ĐC HK2 ngô sĩ liên 17 18 đáp án

TRƯỜNG THCS NGÔ SĨ LIÊN ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP LỚP HKII Năm học: 2017 – 2018 MƠN TỐN DẠNG 1: Biến đổi biểu thức chứa    x x 1 x x   x  x   Bài 1: Cho biểu thức: A    : x 1  x x x x  1) Rút gọn A 2) Tìm x để A < 3) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên  x x 3   x  x 4 Bài 2: Cho biểu thức: P    :      x 2 x x  x x      1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị x để P > 3) Tính giá trị nhỏ P   2x     x2 x Bài 3: Cho biểu thức: C     x       x 1 x  x 1    x  1) Rút gọn C 2) Tính giá trị biểu thức C x   3) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C – 4) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C lớn  5) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C nhỏ x  Bài 4: Cho biểu thức A  1 x 1 x 1) Khi x   5, tính giá trị biểu thức A 2)  15  x Rút gọn biểu thức B    x  25   3) Tìm x để biểu thức M  B  A nhận giá trị nguyên Bài 5: Tính giá trị biểu thức A  1) Cho biểu thức B   x 1 : x   x  x 1 với x   x 2 x 1 x x 4   Chứng minh B  x 1 x 2 x x 2 2 x 2) Tìm x để P  B  1 A Bài 6: Cho hai biểu thức A  x2 x  B  x x 2 x 2 1) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A 2) Tìm giá trị x để B = 3) Tìm m để x 3  x 1 x 1 B x  m có nghiệm A  x3 Bài 7: Cho biểu thức B     x9  x với x  0, x  : x 3 x 3 1) Rút gọn B 2) Tính giá trị B x  27  10  18  3) Chứng minh B  x x   11 x   ; B 9 x x 3 x 3 Bài 8: Cho biểu thức A  a) Tính giá trị B x = 36 b) Rút gọn A c) Tìm số nguyên P để P = A.B số nguyên với x  0, x  Tìm x để B = x 2 Bài 9: Cho biểu thức B  1) Cho biểu thức A  2) Tính P  3) Tìm x thỏa mãn P x 3 x 1 x  với x  0, x  x4 x 2 B A  Bài 10: Cho biểu thức P   x   x  x 1  2x  2x  x  Q  x 9 x 3 x 3 x a) Tính giá trị Q x = 121 b) Rút gọn P c) Tìm giá trị x để A  d) So sánh A A2 Q x 1  P DẠNG 2: Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Bài 1: Một người xe máy từ A đến B cách 120km với vận tốc dự định trước Sau quãng đường AB người tăng vận tốc lên 10km/h qng đường cịn lại Tính vận tốc dự định thời gian lăn bánh đường biết người đến B sớm dự định 24 phút Bài 2: Quãng đường AB dài 220km Hai ô tô khởi hành từ A B ngược chiều Nếu khởi hành sau chúng gặp Nếu xe từ A khởi hành trước xe phút hai xe gặp sau xe từ A 30 phút Tính vận tốc xe Bài 3: Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau lại ngược từ B A Thời gian xi thời gian ngược 1h 20p Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nước 5km/h vận tốc riêng ca nô xuôi ngược Bài 4: Một ca nô chạy sông giờ, xi dịng 81km ngược dịng 105km Một lần khác chạy khúc sơng đó, ca nơ chạy 4h, xi dịng 54km ngược dịng 42km Hãy tính vận tốc xi dịng ngược dịng ca nơ, biết vận tốc dịng nước vận tốc riêng ca nô không đổi Bài 5: Một công nhân dự định làm 150 sản phẩm thời gian định Sau làm 2h với suất dự kiến người cải tiến thao tác nên tăng suất sản phẩm hồn thành 150 sản phẩm sớm dự kiến 30 phút Hãy tính suất dự kiến ban đầu Bài 6: Một đội sản xuất làm 1000 sản phẩm thời gian quy định Nhờ tăng suất lao động, ngày đội làm thêm 10 sản phẩm so với kế hoạch Vì vậy, làm vượt mức kế hoạch 80 sản phẩm mà cịn hồn thành sớm ngày so với quy định Tính số sản phẩm đội sản xuất phải làm ngày theo kế hoạch Bài 7: Để hồn thành cơng việc hai tổ phải làm chung 6h Sau 2h làm chung tổ hai bị điều làm việc khác, tổ hồn thành nốt cơng việc cịn lại 10h Hỏi tổ làm