Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 54 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
54
Dung lượng
1,56 MB
Nội dung
TRƯỜNG THCS NGÔ SĨ LIÊN ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP LỚP HKII Năm học: 2017 – 2018 MƠN TỐN DẠNG 1: Biến đổi biểu thức chứa x x 1 x x x x Bài 1: Cho biểu thức: A : x 1 x x x x 1) Rút gọn A 2) Tìm x để A < 3) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên x x 3 x x 4 Bài 2: Cho biểu thức: P : x 2 x x x x 1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị x để P > 3) Tính giá trị nhỏ P 2x x2 x Bài 3: Cho biểu thức: C x x 1 x x 1 x 1) Rút gọn C 2) Tính giá trị biểu thức C x 3) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C – 4) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C lớn 5) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C nhỏ x Bài 4: Cho biểu thức A 1 x 1 x 1) Khi x 5, tính giá trị biểu thức A 2) 15 x Rút gọn biểu thức B x 25 3) Tìm x để biểu thức M B A nhận giá trị nguyên Bài 5: Tính giá trị biểu thức A 1) Cho biểu thức B x 1 : x x x 1 với x x 2 x 1 x x 4 Chứng minh B x 1 x 2 x x 2 2 x 2) Tìm x để P B 1 A Bài 6: Cho hai biểu thức A x2 x B x x 2 x 2 1) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A 2) Tìm giá trị x để B = 3) Tìm m để x 3 x 1 x 1 B x m có nghiệm A x3 Bài 7: Cho biểu thức B x9 x với x 0, x : x 3 x 3 1) Rút gọn B 2) Tính giá trị B x 27 10 18 3) Chứng minh B x x 11 x ; B 9 x x 3 x 3 Bài 8: Cho biểu thức A a) Tính giá trị B x = 36 b) Rút gọn A c) Tìm số nguyên P để P = A.B số nguyên với x 0, x Tìm x để B = x 2 Bài 9: Cho biểu thức B 1) Cho biểu thức A 2) Tính P 3) Tìm x thỏa mãn P x 3 x 1 x với x 0, x x4 x 2 B A Bài 10: Cho biểu thức P x x x 1 2x 2x x Q x 9 x 3 x 3 x a) Tính giá trị Q x = 121 b) Rút gọn P c) Tìm giá trị x để A d) So sánh A A2 Q x 1 P DẠNG 2: Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Bài 1: Một người xe máy từ A đến B cách 120km với vận tốc dự định trước Sau quãng đường AB người tăng vận tốc lên 10km/h qng đường cịn lại Tính vận tốc dự định thời gian lăn bánh đường biết người đến B sớm dự định 24 phút Bài 2: Quãng đường AB dài 220km Hai ô tô khởi hành từ A B ngược chiều Nếu khởi hành sau chúng gặp Nếu xe từ A khởi hành trước xe phút hai xe gặp sau xe từ A 30 phút Tính vận tốc xe Bài 3: Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau lại ngược từ B A Thời gian xi thời gian ngược 1h 20p Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nước 5km/h vận tốc riêng ca nô xuôi ngược Bài 4: Một ca nô chạy sông giờ, xi dịng 81km ngược dịng 105km Một lần khác chạy khúc sơng đó, ca nơ chạy 4h, xi dịng 54km ngược dịng 42km Hãy tính vận tốc xi dịng ngược dịng ca nơ, biết vận tốc dịng nước vận tốc riêng ca nô không đổi Bài 5: Một công nhân dự định làm 150 sản phẩm thời gian định Sau làm 2h với suất dự kiến người cải tiến thao tác nên tăng suất sản phẩm hồn thành 150 sản phẩm sớm dự kiến 30 phút Hãy tính suất dự kiến ban đầu Bài 6: Một đội sản xuất làm 1000 sản phẩm thời gian quy định Nhờ tăng suất lao động, ngày đội làm thêm 10 sản phẩm so với kế hoạch Vì vậy, làm vượt mức kế hoạch 80 sản phẩm mà cịn hồn thành sớm ngày so với quy định Tính số sản phẩm đội sản xuất phải làm ngày theo kế hoạch Bài 7: Để hồn thành cơng