Phân tích kết cấu tấm bằng phân tử MITC3+ được làm trơn trên cạnh (ES MITC3+)

Phân tích kết cấu tấm bằng phân tử MITC3+ được làm trơn trên cạnh (ES MITC3+) Phân tích kết cấu tấm bằng phân tử MITC3+ được làm trơn trên cạnh (ES MITC3+) Phân tích kết cấu tấm bằng phân tử MITC3+ được làm trơn trên cạnh (ES MITC3+) Phân tích kết cấu tấm bằng phân tử MITC3+ được làm trơn trên cạnh (ES MITC3+)

MỤC LỤC LÝ LỊCH KHOA HỌC i LỜI CAM ĐOAN ii LỜI CẢM ƠN iii TÓM TẮT iv ABSTRACT v MỤC LỤC vi DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU viii DANH SÁCH CÁC BẢNG ix DANH SÁCH CÁC HÌNH x Chương 1: TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU 12 1.1 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG VÀ NGỒI NƯỚC 12 1.2 TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI 16 1.3 MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI 16 1.4 NHIỆM VỤ VÀ GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI 16 1.5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 17 Chương 2: LÝ THUYẾT TẤM BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT 18 2.1 GIẢ THUYẾT 18 2.2 TRƯỜNG CHUYỂN VỊ 18 2.3 TRƯỜNG BIẾN DẠNG 19 2.4 TRƯỜNG ỨNG SUẤT 20 2.5 NỘI LỰC 22 Chương 3: CÔNG THỨC PHẦN TỬ HỮU HẠN TẤM BIẾN DẠNG TRƠN ES-MITC3+ 24 3.1 CÔNG THỨC PTHH TẤM TAM GIÁC 24 3.2 CÔNG THỨC PTHH TẤM TAM GIÁC MITC3+ 27 3.3 CÔNG THỨC PHẦN TỬ TẤM TAM GIÁC ES-MITC3+ 29 vi Chương 4: VÍ DỤ SỐ 33 4.1 BÀI TOÁN PATCH TEST 33 4.2 TẤM HÌNH VNG NGÀM CẠNH CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU 34 4.3 TẤM HÌNH VNG TỰA ĐƠN CẠNH CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU 37 4.4 TẤM HÌNH THOI TỰA ĐƠN Ở CẠNH TRÊN VÀ CẠNH DƯỚI, CẠNH BÊN TỰ DO VÀ CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU (TẤM RAZZAQUE) 40 4.5 TẤM HÌNH THOI TỰA ĐƠN CẠNH CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU (TẤM MORLEY) 42 4.6 TẤM HÌNH THOI NGÀM CẠNH CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU 44 4.7 TẤM HÌNH TRỊN NGÀM CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU 47 Chương 5: KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 PHỤ LỤC 56 vii DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU u, v, w εx, εy, εz γxy, γyz, γzx βx , βy θx, θy, θz σx, σy, σz τxy, τxz, τyz ν κ γ L Mx , M y Mxy Qx, Qy q D μ Ni wi θxi, θyi K u F Bb Bs Ae Cb Cs BSMITC3+ Chuyển vị thẳng theo phương x, y, z Biến dạng dài theo phương x, y, z Biến dạng trượt mặt phẳng Oxy, Oxz, Oyz Góc xoay quanh trục y, x Góc xoay quanh trục x, y, z Ứng suất pháp theo phương x, y, z Ứng suất tiếp mặt có vectơ pháp tuyến trục x, y, z E Module đàn hồi kéo nén vật liệu Hệ số poisson vật liệu Vectơ biến dạng uốn Vectơ biến dạng cắt Chiều dài cạnh Moment uốn có pháp tuyến trục x, y đơn vị dài mặt cắt Moment xoắn có pháp tuyến trục x đơn vị dài mặt cắt Lực cắt có pháp tuyến trục x, y đơn vị dài mặt cắt Lực phân bố đơn vị diện tích Độ cứng trụ hệ số hiệu chỉnh cắt Hàm dạng nút thứ i Chuyển vị thẳng theo phương z nút thứ i Góc xoay đoạn thẳng vng góc với mặt trung bình quay quanh trục x trục y nút thứ i Ma trận độ cứng toàn cục Vectơ bậc tự toàn cục Vectơ tải toàn cục Ma trận quan hệ biến dạng uốn chuyển vị Ma trận quan hệ biến dạng cắt chuyển vị Diện tích phần tử tam giác Độ cứng uốn Độ cứng cắt Ma trận quan hệ biến dạng cắt chuyển vị phần tử MITC3+ viii DANH SÁCH CÁC BẢNG Bảng 3-1: Tọa độ điểm buộc phương pháp khử khóa cắt MITC3+ với d = 1/10000 [10] 28 Bảng 4-1: Kết chuyển vị mơ-men nút tốn patch test 34 Bảng 4-2: Độ hội tụ độ võng chuẩn hóa wc/(qL4/100D) moment chuẩn hóa Mc/(qL2/10) tâm vuông ngàm cạnh chịu tải phân bố q = 35 Bảng 4-3: Độ hội tụ độ võng chuẩn hóa wc/(qL4/100D) moment chuẩn hóa Mc/(qL2/10) tâm vng tựa đơn cạnh chịu tải phân bố q = 38 Bảng 4-4: Độ hội tụ độ võng chuẩn hóa wc/(qL4/100D) moment chuẩn hóa Mc/(qL2/10) tâm hình thoi Razzaque tựa đơn cạnh cạnh dưới, cạnh bên tự chịu tải phân bố q = 41 Bảng 4-5: Độ hội tụ chuẩn hóa độ võng wc/(qL4/1000D) mơ-ment McMIN/(qL2/100) tâm hình thoi Morley với h/a = 0.01 43 Bảng 4-6: Độ võng chuẩn hóa wc/(qL4/Eh3) điểm A B hình thoi ngàm cạnh, chịu tải phân bố với h/a = 0.001 45 Bảng 4-7: Độ võng wc moment Mc tâm tròn biên ngàm chịu tải phân bố q = 48 ix DANH SÁCH