riêng sau hồn thành cơng việc Bài 8: Một đội xe dự định dùng số xe loại để chở 120 hàng Lúc khởi hành đội bổ sung thêm xe loại Nhờ vậy, so với ban đầu, xe phải chở Hỏi lúc đầu đội có xe Biết khối lượng xe phải chở Bài 9: Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo 13m chiều dài chiều rộng 7m Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất Bài 10: Cho số có hai chữ số Tổng hai chữ số chúng 10 Tích hai chữ số nhỏ số cho 12 Tìm số cho DẠNG 3: Hệ phương trình  mx  y  10 Bài 1: Cho hệ phương trình  2 x  y  1) Giải phương trình với m = 2) Tìm m để hệ vô nghiệm 2mx  y  Bài 2: Cho hệ phương trình  mx  y  1) Giải hệ phương trình m = 2) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn x – y = 3) Chứng minh hệ phương trình có nghiệm (x; y) điểm M(x; y) nằm đường thẳng cố định m thay đổi (m  1) x  my  3m  Bài 3: Cho hệ phương trình  Tìm m để hệ có nghiệm mà S  x  y đạt giá trị nhỏ x  y  m    x  my  Bài 4: Cho hệ phương trình   mx  y  m 1) Giải hệ m = 2) Tìm số ngun m hệ có nghiệm (x; y) với x > 0, y < 3) Tìm số nguyên m hệ có nghiệm duuy (x; y) với x, y số nguyên  x  my  Bài 5: Cho hệ phương trình   mx  y  m 1) CMR hệ có nghiệm với m 2) Tìm m để hệ có nghiệm cho x < 1, y < DẠNG 4: Quan hệ (P) (d) Bài 1: Cho hàm số y  f  x    x có đồ thị (P) hàm số y  x  có đồ thị (d) 2 1) Vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ 2) Tìm tọa độ giao điểm (P) (d) 3) Khơng tính, so sánh a) f  2  f  3   b) f  f  32  Bài 2: Cho hàm số y   x có đồ thị (P) 1) Tìm điểm A, B thuộc (P) có hồnh độ – 2) Viết phương trình đường thẳng AB 3) Viết phương trình đường thẳng song song với AB tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm Bài 3: Cho parabol  P  : y  ax 1) Tìm a biết (P) qua điểm A thuộc đường thẳng (d): y  2) Tìm giao điểm B lại (d) (P) 1 x  có hồnh độ 3) Tính diện tích tam giác OAB Bài 4: Cho hàm số y  ax có đồ thị (P) hàm số y  mx  2m  có đồ thị (d) 1) Chứng minh (d) ln qua điểm M cố định 2) Tìm a để (P) qua điểm cố định 3) Viết phương trình đường thẳng qua M tiếp xúc với parabol (P) M Bài 5: Cho hàm số y  x có đồ thị (P) đường thẳng (d): y  x  2 1) Vẽ (d) (P) hệ trục tọa độ Oxy 2) Tìm tọa độ giao điểm A B (d) (P) Tính chu vi AOB 3) Tìm tọa độ giao điểm C thuộc Ox để chu vi ABC đạt giá trị nhỏ Bài 6: Cho parabol  P  : y  x 1) Viết phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k qua M(1,5; - 1) 2) Tìm k để đường thẳng (d) parabol (P) tiếp xúc 3) Tìm k để đường thẳng (d) parabol (P) cắt hai điểm phân biệt Bài 7: Cho hàm số  P  : y  x2  d  : y  x  n 2 1) Cho n = a) Vẽ (P) (d) mặt phẳng tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm A B (P) (d) c) Tính diện tích AOB 2) Tìm n để (P) tiếp xúc với (d) 3) Tìm n để (P) (d) cắt hai điểm 4) Tìm n để (P) (d) cắt hai điểm nằm hai phía trục tung Bài 8: Cho parabol (P): y  x đường thẳng y  mx  m  1) Tìm m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B 2) Gọi x1 x2 hồnh độ A B Tìm m để x1  x2  3) Tìm m để (P) (d) cắt hai điểm nằm bên trái trục tung Bài 9: Cho hàm số y  x có đồ thị parabol (P), đường thẳng y  mx  Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1  x2 mà x12  x2 có giá trị nhỏ Bài 10: Cho hàm số y  x có đồ thị parabol (P), đường thẳng d: y   mx  m  Tìm m để d cắt parabol (P) A phân biệt với A  x1; y1  , B  x2 , y2  mà  y1  y2  nhỏ DẠNG 5: Phương trình bậc hai Bài 1: Cho phương trình x   2m  3 x  m2  3m   