việc hai tổ phải làm chung 6h Sau 2h làm chung tổ hai bị điều làm việc khác, tổ hồn thành nốt cơng việc cịn lại 10h Hỏi tổ làm riêng sau hồn thành cơng việc Bài 8: Một đội xe dự định dùng số xe loại để chở 120 hàng Lúc khởi hành đội bổ sung thêm xe loại Nhờ vậy, so với ban đầu, xe phải chở Hỏi lúc đầu đội có xe Biết khối lượng xe phải chở Bài 9: Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo 13m chiều dài chiều rộng 7m Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất Bài 10: Cho số có hai chữ số Tổng hai chữ số chúng 10 Tích hai chữ số nhỏ số cho 12 Tìm số cho DẠNG 3: Hệ phương trình mx y 10 Bài 1: Cho hệ phương trình 2 x y 1) Giải phương trình với m = 2) Tìm m để hệ vô nghiệm 2mx y Bài 2: Cho hệ phương trình mx y 1) Giải hệ phương trình m = 2) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn x – y = 3) Chứng minh hệ phương trình có nghiệm (x; y) điểm M(x; y) nằm đường thẳng cố định m thay đổi (m 1) x my 3m Bài 3: Cho hệ phương trình Tìm m để hệ có nghiệm mà S x y đạt giá trị nhỏ x y m x my Bài 4: Cho hệ phương trình mx y m 1) Giải hệ m = 2) Tìm số ngun m hệ có nghiệm (x; y) với x > 0, y < 3) Tìm số nguyên m hệ có nghiệm duuy (x; y) với x, y số nguyên x my Bài 5: Cho hệ phương trình mx y m 1) CMR hệ có nghiệm với m 2) Tìm m để hệ có nghiệm cho x < 1, y < DẠNG 4: Quan hệ (P) (d) Bài 1: Cho hàm số y f x x có đồ thị (P) hàm số y x có đồ thị (d) 2 1) Vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ 2) Tìm tọa độ giao điểm (P) (d) 3) Khơng tính, so sánh a) f 2 f 3 b) f f 32 Bài 2: Cho hàm số y x có đồ thị (P) 1) Tìm điểm A, B thuộc (P) có hồnh độ – 2) Viết phương trình đường thẳng AB 3) Viết phương trình đường thẳng song song với AB tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm Bài 3: Cho parabol P : y ax 1) Tìm a biết (P) qua điểm A thuộc đường thẳng (d): y 2) Tìm giao điểm B lại (d) (P) 1 x có hồnh độ 3) Tính diện tích tam giác OAB Bài 4: Cho hàm số y ax có đồ thị (P) hàm số y mx 2m có đồ thị (d) 1) Chứng minh (d) ln qua điểm M cố định 2) Tìm a để (P) qua điểm cố định 3) Viết phương trình đường thẳng qua M tiếp xúc với parabol (P) M Bài 5: Cho hàm số y x có đồ thị (P) đường thẳng (d): y x 2 1) Vẽ (d) (P) hệ trục tọa độ Oxy 2) Tìm tọa độ giao điểm A B (d) (P) Tính chu vi AOB 3) Tìm tọa độ giao điểm C thuộc Ox để chu vi ABC đạt giá trị nhỏ Bài 6: Cho parabol P : y x 1) Viết phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k qua M(1,5; - 1) 2) Tìm k để đường thẳng (d) parabol (P) tiếp xúc 3) Tìm k để đường thẳng (d) parabol (P) cắt hai điểm phân biệt Bài 7: Cho hàm số P : y x2 d : y x n 2 1) Cho n = a) Vẽ (P) (d) mặt phẳng tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm A B (P) (d) c) Tính diện tích AOB 2) Tìm n để (P) tiếp xúc với (d) 3) Tìm n để (P) (d) cắt hai điểm 4) Tìm n để (P) (d) cắt hai điểm nằm hai phía trục tung Bài 8: Cho parabol (P): y x đường thẳng y mx m 1) Tìm m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B 2) Gọi x1 x2 hồnh độ A B Tìm m để x1 x2 3) Tìm m để (P) (d) cắt hai điểm nằm bên trái trục tung Bài 9: Cho hàm số y x có đồ thị parabol (P), đường thẳng y mx Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 x2 mà x12 x2 có giá trị nhỏ Bài 10: Cho hàm số y x có đồ thị parabol (P), đường