CÁC HÌNH Hình 1-1: Phần tử tam giác nút với nút (bubble) trọng tâm MITC3+ 16 Hình 2-2: Các thành phần ứng suất 20 Hình 2-3: Các thành phần nội lực 22 Hình 3-1: Phần tử tam giác nút với chiều dương bậc tự nút 24 Hình 3-3: Phân chia miền làm trơn cạnh phần tử 29 Hình 3-4: Véc-tơ pháp tuyến với biên miền làm trơn 30 Hình 4-4: Độ hội tụ độ võng chuẩn hóa tâm (a) h/a = 0.001 (b) h/a = 0.1 36 Hình 4-5: Độ hội tụ mơ-men chuẩn hóa tâm (a) h/a = 0.001 (b) h/a = 0.1 36 Hình 4-6: Mơ hình vuông tựa đơn cạnh 37 Hình 4-7: Mơ vuông tựa đơn cạnh (a) lưới N = (b) lưới N = 16 38 Hình 4-8: Độ hội tụ độ võng chuẩn hóa tâm (a) h/a = 0.001 (b) h/a = 0.1 39 Hình 4-9: Độ hội tụ mơ-men chuẩn hóa tâm (a) h/a = 0.001 (b) h/a = 0.1 39 Hình 4-10: Mơ hình hình thoi Razzaque 40 Hình 4-11: Mơ hình thoi Razzaque tựa đơn cạnh cạnh dưới, cạnh bên tự (a) lưới N = (b) lưới N = 16 41 Hình 4-12: Độ hội tụ độ võng (a) mơ-men (b) chuẩn hóa tâm Razzaque tựa đơn cạnh cạnh dưới, cạnh bên tự h/a = 0.001 42 Hình 4-13: Mơ hình hình thoi Morley 42 Hình 4-14: Mơ hình thoi Morley tựa đơn chịu tải phân bố (a) lưới với N = (b) lưới không với N = 16 43 Hình 4-15: Độ hội tụ (a) độ võng (b) mô-men nhỏ chuẩn hóa tâm h/a = 0.01 44 x Hình 4-16: Mơ hình hình thoi ngàm cạnh, chịu tải phân bố 44 Hình 4-17: Mơ hình thoi ngàm cạnh, chịu tải phân bố (a) lưới N = (b) lưới N = 16 45 Hình 4-19: Độ hội tụ độ võng chuẩn hóa (a) điểm A (b) điểm B với  = 40° h/a = 0.001 47 Hình 4-20: Độ hội tụ độ võng chuẩn hóa (a) điểm A (b) điểm B với  = 60° h/a = 0.001 47 Hình 4-21: Mơ hình trịn với điều kiện biên ngàm 48 Hình 4-22: Mơ hình chia lưới 1/4 trịn sử dụng (a) 6, (b) 24, (c) 54 (d) 96 phần tử tam giác 48 Hình 4-23: Độ hội tụ độ võng chuẩn hóa tâm tròn ngàm (a) h/R = 0.02 (b) h/R = 0.2 49 Hình 4-24: Độ hội tụ mơ-men chuẩn hóa tâm trịn ngàm (a) h/R = 0.02 (b) h/R = 0.2 50 xi Chương 1: TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU 1.1 Tình hình nghiên cứu ngồi nước Kết cấu kết cấu phổ biến Do có đặc trưng mỏng, nhẹ, khả chịu uốn, vượt nhịp lớn, nên ứng dụng nhiều vào lĩnh vực xây dựng (sàn, tường, tôn, vách, …) Một số ứng dụng tấm sử dụng hầu hết ván khn thi cơng cấu kiện cơng trình; sử dụng làm kết cấu mái, bao che cho cơng trình; ngồi cịn nhiều ứng dụng khác phục vụ cho thi cơng xây dựng cơng trình Thậm chí cịn sử dụng làm khung chịu lực cho cơng trình khác Lý thuyết đồng đẳng hướng chia thành lý thuyết mỏng Kirchhoff lý thuyết dày Mindlin Lý thuyết mỏng Kirchhoff giả thuyết bỏ qua biến dạng cắt mặt phẳng, phù hợp với ứng xử thực tế loại có tỉ số chiều dài / chiều dày lớn Lý thuyết dày Mindlin kể đến biến dạng cắt mặt phẳng phù hợp với ứng xử loại có tỉ số chiều dài / chiều dày nhỏ [1] Để phân tích, tính tốn ứng xử chịu uốn, phương pháp giải tích phương pháp số khác đề xuất Trong đó, phương pháp tính tốn số sử dụng nhiều ưu phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) Phương pháp phần tử hữu hạn bắt nguồn từ yêu cầu giải toán phức tạp lý thuyết đàn hồi, phân tích kết cấu xây dựng kỹ thuật hàng không Hrennikoff, McHenry Richard Courant người khởi đầu phát triển phương pháp phần tử hữu hạn vào năm 1940 [2] Sự phát triển thức phương pháp phần tử hữu hạn bắt đầu vào nửa sau năm 1950 việc phân tích kết cấu khung máy bay cơng trình xây dựng thu nhiều kết Berkeley năm 1960 Trong ngành xây dựng, phương pháp phần 12 tử hữu hạn sử dụng nhiều phân tích ưu điểm trội kết tính tốn có độ xác cao, mạnh mẽ phân tích phức tạp, kết hợp tốt lý thuyết Xấp xỉ PTHH cho trường chuyển vị mỏng theo lý thuyết Kirchhoff đòi hỏi hàm liên tục dạng C1, nghĩa đạo hàm cấp xấp xỉ chuyển vị liên tục Trong đó, trường chuyển vị dày theo lý thuyết Mindlin cần dùng hàm xấp xỉ dạng C0 Việc xây dựng hàm xấp xỉ PTHH dạng C0, đặc biệt phần tử đẳng tham số, dễ nhiều so với xây dựng hàm xấp xỉ dạng C1 Tuy nhiên, công thức PTHH dùng hàm xấp xỉ dạng C0 túy khơng tính tốn ứng xử chiều dày mỏng xấp xỉ dạng C0 không loại bỏ biến dạng cắt mặt phẳng chiều dày mỏng Thậm chí, xấp xỉ PTHH dạng C0 cịn làm cho biến dạng cắt ngồi mặt phẳng tăng chiều dày giảm Điều dẫn kết kết chuyển vị giảm chiều dày giảm, ngược hoàn toàn với ứng xử thực tế Hiện tượng gọi tượng khóa cắt Vì vậy, nhiều nghiên cứu khác