Bo de hoc sinh gioi lop 8

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 BỘ ĐỀ HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Tài liệu sưu tầm, ngày 09 tháng 10 năm 2021 Website: tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC THÁNG LỚP THCS TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC: 2020 – 2021 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 23/3/3021 Câu 1: (3,0 điểm) Chứng minh 4.5n +1 − 2n +3 − 2.5n − 2n chia hết cho 18 với số nguyên dương n Phân tích đa thức x3 + 13 x y + 13 xy + y thành nhân tử Câu 2: (3,0 điểm) Cho biểu thức A =   x− y  y2 x2 2x2 y  với xy ≠ , x ≠ ± y − − : xy  ( x − y )2 ( x + y ) ( x − y )2 ( x − y ) ( x + y )    Rút gọn biểu thức A Tính giá trị A x , y thỏa mãn x3 − y = xy ( x − y ) Câu 3: (3,0 điểm) Giải phương trình x2 − 4x + x2 − 5x + +2= 2x +1 x +1 Tìm tất cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn phương trình xy + xy − 27 y + x = Câu 4: (3,0 điểm) Tìm tất số tự nhiên n cho n + 3n + số phương Cho 2021 số không âm x1 , x2 , , x2021 thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau: i) x1 ≥ x2 ≥ x2021 ; ii) x1 + x2 ≤ 2021 ; iii) x3 + x4 + + x2021 ≤ 2021 Tìm giá trị lớn biểu thức P = x12 + x22 + + x2021 Câu 5: (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD Gọi M điểm tùy ý cạnh BC ( M khác B C ) Kẻ tia Ax vng góc với tia AM cắt CD N Gọi H trung điểm MN , tia AH cắt CD K Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AK E Chứng minh AM = AN tứ giác EMKN hình thoi Chứng minh NA2 = NC.NK Khi điểm M thay đổi cạnh BC , chứng minh chu vi tam giác MKC khơng đổi Câu 6: (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AC > BD Vẽ CE vng góc với AB E CF vng góc với AD F Cho biết đường chéo AC = a , tính AB AE + AD AF theo a = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC THÁNG LỚP THCS TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU Năm học: 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: (3,0 điểm) Chứng minh 4.5n +1 − 2n +3 − 2.5n − 2n chia hết cho 18 với số nguyên dương n Phân tích đa thức x3 + 13 x y + 13 xy + y thành nhân tử Lời giải 1) Với số nguyên dương n ta có: 4.5n +1 − 2n +3 − 2.5n − 2n= ( 4.5 n +1 − 2.5n ) − ( 2n + 2n +3 ) = 5n ( 4.5 − ) − 2n−1 ( + 24 ) = 5n.18 − 2n−1.18 Vì 5n.1818 2n−1.1818 nên ( 5n.18 − 2n−1.18 )18 hay 4.5n +1 − 2n +3 − 2.5n − 2n chia hết cho 18 2) Ta có: x + 13 x y + 13 xy + y = ( x + y ) + (13 x y + 13 xy ) = ( x + y ) + 13 xy ( x + y ) = ( x + y ) ( x − xy + y ) + 13 xy ( x + y ) = ( x + y ) ( x − xy + y + 13 xy ) =3 ( x + y ) ( x + 12 xy + y ) Câu 2: (3,0 điểm)   x− y  y2 2x2 y x2  với xy ≠ , x ≠ ± y Cho biểu thức A = − − : xy  ( x − y )2 ( x + y ) ( x − y )2 ( x − y ) ( x + y )    Rút gọn biểu thức A Tính giá trị A x , y thỏa mãn x3 − y = xy ( x − y ) Lời giải 1) Với xy ≠ , x ≠ ± y , ta có: = A = A   x− y  y2 2x2 y x2  − − : xy  ( x − y )2 ( x + y ) ( x − y )2 ( x − y ) ( x + y )     x− y  y2 2x2 y x2 − − : 2 2 xy  ( x − y ) ( x + y ) ( x − y ) ( x + y ) ( x − y )( x + y )  Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com = A y2 ( x + y ) x2 ( x − y )  x− y  x2 y − − :  xy  ( x − y )2 ( x + y )2 ( x − y )2 ( x + y )2 ( x − y )2 ( x + y )2  x − y xy + y − x y − x + x y A= : 2 xy ( x − y) ( x + y) A= x − y xy + y − x y − x3 : 2 xy ( x − y) ( x + y) x − y ( x + y) ( y − x) A= : xy ( x − y )2 ( x + y )2 x − y ( x − y) ( x + y) A= xy ( x + y )2 ( y − x ) A= ( x − y) − 2 xy 2) Ta có: x3 − y = xy ( x − y ) ⇔ x − y − x y + xy = ⇔ x3 − y − xy + y − x y + xy = ⇔ ( x − y ) − ( xy − y ) − ( x y − xy ) = ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y ) − y ( x − y ) − xy ( x − y ) = ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y ) =   11  ⇔ ( x − y )  x + y  + y  =    ⇔x= 2y Thay x = y vào biểu thức A = ( x − y) − xy (2y − y) − ta A = 2y 2 −1 = Câu 3: (3,0 điểm) Giải phương trình x2 − 4x + x2 − 5x + +2= 2x +1 x +1 Tìm tất cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn phương trình xy + xy − 27 y + x = Lời giải 1) ĐKXĐ x ≠ −1; x ≠ − Khi đó: Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com x − x + 1) ( x + 1) ( x + 1)( x + 1) x − x + 1) ( x + 1) ( ( x2 − 4x + x2 − 5x + + =− ⇔ + = − 2x +1 x +1 ( x + 1)( x + 1) ( x + 1)( x + 1) ( x + 1)( x + 1) ⇒ ( x − x + 1) ( x + 1) + ( x + 1)( x + 1) = − ( x − x + 1) ( x + 1) ⇔ 3x3 − x + = ⇔ 3x3 − 3x − x + = ⇔ x ( x − 1) − ( x − 1)( x + 1) = ⇔ ( x − 1) ( x − x − ) = ⇔ ( x − 1)( x + )( x − ) =  x =  ⇔ x = (tmđk)  x = −  2  Vậy tập nghiệm phương trình = S 1; 2; −  3  2) Từ xy + xy − 27 y + = x= ⇔ x 27 y = ( y + y + 1) 27 y ( y + 1) (*) Vì y ≥ nên ( y + 1) ≥ Khi < 27 y ( y + 1) ≤ 27 27 hay < x ≤ 4 Mà x nguyên dương nên x ∈ {1; 2;3; 4;5;6} Thay x vào (*) x = tìm y = thỏa mãn yêu cầu toán Câu 4: (3,0 điểm) Tìm tất số tự nhiên n cho n + 3n + số phương Cho 2021 số khơng âm x1 , x2 , , x2021 thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau: i) x1 ≥ x2 ≥ x2021 ; ii) x1 + x2 ≤ 2021 ; iii) x3 + x4 + + x2021 ≤ 2021 Tìm giá trị lớn biểu thức P = x12 + x22 + + x2021 Lời giải 1) Xét A = n + 3n + , A số phương 4A số phương Khi giả sử 4A = a ( a ∈ N * ) suy 4n + 12n + 32 = a2 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com ⇔ ( 2n ) + 2.2n.3 + 32 + 23 = a2 a2 ⇔ ( 2n + 3) + 23 = ⇔ a − ( 2n + ) = 23 ⇔ ( a + 2n + 3)( a − 2n − 3) = 23 = 23.1 Vì n ∈ N , a ∈ N * nên a + 2n + > a + 2n + > a − 2n − 23  a + 2n + = a = 12 ⇔ Do  (thỏa)  a − 2n − = n = Thử lại thấy n = A = 42 + 3.4 + = 36 số phương Vậy n = thỏa mãn yêu cầu tốn Câu 5: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD Gọi M điểm tùy ý cạnh BC ( M khác B C ) Kẻ tia Ax vng góc với tia AM cắt CD N Gọi H trung điểm MN , tia AH cắt CD K Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AK