Tailieumontoan CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC

Tailieumontoan.com  Hà Vũ CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC Su tm tng hp Cực trị hình học Trang - CỰC TRỊ HÌNH HỌC Kiến thức trọng tâm A-Phương pháp giải toán cực trị hình học 1- Hướng giải tốn cực trị hình học : a) Khi tìm vị trí hình H miền D cho biểu thức f có giá trị lớn ta phải chứng tỏ : +Với vị trí hình H miền D f ≤ m ( m số ) +Xác định vị trí hình H miền D cho f = m b) Khi tìm vị trí hình H miền D cho biểu thức f có giá trị nhỏ ta phải chứng tỏ : +Với vị trí hình H miền D f ≥ m ( m số ) +Xác định vị trí hình H miền D để f = m - Cách trình bày lời giải tốn cực trị hình học + Cách1 :Trong hình có tính chất đề bài,chỉ hình chứng minh hình khác có giá trị đại lượng phải tìm cực trị nhỏ ( lớn ) giá trị đại lượng hình + Cách2 :Biến đổi tương đương điều kiện để đại lượng đạt cực trị đại lượng khác đạt cực trị trả lời câu hỏi mà đề u cầu Ví dụ : Cho đường trịn (O) điểm P nằm đường trịn( P khơng trùng với O).Xác định vị trí dây qua điểm P cho dây có độ dài nhỏ Giải : +Cách : Gọi AB dây vng góc với OP P , dây CD C dây qua P không trùng với AB ( h.1) O Kẻ OH ⊥ CD H ∆OHP vuông H ⇒ OH < OP ⇒ CD > AB B A P D GV Vũ Hà - THCS long xuyên h website: tailieumontoan.com Cực trị hình học Trang - Như tất dây qua P , dây vng góc với OP P có độ dài nhỏ +Cách : Xét dây AB qua P ( h.2) Kẻ OH ⊥ AB Theo liên hệ dây khoảng cách đến tâm: A AB nhỏ ⇔ OH lớn O Ta lại có OH ≤ OP H OH = OP ⇔ H ≡ P P Do maxOH = OP B h Khi dây AB vng góc với OP P B-Các kiến thức thường dùng giải tốn cực trị hình học 1- Sử dụng quan hệ đường vng góc , đường xiên , hình chiếu a-Kiến thức cần nhớ: A B A K A C h.3 a a b H B C H h.5 h.4 B a1) ∆ABC vng A (có thể suy biến thành đoạn thẳng) ⇒ AB ≤ BC Dấu “=” xảy ⇔ A ≡ C ( h.3 ) a2) ( h.4 ) + AH ⊥ a ⇒ AH ≤ AB + AB < AC ⇔ HB < HC Dấu “=” xảy ⇔ B ≡ H a3)( h.5 ) A,K ∈a; B, H ∈b; a // b ; HK ⊥ a ⇒ HK ≤ AB Dấu “=” xảy ⇔ A ≡ K B ≡ H b-Các ví dụ: Ví dụ 1: Trong hình bình hành có hai đường chéo cm cm ,hình có diện tích lớn ? Tính diện tích lớn Giải : B A B C H O A O≡H C D D h.6 GV Vị Hµ - THCS long xuyên h.7 website: tailieumontoan.com Cực trị hình học Trang - Xét hình bình hành ABCD có AC = cm; BD = cm ( h.6) Gọi O giao điểm hai đường chéo Kẻ BH ⊥ AC Ta có : SABCD = 2SABC = AC.BH Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm Do : SABCD ≤ 8.3 = 24 (cm2) SABCD = 24 cm2 ⇔ BH ≡ BO ⇔ H ≡ O ⇔ BD ⊥AC Vậy max SABCD = 24 cm2 Khi hình