Một số định nghĩa cơ bản: Định nghĩa đạo hàm (vi phân):Định nghĩa hàm chỉnh hình Ánh xạ bảo giác:Ánh xạ phân tuyến tính và các tính chất: Định nghĩa thặng dư: Định lí Cauchy Riemann: Công thức tích phân Cauchy: Định lí tích phân loại Cauchy: Công thức tiêu chuẩn Cauchy trong hệ tọa độ cực:
Một số định nghĩa bản: Định nghĩa đạo hàm (vi phân): Cho hàm w = f(z) xác định miền chứa điểm z = x + jy Cho z số gia Gọi số gia tương ứng hàm: Nếu tỉ số dần tới giới hạn xác định giới hạn gọi đạo hàm hàm w z kí hiệu f’(z) hay w’(z) hay Ta có: f có đạo hàm z vi phân z f có đạo hàm gọi hàm sơ khả vi Định nghĩa hàm chỉnh hình: Hàm f xác định , hàm f gọi chỉnh hình , f khả vi , f gọi chỉnh hình chỉnh hình điểm thuộc Ánh xạ bảo giác: Ánh xạ f xác định miền ⊂ C gọi bảo giác tại điểm ánh xạ f bảo giác có hệ số co giãn Ánh xạ f gọi bảo giác miền ⊂ C bảo giác điểm thuộc D Ánh xạ phân tuyến tính tính chất: TC1: Bằng cách đặt , hàm phân tuyến tính (1) song ánh TC2: Hàm phân tuyến tính bảo giác khắp nơi (tính bảo giác điểm hiểu bảo toàn góc) TC3: Hàm ngược hàm phân tuyến tính hàm phân tuyến tính TC4: Hợp thành hai hàm phân tuyến tính hàm phân tuyến tính TC5: Ánh xạ phân tuyến tính bảo tồn đường trịn TC6: Ánh xạ phân tuyến tính bảo tồn hình trịn TC7: Ánh xạ phân tuyến tính bảo tồn tính đối xứng điểm qua đường tròn TC8: Ánh xạ phân tuyến tính khơng phải ánh xạ đồng có nhiều hai điểm bất động TC9: Cho ba điểm phân biệt Khi tồn ánh xạ phân tuyến tính biến thành TC10: Hàm phân tuyến tính bảo tồn tỉ số kép: Cho điểm phân biệt Định nghĩa thặng dư: Giả sử f(z) chỉnh hình vành khăn Xét tích phân: Theo định lí Cauchy cho miền đa liên ta có: Vì vậy: Vì tích phân (1) phụ thuộc vào hàm f điểm nên ta kí hiệu gọi thặng dư : Nếu f(z) chỉnh hình vành khăn thặng dư f là: Định lí Cauchy suy f chỉnh hình Theo định lí Laurent ta có: Định lí Cauchy - Riemann: Để hàm f C - khả vi z = x + iy điều kiện cần đủ hàm f R - khả vi z điều kiện Cauchy Riemann sau thỏa mãn z: Cơng thức tích phân Cauchy: Giả sử f hàm chỉnh hình miền D Khi với chu tuyến cho ta có cơng thức tích phân Cauchy: Nếu viết thêm f liên tục chu tuyến ta có Định lí tích phân loại Cauchy: Giả sử hàm liên tục đường cong Jordan trơn khúc Khi tích phân hàm chỉnh hình C\ Trên C\ hàm F(z) có đạo hàm cấp, ta có cơng thức: Cơng thức tiêu chuẩn Cauchy hệ tọa độ cực: Giả sử tồn hàm lân cận D Các hàm thỏa mãn Khi f’(z) tồn đạo hàm ... Giả sử hàm liên tục đường cong Jordan trơn khúc Khi tích phân hàm chỉnh hình C Trên C hàm F(z) có đạo hàm cấp, ta có cơng thức: Cơng thức tiêu chuẩn Cauchy hệ tọa độ cực: Giả sử tồn hàm lân... lí Cauchy - Riemann: Để hàm f C - khả vi z = x + iy điều kiện cần đủ hàm f R - khả vi z điều kiện Cauchy Riemann sau thỏa mãn z: Cơng thức tích phân Cauchy: Giả sử f hàm chỉnh hình miền D Khi... cơng thức: Cơng thức tiêu chuẩn Cauchy hệ tọa độ cực: Giả sử tồn hàm lân cận D Các hàm thỏa mãn Khi f’(z) tồn đạo hàm