1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Tài liệu Lượng giác_Chương 8 pdf

11 252 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 11
Dung lượng 214,59 KB

Nội dung

CHƯƠNG VIII PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM Áp dụng Nếu A 0B0 AB0 ≥∧ ≥ ⎧ ⎨ += ⎩ thì A = B = 0 Bài 156 Giải phương trình: 22 4cos x 3tg x 4 3cosx 2 3tgx 4 0 (*)+− + += Ta có: () ( ) ⇔−++ ⎧ = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ =− ⎪ ⎩ π ⎧ =± + π ∈ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ =− ⎪ ⎩ π ⇔=−+ π ∈   22 (*) 2 cos x 3 3tgx 1 0 3 cos x 2 1 tgx 3 xk2,k 6 1 tgx 3 xk2,k 6 = Bài 157 Giải phương trình: ( ) 2 8cos4x.cos 2x 1 cos3x 1 0 *+− += Ta có: () ( ) ⇔ +++−* 4cos4x 1 cos4x 1 1 cos3x 0= () () ⇔+++− ⇔++−= ⎧⎧ =− =− ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ ⎪⎪ ==π∈ ⎩⎩  2 2 4cos 4x 4cos4x 1 1 cos3x 0 2cos4x 1 1 cos3x 0 11 cos 4x cos 4x 22 cos 3x 1 3x k2 , k = ⎧ =− ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ π ⎪ =∈ ⎪ ⎩  1 cos 4x 2 k2 x , k (có 3 đầu ngọn cung) 3 = = = = + = + 1 cos 4x 2 22 x +m2hay xm2hayxm2,m 33 2 xm2,m 3 (ta nhaọn = k1 vaứ loaùi k = 0 ) Baứi 158 Giaỷi phửụng trỡnh: () () 2 233 sin 3x sin x cos 3xsin x sin 3x cos x sin x sin 3x * 3sin4x ++= 2 Ta coự: 33 cos 3x.sin 3x sin 3x.cos x+ () ( ) () = + = + = == 33 33 33 2 4cosx 3cosxsinx 3sinx 4sinxcosx 3cos x sin x 3sin x cos x 3sin x cos x cos x sin x 33 sin 2x.cos 2x sin 4x 24 2 () () + = += + = 22 2 2 242 2 222 1 Vaọy: * sin x sin 3x sin x sin 3x vaứ sin 4x 0 4 111 sin 3x sin x sin 3x sin 3x 0 vaứ sin 4x 0 244 11 sin 3x sin x sin 3x 1 sin 3x 0 vaứ sin 4x 0 24 += = = = 2 22 2 11 sin 3x sin x sin 6x 0 vaứ sin 4x 0 216 sin 4x 0 1 sin 3x sin x 2 sin3x0cos3x0 == = = sin 4x 0 sin 4x 0 1 sin 3x 0 sin x 2 sin x 0 (VN) sin 3x 1 = = 3 sin 4x 0 1 sin x 2 3sinx 4sin x 1 ≠ ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ = ⎪ ⎩ ≠ ⎧ ⎪ ⇔ ππ ⎨ =+ π∨ + π∈ ⎪ ⎩ ππ ⇔=+π∨= +π∈   sin 4x 0 1 sin x 2 sin 4x 0 5 xk2 k2,k 66 5 xk2x k2,k 66 Trường hợp 2 Phương pháp đối lập Nếu A MB AB ≤≤ ⎧ ⎨ = ⎩ thì A BM = = Bài 159 Giải phương trình: −=+ 44 sin x cos x sin x cos x (*) Ta có: (*) ⇔−=+ 22 sin x cos x sin x cos x ⇔− = + ≤ ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ =+ ⎪ ⎩ ≤ ⎧ ≤ ⎧ ⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ = =± −= ⎪ ⎩ ⎩ ⇔=− π ⇔=+π∈ 2 2 cos 2x sin x cos x cos 2x 0 cos 2x 1 2 sin x cos x cos 2x 0 cos 2x 0 sin 2x 0 (cos 2x 1) sin 2x 2 sin 2x cos 2x 1 xk,k 2 Cách khác Ta có −≤ ≤≤+ 44 4 x cos x sin x sin x sin x cos xsin Do đó = ⎧ ⎪ ⇔⇔= ⎨ = ⎪ ⎩ 4 cos x 0 (*) cos x 0 sin x sin x π =+π∈xk,k 2 ⇔ Bài 160: Giải phương trình: () 2 cos 2x cos 4x 6 2sin 3x (*)−=+ Ta có: (*) 22 4 sin 3x.sin x 6 2sin 3x⇔=+ • Do: và 2 sin 3x 1≤ 2 sin x 1 ≤ nên 22 4sin 3xsin x 4 ≤ • Do nên 62≥−sin 3x 1 sin3x4 + ≥ Vậy 22 4 sin 3x sin x 4 6 2sin 3x≤≤+ Dấu = của phương trình (*) đúng khi và chỉ khi ⎧ = ⎧ ⎪ = =⇔ ⎨⎨ = − ⎩ ⎪ =− ⎩ 2 2 2 sin 3x 1 sin x 1 sin x 1 sin 3x 1 sin 3x 1 π ⎧ =± + π ∈ π ⎪ ⇔⇔=+ ⎨ ⎪ =− ⎩  π∈  xk2,k xk2,k 2 2 sin 3x 1 Bài 161 Giải phương trình: 33 cos x sin x 2cos2x(*) sin x cos x − = + Điều kiện: si n x 0 cos x 0≥∧ ≥ Ta có: (*) ()( ) ( ) ( ) 22 cos x sin x 1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x⇔− + = − + () () −= ⎡ ⎢ ⇔ +=+ + ⎢ ⎣ cos x sin x 0 (1) 1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x (2) Ta có:  (1) π ⇔=⇔=+π∈  tgx 1 x k , k 4  Xét (2) Ta có: khi si thì n x 0≥ ≥≥ 2 sin x sin x sin x Tương tự ≥≥ 2 cos x cos x cos x Vậy si và n x cos x 1+≥ sin x cos x 1 + ≥ Suy ra vế phải của (2) thì 2≥ Mà vế trái của (2): 13 1sin2x 22 +≤ Do đó (2) vô nghiệm Vậy: (*) π ⇔=+π∈  xk,k 4 Bài 162: Giải phương trình: 3 cos x cos x 1 2(*)−− += Ta có: (*) 3cosx 2 cosx1⇔− =+ + () 3cosx 5cosx4cosx1 2cosx 1 4 cosx 1 ⇔− =+ + + ⇔− + = + Ta có: ( ) 2cosx 1 0 x−+≤∀ mà 4cosx 1 0x+≥∀ Do đó dấu = của (*) xảy ra cos x 1 ⇔ =− ⇔ =π+ π ∈  xk2,k Bài 163: Giải phương trình: ( ) 22 cos3x 2 cos 3x 2 1 sin 2x (*)+− = + Do bất đẳng thức Bunhiacốpski: 222 2 A XBY A B.X Y+≤ + + nên: ( ) 222 1cos3x 1 2 cos 3x 2. cos 3x 2 cos 3x 2+− ≤ +− = Dấu = xảy ra 2 cos3x 2 cos 3x⇔=− 22 cos3x 0 cos 3x 2 cos 3x cos3x 0 cos3x 1 cos3x 1 ≥ ⎧ ⇔ ⎨ =− ⎩ ≥ ⎧ ⇔⇔ ⎨ =± ⎩ = Mặt khác: () 2 21 sin 2x 2+≥ dấu = xảy ra sin 2x 0⇔= Vậy: ( ) 22 cos3x 2 cos 3x 2 2 1 sin 2x+− ≤≤ + dấu = của (*) chỉ xảy ra khi: =∧ = = ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ π =∈ ⎪ ⎩ ⇔= π ∈   