0, m tham số 1) Giải phương trình m = 2) Xác định m để phương trình có nghiệm Khi phương trình cịn nghiệm nữa, tìm nghiệm đó? 3) CMR phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m 4) Gọi x1 , x2 hai nghiệm pt Tìm m để x12  x2  5) Định m để phương trình có nghiệm nghiệm Bài 2: Cho phương trình x   m  1 x  m  , m tham số 1) CMR phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m 2) Với m  Hãy lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1  x1  3) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thảo mãn x1  x2  4) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm 1 y2  x2  x2 x1 Bài 3: Cho phương trình x   k  3 x  2k   0, k tham số 1) Giải phương trình k  2) Tìm k để phương trình có nghiệm 3, phương trình cịn nghiệm nữa, tìm nghiệm 3) CMR phương trình ln có hai nghiệm x1 , x2 với k 4) CMR tổng tích nghiệm có liên hệ khơng phụ thuộc k? 5) Tìm k để phương trình x1 , x2 thỏa mãn 6) Tìm k để tổng bình phương nghiệm có giá trị nhỏ 1   2 x1 x2 x1 x2 Bài 4: Cho phương trình x   m  1 x  m   0, m tham số 1) Giải phương trình x = - 2) CMR phương trình ln có nghiệm x1 , x2 với m 3) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu 4) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương 5) CMR biểu thức A  x1 1  x2   x2 1  x1  không phụ thuộc m 6) Tính giá trị biểu thức x1  x2 Bài 5: Cho phương trình x  3(m  1) x  m   0, m tham số 1) CMR phương trình ln có nghiệm với m 2) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc m 3) Xác định m để phương trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu Bài 6: Cho phương trình x   m   x  2m   0, m tham số 1) CM phương trình ln có nghiệm với m 2) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để B  x1 (1  x2 )  x2 1  x2   3) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m Bài 7: Cho phương trình x   4m  1 x   m    m tham số 1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x2  x1  17 2) Tìm m để biểu thức A   x1  x2  có giá trị nhỏ 3) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào x Bài 8: Cho phương trình x   m  1 x  2m   0, m tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền Bài 9: Cho phương trình x  x  m   , m tham số 1) Giải phương trình m = - 2) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Bài 10: Cho phương trình x   m  1 x  m2   0, m tham số Tìm m phương trình có nghiệm DẠNG 6: Hình học Bài 1: Cho đường trịn (O) điểm M nằm ngồi (O) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O) (A, B tiếp điểm) Qua M kẻ cát tuyến MNP (MN < MP) đến (O) cho tia MP nằm hai tia MA MO Gọi K trung điểm NP 1) Chứng minh điểm M, A, K, O, B thuộc đường tròn 2) Chứng minh tia KM phân giác  AKB 3) Gọi Q giao điểm thứ hai đường thẳng BK với đường tròn (O) Chứng minh AQ // NP 4) Gọi H giao điểm AB MO Chứng minh MA2  MH MO  MN MP 5) Chứng minh điểm N, H, O, P thuộc đường tròn 6) Gọi E giao điểm AB KO Chứng minh AB  HE HF (F giao điểm AB NP) 7) Chứng minh KEMH tứ giác nội tiếp Từ chứng tỏ OK.OE khơng đổi 8) Gọi I giao điểm đoạn thẳng MO với đường tròn (O) Chứng mỉnh ằng I tâm đường tròn nội tiếp MAB 9)   PHA  Chứng minh NHA 10) Chứng minh KE phân giác góc ngồi  AKB Từ suy AE.BF = AF.BE 11) Chứng minh cát tuyến MNP thay đổi trọng tâm G NAP ln chạy đường tròn cố định 12) Nếu MO = 2R Tính diện tích hình quạt giới hạn hai bán kính OA, OB cung nhỏ AB Bài 2: Cho đường trịn (O) bán kính R