E Chứng minh AM = AN tứ giác EMKN hình thoi Chứng minh NA2 = NC.NK Khi điểm M thay đổi cạnh BC , chứng minh chu vi tam giác MKC không đổi Lời giải Chứng minh AM = AN tứ giác EMKN hình thoi Xét ∆ABM ∆ADN có: )  = DAN  (cùng phụ với DAM =  = 900 ; BAM ABM ADN AB = AD ;  ∆ADN (cạnh huyền – góc nhọn) suy AM = AN (cạnh tương ứng) Nên ∆ABM = ∆HKN (góc – cạnh – góc) nên ME = NK (cạnh tương ứng) (1) Ta có: ∆HEM = Mà ME // AB ⇒ ME // DC ⇒ ME // NK (2) Từ (1) (2) suy EMKN hình bình hành (3) Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Lại có AM = AN nên ∆AMN cân A , mà H trung đểm MN nên AH đường trung tuyến đồng thời đường cao Suy AH ⊥ MN hay EK ⊥ MN (4) Từ (3) (4) suy EMKN hình thoi 2) Chứng minh NA2 = NC.NK Ta có ∆HNK ∽ ∆CNM (g.g) nên ∽ ANH ∽ ∆MNA (g.g) nên NK NH ⇒ NK NC = MN NH (*) = MN NC AN NH ⇒ NA2 = MN NH = MN NA (**) Từ (*) (**) suy NA2 = NC.NK Khi điểm M thay đổi cạnh BC , chứng minh chu vi tam giác MKC không đổi Ta có: Chu vi tam giác MKC MK + MC + KC ∆ADN (theo phần 1) nên MB = ND Vì ∆ABM = Mặt khác EMKN hình thoi nên MK = NK Khi MK + MC + KC = NK + MC + KC = ( ND + DK ) + KC + MC = MB + DK + KC + MC = ( MB + MC ) + ( DK + KC ) = BC + DC = BC (không đổi) Vì B, C cố định nên BC khơng đổi Do M di chuyển BC chu vi tam giác MKC không đổi Câu 6: (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AC > BD Vẽ CE vng góc với AB E CF vng góc với AD F Cho biết đường chéo AC = a , tính AB AE + AD AF theo a Lời giải Kẻ BH ⊥ AC ( H ∈ AC ) Ta có ∆AEC đồng dạng với ∆ABH (góc nhọn) nên: AB AH = ⇒ AB AE = AH AC AC AE (1)  = BCH  (so le trong) Xét hai tam giác vng ∆AFC ∆CHB có CAF nên ∆AFC ∽ ∆CHB (góc nhọn) suy Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 AF AC AC.CH = ⇒ AF BC = CH BC TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Mà BC = AD nên AF AD = AC.CH (2) Từ (1) (2) suy AB AE + AF AD = AC AH + AC.CH = AC ( AH + CH ) = AC = a Vậy điều phải chứng minh = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com TRƯỜNG THCS HỒNG DƯƠNG ĐỀ THI VÒNG II OLYMPIC NĂM HỌC: 2020 – 2021 ĐỀ THI THỬ SỐ 02 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (6,0 điểm) Cho biểu thức P =  x +1 x2 + x − x2  : + +  x2 − 2x +  x x −1 x2 − x  a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm x để P = −1 2 Giải phương trình x − = x + Bài 2: (4,0 điểm) 2010 Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun: x − y = Tìm số tự nhiên n để ( n − ) + 36 số nguyên tố Bài 3: (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức T = x + 12 x2 + Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC ) , đường cao AH Gọi M , N hình chiếu H AB, AC Đường thẳng qua A vng góc với MN I , cắt BC K Chứng minh: AN AC = AB AM Chứng minh K trung điểm BC Chứng minh: AB = BH HC AM BM + AN NC ≤ AK Tìm điều kiện tam giác ABC để diện tích hình chữ nhật AMHN lớn Bài 5: (1,0 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n