thẳng d: y mx m Tìm m để d cắt parabol (P) A phân biệt với A x1; y1 , B x2 , y2 mà y1 y2 nhỏ DẠNG 5: Phương trình bậc hai Bài 1: Cho phương trình x 2m 3 x m2 3m 0, m tham số 1) Giải phương trình m = 2) Xác định m để phương trình có nghiệm Khi phương trình cịn nghiệm nữa, tìm nghiệm đó? 3) CMR phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m 4) Gọi x1 , x2 hai nghiệm pt Tìm m để x12 x2 5) Định m để phương trình có nghiệm nghiệm Bài 2: Cho phương trình x m 1 x m , m tham số 1) CMR phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m 2) Với m Hãy lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 x1 3) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thảo mãn x1 x2 4) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm 1 y2 x2 x2 x1 Bài 3: Cho phương trình x k 3 x 2k 0, k tham số 1) Giải phương trình k 2) Tìm k để phương trình có nghiệm 3, phương trình cịn nghiệm nữa, tìm nghiệm 3) CMR phương trình ln có hai nghiệm x1 , x2 với k 4) CMR tổng tích nghiệm có liên hệ khơng phụ thuộc k? 5) Tìm k để phương trình x1 , x2 thỏa mãn 6) Tìm k để tổng bình phương nghiệm có giá trị nhỏ 1 2 x1 x2 x1 x2 Bài 4: Cho phương trình x m 1 x m 0, m tham số 1) Giải phương trình x = - 2) CMR phương trình ln có nghiệm x1 , x2 với m 3) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu 4) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương 5) CMR biểu thức A x1 1 x2 x2 1 x1 không phụ thuộc m 6) Tính giá trị biểu thức x1 x2 Bài 5: Cho phương trình x 3(m 1) x m 0, m tham số 1) CMR phương trình ln có nghiệm với m 2) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc m 3) Xác định m để phương trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu Bài 6: Cho phương trình x m x 2m 0, m tham số 1) CM phương trình ln có nghiệm với m 2) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để B x1 (1 x2 ) x2 1 x2 3) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m Bài 7: Cho phương trình x 4m 1 x m m tham số 1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x2 x1 17 2) Tìm m để biểu thức A x1 x2 có giá trị nhỏ 3) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào x Bài 8: Cho phương trình x m 1 x 2m 0, m tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền Bài 9: Cho phương trình x x m , m tham số 1) Giải phương trình m = - 2) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Bài 10: Cho phương trình x m 1 x m2 0, m tham số Tìm m phương trình có nghiệm DẠNG 6: Hình học Bài 1: Cho đường trịn (O) điểm M nằm ngồi (O) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O) (A, B tiếp điểm) Qua M kẻ cát tuyến MNP (MN < MP) đến (O) cho tia MP nằm hai tia MA MO Gọi K trung điểm NP 1) Chứng minh điểm M, A, K, O, B thuộc đường tròn 2) Chứng minh tia KM phân giác AKB 3) Gọi Q giao điểm thứ hai đường thẳng BK với đường tròn (O) Chứng minh AQ // NP 4) Gọi H giao điểm AB MO Chứng minh MA2 MH MO MN MP 5) Chứng minh điểm N, H, O, P thuộc đường tròn 6) Gọi E giao điểm AB KO Chứng minh AB HE HF (F giao điểm AB NP) 7) Chứng minh KEMH tứ giác nội tiếp Từ chứng tỏ OK.OE khơng đổi 8) Gọi I giao điểm đoạn thẳng MO với đường tròn (O) Chứng mỉnh ằng I tâm đường tròn nội tiếp MAB 9) PHA Chứng minh NHA 10) Chứng minh KE phân giác góc ngồi AKB Từ suy AE.BF = AF.BE 11) Chứng