đề xuất phương pháp khử khóa cắt cho cơng thức PTHH sử dụng xấp xỉ dạng C0 nhằm loại bỏ tượng khóa cắt sử dụng phần tử phân tích mỏng Các phương pháp khử khóa cắt phổ biến phương pháp tích phân giảm (RI) [3] hay tích phân lựa chọn (SI) [4], phương pháp giả sử biến dạng tự nhiên (ANS) [5], phương pháp giả sử biến dạng nâng cao (EAS) [6], phương pháp cải tiến biến dạng cắt Mindlin (MIN3) [7], phương pháp rời rạc chênh lệch cắt (DSG3) [8], phương pháp nội suy thành phần ten-xơ hỗn hợp (MITC3, MITC3+, MITC4, MITC4+, MITC7, MITC9, …) [9]–[13] Alexander Hrennikoff Richard Courant người khởi đầu phát triển phương pháp PTHH, bắt đầu vào nửa sau năm 1950 việc phân tích kết cấu khung máy bay cơng trình xây dựng thu nhiều kết Berkeley năm 1960 ngành xây dựng Gần đây, Liu đề nghị phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa biên (ES-FEM) cho phân tích tĩnh, tự dao động 2D Kết số có 13 độ xác cao chứng minh ES-FEM có cho kết tốt: (1) mơ hình ES-FEM thường tìm thấy độ hội tụ cao chí nhiều xác FEM sử dụng phần tử cạnh (FEM-Q4) với số lượng nút; khơng có kiểu lượng ảo phương pháp làm việc tốt ổn định theo thời gian cho phân tích động làm theo phương pháp đơn giản hơn, hiệu tính tốn tốt FEM sử dụng số nút Những năm gần đây, phương pháp phần tử hữu hạn trơn [14] phát triển áp dụng thành công việc phân tích nhiều tốn kết cấu khác Kết tính tốn số cho thấy nhiều tốn, PP PTHH trơn có độ xác tốc độ hội tụ tốt PP PTHH truyền thống Theo phương pháp PTHH trơn, trường biến dạng trung bình miền làm trơn định nghĩa miền phần tử (CS), miền phần tử chung cạnh (ES) miền phần tử chung nút (NS) Các kết số cho thấy phương pháp ES-FEM thường cho kết tốt phương pháp CS-FEM NS-FEM Tuy nhiên, phương pháp ES-FEM NS-FEM cần xác định miền làm trơn chung cạnh chung nút phần tử nên cần thêm thời gian tính tốn để xác định miền làm trơn Ngoài ra, kết cấu gấp hay vỏ, việc áp dụng phương pháp ESFEM hay NS-FEM khó so với phương pháp CS-FEM phần tử không đồng phẳng lưới kết cấu Đối với phần tử tam giác nút dùng phân tích đồng đẳng hướng, phương pháp PTHH trơn kết hợp với kỹ thuật khử khóa cắt khác MIN3, DGS3, MITC3 MITC3+ nghiên cứu sau Nguyen-Thoi cộng [15] phát triển phương pháp làm trơn miền phần tử (CS) với kỹ thuật khử khóa cắt MIN3 tạo thành phần tử CS-MIN3 dùng phân tích tĩnh tần số Nguyen-Xuan cộng [16] nghiên cứu phần tử ES-DGS3 kết hợp làm trơn cạnh (ES) khử khóa cắt DSG3 để phân tích tĩnh dao động Reissner-Mindlin 14 Nguyen-Xuan cộng [17] xây dựng phần tử NS-DSG3 dùng phương pháp làm trơn nút (NS) khử khóa cắt DSG3 để phân tích tĩnh dao động Reissner-Mindlin Nguyen-Thoi cộng [18] phân tích tĩnh dao động đồng phần tử CS-DSG3 sử dụng phương pháp làm trơn miền phần tử (CS) kỹ thuật DSG3 Nguyễn Duy Quang [19] luận văn thạc sĩ nghiên cứu phương pháp làm trơn cạnh (ES) kết hợp với kỹ thuật khử khóa cắt MITC3 tạo thành phần tử ES-MITC3 phân tích tĩnh dao động [20] Nguyễn Văn Dũng [21] luận văn thạc sĩ xây dựng phần tử NSMITC3 cách kết hợp phương pháp làm trơn nút (NS) kỹ thuật MITC3 để phân tích tĩnh dao động đồng đẳng hướng composite nhiều lớp [22] Võ Ngọc Tuyển [23] nghiên cứu kết hợp phương pháp làm trơn miền phần tử (CS) kỹ thuật khử khóa cắt MITC3 thấy tương tương với việc không làm trơn tất trường biến dạng số miền phần tử Do đó, tác giả sử dụng kỹ thuật khử khóa cắt MITC3+ với kỹ thuật làm trơn miền phần tử để xây dựng phần tử CS-MITC3+ phân tích tĩnh kết cấu [24] Trong nghiên cứu sử dụng loại kỹ thuật khử khóa cắt kỹ thuật làm trơn cạnh thường có ưu điểm Thơng qua khảo sát ví dụ số, tính khơng phụ thuộc vào thứ tự đánh số nút phần tử, kỹ thuật khử khóa cắt MITC3 kết hợp với kỹ thuật làm trơn cho kết tốt phần tử làm trơn sử dụng kỹ thuật DGS3 MIN3 Ngoài ra, kỹ thuật khử khóa cắt MITC3+ phát triển gần đây, sử dụng thêm nút nên có khả tính toán tốt phần tử sử dụng kỹ thuật khử khóa cắt MITC3 15 0.02 ES-MITC3 [19] 8143.1 9551.4 9719.6 9758.1 1.18% ES-MITC3+ 10138.0 9990.69 9888.6 9845.16 0.29% ES-DSG3 [27] MITC4 [27] 0.2 0.02 11.476 11.519 0.66% 0.28% MITC3 [19] 9.6481 11.0999 11.3617 11.4481 ES-MITC3 [19] 10.0127 11.3796 11.5112 11.5375 0.90% 0.12% 11.024 11.42 11.383 11.494 ES-MITC3+ 11.8170 11.7483 11.6555 11.614 