ta có 5n + + 26.5n + 82 n +1  59 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Bài 1: (6,0 điểm) ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÒNG II OLYMPIC THCS HỒNG DƯƠNG Năm học: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Cho biểu thức P =  x +1 x2 + x − x2  + + :   x2 − 2x +  x x −1 x2 − x  a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm x để P = −1 2 Giải phương trình x − = x + Lời giải  x +1 x +x − x2  Xét biểu thức P = + + :  x2 − 2x +  x x −1 x2 − x  x ≠  a) ĐKXĐ:  x ≠  x ≠ −1  Khơng có điều kiện x ≠ −1 trừ 0, 25 điểm  x +1 x2 + x − x2  = + + P :  x2 − 2x +  x x −1 x2 − x  x( x + 1)  ( x + 1) ( x − 1) x − x2  = + + P :   x( x − 1) x( x − 1)  ( x − 1)  x ( x − 1) x( x + 1) x − + x + − x : P= x ( x − 1) ( x − 1) x ( x + 1) x ( x − 1) x( x + 1) x + x2 = = P = : 2 ( x − 1) x( x − 1) ( x − 1) x + x − x2 Vậy x ≠ 0, x ≠ ±1, P = x −1 b) P = x2 −1 −1 với x ∈ ĐKXĐ ⇔P= = x −1 ⇒ x = − x + ⇔ x + x − = ⇔ x + x − x − = ⇔ ( x − 1)( x + 1) = ⇔ x = (TM ĐKXĐ) x = −1 ( không TM ĐKXĐ) (Nếu không loại x = −1 trừ 0,5 điểm) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 11 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com PHÒNG GD&ĐT HUYỆN GIA LÂM ĐỀ THI HSG TOÁN NĂM HỌC: 2020 – 2021 Thời gian làm bài: 90 phút Bài 1: (5,0 điểm)   10 − x   x Cho biểu thức: = + + A   : x − 2+ x+2   x −4 2− x x+2  Rút gọn biểu thức A Tính giá trị A biết x + = Tìm giá trị x để A < Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Bài 2: (3,0 điểm) Giải phương trình sau: x +1 x + x + x + + = + 1 + + = 2 x + x x + 3x + x + x + Bài 3: (5,0 điểm) Cho biểu thức A = x + y − xy + 14 x − y + Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Chứng minh đa thức A ( x )= (x + x − 1) 2020 + ( x − x + 1) 2020 − chia hết cho đa thức B ( x )= x − Chứng minh a 3b − ab3 chia hết cho với số nguyên a b Chứng minh rằng: x + y ≤ x + y 4 Cho hai số x, y thỏa mãn x + y = Bài 4: (6,5 điểm) Cho hình vng ABCD có AB = a , hai đường chéo cắt O Trên hai cạnh AB, BC lấy hai điểm E G cho Gọi H giao điểm tia AG tia DC , I giao điểm tia OG đoạn thẳng BH Chứng minh rằng: ∆OGE vuông cân Tính diện tích tứ giác OEBG theo a Chứng minh rằng: EG //BI Gọi K giao điểm tia EO tia IC Chứng minh rằng: KG ⊥ EI = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG GIA LÂM Năm học: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (5,0 điểm)   10 − x   x Cho biểu thức: = + + A   : x − 2+ x+2   x −4 2− x x+2  Rút gọn biểu thức A Tính giá trị A biết x + = Tìm giá trị x để A < Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Lời giải ĐKXĐ: x ≠ ±2   10 − x   x 1) = + + − + A  x :    x+2   x −4 2− x x+2  A= x − ( x + ) + x − x − + 10 − x : x+2 ( x − )( x + ) A= −6 : ( x − )( x + ) x + A= −6 x+2 ( x − )( x + ) A= −1 x−2 2) Ta có: x + = 1 x + = ⇒  x + =−1  x = −2 (ko t / m) ⇒  x = −4 (t/m) = A