Tài liệu Hàm bậc 3 và bậc 4, cách giải doc

Giải bài kỳ trớc. Bài 1.Giải hệ phơng trình a) += = 22 5 52 2 2 xxyy yx x yxy 0 0 b) += = 22 22 384 576 xxyy xxyy Giải a) += = 22 5 52 2 2 xxyy yx x yxy Điều kiện: x 0; y 0. Viết lại hệ đã cho dới dạng: 22 22 5 5 22 2 xxyy xxyy += + += Đây là hệ phơng trình đẳng cấp bậc hai, giải theo một trong hai cách ở dạng 4. Đáp số: (thoả mãn điều kiện) 2 1 2 1 x y x y = = = = b) += = 22 22 384 576 xxyy xxyy 0 0 Đây là hệ phơng trình đẳng cấp bậc hai. +) Nếu x=0 thì hệ có dạng: 2 2 40 0 60 y y y = = = Vậy (0,0) là một nghiệm của hệ phơng trình. +) Nếu x 0. Đặt y=kx, thay vào hệ ta có: 22 22 2 2 (3 8 4 ) 0 (5 7 6 ) 0 38 4 0 1 2 57 6 0 xkk xkk kk k kk + = = + = = = với 1 2 k = suy ra 1 2 y= x , thay vào hệ ban đầu ta thấy hệ luôn đúng Vậy nghiệm của hệ là 1 ) 2 tt tR(, Bài 2. Giải hệ phơng trình a) =+ =+ 3 3 2 2 x xy y yx b) =+ =+ 22 22 22 22 x yxy y xyx c) +=+ +=+ 3 3 3 4 2 3 4 2 xxy yyx Các hệ trên là hệ đối xứng loại II. a) =+ =+ 3 3 2( 2( xxy yyx 1) 2) Trừ hai phơng trình cho nhau ta đợc: x 3 -y 3 =2(x-y)+(y-x)=x-y Ô (x-y)(x 2 +y 2 +xy-1)=0 +) x=y thay vào (1) ta có: x 3 =2x+x=3x Ô 0 3 3 x x x = = = +) x 2 +y 2 +xy-1=0, kết hợp với phơng trình (1)ta đợc: 22 3 3 23 2 3 3 642 3 23 3 2 10 2 2 (2).(2)1 2 3310 2 (1)0 21 1 1 xyxy xxy yx x xx xxx x yx x xxx yx x x yx x x y x ++= =+ = + + = = += = = = = = = 0 Vậy nghiệm của hệ phơng trình là : (0,0);(1, 1);( 1,1),( 3, 3);( 3 3) b) =+ =+ 22 22 22 22 x yxy y xyx Đáp số: (0,0); (-3,-3) c) +=+ +=+ 3 3 3 4 2 3 4 2 xxy yyx áp dụng cách giải nh trên, trừ hai phơng trình cho nhau ta đợc hệ phơng trình tơng đơng 3 3 22 3 4 (1) 2 3 3 ()( 5)0 2 yx xxy xx xyx y xy = +=+ += +++= Giải phơng trình (1): Đặt x= 2t thì (1) có dạng: += += = 3 3 3 3 3 43 4 11 43 (2 22 11 (2 ) 2 2 tt tt t ) Vậy hệ có nghiệm duy nhất: = = 3 3 3 3 1 2 2 1 2 2 x y Chú ý: Nếu phơng trình bậc ba có dạng: 33 3 11 43 ( 2 xx a a += ) thì phơng trình có nghiệm duy nhất là 11 () 2 xa a = Bài 3. a) Xác định a để các phơng trình sau có nghiệm chung +++= ++= 322 32 (2) 0 và x 4 (3 ) 2 0 xax x xaxa b)Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: x 2 +mx+1=0 và x 2 +x+m=0 c) Chứng minh rằng nếu hai phơng trình x 2 +ax+b=0 và x 2 +cx+d=0 có nghiệm chung thì: (b-d) 2 +(a-c)(ad-bc)=0 d)Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung x(x-1)=m+1 và x 4 +(x+1) 2 =m 2 Giải a) +++= ++= 322 32 (2) 0(1) và x 4 (3 ) 2 0 (2) xax x xaxa Nếu a=0 thì các phơng trình 91) và (2) có nghiệm chung là x=0. Vậy a=0 là một giá trị cần tìm. Xét a 0. Vì x=-2 không là nghiệm của (1) và (2) nên ++ = = ++ ++ =+ ++ 32 22 32 (3 4) (1) (2) (2) 43 (2) ( 2) 22 xx xx aa xx x x xx x axx x x Đặt = + 2 x y x (3) khi đó (2) có dạng x(x+2)=y+a (1) có dạng y(y+2)=x+a Vậy điều