có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng MA lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn P Chứng minh: 1) Tứ giác OMNP nội tiếp 2) Tứ giác CMPO hình bình hành 3) CM.CN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M 4) Khi M di chuyển đoạn thẳng AB tâm đường tròn nội tiếp CND di chuyển cung tròn cố định Bài 3: Cho ba điểm A, B, C đường thẳng theo thứ tự đường thẳng (d) vng góc với AC A Vẽ đường trịn đường kính BC, lấy điểm M Tia CM cắt đường thẳng d D; tia AM cắt đường tròn điểm thứ hai N; tia DB cắt đường tròn điểm thứ hai P 1) Chứng minh tứ giác ABMD nội tiếp 2) Tứ giác APND hình gì? Tại sao? 3) Chứng minh CM.CD không phụ thuộc vị trí M 4) Chứng minh trọng tâm G MAC chạy đường tròn cố định M di động Bài 4: Cho đường tròn (O; R) với dây BC cố định (BC không qua O) Gọi A điểm cung nhỏ BC Điểm E thuộc cung lớn BC Nối AE cắt BC D Hạ CH  AE H; CH cắt BE M Gọi I trung điểm BC 1) Chứng minh bốn điểm A, I, H, C thuộc đường tròn 2) Chứng minh E chuyển động cung lớn BC tích AD.AE khơng đổi 3) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp BED tiếp xúc với AB 4) Tìm vị trí E để diện tích MAC lớn Bài 5: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) cắt A H (O O’ hai phía AH) Vẽ đường kính AOB AO’C hai đường tròn Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) M, cắt đường tròn (O’) N 1) Chứng minh ba điểm B, H, C thẳng hàng 2) Chứng minh đường thẳng d thay đổi tỉ số 3) Gọi I, K trung điểm MN BC Chứng minh bốn điểm A, H, I, K thuộc đường trịn 4) Xác định vị trí đường thẳng d để diện tích HMN lớn HM khơng đổi HN Bài 6: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) tiếp xúc A (R = 2R’) Điểm B thuộc đường tròn (O; R) cho AB = R Điểm M thuộc cung lớn AB đường tròn (O; R) cho MA  MB Nối MA cắt đường tròn (O’; R’) N Từ N kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường tròn (O’; R’) E, cắt MB F 1) Chứng minh AOM đồng dạng với AO ' N 2) Chứng minh độ dài đoạn NF không đổi M chuyển động cung lớn AB đường tròn (O; R) 3) Chứng minh ABFE hình thang cân 4) Tìm vị trí M để diện tích tứ giác ABFN lớn Bài 7: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định Gọi M trung điểm đoạn OB Dây CD vng góc với AB M Điểm E chuyển động cung lớn CD (E khác A) Nối AE cắt CD K Nối BE cắt CD H 1) Chứng minh bốn điểm B, M, E, K thuộc đường tròn 2) Chứng minh AE.AK khơng đổi 3) Tính theo R diện tích hình quạt trịn giới hạn OB, OC cung nhỏ BC 4) Chứng minh tâm I đường tròn ngoại tiếp BHK thuộc đường thẳng cố định điểm E chuyển động cung lớn CD Bài 8: Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB Điểm M thuộc nửa đường tròn Gọi H điểm cung AM Tia BH cắt AM I Tiếp tuyến nửa đường tròn A cắt BH K Nối AH cắt BM E 1) Chứng minh BAE tam giác cân Chứng minh KH KB  KE 2) Đường trịn tâm B, bán kính BA cắt AM N Chứng minh tứ giác BIEN nội tiếp 3)   90o Tìm vị trí M để MKA Bài 9: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Điểm H thuộc đoạn OB, H khác O B Dây CD vng góc với AB H Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn A Nối CO DO cắt đường thẳng d M N Các đường thẳng CM DN cắt đường tròn (O) E F  E  C , F  D  1) Chứng minh MNFE tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh ME.MC = NF.ND 3) Tìm vị trí H để AEOF hình thoi 4) Lấy K đối xứng với C qua A Gọi G trọng tâm KAB Chứng minh H chuyển động đoạn OB G thuộc đường trịn cố định Bài 10: Cho ABC có hai