PHƯƠNG TRÌNH vô tỷ

Nhóm file Word tốn THCS CHỦ ĐỀ – PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Nhóm file Word tốn THCS I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG DẠNG 1: GHÉP THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH ( x + 9) ( x + 6) x + + 2012 x + = 2012 + Ví dụ Giải phương trình: Điều kiện: Lời giải x ≥ −6 ⇔ 2012 x + − 2012 + x + − Phương trình ⇔ 2012 x + − − x + ( ⇔ ( ) )( x + −1 ( ( x + 9) ( x + 6) =0 ) x + −1 = ) x + − 2012 = ⇔ x = −5, x = 4048135 ( thỏa mãn điều kiện) S = { −5; 4048135} Vậy tập nghiệm phương trình cho là: Ví dụ Giải phương trình: 2x + + 4x − 2x + = + 8x + Lời giải x≥− Điều kiện: ( 2x + 1) ( 4x − 2x + 1) ⇔ 2x + − + 4x − 2x + − Phương trình ⇔ ( 2x + − − 4x − 2x + ) ⇔ ( 2x + − )( ( =0 ) 2x + − = ) 4x − 2x + − = x =  2x + =  2x + = ⇔ ⇔ ⇔  4x − 2x + =  4x − 2x + =  x = 0, x =  (Thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm phương trình cho là: ( x + 4+x Ví dụ Giải phương trình: ) 1  S = 0; 4;  2  − x = − 2x − x 2 Lời giải x ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ Điều kiện: Khi phương trình cho trở thành Nhóm file Word tốn THCS x3 − + ( + x ) − x + x − x = ⇔ ( x − 2) ( x2 + 2x + 4) + ( x2 + x + 4) − x2 = ) 4− x ) = ( + 3 ( x − +  ⇔ ( x2 + 2x + 4) x − + − x2 = ⇔ ( x + 1)  2 ⇔ − x2 = − x 2− x ≥  ⇔ 2 4 − x = − x + x x = ⇔ x = S = { 0; 2} So với điều kiện, ta có tập nghiệm phương trình cho x + − x + 7x − x − x − = Ví dụ Giải phương trình 0≤ x≤7 Điều kiện: Khi đó, ta có Lời giải x + − x + x − x2 − x − = ⇔ − x − x + x (7 − x ) − (7 − x) = ⇔2 ⇔ ( ( ) 7− x − x − 7−x )( ( ) 7−x − x = ) 7− x − x 2− 7− x =  7−x − x =0 ⇔  − − x = 7 − x = x ⇔ 7 − x = x=3 ⇔ x =  So với điều kiện, ta có tập nghiệm phương trình  7 S = 3;   2 DẠNG 2: NHÂN LIÊN HỢP ĐƯA VỀ TÍCH a −b a− b= a+ b • biểu thức xác định Nhóm file Word tốn THCS a −b = • a − b2 a +b biểu thức xác định Ví dụ Giải phương trình x + + x + x + = x + 3x + Lời giải Điều kiện: Khi x≥− x + + x + x + = x + 3x + ⇔ x − x + + x + x + − 3x + = ⇔ ( x − 1) (x + + x + ) − ( x + 1) x + x + + 3x + ⇔ ( x − 1) + ( x − 1) =0 x + x + + 3x + =0  2 ⇔ ( x − 1)  + ÷= x + x + + x +   ⇔ x =1 So với điều kiện, ta có tập nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình S = { 1} x + 2018 x + = x + + 2018 x + x + Lời giải Ta có 1  x + x + =  x + ÷ + > 0, ∀x 2  Khi x + 2018 x + = x + + 2018 x + x + ⇔ ( x − x − 1) + 2018 