minh cát tuyến MNP thay đổi trọng tâm G NAP ln chạy đường tròn cố định 12) Nếu MO = 2R Tính diện tích hình quạt giới hạn hai bán kính OA, OB cung nhỏ AB Bài 2: Cho đường trịn (O) bán kính R có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng MA lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn P Chứng minh: 1) Tứ giác OMNP nội tiếp 2) Tứ giác CMPO hình bình hành 3) CM.CN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M 4) Khi M di chuyển đoạn thẳng AB tâm đường tròn nội tiếp CND di chuyển cung tròn cố định Bài 3: Cho ba điểm A, B, C đường thẳng theo thứ tự đường thẳng (d) vng góc với AC A Vẽ đường trịn đường kính BC, lấy điểm M Tia CM cắt đường thẳng d D; tia AM cắt đường tròn điểm thứ hai N; tia DB cắt đường tròn điểm thứ hai P 1) Chứng minh tứ giác ABMD nội tiếp 2) Tứ giác APND hình gì? Tại sao? 3) Chứng minh CM.CD không phụ thuộc vị trí M 4) Chứng minh trọng tâm G MAC chạy đường tròn cố định M di động Bài 4: Cho đường tròn (O; R) với dây BC cố định (BC không qua O) Gọi A điểm cung nhỏ BC Điểm E thuộc cung lớn BC Nối AE cắt BC D Hạ CH AE H; CH cắt BE M Gọi I trung điểm BC 1) Chứng minh bốn điểm A, I, H, C thuộc đường tròn 2) Chứng minh E chuyển động cung lớn BC tích AD.AE khơng đổi 3) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp BED tiếp xúc với AB 4) Tìm vị trí E để diện tích MAC lớn Bài 5: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) cắt A H (O O’ hai phía AH) Vẽ đường kính AOB AO’C hai đường tròn Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) M, cắt đường tròn (O’) N 1) Chứng minh ba điểm B, H, C thẳng hàng 2) Chứng minh đường thẳng d thay đổi tỉ số 3) Gọi I, K trung điểm MN BC Chứng minh bốn điểm A, H, I, K thuộc đường trịn 4) Xác định vị trí đường thẳng d để diện tích HMN lớn HM khơng đổi HN Bài 6: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) tiếp xúc A (R = 2R’) Điểm B thuộc đường tròn (O; R) cho AB = R Điểm M thuộc cung lớn AB đường tròn (O; R) cho MA MB Nối MA cắt đường tròn (O’; R’) N Từ N kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường tròn (O’; R’) E, cắt MB F 1) Chứng minh AOM đồng dạng với AO ' N 2) Chứng minh độ dài đoạn NF không đổi M chuyển động cung lớn AB đường tròn (O; R) 3) Chứng minh ABFE hình thang cân 4) Tìm vị trí M để diện tích tứ giác ABFN lớn Bài 7: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định Gọi M trung điểm đoạn OB Dây CD vng góc với AB M Điểm E chuyển động cung lớn CD (E khác A) Nối AE cắt CD K Nối BE cắt CD H 1) Chứng minh bốn điểm B, M, E, K thuộc đường tròn 2) Chứng minh AE.AK khơng đổi 3) Tính theo R diện tích hình quạt trịn giới hạn OB, OC cung nhỏ BC 4) Chứng minh tâm I đường tròn ngoại tiếp BHK thuộc đường thẳng cố định điểm E chuyển động cung lớn CD Bài 8: Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB Điểm M thuộc nửa đường tròn Gọi H điểm cung AM Tia BH cắt AM I Tiếp tuyến nửa đường tròn A cắt BH K Nối AH cắt BM E 1) Chứng minh BAE tam giác cân Chứng minh KH KB KE 2) Đường trịn tâm B, bán kính BA cắt AM N Chứng minh tứ giác BIEN nội tiếp 3) 90o Tìm vị trí M để MKA Bài 9: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Điểm H thuộc đoạn OB, H khác O B Dây CD vng góc với AB H Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn A Nối CO DO cắt đường thẳng d M N Các đường thẳng CM DN cắt đường tròn (O) E F E C , F D 1) Chứng minh MNFE tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh ME.MC = NF.ND 3) Tìm vị trí H để AEOF hình thoi 4) Lấy K đối xứng với C qua A Gọi G trọng tâm KAB Chứng minh H chuyển động đoạn OB G thuộc đường trịn cố định Bài 10: Cho ABC có hai đường cao BE, CF cắt H Gọi E’ điểm đối xứng với H qua AC, F’ điểm đối xứng với H qua AB Chứng minh 1) Tứ giác BCE’F’ nội tiếp đường tròn (O) 2) Năm điểm A, F’, B, C, E’ thuộc đường trịn 3) AO EF vng góc với 4) Khi A chạy tên (O) bán kính đường trịn ngoại tiếp AEF khơng đổi DẠNG 7: Một số nâng cao Bài 1: Giải phương trình sau Bài 2: Giải hệ phương trình sau Bài 3: Cho đường thẳng y m 1 x Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O tới đường thẳng lớn Bài 4: Cho parabol P : y x đường thẳng d : y x Gọi A B hai giao điểm (d) (P) Tìm tọa độ điểm C thuộc cung AB (P) để diện tích ABC đạt giá trị lớn Bài 5: Cho số a, b, c, d Chứng minh a c b d 2 a b2 c2 d Bài 6: Cho a, b, c > Chứng minh bc ca ab abc a b c Bài 7: Cho c > a, b c Chứng minh c a c c b c ab Bài 8: Cho a, b a b Tìm giá trị lớn biểu thức P a 3a a 2b b 3b b 2a Bài 9: Cho a, b Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Bài 10: Giả sử n số tự nhiên khác không, chứng minh ĐÁP ÁN DẠNG Bài 1: ĐKXĐ: x 0; x 1) Rút gọn A: ab a 3a b b 3b a 1 1 2 ( n 1) n Vậy tập nghiệm phương trình S b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Đặt t x t , phương trình trở thành t 2t m 1 Để phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình 1 có nghiệm dương phân biệt a 1 m ' m 2 2m3 m S m P Vậy m phương trình cho có nghiệm phân biệt Bài 10 Cho phương trình x m 1 x m2 Đặt t x t , phương trình cho trở thành t m 1 t m 1 Ứng với nghiệm t dương phương trình 1 phương trình cho có nghiệm phân biệt Do để phương trình cho có nghiệm phương trình 1 phải có nghiệm t m Suy m m 1 Khi m , phương trình 1 trở thành: t 4t t t 4 t x ( loại có nghiệm ) t x 2 Khi m 1 , phương trình 1 trở thành: t x ( nhận ) Vậy m 1 phương trình cho có nghiệm DẠNG 6: Bài 1: OAM OBM 900 Chứng minh OKM Dùng kết câu 1, tứ giác MAKB nội tiếp ý MA = MB AKM BKM E Q A M K N P F I H O B MKB ĐPCM Chứng minh được: AQB MAB Chứng minh được: OM AB , dùng hệ thức lượng cho tam giác vuông MAO MH MO MA2 Chú ý: Từ kết câu : Tổng quát: Trên tia Mx lấy hai điểm A, B cho MA < MB Trên tia MY lấy hai điểm N, P cho MN < MP Khi ABPN tứ giác nội tiếp Vì AB = 2AH nên: Dùng hệ thức lượng cho tam giác MAO AH HM HO Chứng minh được: Chứng minh MEKH tứ giác nội tiếp, dùng kết tổng quát câu ta có: khơng đối Từ IAB suy AI phân giác MAB , ý MI phân giác Vì MO trung trực AB nên IA = IB IAM => ĐPCM Từ câu KF phân giác góc AKB , ý đường phân giác với nên KE phân giác góc ngồi đỉnh K Dùng tính chất 10 Nhận xét: P, Q thay đổi nên có độ dài ba cạnh thay đổi gây khó khăn cần đưa tam giác chứa yếu tố cố định Từ kết câu Kẻ ta có Do AM khơng đối (P' đối xứng với A qua O) 11 Gọi S trung điểm OM, từ G kẻ GL//KS Vì AS cố định và: Lại có: LG AL L cố định AS SK OM (Không đổi) 3 Bởi G chạy đường tròn L; OM cố định Do OK.OE không đổi nên E thuộc đường OK cố định E cách O cố định đoạn OE Vậy E điểm cố định mà AB qua 12 Từ MO = 2R tính Diện tích