kiện để các phơng trình có nghiệm chung là hệ: +=+ +=+ (2) (4) (2) xx y a yy x a phải có nghiệm (4 +=+ +=+ 2 2 2 ) 2 x xya y yxa đây là hệ phơng trình đẳng cấp bậc hai Trừ hai phơng trình cho nhau ta đợc hệ tơng đơng: = += +=+ +++= = ++= 2 2 2 0 2 ()( 3)0 3 33 yx xxa xya xyxy yx xx a 0 Kết hợp với (3) ta đợc các phơng trình (1) và (2) có nghiệm chung khi và chỉ khi một trong hai hệ sau phải có nghiệm: = == += = + = = ++= = = + 2 1,2 2 0; 0 loại 0 x=-1;a=0 loại 2 3 33 33 0 633 2 yx xa xxa x y x yx x xx a a x y x kết luận: với ==0; 6 3 3aa thì các phơng trình (1) và (2) có nghiệm chung. b)Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: x 2 +mx+1=0 và x 2 +x+m=0 Xem cách giải ở ví dụ 1, dạng 1. Đáp số: m=-2. c) Chứng minh rằng nếu hai phơng trình x 2 +ax+b=0 và x 2 +cx+d=0 có nghiệm chung thì: (b-d) 2 +(a-c)(ad-bc)=0 đặt x 2 =y, y 0, khi đó ta cần hệ sau có nghiệm ( với y 0) ++= ++= 0 0 yaxb ycxd = = = y x D ca D ad bc D bd +)Nếu D=0 Ô a=c, khi đó hệ muốn có nghiệm thì b=d,do đó đẳng thức cần chứng minh là hiển nhiên. +)Nếu D 0, ta có = = ad bc y ca bd x ca Từ điều kiện y=x 2 ta có: =+ 22 ()()()( ) ad bc b d b d a c ad bc ca ca = 0 2 1 2 d)Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung x(x-1)=m+1 (1)và x 4 +(x+1) 2 =m 2 (2) Đặt x 2 =u, x+1=v u=(v-1) 2 (3) Khi đó Từ (1) và (2) có: u-v=m; u 2 +v 2 =m 2 Xét hệ đối xứng loại 1 = = += + + = = = += ++ = 22 2 2 2 222 ()()2 ()2 uv m uv m uv m uv uv m uv m uv m uv m muv m 1) += = = = 0 uvm um uv m v Thế vào (3) ta đợc m=(0-1) 2 =1 Với m=1 thì hai phơng trình có nghiệm chung là x=-1. 2) tơng tự ta đợc m=-1 += = uv m uv m Với m=-1 ta đợc x=0 là nghiệm chung của (1) và (2). Kết luận: Hai phơng trình có nghiệm chung khi và chỉ khi m=1 Bài 4. Giải các hệ phơng trình a) 2 1 222 xyz xyxyz ++= + += b) ++ = + += 2 44 4 2 (với a 0) 2 xyxya a xy a c) ++= ++= ++= 222 333 3 xyza x yza x yza a) 2 1 222 xyz xyxyz ++= + += 1 Coi z nh tham số, ta đợc hệ đối xứng loại I đối với x và y += += + = = = 22 11 111 1 22 xy z xy z zz x y xy xy z + 2 2 2 zz Điều kiện để có nghiệm x,y là + = 2 2 2 12 (1 ) 4 0 2 (1 ) 0 1 zz z zz Vậy nếu z 1 thì hệ vô nghiệm Với z=1 thay vào hệ ta có x=y=0 Vậy hệ chỉ có nghiệm x=0, y=0,z=1. b) ++ = + += 2 44 4 2 (với a 0) 2 xyxya a xy a Nhận xét : Nếu x, y là nghiệm của hệ thì x 4 +y 4 2x 2 y 2 hay 2a 4 2x 2 y 2 xy Ê a 2 Do (x+y) 2 Ê 2(x 2 +y 2 ) nên (x+y) 4 Ê [2(x 2 +y 2 )] 2 Ê 4.2(x 4 +y 4 )=16a 4 Khi đó ta có: + 2 2 x ya xy a Vậy khi a 0 thì x+y+xy Ê a 2 +2a, kết hợp với phơng trình đầu tiên của hệ ta đợc hệ có nghiệm duy nhất x=y=a c) ++= ++= ++= 222 333 3 xyza 2 x yza x yza Đặt xy+yz+zx=b xyz=c Ta có đẳng thức ++= = ++= += 222 2 333 2 20 (3)3 xyza bb xyzaa b cc 0 Do đó ++= ++= = (1) 0 0 x yza xy yz zx xyz từ đó hệ có các nghiệm là (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a). Bài 6 Phơng trình bậc ba và Phơng trình bậc bốn I. Phơng trình bậc ba Trong phần này sẽ nêu phơng pháp giải phơng trình bậc ba tổng quát. ax 3 +bx 2 +cx+d=0 (1) Dạng1. Giải phơng trình khi biết một nghiệm x=x 0 . Theo giả thiết x=x 0 là một nghiệm nên ax 0 3 +bx 0 2 +cx 0 +d=0 (1) Ô ax 3 +bx 2 +cx+d= ax 0 3 +bx 0 2 +cx 0 +d Ô a(x 3 -x 0 3 )+b(x 2 -x 0 2 )+c(x-x 0 )=0 Ô (x-x 0 )[ax 2 +(ax 0 +b)x+ax 0 2 +bx 0 +c]=0 1)Nếu D =(ax 0 +b) 2 -4a(ax 0 2 +bx 0 +c)<0 thì phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x=x 0 . 2) Nếu D 0 thì phơng trình có các nghiệm: 0 0 () 2 xx ax b x a = + = 0 0 *Nhận xét: 1)Nếu biết trớc x 0 là một nghiệm của phơng trình (1) thì điều kiện cần và đủ để phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt là: 22 00000 2 2 000 () ()4( ) ax ax b x ax bx c ax b a ax bx c +++++ = + + + > 2) Nếu x 0 là một nghiệm của phơng trình (1) thì có thể phân tích ax 3 +bx 2 +cx+d=(x-x 0 ).f(x) (2) Trong đó f(x) là một tam thức bậc hai 3) Nếu x 1 ;x 2 ;x 3 là các nghiệm của phơng trình (1) thì ta có phân tích ax 3 +bx 2 +cx+d=a(x-x 1 )(x-x 2 )(x-x 3 ), từ đó ta có công thức Viet cho phơng trình bậc ba: 123 12 23 31 123 b xxx a c xx xx xx a d xxx a ++= ++= = Dạng 2.Phơng trình hồi quy bậc ba Đó là phơng trình ax 3 +bx 2 +cx+d (3) với ac 3 =bd 3 (a ,d 0) (4) Từ (4) suy ra 1) Nếu c=0 b=0 , khi đó phơng trình (3) trở thành ax 3 +d=0Ô 3 d x a = 2) Nếu c 0 b 0 và 3 () dc ab = Đặt 0 c x b = thì c=-bx 0 , d=-ax 0 3 Thay vào phơng trình (3) ta đợc ax 3 +bx 2 -bx 0 x-ax 0 3 =0 Ô a(x 3 -x 0 3 )+bx(x-x 0 )=0 Ô (x-x 0 )[ax 2 +(ax 0 +b)x+ax 0 2 ]=0 Vậy 0 c xx b == là một nghiệm Nếu D =(ax 0 +b) 2 -4a 2 x 0 2 0 thì phơng trình còn có nghiệm 0 () 2 ax b x a + = Nhận xét:Nếu phơng trình bậc ba là hồi quy thì nó luôn có một nghiệm là 0 c x b = Dạng 3. Phơng trình có dạng = 3 43 với xxm m1 Đặt m= cosa =cos(a 2p ) Khi đó == 3 cos cos(3 ) 4cos 3cos 333 Do đó phơng trình có ba nghiệm là == 12,3 2 cos ; cos 33 xx Dạng 4. Phơng trình dạng = > 3 43 với xxm m1 Trớc hết dễ thấy rằng phơng trình = + 33 3 11 43 ( )(*)(0 2 xx a a a ) luôn có nghiệm là =+ 11 () 2 xa a Mặt khác phơng trình = > 3 với xxm m43 chỉ có một nghiệm duy nhất 1 Thậ vậy, phơng trình không có nghiệm trong [-1,1] vì nếu trái lại x=x 0 [-1,1] là nghiệm thì đặt x= cos a . Khi đó = > 3 43cos31 (vì mxx m 1) Giả sử phơng trình có nghiệm x=x 1 với 1 1x > Khi đó 4x 1 3 -3x 1 =m. Vậy ta có phơng trình: 4x 3 -3x=4x 1 3 -3x 1 Ô 4(x 3 -x 1 3 )-3(x-x 1 )=0 Ô (x-x 1 )[4x 2 +4x 1 x+4x 1 2 -3]=0 Có D' =4x 1 2 -4(4x 1 2 -3)=12-12x 1 2 < 0 do 1 1x > Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x=x 1 ( chú ý rằng một phơng trình bậc ba luôn có ít nhất một