2 ( 2x ⇔ ( x − x − 1) + 2018 2 + 1) − ( x + x + ) x2 + + x2 + x + 1± Vậy tập nghiệm phương trình 1 ±  S =    ) 2x2 +1 − x2 + x + = = ⇔ ( x − x − 1) + 2018   2018 ⇔ ( x − x − 1)  + ÷= ⇔ x − x −1 = 2 2x + + x + x +   ⇔x= ( x2 − x −1 x2 + + x2 + x + =0 Nhóm file Word tốn THCS Ví dụ Giải phương trình x2 + 5x + + = x2 − x + + x Lời giải 1  x − x + =  x − ÷ + > 0, ∀x 2  Ta có Khi nên điều kiện x + x + ≥ x2 + 5x + + = x2 − x + + x ⇔ x2 + 5x + − x2 − x + − x + = ( 4x ⇔ ⇔ + x + 1) − ( x − x + ) x2 + 5x + + x2 − 4x + 9x − x2 + 5x + + x2 − 4x + − ( x − 3) = − ( x − 3) =   ⇔ ( x − 3)  − 1÷ = 2  x + 5x +1 + x − 4x +  9x − = ⇔ x = Trường hợp Trường hợp (thỏa) 4x + 5x + + x2 − x + ⇔ −1 = x2 + 5x +1 + x2 − x + =1 ⇔ x2 + 5x + + 4x2 − 4x + = 4x2 − x + = Vì ( x − 1) +3 ≥ nên trường hợp vô nghiệm 1  S =  3 Vậy phương trình có tập nghiệm x + + 3x + = x + + x + Ví dụ Giải phương trình Lời giải x≥− Điều kiện: Với điều kiện phương trình trở thành Nhóm file Word tốn THCS x + + 3x + = x + + x + ⇔ ⇔ ( ) ( 5x + − x + + ) 3x + − x + = ( x + ) − ( x + 5) + ( 3x + ) − ( x + 3) =0 5x + + 4x + 3x + + x + x −1 x −1 ⇔ + =0 5x + + 4x + 3x + + x + 1   ⇔ ( x − 1)  + ÷= 3x + + x +   5x + + x + ⇔ x =1 So với điều kiện ta có tập nghiệm phương trình S = { 1} 3x − x + − x − = 3x − x − − x2 − 3x + Ví dụ Giải phương trình 2 Lời giải 3 x − x + ≥  2  x −2≥0   x − 3x + =  x − ÷ + > 0, ∀x  3x2 − x − ≥ 2   Ta có nên điều kiện Với điều kiện trên, phương trình trở thành 3x − x + − x − = 3x − x − − x − 3x + ⇔ ( ( 3x ⇔ ⇔ ) ( 3x − x + − 3x − x − + − x + 3) − ( 3x − x − 1) 3x − x + + 3x − x − − 2x 3x − x + + 3x − x − ) x − 3x + − x − = (x + − 3x + ) − ( x − ) x − 3x + + x − − 3x + x − 3x + + x − =0 =0   ⇔ ( − x)  + ÷= 2 2 x − 3x + + x −   3x − x + + x − x − ⇔ 2− x = ⇔x=2 So với điều kiện ta tập nghiệm phương trình − x2 − x = Ví dụ Giải phương trình −1 ≤ x ≤ Điều kiện: Khi đó, phương trình trở thành ( ) S = { 2} + x −1 Lời giải Nhóm file Word tốn THCS − x2 − x = ( ) + x −1 ⇔ − x2 − 1+ x − x + = ( ) ⇔ 1+ x 1− x −1 − 4x + = Û 1+ x Û 1+ x 4(1- x) - 12 1- x +1 - 4x + 3= 3- 4x - 4x + 3= 1- x +1 æ 1+ x ữ ỗ ỗ (3- 4x).