Moment Mc 0.54% ES-DSG3 [27] MITC4 [27] 1.1736 1.8818 1.8182 1.9404 1.9523 2.0036 1.9917 2.0127 1.99% 0.92% MITC3 [19] 1.3326 ES-MITC3 [19] 1.6024 1.8516 1.8888 1.9543 1.9811 1.9897 2.004 2.09% 1.36% 1.6551 1.9396 1.2667 1.8513 1.835 1.9541 1.9938 1.968 1.9949 2.0121 2.0003 2.0113 0.95% 1.55% 0.99% 1.8513 1.8953 1.954 1.9798 1.9897 2.0048 2.09% 1.32% 1.9390 1.9937 2.0121 0.95% ES-MITC3+ ES-DSG3 [27] MITC4 [27] 0.2 8.1200 10.755 MITC3 [19] 1.3459 ES-MITC3 [19] 1.6265 ES-MITC3+ 1.6561 (a) 9873.48 11.5513 2.0313 2.0313 (b) Hình 4-23: Độ hội tụ độ võng chuẩn hóa tâm trịn ngàm (a) h/R = 0.02 (b) h/R = 0.2 49 (a) (b) Hình 4-24: Độ hội tụ mơ-men chuẩn hóa tâm tròn ngàm (a) h/R = 0.02 (b) h/R = 0.2 Từ Bảng 4-7 biểu đồ Hình 4-23, Hình 4-24 cho thấy, so sánh với lời giải giải tích [1], trường hợp mỏng (h/R = 0.02) dày (h/R = 0.2) từ lưới thô đến lưới mịn phần tử ES-MITC3+ cho kết giá trị độ võng mô-men tốt Kết độ võng mô-men tâm phần tử ES-MITC3+ tốt phần tử tam giá nút ES-DSG3, MITC3 ES-MITC3, ngoại trừ trường hợp mômen tâm h/R = 0.2 giải phần tử ES-MITC3 50 Chương 5: KẾT LUẬN Luận văn phát triển công thức phần tử ES-MITC3+ cách làm trơn biến dạng uốn phương pháp PTHH trơn cạnh (ES) xấp xỉ biến dạng cắt kỹ thuật MITC3+ để khử tượng khóa cắt Phần tử ES-MITC3+ có sử dụng nút để tăng bậc xấp xỉ góc xoay phần tử tam giác nút kết nối phần tử ma trận độ cứng tổng thể góc xoay nút tính theo chuyển vị nút đỉnh nhờ kỹ thuật nén tĩnh Biến dạng uốn trung bình miền làm trơn định nghĩa đoạn thẳng nối trọng tâm với đỉnh cạnh chung phần tử Do đó, ma trận độ cứng uốn phần tử chuyển từ tích phân mặt sang tích phân đường biên miền làm trơn Phần tử ES-MITC3+ có khả biểu diễn xác trường chuyển vị biến dạng, ứng suất nội lực giải toán patch test Tuy nhiên, có sử dụng thêm nút nổi, tức ma trận độ cứng số phần tử, phần tử ES-MITC3+ có thời gian tính tốn lâu phần tử tam giác nút khác có ma trận độ cứng số viết dạng tường minh Phần tử đề xuất ES-MITC3+ sử dụng để phân tích số tốn hình vng, hình trịn, hình thoi chịu tải trọng phân bố Tương tự phần tử tam giác nút có làm trơn loại ES-DSG3, ES-MITC3, kết cho phần tử ES-MITC3+ hội tụ đến lời giải giải tích, ngoại trừ trường hợp hình thoi ngàm cạnh có độ hội tụ chưa tốt So với công thức PTHH ES-DSG3, ES-MITC3, phần tử ES-MITC3+ thường cho kết tính tốn mơ-men tốt phần tử có sử dụng nút xấp xỉ góc xoay Trong số trường hợp, phần tử đề xuất cho kết tốt phần tử tứ giác nút MITC4 Phần tử ES-MITC3+ thường cho kết lời giải mỏng tốt lời giải dày Phần tử ES-MITC3+ đề xuất dùng để phân tích tần số đáng ứng động kết cấu Ngoài ra, kết hợp trường biến dạng trơn cạnh 51 kỹ thuật khử khóa cắt MITC3+ phát triển để phân tích kết cấu composit nhiều lớp, phân lớp chức (FGM) hay kết cấu vỏ 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] S P Timoshenko and S Woinowsky-Krieger, Theory of Plates and Shells, Second Edition McGraw-Hill, 1959 [2] D L Logan, A first course in the Finite Element Method, Fourth Thomson [3] O C Zienkiewicz, R L Taylor, and J M Too, “Reduced integration technique in general analysis of plates and shells,” Int J Numer Meth Engng., vol 3, no 2, pp 275–290, Apr 1971 [4] T J R Hughes, M Cohen, and M Haroun, “Reduced and selective integration techniques in the finite element analysis of plates,” Nuclear Engineering and Design, vol 46, no 1, pp 203–222, Mar 1978 [5] G M Kulikov and S V Plotnikova, “A family of ANS four-node exact geometry shell elements in general convected curvilinear coordinates,” Int J Numer Meth Engng., vol 83, no 10, pp 1376–1406, Sep 2010 [6] U Andelfinger and E Ramm, “EAS-elements for two-dimensional, threedimensional, plate and shell structures and their equivalence to HR-elements,” Int J Numer Meth Engng., vol 36, no 8, pp 1311–1337, Apr 1993 [7] A Tessler and T J R Hughes, “A three-node Mindlin plate element with improved transverse shear,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol 50, no 1, pp 71–101, Jul 1985 [8] K.-U Bletzinger, M Bischoff, and E Ramm, “A unified approach for shearlocking-free triangular and rectangular shell finite elements,” Computers & Structures, vol 75, no 3, pp 321–334, Apr 2000 [9] P.-S Lee and K.