đường cao BE, CF cắt H Gọi E’ điểm đối xứng với H qua AC, F’ điểm đối xứng với H qua AB Chứng minh 1) Tứ giác BCE’F’ nội tiếp đường tròn (O) 2) Năm điểm A, F’, B, C, E’ thuộc đường trịn 3) AO EF vng góc với 4) Khi A chạy tên (O) bán kính đường trịn ngoại tiếp AEF khơng đổi DẠNG 7: Một số nâng cao Bài 1: Giải phương trình sau Bài 2: Giải hệ phương trình sau Bài 3: Cho đường thẳng y   m  1 x  Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O tới đường thẳng lớn Bài 4: Cho parabol  P  : y  x đường thẳng  d  : y  x  Gọi A B hai giao điểm (d) (P) Tìm tọa độ điểm C thuộc cung AB (P) để diện tích ABC đạt giá trị lớn Bài 5: Cho số a, b, c, d Chứng minh  a  c  b  d  2  a  b2  c2  d Bài 6: Cho a, b, c > Chứng minh bc ca ab    abc a b c Bài 7: Cho c > a, b  c Chứng minh c  a  c   c  b  c   ab Bài 8: Cho a, b  a  b  Tìm giá trị lớn biểu thức P  a 3a  a  2b   b 3b  b  2a  Bài 9: Cho a, b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  Bài 10: Giả sử n số tự nhiên khác không, chứng minh ĐÁP ÁN DẠNG Bài 1: ĐKXĐ: x  0; x  1) Rút gọn A: ab a  3a  b   b  3b  a  1 1     2 ( n  1) n   Vậy tập nghiệm phương trình S   b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Đặt t  x  t   , phương trình trở thành t  2t  m   1 Để phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình 1 có nghiệm dương phân biệt a  1  m    '  m     2   2m3  m  S  m     P  Vậy  m  phương trình cho có nghiệm phân biệt Bài 10 Cho phương trình x   m  1 x  m2   Đặt t  x  t   , phương trình cho trở thành t   m  1 t  m   1 Ứng với nghiệm t dương phương trình 1 phương trình cho có nghiệm phân biệt Do để phương trình cho có nghiệm phương trình 1 phải có nghiệm t  m  Suy m      m  1 Khi m  , phương trình 1 trở thành: t  4t   t t  4  t   x  ( loại có nghiệm )   t   x  2 Khi m  1 , phương trình 1 trở thành: t   x  ( nhận ) Vậy m  1 phương trình cho có nghiệm DẠNG 6: Bài 1:   OAM   OBM   900 Chứng minh OKM  Dùng kết câu 1, tứ giác MAKB nội tiếp ý MA = MB   AKM  BKM E Q A M K N P F I H O B   MKB   ĐPCM Chứng minh được:  AQB  MAB Chứng minh được: OM  AB , dùng hệ thức lượng cho tam giác vuông MAO  MH MO  MA2 Chú ý: Từ kết câu : Tổng quát: Trên tia Mx lấy hai điểm A, B cho MA < MB Trên tia MY lấy hai điểm N, P cho MN < MP Khi ABPN tứ giác nội tiếp Vì AB = 2AH nên: Dùng hệ thức lượng cho tam giác MAO  AH  HM HO Chứng minh được: Chứng minh MEKH tứ giác nội tiếp, dùng kết tổng quát câu ta có: khơng đối Từ   IAB  suy AI phân giác MAB  , ý MI phân giác Vì MO trung trực AB nên IA = IB IAM => ĐPCM Từ câu KF phân giác góc  AKB , ý đường phân giác với nên KE phân giác góc ngồi đỉnh K Dùng tính chất 10 Nhận xét: P, Q thay đổi nên có độ dài ba cạnh thay đổi gây khó khăn cần đưa tam giác chứa yếu tố cố định Từ kết câu Kẻ ta có Do AM khơng đối (P' đối xứng với A qua O) 11 Gọi S trung điểm OM, từ G kẻ GL//KS Vì AS cố định và: Lại có: LG  AL   L cố định AS SK  OM (Không đổi) 3   Bởi G chạy đường tròn  L; OM  cố định   Do OK.OE không đổi nên E thuộc đường OK cố định E cách O cố định đoạn OE  Vậy E điểm cố định mà AB qua 12 Từ MO = 2R tính Diện tích hình quạt cần tính S  Bài  R2 R2 không đổi OK a C/m: tứ giác OMNP nội tiếp C   90 Ta có: MP  AB  OMP   90 Ta có: ON  CP  ONP d   ONP   OMP  Tứ giác OMNP nội tiếp (DHNB) M A O b C/m: Tứ giác CMPO hình bình hành Ta có: B I N CO  AB    CO / / MP (1) MP  AB  P D   ONM  (OCN cân O) Ta có: OCM   ONM  ( chắn cung