ỗ +1ữ = x= ữ ữ ỗ ữ ố2 1- x + ø ( thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho ïì S = ïí ïỵï 3ùỹ ùý 4ùỵ ù DNG 3: D ON NGHIM TỪ ĐĨ TÁCH THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH • Nếu nhẩm nghiệm x = α phương trình ta tách phương trình dạng tích (x – α).f(x) = • Nếu nhẩm nghiệm x = –α phương trình ta tách phương trình dạng tích (x +α).f(x) = • Trong trường hợp f(x) = mà phức tạp ta thường chứng minh f(x) = vơ nghiệm chứng minh f(x) = có nghiệm Bước 1: Nhẩm số nguyên thỏa mãn điều kiện xem số thỏa mãn phương trình, ta thường nhẩm số mà thay vào khai Bước 2: Lập bảng để chọn số cần chèn vào phần a - b= Bước 3: Kết hợp cơng thức Ví dụ 1: Giải phương trình 3x+1- a-b2 a+b để đưa tích 6- x + 3x2 - 14x - 8= Phân tích tốn: Phương trình ta nhẩm nghiệm x = nên ta tách nhân tử x – 3x+1 x=5 Từ bảng này, ta suy 6- x 3x+1 với số 4, 6- x với số Nhóm file Word tốn THCS Trình bày lời giải: Điều kiện : £ x£ Û ( ) ( 3x+1- - Phương trình Û ( 3x+1) - 42 + ( 6- x) - 12 ) 6- x - + 3x2 - 14x - 5= + 3x2 - 15x+x - 5= 3x+1+1 6- x + 3x-15 5- x Û + + 3x( x - 5) + ( x - 5) = 3x+1 +1 6- x + ỉ ÷ ÷ Û ( x - 5) ỗ + + 3x+ =0 ç ÷ ç ÷ è 3x+1+1 ø 6- x + Trường hợp 1: Xét x – = Û Trường hợp 2: Xét 3x+1 +1 3x+1+1 + 6- x + x = ( thỏa mãn điều kiện) + 6- x + + 3x+1 - >0∀ + 3x+1 =0 loại £ x£ S= { 5} Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ 2: Giải phương trình x - 1+ 6- x = 3x2 - 4x - Phân tích tốn: Phương trình ta nhẩm nghiệm x = nên ta tách nhân tử x – x- x=2 Từ bảng này, ta suy Trình bày lời giải: Điều kiện : 6- x x- với số 1, 6- x với số 1£ x £ Û Phương trình Û ( ) ( x - 1- + ( x - 1) - 12 x - +1 + ) 6- x - = 3x2 - 4x - ( 6- x) - 22 6- x + = 3x2 - 6x+2x - Nhóm file Word toán THCS x- Û x - +1 2- x + 6- x + æ Û ( x - 2) ỗ ỗ ỗ ố x - +1 Trường hợp 1: Xét x – = Û x - +1 Û x - 1+1 Û x - 1+1 6- x + = = Do x - 1+1³ x - +1 nên ÷ - 3x - 2÷ =0 ÷ ÷ ø 6- x + x = ( thỏa mãn điều kiện) Trường hợp 2: Xét = 3x( x - 2) +2( x - 2) - 3x - = 6- x + 6- x + - 3x - (*) + 3x+2 £1 1£ x £ 3x + 2³ 3.1+ = Với Do phương trình (*) vơ nghiệm nên 6- x + + 3x + 2> S= { 2} Vậy tập nghiệm phương trình cho ( ) 3x - + x + = 4x2 - 24x + 35 Ví dụ 3: Giải phương trình Phân tích tốn: Phương trình ta nhẩm nghiệm x = nên ta tách nhân tử x – x+3 3x - x=1 Từ bảng này, ta suy Trình bày lời giải: x³ Điều kiện : Phương trình x- 1 6- x với số 1, với số 2 ( ) ( é 5.ê 3x - - + ë ) ù x + - ú= 4x2 - 24x + 20 û Nhóm file Word tốn THCS é( 3x - 2) - 12 ( x + 3) - 22 ù ú= 4x2 - 24x + 20 Û 5.ê + ê ú 3x + x + + ê ỳ ỷ ổ (ỗ 3x - 2) - 12 ( x + 3) - 22 ửữ ỗ ữ 5.ỗ + = 4x2 - 4x - 20x + 20 ữ ữ ỗ ữ x+3+ 2ứ ố 3x - +1 ỉ 3x - x- ÷ ÷ 5.