-J Bathe, “Development of MITC isotropic triangular shell finite elements,” Computers & Structures, vol 82, no 11–12, pp 945–962, May 2004 [10]Y Lee, P.-S Lee, and K.-J Bathe, “The MITC3+ shell element and its performance,” Computers & Structures, vol 138, pp 12–23, Jul 2014 [11]K.-J Bathe and E N Dvorkin, “A four-node plate bending element based on Mindlin/Reissner plate theory and a mixed interpolation,” Int J Numer Meth Engng., vol 21, no 2, pp 367–383, Feb 1985 [12]Y Ko, P.-S Lee, and K.-J Bathe, “The MITC4+ shell element and its performance,” Computers & Structures, vol 169, pp 57–68, Jun 2016 [13]K.-J Bathe, F Brezzi, and S W Cho, “The MITC7 and MITC9 Plate bending elements,” Computers & Structures, vol 32, no 3, pp 797–814, Jan 1989 [14]G R Liu and T Nguyen-Thoi, Smoothed Finite Element Methods CRC Press, 2010 [15]T Nguyen-Thoi, P Phung-Van, H Luong-Van, H Nguyen-Van, and H Nguyen-Xuan, “A cell-based smoothed three-node Mindlin plate element (CSMIN3) for static and free vibration analyses of plates,” Comput Mech, vol 51, no 1, pp 65–81, Apr 2012 53 [16]H Nguyen-Xuan, G R Liu, C Thai-Hoang, and T Nguyen-Thoi, “An edgebased smoothed finite element method (ES-FEM) with stabilized discrete shear gap technique for analysis of Reissner–Mindlin plates,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol 199, no 9–12, pp 471–489, Jan 2010 [17]H Nguyen-Xuan, T Rabczuk, N Nguyen-Thanh, T Nguyen-Thoi, and S Bordas, “A node-based smoothed finite element method with stabilized discrete shear gap technique for analysis of Reissner–Mindlin plates,” Comput Mech, vol 46, no 5, pp 679–701, Oct 2010 [18]T Nguyen-Thoi, P Phung-Van, C Thai-Hoang, and H Nguyen-Xuan, “A cellbased smoothed discrete shear gap method (CS-DSG3) using triangular elements for static and free vibration analyses of shell structures,” International Journal of Mechanical Sciences, vol 74, pp 32–45, Sep 2013 [19]Q Nguyễn-Duy, “Phân tích kết cấu phần tử biến dạng trơn ESMITC3,” Luận văn Thạc sĩ, Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM, 2016 [20]T Chau-Dinh, Q Nguyen-Duy, and H Nguyen-Xuan, “Improvement on MITC3 plate finite element using edge-based strain smoothing enhancement for plate analysis,” Acta Mech, vol 228, no 6, pp 2141–2163, Jun 2017 [21]D Nguyễn-Văn, “Phân tích kết cấu phần tử biến dạng trơn NSMITC3,” Luận văn Thạc sĩ, Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM, 2016 [22]T Châu Đình and D Nguyễn Văn, “Phân tích tĩnh dao động riêng composite nhiều lớp phần tử MITC3 có biến dạng trung bình miền nút phần tử (NS-MITC3),” in Tuyển tập cơng trình Hội nghị khoa học toàn quốc “Vật liệu Kết cấu Composite: Cơ học, Công nghệ Ứng dụng,” Nha Trang, Vietnam, 2016, pp 613–620 [23]T Võ-Ngọc, “Phân tích kết cấu phần tử biến dạng trơn CS-MITC3,” Luận văn Thạc sĩ, Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM, 2017 [24]T Chau-Dinh, T Vo-Ngoc, and P Nguyen-Hoang, “A cell-based smoothed three-node plate finite element with a bubble node for static analyses of both thin and thick plates,” Vietnam Journal of Mechanics, vol 39, no 3, pp 229– 243, Sep 2017 [25]K.-J Bathe, Finite Element Procedures Prentice Hall International, Inc., 1996 [26]M Lyly, R Stenberg, and T Vihinen, “A stable bilinear element for the Reissner-Mindlin plate model,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol 110, no 3–4, pp 343–357, Dec 1993 [27]T Nguyen-Thoi, P Phung-Van, H Nguyen-Xuan, and C Thai-Hoang, “A cellbased smoothed discrete shear gap method using triangular elements for static and free vibration analyses of Reissner–Mindlin plates,” Int J Numer Meth Engng, vol 91, no 7, pp 705–741, Aug 2012 [28]A Razzaque, “Program for triangular bending elements with derivative smoothing,” Int J Numer Meth Engng., vol 6, no 3, pp 333–343, Jan 1973 [29]L S D Morley, Skew Plates and Structures Pergamon Press, Oxford, 1963 54 [30]M Rezaiee-Pajand and M Karkon, “Hybrid stress and analytical functions for analysis of thin plates bending,” Latin American Journal of Solids and Structures, vol 11, no 4, pp 556–579, Aug 2014 55 PHỤ LỤC Độ hội tụ độ võng chuẩn hóa wc/(qL4/100D) moment chuẩn hóa Mc/(qL2/10) tâm vng ngàm cạnh chịu tải phân bố q = sử dụng