bình hành ABCD hình thoi (h.7) có diện tích 24cm2 Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB,BC ,CD,DA ta lấy theo thứ tự điểm E,F,G,H cho AE = BF = CG = DH Xác định vị trí điểm E, F,G,H cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ E K Giải : A B ∆HAE = ∆EBF = ∆FCG = ∆GHD F ⇒ HE = EF = FG = GH ⇒ EFGH hình thoi O H  = BEF  AHE  + AEH =  + AEH = ⇒ AHE 900 ⇒ BEF 900 C D  = 900 G ⇒ HEF ⇒ EFGH hình vng h.8 Gọi O giao điểm AC EG Tứ giác AECG có AE = CG, AE //CG nên hình bình hành suy O trung điểm AC EG , O tâm hai hình vng ABCD EFGH ∆HOE vuông cân : HE2 = 2OE2 ⇒ HE = OE Chu vi EFGH = 4HE = OE Do chu vi EFGH nhỏ ⇔ OE nhỏ Kẻ OK ⊥AB ⇒ OE ≥OK ( OK không đổi ) OE = OK ⇔ E ≡ K Do minOE = OK Như , chu vi tứ giác EFGH nhỏ E,F,G,H trung điểm AB , BC, CD, DA GV Vũ Hà - THCS long xuyên website: tailieumontoan.com Cực trị hình học Trang - Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a Vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Qua trung điểm M AB có hai đường thẳng thay đổi ln vng góc với cắt Ax, By theo thứ tự C D xác định vị trí điểm C,D cho tam giác MCD có diện tích nhỏ x y Tính diện tích tam giác D Giải: Gọi K giao điểm CM DB = B = 900 , AMC  = BMK  MA = MB ; A ⇒ ∆MAC = ∆MBK ⇒ MC = MK Mặt khác DM ⊥CK 1 = D 2 ⇒ ∆DCK cân ⇒ D H C A Kẻ MH ⊥ CD ∆MHD = ∆MBD ⇒ MH = MB = a ⇒ SMCD = CD.MH ≥ 12 B M K 1 AB.MH = 2a.a= a2 2 h.9  = 450 ; SMCD = a2 ⇔ CD ⊥ Ax AMC  =450 BMD Vậy SMCD = a2 Các điểm C,D xác định Ax; By cho AC = BC = a  góc tù , điểm D di chuyển cạnh BC Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có B Xác định vị trí điểm D cho tổng khoảng cách từ B C đến đường thẳng AD có giá trị lớn Giải: A Gọi S diện tích ∆ABC Khi D di chuyển cạnh BC ta có : E SABD + SACD = S Kẻ BE ⊥AD , CF ⊥ AD C 2 ⇒ AD.BE + AD.CF = S H B D h.10 2S ⇒ BE +CF = AD Do BE + CF lớn ⇔ AD nhỏ ⇔hình chiếu HD nhỏ  >900 ) HD = HB ⇔ D ≡ B Do HD ≥ HB ( ABD F Vậy Khi D ≡ B tổng khoảng cách từ B C đến AD có giá trị lớn GV Vũ Hà - THCS long xuyên website: tailieumontoan.com Cực trị h×nh häc Trang - 2- Sử dụng quan hệ đường thẳng đường gấp khúc a-Kiến thức cần nhớ: Với ba điểm A,B,C ta có : AC +CB ≥ AB AC +CB = AB ⇔ C thuộc đoạn thẳng AB b-Các ví dụ:  điểm A nằm góc Xác định điểm B thuộc tia Ví dụ 5:Cho góc xOy Ox, điểm C thuộc tia Oy cho OB = OC tổng AB +AC nhỏ Giải: m Kẻ tia Om nằm ngồi góc xOy y  = xOA  Trên tia Om lấy điểm D cho yOm D cho OD = OA Các điểm D A cố định   = BOA OD =OA, OC = OB , COD C A ⇒ ∆DOC = ∆AOB ⇒ CD = AB O