cos 3x 1 sin 2x 0 cos 3x 1 k x,k(có4đầungọncun 2 x2m,m g) Bài 164: Giải phương trình: 22 5 tg x cotg x 2sin x (*) 4 π ⎛⎞ += + ⎜⎟ ⎝⎠ Điều kiện: sin 2x 0 ≠ • Do bất đẳng thức Cauchy: 22 tg x cotg x 2 + ≥ dấu = xảy ra khi tgx cotgx = • Mặt khác: sin x 1 4 π ⎛⎞ + ≤ ⎜⎟ ⎝⎠ nên 5 2sin x 2 4 π ⎛⎞ +≤ ⎜⎟ ⎝⎠ dấu = xảy ra khi sin x 1 4 π ⎛⎞ + = ⎜⎟ ⎝⎠ Do đó: 22 5 tg x cotg x 2 2sin x 4 π ⎛⎞ +≥≥ + ⎜⎟ ⎝⎠ Dấu = của (*) xảy ra tgx cotgx sin x 1 4 = ⎧ ⎪ ⇔ π ⎨ ⎛⎞ + = ⎜⎟ ⎪ ⎝⎠ ⎩ ⎧ = ⎪ ⇔ ⎨ π = +π∈ ⎪ ⎩ π ⇔=+ π∈   2 tg x 1 xk2,k 4 xk2,k 4 Trường hợp 3: Áp dụng: Nếu A MvàB M A M thì A BMN BN ≤≤ ⎧⎧ ⎨⎨ += + = ⎩⎩ = = ⎧ +=⇔ ⎨ = ⎩ sin u 1 sin u sin v 2 sin v 1 = ⎧ −=⇔ ⎨ = − ⎩ sin u 1 sin u sin v 2 sin v 1 = − ⎧ +=−⇔ ⎨ = − ⎩ sin u 1 sin u sin v 2 sin v 1 Tương tự cho các trường hợp sau ±=± ±=±sin u cos v 2 ; cos u cos v 2 Bài 165: Giải phương trình: () 3x cos 2x cos 2 0 * 4 +−= Ta có: () 3x *cos2xcos 4 ⇔+ 2= 3x Do cos 2x 1 và cos 1 4 ≤ ≤ nên dấu = của (*) chỉ xảy ra () =π ∈ = ⎧ ⎧ ⎪⎪ ⇔⇔ ⇔=π π ⎨⎨ =∈ = ⎪⎪ ⎩ ⎩ π π= ⇔ = =∈Ζ =  ∈   xk,k cos 2x 1 x8m,m 8h 3x x,h cos 1 3 4 8h 8h Do : k k 33 để k nguyên ta chọn h 3m m ( thì k 8m ) Cách khác ==π∈ ⎧⎧ ⎪⎪ ⇔⇔=π∈ ⎨⎨ π == ⎪⎪ ⎩⎩   cos 2x 1 x k , k x8m,m 3x 3k cos 1 cos 1 44 Bài 166: Giải phương trình: () cos2x cos4x cos6x cosx.cos2x.cos3x 2 *++= + () 2 cos2x cos 4x cos6x 2cos 3x cos x 2 cos 3x 1 2cos3x cosx cos3x 1 4 cos 3x.cos 2x.cos x 1 ++ = + − = +− =− Vậy: () 1 cos3x.cos2x.cos x cos2x 6cos4x cos6x 1 4 = +++ Do đó: () () () ⇔++= ++ ⇔++= 19 * cos 2x cos 4x cos 6x cos2x cos 4x cos6x 44 39 cos2x cos4x cos6x 44 + ⇔ ++= ==π∈ ⎧⎧ ⎪⎪ ⇔=⇔= ⎨⎨ ⎪⎪ == ⎩⎩  cos2x cos4x cos6x 3 cos 2x 1 2x k2 , k (1) cos 4x 1 cos4x 1 (2) cos 6x 1 cos 6x 1 (3) ⇔ = π∈⇔=π∈  2x k2 ,k x k ,k ( Thế (1) vào (2) và (3) ta thấy hiển nhiên thỏa) Bài 167: Giải phương trình: ( ) cos2x3sin2x3sinxcosx40*−−−+= Ta có: () ⎛⎞⎛ ⇔=− + + + ⎜⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ 13 31 * 2 cos2x sin 2x sin x cos x 22 22 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ππ ⎛⎞⎛ ⇔= − + + ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ 2sin2x sinx 66 ⎞ ⎟ ⎠ ⎧π ⎛⎞ ππ ⎧ −= − =+ π∈ ⎜⎟ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ ππ π ⎛⎞ ⎪⎪ +=+ π∈ += ⎜⎟ ⎪ ⎪ ⎩ ⎝⎠ ⎩ π ⎧ =+π∈ ⎪ π ⎪ ⇔⇔=+π ⎨ π ⎪ =+ π∈ ⎪ ⎩ ∈      sin 2x 1 2x k2 ,k 6 62 xh2,h sin x 1 62 6 xk,k 3 xh,h 3 xh2,h 3 Cách khác ⎧π ⎛⎞ ⎧π ⎛⎞ −= −= ⎜⎟ ⎪ ⎜⎟ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎪ ⎝⎠ ⇔⇔ ⎨⎨ π ππ ⎛⎞ ⎪⎪ += + =+ π∈ ⎜⎟ ⎪⎪ ⎩ ⎝⎠ ⎩  sin 2x 1 sin 2x 1 6 6 (*) sin x 1 xh2,h 6 62 ⎧π ⎛⎞ −= ⎜⎟ ⎪ π ⎪ ⎝⎠ ⇔⇔=+ ⎨ π ⎪ =+ π∈ ⎪ ⎩ π∈   sin 2x 1 6 xh,h 3 xh2,h 3 Bài 168: Giải phương trình: () 4cosx2cos2xcos4x1*−−= Ta có: () ( ) ( ) ⇔ −−−− 22 * 4 cos x 2 2cos x 1 1 2sin 2x 1= ⇔− + = ⇔= −+ = 222 2 4cosx 4 cos x 8sin x cos x 0 cos x 0 hay 1 cos x 2sin x cos x 0 ( ) ⇔= + −= ⇔= − = 2 cos x 0 hay 1 cos x 2 sin x 1 0 cos x 0 hay 1 cos x cos 2x 0 ( * *) () ⇔= − + = ⇔=∨ += 1 cos x 0 hay 1 cos 3x cos x 0 2 cos x 0 cos 3x cos x 2 = ⎧ ⇔=∨ ⎨ = ⎩ cos 3x 1 cos x 0 cos x 1 = ⎧ ⇔=⇔ ⎨ − = ⎩ ⇔=∨= π ⇔=+π∨= π∈ 3 cos x 1 cos x 0 4cos x 3cosx 1 cos x 0 cos x 1 xkxk2,k 2 Cách khác ⇔= =( * *) cos x 0 hay cos x cos 2x 1 − == ⎧⎧ ⇔=∨ ∨ ⎨⎨ = =− ⎩⎩ cos x 1 cos x 1 cos x 0 cos2x 1 cos2x 1 =π∈ =π+ π∈ ⎧⎧ π ⇔=+π∈∨ ∨ ⎨⎨ ==− ⎩⎩   xk2,k x k2,k (loại xk,k cos 2x 1 cos 2x 1 2 ) π ⇔=+π∨= π∈  xkxk2,k 2 Bài 169: Giải phương trình: () 1 tg2x tg3x 0 * sin x cos 2x cos 3x ++ = Điều kiện: sin 2x cos 2x cos 3x 0 ≠ Lúc đó: () ⇔++ sin 2x sin 3x 1 *0 cos2x cos 3x sin x.cos2x.cos 3x = += = () ⇔+ ⇔++ sin2xsinxcos3x sin3xsinx.cos2x 1 0 sin x sin 2x cos 3x sin 3x cos 2x 1 0 () ⇔=− ⇔− − =− ⇔−= == ⎧⎧ = ⎧ ⎪⎪ ⇔⇔−=⇔− ⎨⎨ ⎨ =− ⎩ ⎪⎪ = −=− ⎩⎩ 33 2 sin x.sin 5x 1 1 cos6x cos4x 1 2 cos 6x cos4x 2 tcos2x tcos2x cos6x 1 4t 3t 1 4t 3t 1 cos4x 1 t0 2t 1 1 = Do đó: (*) vô nghiệm. Cách khác = =− ⎧⎧ ⇔=−⇔ ⎨⎨ = −= ⎩⎩ sin x 1 sin x 1 sin x.sin 5x 1 hay sin 5x 1 sin 5x 1 ππ ⎧⎧ =+ π∈ =−+ π∈ ⎪⎪ ⇔ ⎨⎨ ⎪⎪ =− = ⎩⎩ xk2,k x k2,k hay 22 sin 5x 1 sin 5x 1 x⇔∈∅ Bài 170: Giải phương trình: ( ) 22 cos 3x.cos2x cos x 0 *−= Ta có: () () () ⇔ +−+ 11 * 1 cos 6x cos2x 1 cos 2x 0 22 = () ⇔ = ⇔ += ⇔+= = ⎧ ⇔ ⎨ = ⎩ ⎧ −= ⇔ ⎨ = ⎩ ⎧ = ⇔ ⎨ = ⎩ ⇔= ⇔=π∈ π ⇔= ∈   2 2 cos 6x cos 2x 1 1 cos 8x cos 4x 1 2 cos 8x cos 4x 2 cos 8x 1 cos 4x 1 2cos 4x 1 1 cos 4x 1 cos 4x 1 cos 4x 1 cos 4x 1 4x k2 ,k k x,k 2 Cách khác ⇔=cos 6x cos 2x 1 = =− ⎧⎧ ⇔ ⎨⎨ = =− ⎩⎩ cos2x 1 cos2x 1 hay cos6x 1 cos6x 1 =π∈ =π+π∈ ⎧⎧ ⇔ ⎨⎨ ==− ⎩⎩ 2x k2 , k 2x k2 , k hay cos 6x 1 cos 6x 1 π =∈  k x,k 2 Cách khác == ⎧⎧ ⇔ ⎨⎨ ==π∈ ⎩⎩ cos8x 1 cos8x 1 cos 4x 1 4x k2 , k  π ⇔= ∈  k x,k 2 Trường hợp 4: DÙNG KHẢO SÁT HÀM SỐ y = a x là hàm giảm khi 0< a <1. Do đó ta có sin sin , , cos s , , mn mn xxnmxkk xcoxnmx kk π π π π <⇔>∀≠+∈ <⇔>∀≠+ 2 2 ∈   sin sin , cos s , mn mn x xnmx x co x n m x ≤⇔≥ ≤⇔≥ ∀ ∀ Bài 171: Giải phương trình: () 2 x 1cosx 2 −= * Ta có: () 2 x *1 cos 2 ⇔= + x Xét 2 x ycosxtrên 2 =+ R Ta có: y' x sinx=− và y'' 1 cosx 0 x R = −≥∀∈ Do đó y’(x) là hàm đồng biến trên R Vậy () ( ) ( ) x0,:x0nêny'xy'0∀∈ ∞ > > =0 () ( ) ( ) x,0:x0nêny'xy'0∀∈−∞ < < =0 Do đó: Vậy : 2 x ycosx1x 2 =+ ≥∀∈R Dấu = của (*) chỉ xảy ra tại x = 0 Do đó () *x0 ⇔ =• [...]...Bà i 172: Giả i phương trình sin 4 x + sin 6 x = sin 8 x + sin10 x (*) Ta có ⎧sin 4 x ≥ sin 8 x và dấu =xảy ra khi và chỉ khi sin 2 x = 1hay sinx = 0 ⎪ ⎨ 6 10 2 ⎪ sin x ≥ sin x và dấu =xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1 hay sinx = 0 ⎩ ⇔ sin 2 x = 1 ∨ sinx = 0 π ⇔ x = ± + k 2π... sin2 x ) − 1 + sin 3 x = 0 4 π⎞ ⎛ sin 4x − cos 4x = 1 + 4 2 sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ 1 sin 2 x + sin 2 3x = sin x sin 2 3x 4 sin x π = cos x 5 2 cos x + 2 sin 10x = 3 2 + 2 cos 28x sin x 6 ( cos 4x − cos 2x ) 7 sin x + cos x = 2 ( 2 − sin 3x ) 8 sin 3x ( cos 2x − 2 sin 3x ) + cos 3x (1 + sin 2x − 2 cos 3x ) = 0 9 tgx + tg2x = − sin 3x cos 2x 10 2 log a ( cot gx ) = log 2 ( cos x ) 2 3 2 = 5 + sin 3x 12 ⎡ π⎤ 2sin... sin x = 1 13 cos 2x − cos 6x + 4 ( sin 2x + 1) = 0 14 sin x + cos x = 2 ( 2 − cos 3x ) 15 sin3 x + cos3 x = 2 − sin4 x 16 17 cos2 x − 4 cos x − 2x sin x + x 2 + 3 = 0 sin x 2 + sin x = sin 2 x + cos x 18 3 cot g 2 x + 4 cos2 x − 2 3 cot gx − 4 cos x + 2 = 0 11 Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi Vĩnh Viễn) . 1 x8m,m 8h 3x x,h cos 1 3 4 8h 8h Do : k k 33 để k nguyên ta chọn h 3m m ( thì k 8m ) Cách khác ==π∈ ⎧⎧ ⎪⎪ ⇔⇔=π∈ ⎨⎨ π == ⎪⎪ ⎩⎩   cos 2x 1 x k , k x8m,m 3x. () ⇔ = ⇔ += ⇔+= = ⎧ ⇔ ⎨ = ⎩ ⎧ −= ⇔ ⎨ = ⎩ ⎧ = ⇔ ⎨ = ⎩ ⇔= ⇔=π∈ π ⇔= ∈   2 2 cos 6x cos 2x 1 1 cos 8x cos 4x 1 2 cos 8x cos 4x 2 cos 8x 1 cos 4x 1 2cos 4x 1 1 cos 4x 1 cos 4x 1 cos 4x 1 cos 4x

Ngày đăng: 25/01/2014, 20:20

w