nghiệm. Đặt =+ = 33 3 11 () với 2 ma amm a 2 1 Khi đó theo (*) nghiệm duy nhất x 1 của phơng trình là: =+= + + 33 22 111 ()( 1 22 xa mm mm a 1) Dạng 5: Phơng trình dạng: 4x 3 +3x=m Nhận xét rằng nếu x=x 0 là nghiệm của phơng trình thì nghiệm đó là duy nhất. Thậy vậy, xét x>x 0 , khi đó 4x 3 +3x>4x 0 3 +3x 0 =m nên x không là nghiệm Tơng tự với x<x 0 cũng không là nghiệm Đặt = 11 ( 2 xa a ) , khi đó dễ dạng kiểm tra rằng: += 33 3 11 4 3 ( ) (**) 2 xx a a Từ đó suy ra cách giải nh sau: Đặt = =+ 33 3 11 () với a 2 ma mm a 2 1 Khi đó theo (**) nghiệm duy nhất của phơng trình đó là: == + +++ 33 22 111 ()( 1 22 xa mm mm a 1) Dạng 6: Dạng tổng quát at 3 +bt 2 +ct+d=0 Bằng cách chia cả hai vế cho a, ta có thể coi a=1. Viết lại phơng trình dới dạng t 3 +at 2 +bt+c=0 1) Đặt = 3 a ty , khi đó có thể viết phơng trình dới dạng: +++= = =+ 32 3 23 ()()() 333 a2 trong đó p= ; 3273 aaa yaybyc ypyq aab bq c 0 Nếu p=0 thì phơng trình có nghiệm duy nhất: = 3 x q Nếu p>0.Đặt = 2. 3 p yx Khi đó phơng trình sẽ có dạng :4x 3 -3x=m với 33 2 q m p p = đó là phơng trình dạng 4. Nếu p<0, đặt 2 3 p yx = , khi đó phơng trình sẽ có dạng: 4x 3 +3x=m đó là phơng trình dạng 5. II. Phơng trình bậc bốn. Trong phần này sẽ đa ra phơng pháp giải phơng trình bậc bốn với hệ số tuỳ ý. Các dạng phơng trình đặc biệt đã đợc đề cập ở bài trớc. ở đây đa ra cách giải những phơng trình tổng quát hơn. 1.Phơng trình x 4 =ax 2 +bx+c (1) Viết lại phơng trình đã cho dới dạng: (x 2 + a ) 2 =(a+2a)x 2 +bx+c+a 2 (2) Chọn a để vế phải có D =0 tức là b 2 -4(a+2a)(c+a 2 )=0. Luôn có số a nh vậy vì đó là một phơng trình bậc ba đối với ẩn a. Khi đó vế phải là bình phơng của một nhị thức và ta có thể đa phơng trình (2) về tích của hai phơng trình bậc hai. 2. Phơng trình tổng quát :t 4 +at 3 +bt 2 +ct+d=0 Đặt 4 a tx = , thay vào phơng trình, sau khi biến đổi ta sẽ đợc phơng trình dạng x 4 =Ax 2 +Bx+C. áp dụng cách giải ở trên ta tìm đợc nghiệm của phơng trình đã cho. III. Bài tập tự giải Bài 1. a) Giải phơng trình x 4 =3x 2 +10x+4 b) x 3 =6x 2 +1 Bài 2. Giải phơng trình a(ax 2 +bx+c) 2 +b(ax 2 +bx+c)+c=x Bài 3. (ĐH Ngoại thơng-2000).Giải phơng trình (x 2 +3x-4) 2 +3(x 2 +3x-4)=x+4 Bài 4.Giải hệ phơng trình a) 3 3 22 22 xy yx  =−   =−   b) 3 3 33 33 x y yx  =−   =−   c) 0 3 4 1 8 xyz xy yz zx xyz   ++=   ++=−    =   Bµi 5. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh a) 3 1 4x -3x= 2 b) 3 1 43 4 xx += c)x 4 =4x+1 . x 3 =2x+x=3x Ô 0 3 3 x x x = = = +) x 2 +y 2 +xy-1=0, kết hợp với phơng trình (1)ta đợc: 22 3 3 23 2 3 3 642 3 23 3 2 10 2 2 (2).(2)1 2 33 10 2 (1)0 21 1 1 xyxy xxy yx. Ngoại thơng-2000) .Giải phơng trình (x 2 +3x-4) 2 +3( x 2 +3x-4)=x+4 Bài 4 .Giải hệ phơng trình a) 3 3 22 22 xy yx  =−   =−   b) 3 3 33 33 x y yx  =−   =−  