lưới tam giác clear; clc; close all; format short; % geometric data L= 10; ratio= 0.001 %0.1 %0.1; %0.001; thk= ratio*L; % material data emodule= 1092000; % elastic modulus poisson= 0.3; % Poisson's ratio % meshing data elemType= 'T3'; nnel= 3; % TRI number of nodes per element ndof= 3; % PLATE number of dofs per node numx= 4; numy= 4; nnx=numx+1; % number of nodes in the x-direction nny=numy+1; % number of nodes in the y-direction gcoord=square_node_array([0 0],[L 0],[L L],[0 L],nnx,nny); % nodal coordinates node_pattern1=[ nnx+1 ]; node_pattern2=[ nnx+2 nnx+1 ]; % node_pattern1=[ nnx+2 ]; % node_pattern2=[ nnx+2 nnx+1 ]; inc_u=1; inc_v=nnx; nodes=[make_elem(node_pattern1,numx,numy,inc_u,inc_v); make_elem(node_pattern2,numx,numy,inc_u,inc_v) ]; % nodal elements nel= size(nodes,1); % number of elements nnode= size(gcoord,1); % total number of nodes in system % sdof=nnode*ndof; % total system dofs sdof= nnode*ndof + nel*2; % total system dofs edof=nnel*ndof; % degrees of freedom per element % plot the mesh plotMesh= 1; if ( plotMesh ) % if plotMesh==1 we will plot the mesh plot_mesh(gcoord,nodes,elemType,'b-'); end % boundary conditions bcdof=[]; bcval=[]; 56 % lower x-axis (y=0) is clamped: w= thtx= thty= for i=1:nnx ind=ndof*(i-1); bcdof=[bcdof ind+1 ind+2 ind+3]; end % upper x-axis (y=L) is clamped: w= thtx= thty= for i=1:nnx ind=ndof*(nnx*(nny-1) + i - 1); bcdof=[bcdof ind+1 ind+2 ind+3]; end % left y-axis (x=0) is clamped: w= thtx= thty= for i=1:nny ind=ndof*(i-1)*nnx; bcdof=[bcdof ind+1 ind+2 ind+3]; end % right y-axis (x=L/2) is clamped: w= thtx= thty= for i=1:nny ind=ndof*(i*nnx-1); bcdof=[bcdof ind+1 ind+2 ind+3]; end bcdof=unique(bcdof); bcval=zeros(size(bcdof)); % force vector q0= 1; % distributed load ff= N_ff_Uniload_PlateT3(nodes,gcoord,nel,nnel,edof,sdof,ndof,q0); % computation of element matrices and vectors and their assembly [weight,gpt]= quadrature(2,'TRIANGULAR',2); % sampling points enough per element for shearing matmtpb= fematiso(1,emodule,poisson)*thk^3/12; % bending material property shearm= 0.5*emodule/(1.0+poisson); % shear modulus shcof= 5/6; % shear correction factor matmtps= shearm*shcof*thk*[1 0; 1]; % shear material property % a stabilized shear coefficient alstab=0.1; % find neighouring cell of each edge of elements [triangle_neighbor] = triangulation_order3_neighbor_triangles(nel,nodes'); [index_edge]= [nodes triangle_neighbor']; % sort connections of edge [edges,area_Ecell,area_elem]= connect_edge('T3',gcoord,nodes,index_edge); % compute global stiffness matrix - bending kkb= zeros(sdof,sdof); % initialize system matrix for iedge=1:size(edges,1) [index,BbL]= BmatPlate_ES3_MITC3P(edges(iedge,:),gcoord,nodes,area_Ecell(iedge)); kb= (BbL'*matmtpb*BbL)*area_Ecell(iedge); kkb= feasmbl1(kkb,kb,index); % assemble element matrices end % compute global stiffness matrix - shearing MITC3+ kks= zeros(sdof,sdof); % initialize system matrix for iel=1:nel % loop for the total number of elements nd= nodes(iel,:); % extract connected node for (iel)-th element ecoord= gcoord(nd,:); % extract x, y value of the node 57 % shearing stiffness matrix side= cal_side(ecoord(:,1),ecoord(:,2)); he= max(side); matmtpsoft= matmtps*thk^2/(thk^2+alstab*he^2); % shearing stiffness matrix ks= zeros(11,11); % initialization of shear matrix to zero for ig=1:size(weight) [shape,dNdrds]= lagrange_basis('T3',gpt(ig,:),2); % compute shape [shapeB,dNdrdsB]= lagrange_basis('T4Mini2',gpt(ig,:),2); % jacob2= dNdrds'*ecoord; % compute Jacobian detjacob= det(jacob2); % determinant of Jacobian % shearing kinematic matrix kinmtps= fekineps_MITC3Plus(thk,ecoord,gpt(ig,:),dNdrds,shapeB,dNdrdsB,jacob2); % compute shearing element matrix ks= ks + kinmtps'*matmtpsoft*kinmtps*weight(ig)*detjacob; end index= feeldof(nd,length(nd),ndof); % extract system dofs associated with element index= [index nnode*ndof+iel*2-1 nnode*ndof+iel*2]; kks= feasmbl1(kks,ks,index); % assemble element matrices end kk= kkb + kks; % apply boundary conditions [kk,ff]=feaplyc2(kk,ff,bcdof,bcval); % solve the matrix equation displ=kk\ff; num=1:1:sdof; displace=[num' displ] % print nodal displacements disp('Maximum