OM) OPM   DOP  (OD//PM) OPM   DOP   OCM Mà chúng hai góc đồng vị  CM / /OP (2) Từ (1), (2) suy tứ giác CMPO hình bình hành c C/m : CM CN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M +) Xét COM CND có:  : chung  OCM   COM   CND  (=90)  COM   CND ( g.g ) CO CM   CM CN  OC.CD  3R CN CD  CM CN không đổi  CM CN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M d Khi M di chuyển đoạn thẳng AB tâm đường tròn nội tiếp tam giác CND di chuyển cung tròn cố định nào? +) Goi I tâm đường tròn nội tiếp CND   DCI   DCN   CI tia phân giác OCN   CDI   CDN  DI tia phân giác CDN   90 )   CDI   ( DCN   CDN  )  45 (vì CND  DCI   135  CID  I nằm cung trịn chứa góc 135 dựng CD Bài a C/m: tứ giác ABMD nội tiếp   90 Ta có: DA  AB  DAB Ta có: M  (O; BC   90  BMD   90 )  BMC   DMB   DAB  Tứ giác ABMD nội tiếp (DHNB) N D M G K A B I O J C b Tứ giác APND hình gì? Tại sao?   DBA  ( chắn cung DA) Ta có: DMA d P   DBA  ( góc đồi đỉnh) DMA   PBC  ( góc đồi đỉnh) DBA   PBC   NC   CP   NMC  NC = CP  C  đường trung trực NP Ta có: ON = OP = R  O  đường trung trực NP  CO đường trung trực NP  CO  NP hay  AC  NP Mà AC  AD  OA  NP  Tứ giác APND hình thang c C/m : CM CD khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M +) Xét CMB CAD có:   ACD : chung   CMB   CAD  (=90)  CMB   CAD ( g.g ) CM CB   CM CD  CA.CB CA CD Mà A, B, C cố định  CA CB không đổi  CM CD không đổi  CM CD khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M d C/m: Trọng tâm G tam giác MAC chạy đường tròn cố định M di động Gọi I trung điểm AC  Điểm I cố định Kẻ GJ // MB  Kẻ GK // MC  IG  IM IG IJ   ( định lý Talet)  Điểm J cố định IM IB IG IK   ( định lý Talet)  Điểm K cố định IM IC IJ IK IJ  IK JK     IB IC IB  IC BC  JK  BC  GJ / / MB     90 Ta có: GK / / MC   GJ  GK  JGK MB  MC  Vậy M di động trọng tâm G tam giác MAC chạy đường tròn đường kính JK cố định Bài 4: E O I B D H a A M  A điểm BC I trung điểm BC  OA  BC I  AIC  900 Suy tứ giác AIHC nội tiếp  A, I, H, C thuộc đường trịn b Xét có chung (góc nội tiếp chắn hai cung nhau) c Có (cùng chắn  AB ) C (góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Suy AB tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp d Có (góc nội tiếp chắn hai cung nhau)  , mà  EA phân giác CEM  cân E  EA trung trực MC  AM =AC => (cạnh huyền – cạnh góc vuông) Dấu "=" xảy HA = HC  vuông cân H  hay    900 => E nằm (O) cho số đo CE Bài M I A N O' O K B H C CHỨNG MINH 1) Ta có  AHB   AHC  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)   BHA  HBC AHC  900  900  1800 Vậy B, H , C thẳng hàng 2) Nếu MN  AH HM , HN đường kính nên hiển nhiên ta có đpcm  )  nhọn, ta có MBH   HAN  (cùng bù với HAM Ngược lại, không tính tổng quát, giả sử HAN  , MBH  góc nhọn chắn cung HM  nên MBH  góc tâm chắn HM   MOH  MOH   HO  Chứng minh tương tự ta HAN 'N Suy hai tam giác cân MOH HO ' N đồng dạng (c-g-c)  MH MO R    const HN NO ' R '   CNA   900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Ta có BMA 3)  tg MNCB hình thang vng   KNC   1800 (hai góc phía) KI đường trung bình hình thang MNCB  KI / / NC  KIA Mặt khác  AHK   ANC (cùng bù với  AHC ) Suy  AIK   AHK  1800 , mà hai góc vị trí đối nên tứ giác AIKH nội tiếp Vậy điểm A, H , K , I thuộc đường tròn Xét HMN ABC 4)  NMH ABC (cùng chắn cung  AH  O  )  MNH ACB (cùng chắn cung  AH  O ' ) Suy HMN ∽ ABC (g-g) S HMN HM HM   S HMN  S ABC S ABC AB AB Mà A, B , C cố định nên SHMN