ỗ + ỗ ữ= 4x( x - 1) - 20( x - 1) ỗ ỗ ố 3x - +1 ø x + + 2÷ ỉ 15 ữ ữ ( x - 1) ỗ + 4x+ 20 =0 ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố 3x - +1 ø x+3+2 Û Trường hợp 1: Xét x – = x = ( thỏa mãn điều kiện) 15 3x - +1 Trường hợp 2: Xét 15 Û 3x - +1 3x - +1 15 3x - +1 + x+3+2 + 15 Û + x+3+2 + - 4x+20=0 - 4x+20=0 x +3+ x+3+ = 4x - 20 15 > 3.6- +1 + Nếu x < Mà 4.x – 20 < 4.6 – 20 = nên phương trình (*) vơ nghiệm 15 3x - +1 + x+3+2 < 15 3.6- +1 Nếu x >6 Mà 4.x – 20 > 4.6 – 20 = nên phương trình (*) vô nghiệm Nếu x = thỏa mãn (*) thỏa mãn điều kiện + (*) 6+ + 6+ + =4 (*) =4 (*) S= {1;6} Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ 4: Giải phương trình x3 - x + - = Phân tích tốn: Phương trình ta nhẩm nghiệm x = nên ta tách nhân tử x – x+2 x=2 10 Nhóm file Word tốn THCS 1 1 ⇔ x− −2+ x− =0 ⇔ x− + x− −2 =0 x x x x t = x− Đặt ⇔t=2 ≥0 x (loại), , ta t + t − = ⇔ ( t − 1) ( t − ) = ⇒ x− t =1 =1 x (thỏa mãn) 1± ⇔ x2 − x − = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) 1 ±  S =    Vậy tập nghiệm phương trình cho x2 − 3x + + x + x2 + = Ví dụ 5: Giải phương trình Lời giải x ≤ ∗ Nếu phương trình cho vơ nghiệm x>0 x ∗ Xét , chia hai vế cho ta  1 x + −3+ x + +1 = ⇔ x + − +  x + ÷ −1 = x  x x x t = x+ Đặt 1 ≥ x = x x t −3+ ta t −1 = ⇔ t2 −1 = ( − t ) 3 − t ≥ t ≤ ⇔ ⇔ ⇔ t = ⇒ x =1 t − = − t + t t − 18 t + 28 = ( )   Vậy tập nghiệm phương trình cho S = { 1} (thỏa mãn) DẠNG BIẾN ĐỔI VỀ HAI BIỂU THỨC VÀ ĐẶT HAI ẨN PHU RỒI ĐƯA VỀ TÍCH Ví dụ Giải phương trình x3 + = ( x − x + ) Lời giải x ≥ −8 ⇔ x ≥ −2 Điều kiện: 16 Nhóm file Word tốn THCS ⇔5 Phương trình ⇔5 Đặt ( x + 2) ( x2 − 2x + 4) ( x + 2) ( x2 − 2x + 4) = ( x2 − x + 6) = ( x − x + ) + ( x + )  a = x − x + > 0, b = x + ≥ , ta 2a − 5ab + 2b = ⇔ ( a − 2b ) ( 2a − b ) = 2  x2 − x − =  a = 2b  x − x + = x + ⇔ ⇒ ⇔  2  2a = b  ( x − x + ) = x +  x − x + 14 = ⇔ x = ± 13 (thỏa mãn) { } S = ± 13 Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình Điều kiện: x + x + = x3 + 3x + x + Lời giải x ≥ −3 (x ⇔ x2 + x + = Phương trình ⇔ ( x + 1) + ( x + 3) = Đặt (x 2 + 1) ( x + 3) + 1) ( x + 3) a = x + > 0, b = x + ≥ , ta a + 2b = 3ab ⇔ a − 3ab + 2b = ⇔ ( a − b ) ( a − 2b ) = 2 2  x2 + = x +  x2 − x − = a = b ⇔  a = 2b ⇒     x − x − 11 =  x +1 = x + ⇔ x = −1, x = 2, x = ± 15 (thỏa mãn) { S = −1; 2;2 ± 15 Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình + x − = x + 2x − x x x Lời giải 17 } Nhóm file Word tốn THCS x ≠ 0, x − Điều kiện: ⇔ x− Phương trình a = 2x − Đặt ≥ 0, x − ≥ x x 5  1  + x − − x − = ⇔  x − ÷ −  x − ÷+ x − − x − = x  x x x x x x  ≥ 0, b = x − ≥ x x ta ⇔ ( a − b ) ( a + b + 1) = ⇔ a = b ⇒ x − ⇔ x = ⇔ x = −2 (loại), x=2 Ví dụ Giải phương trình = x− x x (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho ( 4x a2 − b2 + a − b = S = { 2} + 1) x = ( − x ) − x Lời giải x≤ Điều kiện: Phương trình ⇔ ( x + 1) ( x ) = ( − x ) − x ⇔ ( x + 1) ( x ) = ( − x ) + 1 − x Đặt a = x, b = − x ≥ , ta (a + 1) a = ( b + 1) b ⇔ a + a = b3 + b  b  3b  ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b + 1) = ⇔ ( a − b )  a + ÷ + + 1 = 2   2 2 x ≥ ⇔ a = b ⇒ 2x = − 2x ⇔  4 x = − x ⇔x= −1 + 21 (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình  −1 + 21  S =    x + x + x + + ( x − 10 ) − x = 18 Nhóm file Word toán THCS Lời giải 4− x ≥0 ⇔ x ≤ Điều kiện: Phương trình ⇔ x3 + 3x + 3x + + x + = ( 10 − x ) − x ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = 6 + ( − x )  − x ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = ( 4−x a = x + 1, b = − x , b ≥ Đặt ) +6 4− x ta ⇔ a + 6a = b + 6b ⇔ ( a − b3 ) + ( a − 6b ) = 3 ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b2 + ) =   b  3b ⇔ ( a − b )  a + ÷ + + 6 = ⇔ a = b 2   x +1 ≥  x ≥ −1 ⇒ − x = x +1 ⇔  ⇔ 2 4 − x = x + x +  x + 3x − = ⇔x= −3 + 21 (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho  −3 + 21  S =    64 x3 + x 5x + x + = 5x + 6x + Ví dụ Giải phương trình Lời giải x + x + > ∀x Vì nên phương trình xác định ∀x 64 x + x ⇔ 5x + x + = ( 5x2 + x + 5) + Phương trình ⇔ Đặt ( ) 5x2 + x + + 5x2 + x + = ( x ) + x a = x + x + > 0, b = x ta a + a = b + b ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b + 1) = 3 19 Nhóm file Word tốn THCS  b  3b  ⇔ ( a − b )  a + ÷ + + 1 = ⇔ a = b ⇒ x + x + = x 2   x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ x =1  2 5 x + x + = 16 x 11x − x − = Vậy tập nghiệm phương trình cho S = { 1} DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHU KẾT HỢP VỚI ẨN BAN ĐẦU ĐƯA VỀ TÍCH Ví dụ Giải phương trình x + x + = 3x x + Lời giải x≥− Điều kiện: Phương trình Đặt ⇔ 18 x + ( x + 3) = x x + y = 6x + ≥ ta 18 x + y = xy ⇔ 18 x − xy + y = ⇔ ( x − y ) ( x − y ) = 2 9 x − x − = 0, x ≥  y = 3x  x + = x ⇔ ⇒ ⇔  y = x  x + = x 36 x − x − = 0, x ≥ ⇔ x = 1, x = + 13 12 (thỏa mãn)  + 13  S = 1;  12   Vậy tập nghiệm