hình quạt cần tính S Bài R2 R2 không đổi OK a C/m: tứ giác OMNP nội tiếp C 90 Ta có: MP AB OMP 90 Ta có: ON CP ONP d ONP OMP Tứ giác OMNP nội tiếp (DHNB) M A O b C/m: Tứ giác CMPO hình bình hành Ta có: B I N CO AB CO / / MP (1) MP AB P D ONM (OCN cân O) Ta có: OCM ONM ( chắn cung OM) OPM DOP (OD//PM) OPM DOP OCM Mà chúng hai góc đồng vị CM / /OP (2) Từ (1), (2) suy tứ giác CMPO hình bình hành c C/m : CM CN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M +) Xét COM CND có: : chung OCM COM CND (=90) COM CND ( g.g ) CO CM CM CN OC.CD 3R CN CD CM CN không đổi CM CN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M d Khi M di chuyển đoạn thẳng AB tâm đường tròn nội tiếp tam giác CND di chuyển cung tròn cố định nào? +) Goi I tâm đường tròn nội tiếp CND DCI DCN CI tia phân giác OCN CDI CDN DI tia phân giác CDN 90 ) CDI ( DCN CDN ) 45 (vì CND DCI 135 CID I nằm cung trịn chứa góc 135 dựng CD Bài a C/m: tứ giác ABMD nội tiếp 90 Ta có: DA AB DAB Ta có: M (O; BC 90 BMD 90 ) BMC DMB DAB Tứ giác ABMD nội tiếp (DHNB) N D M G K A B I O J C b Tứ giác APND hình gì? Tại sao? DBA ( chắn cung DA) Ta có: DMA d P DBA ( góc đồi đỉnh) DMA PBC ( góc đồi đỉnh) DBA PBC NC CP NMC NC = CP C đường trung trực NP Ta có: ON = OP = R O đường trung trực NP CO đường trung trực NP CO NP hay AC NP Mà AC AD OA NP Tứ giác APND hình thang c C/m : CM CD khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M +) Xét CMB CAD có: ACD : chung CMB CAD (=90) CMB CAD ( g.g ) CM CB CM CD CA.CB CA CD Mà A, B, C cố định CA CB không đổi CM CD không đổi CM CD khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M d C/m: Trọng tâm G tam giác MAC chạy đường tròn cố định M di động Gọi I trung điểm AC Điểm I cố định Kẻ GJ // MB Kẻ GK // MC IG IM IG IJ ( định lý Talet) Điểm J cố định IM IB IG IK ( định lý Talet) Điểm K cố định IM IC IJ IK IJ IK JK IB IC IB IC BC JK BC GJ / / MB 90 Ta có: GK / / MC GJ GK JGK MB MC Vậy M di động trọng tâm G tam giác MAC chạy đường tròn đường kính JK cố định Bài 4: E O I B D H a A M A điểm BC I trung điểm BC OA BC I AIC 900 Suy tứ giác AIHC nội tiếp A, I, H, C thuộc đường trịn b Xét có chung (góc nội tiếp chắn hai cung nhau) c Có (cùng chắn AB ) C (góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Suy AB tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp d Có (góc nội tiếp chắn hai cung nhau) , mà EA phân giác CEM cân E EA trung trực MC AM =AC => (cạnh huyền – cạnh góc vuông) Dấu "=" xảy HA = HC vuông cân H hay 900 => E nằm (O) cho số đo CE Bài M I A N O' O K B H C CHỨNG MINH 1) Ta có AHB AHC 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BHA HBC AHC 900 900 1800 Vậy B, H , C thẳng hàng 2) Nếu MN AH HM , HN đường kính nên hiển nhiên ta có đpcm ) nhọn, ta có MBH HAN (cùng bù với HAM Ngược lại, không tính tổng quát, giả sử HAN , MBH góc nhọn chắn cung HM nên MBH góc tâm chắn HM MOH MOH HO Chứng minh tương tự ta HAN 'N Suy hai tam giác cân MOH HO ' N đồng dạng (c-g-c) MH MO R const HN NO ' R ' CNA 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Ta có BMA 3) tg MNCB hình thang vng KNC 1800 (hai góc phía) KI đường trung bình hình thang MNCB KI / / NC KIA Mặt khác AHK ANC (cùng bù với AHC ) Suy AIK AHK 1800 , mà hai góc vị trí đối nên tứ giác AIKH nội tiếp Vậy