max  HM max  HM đường kính  O    900 , đường thẳng d / / BC đường thẳng cần tìm Khi MAH Bài CHỨNG MINH 1)  O  Ta có OAM ' AN (đối đỉnh) F OAM cân O  OA  OM  R    OMA   OAM B   Chứng minh tương tự O ' AN  O ' NA N Xét AOM AO ' N có   OAM  O   OMA ' AN  O ' NA (1)  AOM ∽ AO ' N  g  g  2) O Do AB / / FN nên theo định lí Talets ta có: BA MA (2)  FN MN  O  Từ (1) ta có OMA ' NA mà hai góc vị trí so le nên OM / / O ' N M A O' E Lại theo hệ định lí Talets ta có : MA OA R 2R '     (3) MN OO ' R  R ' R ' R ' Từ (2)(3) suy BA 3   FN  BA  R = FN 2 const AB / / EF (gt)  tg ABFE hình thang (4) 3)   MBA  (đồng vị) (5) BFE  1 MBA AOM (tính chất góc nội tiếp) (6)  AO ' N (tính chất góc nội tiếp) (7) AEF   AEN    AOM   AO ' N (do AOM ∽ AO ' N ) (8)  Từ (5)(6)(7)(8) suy BFE AEF (9) Từ (4) (9) suy tứ giác ABFE hình thang cân 4) S ABFN Kẻ đường cao AH hình thang, ta có F   R  R  AH   AB  FN  AH      R AH (10) 2 B Kẻ MK  AB  K  MAK ANH (đồng vị) H MK MA R Suy AKM ∽ NHA (g-g)     (11) AH NA R ' Từ (10)(11) suy S ABFN  R.MK O AB nên CI  AB , C  O  C trung điểm cung lớn  cố định Ta có MK  MI  MO  OI  CO  OI  CI Suy Max MK  CI , dấu ''  "  M  C Bài CHỨNG MINH O' A K C Vậy S ABFN max  MK max Gọi I trung điểm AB C điểm thỏa mãn N I M E 1) Ta có : K  AEB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AB )   900 (1)  KEB E C   900 (2) CD  AB  M  KMB H Từ (1)(2) suy hai đỉnh E M nhìn cạnh KB A góc nên tứ giác EKBM nội tiếp 2) O Xét AKM ABE :    A chung;     AKM ∽ ABE  g  g    AMK  AEB  90      3) M D AK AM   AK AE  AM AB  R.2 R  3R AB AE Theo giả thiết ta có CD trung trực OB nên CO  CB   600  OCB CO  CB  OB  R  COB  nhỏ : S   R 60   R dvdt  Vậy diện tích quạt hạn OB, OC , BC 360 4) Gọi F điểm đối xứng A qua CD  F cố định A, CD cố định  KAF cân K KM trung trực AF (theo cách dựng F )   KFM  (3)  KAM Tứ giác AEHM nội tiếp hai góc đối diện E M vuông   MHB  (4)  KAM   KHB   1800 (5) MHB   KHB   1800 Từ 345  KFM  KHBF nội tiếp  F thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BHK  Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác BHK thuộc đường trung trực BF cố định B F Bài CHỨNG MINH 1) Ta có  AHB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) E  HB  AE N K Mặt khác ta lại có H điểm cung AM nên H M   ABH  HBM I Xét tam giác ABE có BH vừa đường cao vừa đường phân A giác nên BAE cân B 2) B O Do N   B, BA  BA  BN  ABN cân B   MAB  (1)  INB AM , AH hai đường cao tam giác FAB cắt I nên I trực tâm tam giác FAB  )   MAB  (2)(cùng phụ với MBA  KI  AB  IEB   IEB  mà hai góc nhìn cạnh IB nên tứ Từ (1)(2) suy INB giác NEIB nội tiếp 3) Khi   90  MK / / AB  MKB   KBA  so le  mà MAK M K H   MKB   MKB cân M   KBA  cmt  nên MBK MBK I  MK  MB (3) A Kẻ MJ  AB  J  KMJA hình chữ nhật  KM  JA 4 Từ (3)(4) suy MB  JA Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông MAB đường cao MJ : MB  JB AB   AB  JA AB  R  R.MB  MB  R.MB  R    MB  R   5R  MB    Vậy điểm M cần tìm giao O; R B;    1 R  1 R O J B BÀI a C/m: tứ giác MNEF nội tiếp N Ta có: CD  AB    CD / / MN MN  AB    CDN  (2 goc slt )  MND K b C/m: ME.MC = NF.ND +) Xét MAE MCA có:   AME : chung   MAE  MCA( g g )   MCA  (cung chan  MAE AE )  MA ME  MC MA  MA2  MC ME (1) +) Xét NAF NDA có:   ANF : chung   NAF  NDA( g.g )   (cung chan  NAF  NDA AF )   NA NF  ND NA  NA2  ND.NF (2)   MND  CDN +) Ta có: MN // CD (cmt)     NMC   MCD   MCD  ( OCD cân O) Mà CDN   CMN   MND  OMN cân