Với x = −4 thay vào A ta có: 3) Để A < −1 = −4 − −1 < mà −1 < nên x − > ⇒ x > x−2 Vậy A < x > Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 4) Để A nhận giá trị nguyên −1 ∈  nên x − ∈ U (1) ={−1;1} ⇒ x ∈ {1;3} (thỏa mãn điều x−2 kiện) Bài 2: (3,0 điểm) Giải phương trình sau: x +1 x + x + x + + = + 1 + + = 2 x + x x + 3x + x + x + Lời giải x +1 x + x + x + + = + 1) ⇔ x +1 x+2 x+3 x+4 +1+ += +1+ +1 ⇔ x+7 x+7 x+7 x+7 + = + ⇔ x+7 x+7 x+7 x+7 + − − = 1 1 1 ⇔ ( x + 7)  + − −  =  3 ⇔ x+7 = ⇔x= −7 Vậy x = −7 2) 1 + + = ĐK: x ≠ 0; x ≠ −1; x ≠ −2; x ≠ −3 x + x x + 3x + x + x + ⇔ 1 + + = x ( x + 1) ( x + 1)( x + ) ( x + )( x + 3) ⇔ 1 1 1 − + − + − = x x +1 x +1 x + x + x + ⇔ 1 − = x x+3 ⇔ x + − x x ( x + 3) = x ( x + 3) x ( x + 3) ⇒ 3.4 = x ( x + 3) ⇔ x + 3x − = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com ⇔ ( x − 1)( x + ) =  x + =0  x =−4 ( thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ =  x −1 = x Vậy x = 1; x = −4 Bài 3: (5,0 điểm) Cho biểu thức A = x + y − xy + 14 x − y + Tìm giá trị nhỏ biểu thức A (x Chứng minh đa thức A ( x )= + x − 1) 2020 + ( x − x + 1) 2020 − chia hết cho đa thức B ( x )= x − Chứng minh a 3b − ab3 chia hết cho với số nguyên a b Chứng minh rằng: x + y ≤ x + y 4 Cho hai số x, y thỏa mãn x + y = Lời giải 1) A = x + y − xy + 14 x − y + 2 A= (x A= ( x − y + 1) + ( x + 3) + y + − xy + x − y ) + ( x + 12 x + ) − 2 − ≥ −5 x − y +1 = Dấu “=” xảy  ⇔ 2 x + = −1   y =   x = −3  −1   y = Vậy giá trị nhỏ A   x = −3  (x 2) Chứng minh đa thức A ( x )= + x − 1) 2020 + ( x − x + 1) 2020 − chia hết cho đa thức B ( x )= x − Ta thấy đa thức B ( x )= x − có nghiệm x = Mà A (1)= (1 + − 1) 2020 + (12 − + 1) 2019 − 2= nên đa thức A ( x ) phải có nhân tử x − Vậy nên đa thức A ( x ) chia hết cho đa thức B ( x ) 3) Chứng minh a 3b − ab3 chia hết cho với số nguyên a b ( ) ( ) Xét A = a 3b − ab3 = ab a − − ab b − Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com = A ab ( a − 1)( a + 1) − ab ( b − 1)( b + 1) Do a − 1; a; a + số nguyên liên tiếp nên ab ( a − 1)( a + 1) chia hết cho Tương tự : b − 1; b; b + số nguyên liên tiếp nên ab ( b − 1)( b + 1) chia hết cho Do vậy: = A ab ( a − 1)( a + 1) − ab ( b − 1)( b + 1) chia hết cho A a 3b − ab3 chia hết cho Do đó: = 4) Ta cần chứng minh: x + y ≤ x3 + y (1) x3 + y ≤ x + y (2) ( ) ( ) Thật vậy: x + y ≤ x + y ⇔ ( x + y ) x + y ≤ x + y x + y = ⇔ x3 + xy + x y + y ≤ x + y ⇔ ≤ x − xy − x y + y ⇔ ≤ x2 ( x − y ) − y ( x − y ) ⇔ ≤ ( x2 − y ) ( x − y ) ⇔ ≤ ( x + y )( x − y ) x + y = > 0; ( x − y ) ≥ 2 Từ (2) ⇔ x3 + y ≤ x + y ⇔ ( x + y ) ( x3 + y ) ≤ ( x + y ) x + y = ⇔ x + xy + x y + y ≤ x + y ⇔ ≤ x − xy − x y + y ⇔ ≤ x3 ( x − y ) − y ( x − y ) ⇔ ≤ ( x3 − y ) ( x − y ) ⇔ ≤ ( x + xy + y ) ( x − y ) 2   x + xy + y =  x + y  + y ≥ 0∀x, y; ( x − y ) ≥   2 Từ (1) (2) suy x + y ≤ x + y với x + y = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Bài 