điểm A, H , K , I thuộc đường tròn Xét HMN ABC 4) NMH ABC (cùng chắn cung AH O ) MNH ACB (cùng chắn cung AH O ' ) Suy HMN ∽ ABC (g-g) S HMN HM HM S HMN S ABC S ABC AB AB Mà A, B , C cố định nên SHMN max HM max HM đường kính O 900 , đường thẳng d / / BC đường thẳng cần tìm Khi MAH Bài CHỨNG MINH 1) O Ta có OAM ' AN (đối đỉnh) F OAM cân O OA OM R OMA OAM B Chứng minh tương tự O ' AN O ' NA N Xét AOM AO ' N có OAM O OMA ' AN O ' NA (1) AOM ∽ AO ' N g g 2) O Do AB / / FN nên theo định lí Talets ta có: BA MA (2) FN MN O Từ (1) ta có OMA ' NA mà hai góc vị trí so le nên OM / / O ' N M A O' E Lại theo hệ định lí Talets ta có : MA OA R 2R ' (3) MN OO ' R R ' R ' R ' Từ (2)(3) suy BA 3 FN BA R = FN 2 const AB / / EF (gt) tg ABFE hình thang (4) 3) MBA (đồng vị) (5) BFE 1 MBA AOM (tính chất góc nội tiếp) (6) AO ' N (tính chất góc nội tiếp) (7) AEF AEN AOM AO ' N (do AOM ∽ AO ' N ) (8) Từ (5)(6)(7)(8) suy BFE AEF (9) Từ (4) (9) suy tứ giác ABFE hình thang cân 4) S ABFN Kẻ đường cao AH hình thang, ta có F R R AH AB FN AH R AH (10) 2 B Kẻ MK AB K MAK ANH (đồng vị) H MK MA R Suy AKM ∽ NHA (g-g) (11) AH NA R ' Từ (10)(11) suy S ABFN R.MK O AB nên CI AB , C O C trung điểm cung lớn cố định Ta có MK MI MO OI CO OI CI Suy Max MK CI , dấu '' " M C Bài CHỨNG MINH O' A K C Vậy S ABFN max MK max Gọi I trung điểm AB C điểm thỏa mãn N I M E 1) Ta có : K AEB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AB ) 900 (1) KEB E C 900 (2) CD AB M KMB H Từ (1)(2) suy hai đỉnh E M nhìn cạnh KB A góc nên tứ giác EKBM nội tiếp 2) O Xét AKM ABE : A chung; AKM ∽ ABE g g AMK AEB 90 3) M D AK AM AK AE AM AB R.2 R 3R AB AE Theo giả thiết ta có CD trung trực OB nên CO CB 600 OCB CO CB OB R COB nhỏ : S R 60 R dvdt Vậy diện tích quạt hạn OB, OC , BC 360 4) Gọi F điểm đối xứng A qua CD F cố định A, CD cố định KAF cân K KM trung trực AF (theo cách dựng F ) KFM (3) KAM Tứ giác AEHM nội tiếp hai góc đối diện E M vuông MHB (4) KAM KHB 1800 (5) MHB KHB 1800 Từ 345 KFM KHBF nội tiếp F thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BHK Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác BHK thuộc đường trung trực BF cố định B F Bài CHỨNG MINH 1) Ta có AHB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) E HB AE N K Mặt khác ta lại có H điểm cung AM nên H M ABH HBM I Xét tam giác ABE có BH vừa đường cao vừa đường phân A giác nên BAE cân B 2) B O Do N B, BA BA BN ABN cân B MAB (1) INB AM , AH hai đường cao tam giác FAB cắt I nên I trực tâm tam giác FAB ) MAB (2)(cùng phụ với MBA KI AB IEB IEB mà hai góc nhìn cạnh IB nên tứ Từ (1)(2) suy INB giác NEIB nội tiếp 3) Khi 90 MK / / AB MKB KBA so le mà MAK M K H MKB MKB cân M KBA cmt nên MBK MBK I MK MB (3) A Kẻ MJ AB J KMJA hình chữ nhật KM JA 4 Từ (3)(4) suy MB JA Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông MAB đường cao MJ : MB JB AB AB JA AB R R.MB MB R.MB R MB R 5R MB Vậy điểm M cần tìm giao O; R B; 1 R 1 R O J B BÀI a C/m: tứ giác MNEF nội tiếp N Ta có: CD AB CD / / MN MN AB CDN (2 goc slt ) MND K b C/m: ME.MC = NF.ND +) Xét MAE MCA có: AME : chung MAE MCA( g g ) MCA (cung chan MAE AE ) MA ME MC MA MA2 MC ME (1) +) Xét NAF NDA có: ANF : chung NAF NDA( g.g ) (cung chan NAF NDA AF ) NA NF ND NA NA2 ND.NF (2) MND CDN +) Ta có: MN // CD (cmt) NMC MCD MCD ( OCD cân O) Mà CDN CMN MND OMN cân O Mà OA NM Suy ra: A trung điểm MN P O H G E Tứ giác MNEF nội tiếp (DHNB) I A CFE ( chắn CE ) Mà: CDN CFE MND C F M D B AM AN (3) +) Từ (1), (2), (3) suy ra: ME.MC = NF.ND c Tìm vị trí điểm H để tứ giác AEOF hình thoi +) Ta có: MNF FEC FEC NME MNF NME EF//MN Mà OA NM OA EF I IE IF Tứ giác AEOF có OA EF I IE IF (cmt) Để tứ giác AEOF hình thoi I trung điểm OA +) c/m: OIE OHC (ch-gn) OI=OH Khi I trung điểm OA H trung điểm OB Vậy để tứ giác AEOF hình thoi H trung điểm OB d C/m: Khi H chuyển động đoạn OB G thuộc đường cố định +) Từ G kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB P Xét OKA có GP // AK ( theo cách vẽ) OG OP OK OA OP OG OA Ma OK Suy điểm P cố định +) Ta có: GP / / AK GP GA AGP 90 GA GK G thuộc đường trịn đường kính AP H chuyển động đoạn OB Bài 10 a C/m: tứ giác BF’E’C nội tiếp A +) Ta có: F’ đối xứng với H qua AB AB đường trung trực F’H BF’ = BH BHF ' cân B E' O ' (1) BF ' H BHF E +) Ta có: E’ đối xứng với H qua AC AC đường trung trực E’H F' CE’ = CH CHE ' cân C ' (2) CE ' H CHE ' CHE ' (2 góc đối đỉnh) (3) +) Ta có : BHF Từ (1), (2), (3) suy BF ' H CE 'H Mà E’, F’ đỉnh liền kề tứ giác BCE’F’ Tứ giác BCE’F’ nội tiếp (dhnb) b C/m: A, F’, B, C, E’ thuộc đường trịn Ta có: AFH AEF 90 Tứ giác AEHF nội tiếp (dhnb) FHE 180 FAE FAE BHF ' ' FHE 180 Ma BHF BHF ' Lại có: BFH BF FAE 'H Mà A, F’ đỉnh liền kề tứ giác ABCF’ Tứ giác ABCF’ nội tiếp (dhnb) A, C, B, F’ thuộc đường tròn ngoại tiếp BCF ' (4) +) Ta có: Tứ giác BCE’F’ nội tiếp B, C, E’, F’ thuộc đường tròn ngoại tiếp BCF ' (5) Từ (4), (5) suy A, F’, B, C, E’ thuộc đường trịn c C/m: OA EF +) Ta có: F’ đối xứng với H qua AB AB đường trung trực F’H AF’ = AH (6) +) Ta có: E’ đối xứng với H qua AC F H I C B D AC đường trung trực E’H AE’ = AH (7) Từ (6), (7) suy AE’ = AF’ A đường trung trực E’F’ (8) +) Ta có: OE’ = OF’ = R O đường trung trực E’F’ (9) Từ (8), (9) suy OA đường trung trực E’F’ OA E ' F ' EFC +) C/M: Tứ giác BCEF nội tiếp EBC CF Mà EBC ' E ' ( góc nội tiếp chắn cung CE’) CF ' E ' EFC EF / / E ' F ' Ma OA E ' F ' OA EF d C/m: Khi A chạy (O) bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF khơng đổi DC AC AD Xét O; có: ACD 90 Ma BH AC DC / / BH (10) F CDH ' HB CDH BF ' H Ma F ' HB BF ' H F F ' B CD (11) F ' D CB ' B CD Từ (10), (11) suy tứ giác BHCD hình bình hành Gọi I trung điểm BC I trung điểm HD +) Ta có: O trung điểm AD OI AH (t/c đường trung bình AHD ) AH = 2OI Do BC cố định OI không đổi AH khơng đổi +) Ta có: tứ giác AEHF nội tiếp đường trịn đường kính OH (cmt) Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF khơng đổi Vậy A chạy (O) bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF không đổi ... 4)(2) x x 17( 3) Từ (3) => x2 = 17 + x1 (3’) vào (1) ta X1 + 17 + x1 = -(4m + 1) 2x1 = - 4m – – 17 2x1 = - 4m – 18 X1 = -2m – thay vào (3’) ta X2 = 17 + (-2m – 9) X2 = 17 – 2m – = – 2m... mãn y 18 TH2: m – ≠ m ≠ x ∈ Z mà m – ∈ Z => (m – 4)x ∈ Z m 16 18 Z 1 Z m 2 m 2 m2 + ∈ Ư (18) Mà m2 + ≥ ∀m => m2 + ∈ {2; 3; 6; 9; 18} Ta có bảng: m2 + 2 18 m2 16 m -1... 8 4 2 -2x1x2 + x1 + x2 + + 16 x1 + x2 + 2x1x2 + 17 = Vây hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc m là: x1 + x2 + 2x1.x2 + 17 = Bài x m 1 x 2m ' m 1