O Mà OA  NM Suy ra: A trung điểm MN P O H G E  Tứ giác MNEF nội tiếp (DHNB)  I A   CFE  ( chắn CE ) Mà: CDN   CFE   MND C F M D B  AM  AN (3) +) Từ (1), (2), (3) suy ra: ME.MC = NF.ND c Tìm vị trí điểm H để tứ giác AEOF hình thoi +) Ta có:   MNF  FEC      FEC  NME   MNF  NME   EF//MN Mà OA  NM  OA  EF I  IE  IF Tứ giác AEOF có OA  EF I IE  IF (cmt) Để tứ giác AEOF hình thoi I trung điểm OA +) c/m: OIE  OHC (ch-gn)  OI=OH  Khi I trung điểm OA H trung điểm OB Vậy để tứ giác AEOF hình thoi H trung điểm OB d C/m: Khi H chuyển động đoạn OB G thuộc đường cố định +) Từ G kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB P Xét OKA có GP // AK ( theo cách vẽ) OG OP   OK OA  OP   OG  OA Ma  OK   Suy điểm P cố định +) Ta có: GP / / AK     GP  GA  AGP  90 GA  GK   G thuộc đường trịn đường kính AP H chuyển động đoạn OB Bài 10 a C/m: tứ giác BF’E’C nội tiếp A +) Ta có: F’ đối xứng với H qua AB  AB đường trung trực F’H  BF’ = BH  BHF ' cân B E' O  ' (1)  BF ' H  BHF E +) Ta có: E’ đối xứng với H qua AC  AC đường trung trực E’H F'  CE’ = CH  CHE ' cân C  ' (2)  CE ' H  CHE '  CHE ' (2 góc đối đỉnh) (3) +) Ta có : BHF   Từ (1), (2), (3) suy BF ' H  CE 'H Mà E’, F’ đỉnh liền kề tứ giác BCE’F’  Tứ giác BCE’F’ nội tiếp (dhnb) b C/m: A, F’, B, C, E’ thuộc đường trịn Ta có:  AFH   AEF  90  Tứ giác AEHF nội tiếp (dhnb)   FHE   180   FAE      FAE  BHF ' '  FHE   180 Ma BHF    BHF ' Lại có: BFH   BF   FAE 'H Mà A, F’ đỉnh liền kề tứ giác ABCF’  Tứ giác ABCF’ nội tiếp (dhnb)  A, C, B, F’ thuộc đường tròn ngoại tiếp BCF ' (4) +) Ta có: Tứ giác BCE’F’ nội tiếp  B, C, E’, F’ thuộc đường tròn ngoại tiếp BCF ' (5) Từ (4), (5) suy A, F’, B, C, E’ thuộc đường trịn c C/m: OA  EF +) Ta có: F’ đối xứng với H qua AB  AB đường trung trực F’H  AF’ = AH (6) +) Ta có: E’ đối xứng với H qua AC F H I C B D  AC đường trung trực E’H  AE’ = AH (7) Từ (6), (7) suy AE’ = AF’  A  đường trung trực E’F’ (8) +) Ta có: OE’ = OF’ = R  O  đường trung trực E’F’ (9) Từ (8), (9) suy OA đường trung trực E’F’  OA  E ' F '   EFC  +) C/M: Tứ giác BCEF nội tiếp  EBC   CF  Mà EBC ' E ' ( góc nội tiếp chắn cung CE’)    CF ' E '  EFC  EF / / E ' F ' Ma OA  E ' F '  OA  EF d C/m: Khi A chạy (O) bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF khơng đổi  DC  AC   AD   Xét  O;  có: ACD  90 Ma BH  AC   DC / / BH (10)    F   CDH ' HB      CDH  BF ' H   Ma F ' HB  BF ' H   F    F ' B  CD (11) F ' D  CB ' B  CD Từ (10), (11) suy tứ giác BHCD hình bình hành Gọi I trung điểm BC  I trung điểm HD +) Ta có: O trung điểm AD  OI  AH (t/c đường trung bình AHD )  AH = 2OI Do BC cố định  OI không đổi  AH khơng đổi +) Ta có: tứ giác AEHF nội tiếp đường trịn đường kính OH (cmt)  Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF khơng đổi Vậy A chạy (O) bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF không đổi ... 4)(2)  x  x  17( 3)  Từ (3) => x2 = 17 + x1 (3’) vào (1) ta X1 + 17 + x1 = -(4m + 1)  2x1 = - 4m – – 17 2x1 = - 4m – 18 X1 = -2m – thay vào (3’) ta X2 = 17 + (-2m – 9) X2 = 17 – 2m – = – 2m... mãn y   18 TH2: m – ≠ m ≠ x ∈ Z mà m – ∈ Z => (m – 4)x ∈ Z m  16 18  Z  1 Z m 2 m 2 m2 + ∈ Ư (18) Mà m2 + ≥ ∀m => m2 + ∈ {2; 3; 6; 9; 18} Ta có bảng: m2 + 2 18 m2 16 m -1... 8 4 2    -2x1x2 + x1 + x2 + + 16  x1 + x2 + 2x1x2 + 17 = Vây hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc m là: x1 + x2 + 2x1.x2 + 17 = Bài x   m  1 x  2m    '     m  1   