4: (6,5 điểm) Cho hình vng ABCD có AB = a , hai đường chéo cắt O Trên hai cạnh AB, BC lấy hai điểm E G cho Gọi H giao điểm tia AG tia DC , I giao điểm tia OG đoạn thẳng BH Chứng minh rằng: ∆OGE vuông cân Tính diện tích tứ giác OEBG theo a Chứng minh rằng: EG //BI Gọi K giao điểm tia EO tia IC Chứng minh rằng: KG ⊥ EI Lời giải E A B O G I D C H K Xét ∆OAE ∆OBG có: AE = BG  OE = OG  = OBG  = 450  ⇒ ∆OAE = ∆OBG (cgc) ⇒  OAE   AOE = OBG    OA = OB  (1) = Mà  AOE + EOB 900  + EOB = ⇒ BOG 900 = ⇒ EOG 900 (2) Từ (1) (2) suy ∆OEG vuông cân O 2) Ta có: s= s∆OGB + s∆OEB OEBG ⇒ sOEBG = s∆OEA + s∆OEB = s∆ABC S ∆ABO Mà= 1 = S ABCD a 4 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com Nên SOEBG = a (đvdt) 3) Vì AB //CH nên AG BG = GH GC = BG AE = ; GC EB ( Vì GC =− BC BG; EB =− AB AE ) Mà Nên AG AE ⇒ EG //BH hay EG//BI = GH BE  4) Vì EG//BI nên = I1 OGE = 450 ( Vì ∆OGE vng cân O) Xét ∆OGC ∆BGI có:    (đối đỉnh) = = = BGI I C 450 ; OGC 1 ⇒ ∆OGC ∽ ∆BGI (g-g) ⇒ OG GC = BG GI  = CGI  (đối đỉnh) nên ∆OGB ∽ ∆CGI (c-g-c) Lại có: OGB  = 450 ⇒ BIK  = I + I = 900 ⇒ KI ⊥ BI ⇒ I2 = B 1 Mà EG //BI ⇒ EG ⊥ CI Ta có: IG ⊥ EK   ⇒ G trọng tâm ∆EIK ⇒ KG ⊥ EI EG ⊥ KI  = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2017 – 2018 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (4,0 điểm) a)Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x + y + xy + x + y + b)Cho a = 999 92 (số gồm 2018 chữ số ), b = 0,999 92 ( số gồm 2018 chữ số ) Chứng minh + a + b bình phương số hữu tỉ Bài 2: (4,5 điểm)  x3 + x − x x −  x − x2 + x a)Cho biểu thức M = − −  : x2 + x +  x3 − x −1  x − x2 Rút gọn biểu thức M tính giá trị biểu thức M x nghiệm phương trình x −1 = 2x +1 b)Đa thức f ( x ) chia cho x − dư 2014 , chia cho x + dư − 2018 Tìm dư phép chia đa thức f ( x ) cho x – x –10 Bài 3: (4,5 điểm) a)Giải phương trình: 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 b)Tìm giá trị m để phương trình ẩn x : 2x 2x + m + = có nghiệm x−2 x +1 c)Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn phương trình: x – ( y + ) x + y = Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M Vẽ BH vng góc với CM H Đường thẳng qua H vng góc với DH cắt cạnh BC N Chứng minh rằng: a) BC = CH CM b) ∆DHC ∽ ∆NHB c) MN //AC d) Khi M thay đổi cạnh AB đường thẳng kẻ qua M vng góc với DN qua điểm cố định Bài 5: (1,0 điểm) Cho đa giác lồi có 24 cạnh Chứng minh tồn đường chéo đa giác lồi khơng song song với cạnh đa giác = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN TIỀN HẢI KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2017 – 2018 Bài 1: (4,0 điểm) a)Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x + y + xy + x + y + b)Cho a = 999 92 (số gồm 2018 chữ số ), b = 0,999 92 ( số gồm 2018 chữ số ) Chứng minh + a + b bình phương số hữu tỉ Đáp án Bài Điểm a) x + y + xy + x + y + (x = (4đ) + xy + y ) + ( x + y ) + + ( x + y + 1) = ( x + y) = ( x + y + 1) = ( x + y + 1)( x + y + ) 0,5 + ( x + y ) + + ( x + y + 1) + ( x + y + 1) 0,5 0,5  ( x − 1) 2018 0,5  x −1  x2 − 2x + + +1  +1 = x − 2x +1+ x2  x  + 1) − ( x + 1) x + x (x= = ⇒ a + b +1 2 2018 −1  )  + (Đặt x = 10 2018  10  10 b) a + b= + (10 2018 − 1) +  ⇒ a + b +1 = 0,5 2 x2  x2 − x +    x   0,5 1,0 Bài 2: (4,5 điểm)  x3 + x − x x −  x − x2 + x a)Cho biểu thức M = − − : x2 + x +  x3 − x −1  x − x2 Rút gọn biểu thức M tính giá trị biểu thức M x nghiệm phương trình x −1 = 2x +1 b)Đa thức f ( x ) chia cho x − dư 2014 , chia cho x + dư − 2018 Tìm dư phép chia đa thức f ( x ) cho x – x –10 Đáp án Câu (4,5đ) a) ĐKXĐ: x ≠ 0, x ≠ , x ≠ Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Điểm 0,25 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com M=  x3 + x − x x −  x − x2 + x − −  : x2 + x +  x3 − x −1  x − x2 x2 + x x + x − x − (2 x − 1).( x + x + 1) x − x − x2 + x + x3 − 2x −1 0,25 = = x2 + x x3 + x − x − (2 x3 + x + x − x − x − 1) x(1 − x) − x2 + x + ( x − 1)( x + x + 1) 2x −1 0,25 x2 + x x(1 − x) −2 x + + 2 x + x + ( x − 1)( x + x + 1) x − 0,5 = 0,25 x2 + x − x(2 x − 1) = + x + x + ( x + x + 1)(2 x − 1) = 0,25 x2 x2 + x + x −1 = 2x +1 ⇒ x= ĐKXĐ) (không thỏa ĐKXĐ) x = −2 (thỏa Với x =−2 ⇒ M = 3 x –10 b) x –= 0,5 0,25 ( x – 5)( x + ) 0,5 0,25 Ta có: f ( x ) = ( x − 5)( x + ) q ( x ) + r ( x ) 0,25 Vì bậc r ( x ) nhỏ nên đặt r ( x= ) ax + b Vì f ( x ) chia cho x – dư 2014 , chia cho x + dư −2018 nên: f ( )= 0,25 5a + b= 2014 f ( −2 ) = −2a + b = −2018 Suy a = 576 b = −866 0,25 Vậy đa thưc dư cần tìm 576 x – 866 0,25 Bài 3: (4,5 điểm) a)Giải phương trình: 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 b)Tìm giá trị m để phương trình ẩn x : 2x 2x + m + = có nghiệm x−2 x +1 c)Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn phương trình: x – ( y + ) x + y = Câu Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Đáp án Điểm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com a) ĐKXĐ: x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6; x ≠ −7 Phương trình trở thành: 0,25 1 1 + + = x + x + x + x + x + x + 18 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0,25 1 1 1 − + − + − = x + x + x + x + x + x + 18 1 ⇒ 18 ( x + ) − 18 ( x + ) = ( x + )( x + ) ⇔ − = x + x + 18 ⇔ ( x + 13)( x − ) = 0,25 ⇔ 0,5 0,25  x = −13(TM ) ⇔  x = 2(TM ) 0,25 Vậy x = −13; x = 0,25 b) ĐKXĐ: x ≠ −1; x ≠ 0,25 2x 2x + m + = x−2 x +1 (4,5đ) ⇒ x( x + 1) + (2 x + m)( x − 2)= 4( x − 2)( x + 1) 0,25 ⇔ (m + 2) x = 2m − (*) 0,25 Khi m = −2 phương trình (*) vơ nghiệm 0,25 Khi m ≠ −2 phương trình (*) có nghiệm nhất: x = 2m − m−2  2m −  m − ≠ −1 10 Theo ĐKXĐ ta có:  ⇒m≠  2m − ≠  m − Vậy phương trình có nghiệm m ≠ 10 m ≠ −2 0,25 0,25 0,25 c) x2 − ( y + 4) x + y = ⇔ x − xy − x + y = ⇔ ( x − 2) y = x − x (*) Khi x = phương trình (*) vơ nghiệm