phương trình cho x + = x − x + 14 Ví dụ 2: Giải phương trình Điều kiện x ≥1 Lời giải 20 Nhóm file Word tốn THCS x − x + 14 − x + = ⇔ x2 − 6x + + x + − x + = ⇔ ( x − 3) + Phương trình tương đương với Giải phương trình x +1 − ) =0  x − = ⇔ ⇔ x=3  x + = Vậy nghiệm phương trình Ví dụ 3: ( x=3 x + x + + − x = 11 Lời giải Điều kiện −3 ≤ x ≤ ⇔ 11 − x − x + − − x = Phương trình ⇔ x + − x + + + − 2x − − 2x +1 = ⇔ ( ) ( x+3 −2 + ) − 2x −1 =  x + = ⇔ ⇔ x =1  − x = Vậy nghiệm phương trình cho Ví dụ 4: Giải phương trình Điều kiện x =1 x − x − − x +1 = Lời giải x≥8 ⇔ 2x − x − − x + = Phương trình ⇔ x − − x − + + 1x − x + = ⇔ ( ) ( x − −1 + ) x −3 =  x − = ⇔ ⇔ x=9  x = Vây nghiệm phương trình x2 + x − = Ví dụ 5: Giải phương trình x=9 (x − 8) ( x − ) + x2 − + x − Lời giải 21 Nhóm file Word toán THCS Điều kiện x≥ ⇔ x + x − 18 = Phương trình ⇔ ( x2 − − x − ) ( (x − 8) ( x − ) + x − + x − ) ( + x2 − − + ) x − −1 =  x2 − = x −   ⇔  x2 − = ⇔ x=3   x − = Ví dụ 6: x=3 Vậy nghiệm phương trình − 2x + + x = − x2 Giải phương trình Lời giải Điều kiện 1 − ≤ x ≤ ⇒ − x2 > 2 Phương trình ⇔ + − x2 = x4 − x2 + x4 − x2 − − x2 + = ⇔ x4 + ( − 4x ) − − 4x2 + = ⇔ x4 + ( ) − 4x2 − =  x = ⇔ ⇔ x=0 − x =  Vậy nghiệm phương trình DẠNG 2: ĐÁNH GIÁ VẾ NÀY Ví dụ 1: Giải phương trình ≥ x=0 ≤ MỢT SỚ, VẾ KIA SỚ ĐĨ BẰNG BĐT CỚI, BUNHIA x − + − x = x − x + 11 Lời giải 2≤ x≤4 Điều kiện 2 x − x + 11 = ( x − 3) + ≥ Có 22 Nhóm file Word tốn THCS x−2 + 4− x ≤ Ta đánh giá Cách 1: (Sử dụng BĐT Côsi) ( x−2 + 4− x ) ( x − 2) ( − x) = 2+2 ≤ 2+2 x − + ( − x) ⇒ x−2 + 4− x ≤ Xét Cách (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) Xét ( x − + − x ) ≤ ( +1 ) ( 2 2 x−2 + 4− x ) =4⇒ =4 x−2 + 4− x ≤ x − + − x ≤ x − x + 11 ≥ , nên phương trình xảy dấu bằng Như x − = ⇔ x=3  x − = − x Vậy nghiệm phương trình Ví dụ 2: Giải phương trình x=3 x − + − x = x − x + x − 12 x + 14 Lời giải 1≤ x ≤ Điều kiện x − x + x − 12 x + 14 = ( x − x + x ) + ( x − 12 x + 12 ) + Ta có = ( x2 − 2x ) + 3( x − 2) + ≥ 2 x −1 + − x ≤ Ta đánh giá Cách 1: (Sử dụng BĐT Côsi) ( x −1 + − x ) ( x − 1) ( − x ) = 2+ ≤ 2+2 x −1 + ( − x ) ⇒ x −1 + − x ≤ Xét Cách (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) Xét ( x − + − x ) ≤ ( +1 ) ( 2 2 x −1 + − x ) = 4⇒ =4 x −1 + − x ≤ x − + − x ≤ x − x3 + x − 12 x + 14 ≥ Như , nên phương trình xảy dấu bằng x − 2x =  x − = ⇔ x = x −1 = − x  x=2 Vậy nghiệm phương trình 