tìm 5 7 ; ; 9 Do pt (1) nhận x 2.cos 1,0 ; 2.cos 5 7 ; 2.cos làm nghiệm 9 Mặt khác phương trình bậc có nhiều nghiệm 5 7 Vậy tập nghiệm pt cho S {2cos ;2cos ;2cos } 9 0,5 2,5 đ 2.b y y9 ) (1) ( x y )( x x y y 2) 6.ln( Giải hệ phương trình: x x2 3 (2) y x xy ThuVienDeThi.com ĐK: x 0, xy Ta có (1) x x ln( x x 9) ( y )3 y ln( y y 9) (*) Xét hàm f (t ) t 2t ln(t t 9), t ¡ Ta có f '(t ) 3t t2 1 26 29 26 29 t2 3[ (t 9) ] 3(1+ - )=0 2 27 3 t 9 t 27 Suy f(t) đồng biến liên tục ¡ Mà (*) f ( x) f ( y ) x 1,0 y y x2 Thay vào (2) ta được: x3 x x x3 ( x 3)( ( x 1) x 1 x 3x x3 ) (3) (ĐK x ) x3 Ta có ( x 1) x 1 < x 3x x3 1,0 Nên pt (3) có nghiệm x=3 Vậy hệ pt có nghiệm ( x; y ) (3;9) 3,0 đ Áp dụng BĐT Cauchy-Schawrz, ta có x y z z x y ( z 1) ( x y z 2) x yz2 Áp dụng BĐT AM-GM, ta có ( x y )( z 2) 2 32 Do F x y z 3( x y z 2)3 Đặt t x y z F Xét hàm g (t ) 32 t 3t 32 , t t 3t Lập BBT suy Max g (t ) g (4) x2 12 Vậy MaxF= x y 1, z 12 4.a Tìm hình chiếu vng góc M mặt phẳng (P) (Q) A 3;1;2 , B 5;0;7 Điểm đối xứng M qua (P) (Q) D 0;0;0 , C 4;-2;10 Do với E ( P), F (Q) ME EF FM DE EF FC DC 30 Đẳng thức xảy {E} CD ( P),{F}=CD (Q) Tìm E ( 1,5 28 14 70 32 16 80 ; ; ), F ( ; ; ) 15 15 15 15 15 15 ThuVienDeThi.com 1,5 3,0 đ 1,0 1,0 1,0 4.b Chọn hệ Oxy cho O trung điểm BC,tia Ox tia OC, tia Oy tia OA Gọi BC=2a, d ( A; BC ) h 3,0 đ 1,0 Khi B -a;0 , C a;0 , A 0; h 3a h a h h2 a ; ), G ( ; ), I (0; ) 2 2h uur uur uuuur a a uuuur 3a h Ta có GI ( ; ), MC ( ; ) GI MC GI MC (đpcm) 2h 2 Tính M ( 1,0 1,0 2,0 đ Dùng quy nạp chứng minh đc un 2, n ¥ * Do un 1 un 1,0 Vậy (un ) dãy tăng (đpcm) Ta có 2016(un 1 un ) un (un 2) un 1 ) Do 2016( un 1 un un 1 1 v1 v2 2016( ) 2016 (đpcm) u1 un 1 Hết - ThuVienDeThi.com 1,0 ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn thi: Tốn - Lớp 12 Chuyên Ngày thi: 24 tháng năm 2016 -// - UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Đáp... x1 , x2 nghiệm (*), ta có k1 2,0 1 , k2 , k1k2 (2 x1 1) (2 x2 1) Áp dụng BĐT AM-GM, ta có k12016 k22016 2(k1k2 )1013 Dấu xảy k1 k2 2( x1 x2 ) m 1 Vậy Min(k... pt có nghiệm ( x; y ) (3;9) 3,0 đ Áp dụng BĐT Cauchy-Schawrz, ta có x y z z x y ( z 1) ( x y z 2) x yz2 Áp dụng BĐT AM-GM, ta có ( x y )( z 2) 2 32 Do