Khi x ≠ phương trình (*) ⇒ y = 0,25 x2 − x = x−2− x−2 x−2 Vì x, y số nguyên nên x – ước 0,25 Ta có bảng sau: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com x − −4 −2 −1 x −2 −3 tm 4 −3 tm tm tm tm tm 0,25 y = x−2− x−2 KL 0,25 Vậy: ( x, y ) ∈ {(−2, −3), (0, 0), (1,3), (3, −3), (4, 0), (6,3)} Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M Vẽ BH vng góc với CM H Đường thẳng qua H vng góc với DH cắt cạnh BC N Chứng minh rằng: a) BC = CH CM b) ∆DHC ∽ ∆NHB c) MN //AC d) Khi M thay đổi cạnh AB đường thẳng kẻ qua M vng góc với DN qua điểm cố định Điểm Đáp án Câu N B M K C H A D a) Xét hai tam giác vuông CHB CBM có: (6,0đ)  chung BCH ⇒ ∆CHB ∽ ∆CBM ( g − g ) ⇒ CH CB = ⇒ BC = CH CM CB CM 1,0 1,0 b) Ta có  = NHB  (cùng phụ với NHC ) DHC 0,5  = NBH  (cùng phụ với BCH ) DCH 0,5 ⇒ ∆DHC ∽ ∆NHB( g − g ) 1,0 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com c) ∆DHC ∽ ∆NHB ⇒ DC HC BC HC = ⇒ = NB HB NB HB 0,25 (1) Xét hai tam giác vng CBH BMH có:  = MBH  (cùng phụ với HBC ) BCH ⇒ ∆CBH ∽ ∆BMH ( g − g ) ⇒ CB CH = ( 2) BM HB 0,5 Từ (1) ( ) suy NB = BM = 450 ∆BMN vuông cân B ⇒ BNM 0,25  = 450 nên MN //AC Mà BCA d) Gọi K giao điểm đường thẳng kẻ qua M vng góc với DN với AD Vì NB = MB nên NC = MA ( 3) 0,25 )  = KDN  (cùng phụ với MKA KMA  = KDN  (vì BC // AD ) nên CND  = KMA  ( 4) Mà CND Từ ( 3) ( ) suy ⇒ ∆MAK ∽ ∆NCD ( g − c − g ) 0,5 ⇒ AK = CD không đổi Suy K điểm cố định 0,25 Bài 5: (1,0 điểm) Cho đa giác lồi có 24 cạnh Chứng minh tồn đường chéo đa giác lồi khơng song song với cạnh đa giác Đáp án Câu Điểm 5) Giả sử đường chéo đa giác lồi 24 cạnh song song với cạnh đa giác 252 Số đường chéo đa giác 24 cạnh là: 24 ( 24 − 3) = (1,0đ) Vì 252 : 24 dư 10 nên theo nguyên lý Dirichle, tồn 11 đường chéo song song với cạnh Ai Ai +1 đa giác (1 ≤ i ≤ 24 ) Vì đường chéo nối hai đỉnh không kề đa giác suy số đỉnh đa giác lớn 11.2 + = 24 , trái với giả thiết Suy điều giả sử sai Vậy đa giác lồi 24 cạnh tồn đường chéo đa giác lồi không song song với cạnh đa giác 0,25 0,25 0,25 0,25 Lưu ý: - Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com - Nếu học sinh khơng vẽ hình sai hình khơng chấm điểm hình - Bài làm khơng chặt chẽ, khơng đủ sở phần trừ nửa số điểm phần = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... +3 ) = 5n ( 4.5 − ) − 2n−1 ( + 24 ) = 5n. 18 − 2n−1. 18 Vì 5n. 18? ?? 18 2n−1. 18? ?? 18 nên ( 5n. 18 − 2n−1. 18 ) 18 hay 4.5n +1 − 2n +3 − 2.5n − 2n chia hết cho 18 2) Ta có: x + 13 x y + 13 xy + y = ( x +... +1 + 23n −1 + (n ∈ N*) = 2.8n + 2( 3.( n −1+ ) ) + chia dư 2, chia dư =2.8n + 4.8n−1 + Ta có: chia dư ⇒ 8n ,8n−1 chia dư ⇒ 2.8n chia dư 2, 4.8n chia dư ⇒ 2.8n + 4.8n−1 + chia hết cho ⇒ B chia... ⇒ MDE MDB  Suy DM phân giác BDE c) Từ M kẻ MH ⊥ AB (N ∈ AB); MH ⊥ DE (H ∈ DE) ; MP ⊥ AC (P ∈ AC) Từ C kẻ CK ⊥ AB (K ∈ AB) Xét ∆MND ∆MHD có:   MND = MHD = 900 )  = MDH  (DM phân giác BDE