23 Nhóm file Word toán THCS Ví dụ 3: x − + − x = x − x − x + 12 x + 11 Giải phương trình Lời giải ≤x≤ 2 Điều kiện x − x3 − x + 12 x + 11 = ( x − x3 + x ) − x + 12 x + 11 Ta có = ( x − x ) − ( x − x ) + 11 2 = ( x2 − x ) − ( x2 − 2x ) + + 2 = ( x − x − 3) + ≥ 2 2x − + − 2x ≤ Ta đánh giá Cách 1: (Sử dụng BĐT Côsi) ( 2x − + − 2x ) ( x − 5) ( − x ) = 2+2 ≤ 2+2 Xét ⇒ 2x − + − 2x ≤ Cách (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) ( x − + − x ) Bunhia ≤ Xét ⇒ 2x − + − 2x ≤ ( 12 + 12 ) ( 2x − + − 2x 5x − + ( − 2x ) =4 ) =4 x − + − x ≤ x − x3 − x + 12 x + 11 ≥ , nên phương trình xảy Như  x2 − 2x − = ⇔ x=3  2 x − = − x (thỏa mãn) S = { 3} Vậy tập nghiệm phương trình cho x − x = 3x − x + Ví dụ Giải phương trình Lời giải 3 − 2x ≥ ⇔ x ≤ Điều kiện: Cách (Đánh giá vế) x − x + = 3x − x + + = ( x − 1) + ≥ Có Suy x − 2x ≥ ⇒ x > 24 Nhóm file Word tốn THCS  x + x + − 2x  x − x = x ( − x ) = x.x ( − x ) ≤  ÷ =1   Do x − 2x ≤ Nên Như nên phương trình xảy x −1 = ⇔ x =1 x = − 2x ( thỏa mãn) Cách (Đưa bình phương) x − x = x − x + ⇔ x − x = x − 12 x + Có ⇔ x − x − x + ( − x ) + x − 10 x + = { ( ⇔ x − − 2x Do ( x− − 2x ) ) + ( x − 1) = ≥ 0; ( x − 1) ≥ x = − 2x ⇔ x =1  x −1 = nên phương trình xảy (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho 2x − Ví dụ Giải phương trình S = { 1} + − 2x = 1+ x x 2x Lời giải x ≠ 0; x − ≥ 0; − x ≥ x x Điều kiện Cách (Sử dụng bất đẳng thức Côsi) 2x − 3  6  + − x =  x − ÷ +  − x ÷ x x x  x  Có 3  6  +  2x − ÷ +  − 2x ÷ x x  = 1+ ≤  +  2 2x 2x − = − 2x = ⇔ x = x x Do phương trình xảy Cách (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) (thỏa mãn) 25 Nhóm file Word tốn THCS 2     6 − 2x ÷ = x − + − x  x − +  ÷ ÷  ÷ x x x x     Có ( )   ≤ 12 + 12  x − + − x ÷ = x x   x 2x − Nên 1+ Mà 6 + − 2x ≤ x x x 3 ≥2 = 2x 2x x x= nên dấu “=” xảy (thỏa mãn)   S =  2 Vậy tập nghiệm phương trình cho 3 12 − + x − = x x x Ví dụ Giải phương trình Lời giải 3 x ≠ 0; 12 − ≥ 0; x − ≥ x x Điều kiện 12 − x2 + 4x2 − x2 =      12 − ÷ + 1 x − ÷  x  x   Cách Có 1  1  ≤  + 12 − ÷+ 1 + x − ÷ = x − + 6 x  2 x  2x 1    = x2 −  x + − ÷ = x2 −  x − ÷ ≤ x2 x x    Do phương trình xảy 3 12 − = 9; x − = 1; x − = ⇔ x = ±1 x x x a = x > 0; b = x2 > ⇒ ab = 12, Cách Đặt ab − b + a − b = a Ta ab − b + a − b = b ( a − 1) + 1( a − b ) ≤ Có (thỏa mãn) b + ( a − 1) + ( a − b ) + =a 2 26 Nhóm file Word toán THCS Dấu “=” xảy   x − =  1 = x −  x ⇔ x − x − = ⇔ x = ±1 x2 Vậy tập nghiệm phương trình cho S = { ±1} (thỏa mãn) 27 Nhóm file Word tốn THCS HỆ THỚNG BÀI TẬP SỬ DUNG TRONG CHỦ ĐỀ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Giải phương trình sau x + + 2012 x + = 2012 + ( x + ) ( x + ) Bài x + + x − x + = + x3 + Bài ( x + 4+ x Bài Bài Bài Bài ) − x = − 2x − x - x + − x + x − x2 − x − = x2 + + x2 + x + = x + 3x + x + 2018 x + = x + + 2018 x + x + Bài Bài Bài x + 5x + + = x − x + + x x + + 3x + = x + + x + = Bài 10 Bài 15 Bài 16 ( ) + x −1 x − + − x = 3x − x − Bài 12 Bài 14 3x − x + − x − = x − x − − x − 3x + − x2 − 4x = Bài 13 ( ) 3x − + x + = x − 24 x + 35 x − x + − = x + x − = x + x2 + x+ = x ( x + 1) II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHU Giải phương trình sau Bài x + + x − = x − 12 + x − 16 x +1 + − x + Bài ( x + 1) ( − x ) = 28 Nhóm file Word tốn THCS x+ Bài ( x − 1) Bài x Bài x + x + = x3 + = ( x − x + ) Bài Bài x + x + = x + x + x + Bài + 2x = 2− x x− x x − 3x + + Bài = 2x + + x − = x + 2x − x x x ( 4x Bài 10 + 1) x = ( − x ) − x x3 + x + x + + ( x − 10 ) − x = 64 x + x 5x + x + = 5x + x + Bài 11 Bài 12 Bài 13 Bài 14 Bài 15 ( − x ) x2 + 2x −1 = x2 − 2x + ( x − 1) x + = x + x + x + x + = x + = x − x2 + x = Bài 16 Bài 17 4x + 28 với x − x − + 16 x = Bài 18 x > x + = x3 − 15 x2 + 75 x − 131 III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Giải phương trình sau: x + x + 12 = x + Bài x + = x − x + 14 Bài 29 Nhóm file Word toán THCS Bài Bài x + x + + − x = 11 x − x − − x + = x2 + x − = Bài Bài Bài Bài Bài Bài 10 − ) ( x − ) + x − + x − − 2x + + 2x = − x2 x − + − x = x − x + 11 x − + − x = x − x3 + x − 12 x + 14 x − + − x = x − x − x + 12 x + 11 x − x = x − x + 2x − + − 2x = + x x 2x 12 − 3 + x − = x2 x x Bài 11 Bài 12 (x 30 ... nên phương trình (*) vơ nghiệm S= { 2} Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ 5: Giải phương trình x3 + x − = x + Phân tích bài toán: Phương trình ta nhẩm nghiệm x2 + x=2 Từ bảng ta suy Trình. .. 3.1+ = Với Do phương trình (*) vơ nghiệm nên 6- x + + 3x + 2> S= { 2} Vậy tập nghiệm phương trình cho ( ) 3x - + x + = 4x2 - 24x + 35 Ví dụ 3: Giải phương trình Phân tích tốn: Phương trình ta nhẩm... ( x + 1) + ≥ ( ∗) Mà nên phương trình vơ nghiệm S = { 2} Vậy tập nghiệm phương trình cho x+ Ví dụ 6: Giải phương trình x2 + = x ( x + 1) Phân tích bài toán: Phương trình ta nhẩm nghiệm x+