displacement') cen_node= (nnode+1)/2; % central node of the squared plate w_mx= displ(cen_node*3-2) % maximum displacement at the centre Dm=(emodule*thk^3)/(12*(1-poisson^2)); str= sprintf('Normalized displacement at the centre (wc/(qL^4/100D)): %.4f\n',w_mx/(q0*L^4/100/Dm)); disp(str) % compute moments at edges Moment_edge= []; for iedge=1:size(edges,1) [index,BbL]= BmatPlate_ES3_MITC3P(edges(iedge,:),gcoord,nodes,area_Ecell(iedge)); % extract displacements associated with (iel)-th element edDisp= displ(index); % compute moments of an edge edM= matmtpb*BbL*edDisp; Moment_edge= [Moment_edge edM]; end Moment_edge; % compute moments at elements Moment= []; for iel=1:nel nd= nodes(iel,:); % extract connected node for (iel)-th element eM= zeros(3,1); 58 for j=1:3 % loop over edges of an element if j~=3 nod_i= nd(j); nod_j= nd(j+1); else nod_i= nd(3); nod_j= nd(1); end if nod_i > nod_j tmp= nod_i; nod_i= nod_j; nod_j= tmp; end for iedge=1:size(edges,1) if nod_i==edges(iedge,1) && nod_j==edges(iedge,2) eM= eM + Moment_edge(:,iedge); break; end end end Moment= [Moment eM/3]; end Moment; % compute moments at nodes Moment_node= []; for inode= 1:nnode % loop for all nodes nodeM= zeros(size(Moment,1),1); count= 0; for iedge=1:size(edges,1) if inode==edges(iedge,1) || inode==edges(iedge,2) nodeM= nodeM + Moment_edge(:,iedge); count= count + 1; end end nodeM= nodeM/count; Moment_node= [Moment_node nodeM]; end disp('Maximum Mx at node') Mx_mx= Moment_node(1,cen_node) % maximum Mx moment at the centre str= sprintf('Normalized Mx moment at the centre (Mc/(qL^2/10)): %.4f',Mx_mx/(q0*L^2/10)); disp(str) 59 Độ hội tụ độ võng chuẩn hóa wc/(qL4/100D) moment chuẩn hóa Mc/(qL2/10) tâm vuông tựa đơn cạnh chịu tải phân bố q = sử dụng lưới tam giác clear; clc; close all; format short; % geometric data L= 10; ratio= 0.1 %0.1 %0.1; %0.001; thk= ratio*L; % material data emodule= 1092000; % elastic modulus poisson= 0.3; % Poisson's ratio % meshing data elemType= 'T3'; nnel= 3; % TRI number of nodes per element ndof= 3; % PLATE number of dofs per node numx= 4; %20; %12; %8; %6; %5; %4; %2; % number of elements in the xdirection (beam length) numy= 4; %20; %12; %8; %6; %5; %4; %2; % number of elements in the ydirection (beam length) nnx=numx+1; % number of nodes in the x-direction nny=numy+1; % number of nodes in the y-direction gcoord=square_node_array([0 0],[L 0],[L L],[0 L],nnx,nny); % nodal coordinates % node_pattern1=[ nnx+1 ]; % node_pattern2=[ nnx+2 nnx+1 ]; node_pattern1=[ nnx+2 ]; node_pattern2=[ nnx+2 nnx+1 ]; inc_u=1; inc_v=nnx; nodes=[make_elem(node_pattern1,numx,numy,inc_u,inc_v); make_elem(node_pattern2,numx,numy,inc_u,inc_v) ]; % nodal elements nel= size(nodes,1); % number of elements nnode= size(gcoord,1); % total number of nodes in system % sdof=nnode*ndof; % total system dofs sdof= nnode*ndof + nel*2; % total system dofs edof=nnel*ndof; % degrees of freedom per element % plot the mesh plotMesh= 1; if ( plotMesh ) % if plotMesh==1 we will plot the mesh plot_mesh(gcoord,nodes,elemType,'b-'); end % boundary conditions bcdof=[]; bcval=[]; % lower x-axis (y=0) is simple support: w= thty= for i=1:nnx ind=ndof*(i-1); bcdof=[bcdof ind+1 ind+3]; end % upper x-axis (y=L) is simple support: w= thty= 60 for i=1:nnx ind=ndof*(nnx*(nny-1) + i - 1); bcdof=[bcdof ind+1 ind+3]; end % left y-axis (x=0) is simple support: w= thtx= for i=1:nny ind=ndof*(i-1)*nnx; bcdof=[bcdof ind+1 ind+2]; end % right y-axis (x=L) is simple support: w= thtx= for i=1:nny ind=ndof*(i*nnx-1); bcdof=[bcdof ind+1 ind+2]; end bcdof=unique(bcdof); bcval=zeros(size(bcdof)); % force vector q0= 1; % distributed load ff= N_ff_Uniload_PlateT3(nodes,gcoord,nel,nnel,edof,sdof,ndof,q0); % computation of element matrices and vectors and their assembly [weight,gpt]= quadrature(2,'TRIANGULAR',2); % sampling points enough per element for shearing matmtpb= fematiso(1,emodule,poisson)*thk^3/12; % bending material property shearm= 0.5*emodule/(1.0+poisson); % shear modulus shcof= 5/6; % shear correction factor matmtps= shearm*shcof*thk*[1 0; 1]; % shear material property % a stabilized shear coefficient alstab=0.1; % find neighouring cell of each edge of elements [triangle_neighbor] = triangulation_order3_neighbor_triangles(nel,nodes'); [index_edge]= [nodes triangle_neighbor']; % sort connections of edge [edges,area_Ecell,area_elem]= connect_edge('T3',gcoord,nodes,index_edge); % compute global stiffness matrix - bending kkb= zeros(sdof,sdof); % initialize system matrix for iedge=1:size(edges,1) [index,BbL]= BmatPlate_ES3_MITC3P(edges(iedge,:),gcoord,nodes,area_Ecell(iedge)); kb= (BbL'*matmtpb*BbL)*area_Ecell(iedge); kkb= feasmbl1(kkb,kb,index); % assemble element matrices end % compute global stiffness matrix - shearing MITC3+ kks= zeros(sdof,sdof); % initialize system matrix for iel=1:nel % loop for the total number of elements nd= nodes(iel,:); % extract connected node for (iel)-th element ecoord= gcoord(nd,:); % extract x, y value of the node % shearing stiffness matrix side= cal_side(ecoord(:,1),ecoord(:,2)); he= max(side); matmtpsoft= matmtps*thk^2/(thk^2+alstab*he^2); % matmtpsoft= matmtps; % shearing stiffness matrix ks= zeros(11,11); % initialization of shear matrix to zero for ig=1:size(weight) [shape,dNdrds]= lagrange_basis('T3',gpt(ig,:),2); % compute shape func and derivatives at sampling point 61 [shapeB,dNdrdsB]= lagrange_basis('T4Mini2',gpt(ig,:),2); % compute shape func and derivatives at sampling point jacob2= dNdrds'*ecoord; % compute Jacobian detjacob= det(jacob2); % determinant of Jacobian % shearing kinematic matrix kinmtps= fekineps_MITC3Plus(thk,ecoord,gpt(ig,:),dNdrds,shapeB,dNdrdsB,jacob2); % compute shearing element matrix ks= ks + kinmtps'*matmtpsoft*kinmtps*weight(ig)*detjacob; end index= feeldof(nd,length(nd),ndof); % extract system dofs associated with element index= [index nnode*ndof+iel*2-1 nnode*ndof+iel*2]; kks= feasmbl1(kks,ks,index); % assemble element matrices end kk= kkb + kks; % apply boundary conditions [kk,ff]=feaplyc2(kk,ff,bcdof,bcval); % solve the matrix equation displ=kk\ff; num=1:1:sdof; displace=[num' displ] % print nodal displacements disp('Maximum displacement') cen_node= (nnode+1)/2; % central node of the squared plate w_mx= displ(cen_node*3-2) % maximum displacement at the centre Dm=(emodule*thk^3)/(12*(1-poisson^2)); str= sprintf('Normalized displacement at the centre (wc/(qL^4/100D)): %.4f\n',w_mx/(q0*L^4/100/Dm)); disp(str) % compute moments at edges Moment_edge= []; for iedge=1:size(edges,1) [index,BbL]= BmatPlate_ES3_MITC3P(edges(iedge,:),gcoord,nodes,area_Ecell(iedge)); % extract displacements associated with (iel)-th element edDisp= displ(index); % compute moments of an edge edM= matmtpb*BbL*edDisp; Moment_edge= [Moment_edge edM]; end Moment_edge; % compute moments at elements Moment= []; for iel=1:nel nd= nodes(iel,:); % extract connected node for (iel)-th element eM= zeros(3,1); for j=1:3 % loop over edges of an element if j~=3 nod_i= nd(j); nod_j= nd(j+1); else nod_i= nd(3); nod_j= nd(1); end if nod_i > nod_j tmp= nod_i; nod_i= nod_j; 62 nod_j= tmp; end for iedge=1:size(edges,1) if nod_i==edges(iedge,1) && nod_j==edges(iedge,2) eM= eM + Moment_edge(:,iedge); break; end end end Moment= [Moment eM/3]; end Moment; % compute moments at nodes Moment_node= []; for inode= 1:nnode % loop for all nodes nodeM= zeros(size(Moment,1),1); count= 0; for iedge=1:size(edges,1) if inode==edges(iedge,1) || inode==edges(iedge,2) nodeM= nodeM + Moment_edge(:,iedge); count= count + 1; end end nodeM= nodeM/count; Moment_node= [Moment_node nodeM]; end disp('Maximum Mx at node') Mx_mx= Moment_node(1,cen_node) % maximum Mx moment at the centre str= sprintf('Normalized Mx moment at the centre (Mc/(qL^2/10)): %.4f',Mx_mx/(q0*L^2/10)); disp(str) 63 ... khử khóa cắt MITC3+ với kỹ thuật làm trơn miền phần tử để xây dựng phần tử CS -MITC3+ phân tích tĩnh kết cấu [24] Trong nghiên cứu sử dụng loại kỹ thuật khử khóa cắt kỹ thuật làm trơn cạnh thường... pháp làm trơn cạnh (ES) kỹ thuật khử khóa cắt MITC3+ để xây dựng cơng thức PTHH ES -MITC3+ dùng phân tích đồng đẳng hướng 1.2 Tính cấp thiết đề tài Việc phát triển phần tử có khả phân tích kết cấu. .. miền làm trơn định nghĩa đoạn thẳng nối trọng tâm với đỉnh cạnh chung phần tử Do đó, ma trận độ cứng uốn phần tử chuyển từ tích phân mặt sang tích phân đường biên miền làm trơn Phần tử ES-MITC3+