Do AC +AB = AC +CD B x h.11 Mà AC +CD ≥ AD ⇒AC +AB ≥ AD Xảy đẳng thức C ∈AD Vậy min(AC+AB) =AD Khi C giao điểm AD Oy , B thuộc tia Ox cho OB = OC Ví dụ 6:Cho hình chữ nhật ABCD điểm E thuộc cạnh AD Xác định vị trí điểm F thuộc cạnh AB , G thuộc cạnh BC , H thuộc cạnh CD cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ Giải : F A B I K E M D F A B I G E K G C H h.12 M D H C h.13 Gọi I ,K, L theo thứ tự trung điểm EF, EG , EH (h.12) ∆AEF vng A có AI trung tuyến ⇒ AI =1/2EF GV Vị Hµ - THCS long xuyên website: tailieumontoan.com Cực trị hình học Trang ∆CGH vng C có CM trung tuyến ⇒ CM =1/2GH IK đường trung bình ∆EFG ⇒ IK = 1/2FG KM đường trung bình ∆EGH ⇒ KM = 1/2EH Do : chu vi EFGH = EF +FG +GH +EH =2(AI + IK + KM + MC) Ta lại có : AI + IK + KM + MC ≥ AC Suy chu vi EFGH ≥ 2AC ( độ dài AC không đổi ) Chu vi EFGH nhỏ 2AC ⇔ A,I,K,M,C thẳng hàng    nên EF//DB , tương tự Khi ta có EH//AC,FG//AC, AEI = EAI = ADB GH//DB Suy tứ giác EFGH hình bình hành có cạnh song song với đường chéo hình chữ nhật ABCD (h.13) 3- Sử dụng bất đẳng thức đường tròn a-Kiến thức cần nhớ: C D C A H A O B B K h.14 O O C D C D B B A D h.15 A h.16 h.17 a1) AB đường kính , CD dây ⇒ CD ≤ AB (h.14) a2) OH,OK khoảng cách từ tâm đến dây AB CD : AB ≥ CD ⇔ OH ≤ OK (h.15)  ≥ COD  (h.16) a3) AB,CD cung nhỏ (O) : AB ≥ CD ⇔ AOB  ≥ CD  (h.17) a4) AB,CD cung nhỏ (O) : AB ≥ CD ⇔ AB b-Các ví dụ: Ví dụ 7: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B cát tuyến chung CBD (B nằm C D) cắt đường tròn (O) (O’) C D Xác định vị trí cát tuyến CBD để ∆ACD có chu vi lớn Giải: GV Vị Hµ - THCS long xuyªn A D O n C’ m B C O’ D website: tailieumontoan.com h.18 Cực trị hình học Trang -  = sđ AmB  ; sđ D  = sđ AnB  sđ C 2 ⇒ số đo góc ∆ACD khơng đổi ⇒ ∆ACD có chu vi lớn cạnh lớn , chẳng hạn AC lớn AC dây đường tròn (O) , AC lớn AC đường kính đường trịn (O), AD đường kính đường trịn (O’) Cát tuyến CBD vị trí C’BD’ vng góc với dây chung AB Ví dụ 8: Cho đường tròn (O) điểm P nằm đường trịn Xác định  có giá trị lớn dây AB qua P cho OAB Giải:  lớn Xét tam giác cân OAB , góc đáy OAB  nhỏ góc đỉnh AOB B’ O  = sđ AB  AOB ) A H P  nhỏ ⇔ Cung AB  nhỏ ⇔ Góc AOB dây AB nhỏ ⇔ Khoảng cách đến tâm OH lớn A’ h.19 Ta có OH ≤ OP OH =OP ⇔ H ≡ P nên max OH = OP ⇔ AB ⊥ OP Suy dây AB phải xác định dây A’B’ vng góc với OP P 4- Sử dụng bất đẳng thức lũy thừa bậc hai a-Kiến thức cần nhớ: Các bất đẳng thức lũy thừa bậc hai sử dụng dạng : A2 ≥ ; −A2 ≤ Do với m số , ta có : f =A2 + m ≥ m ; f = m với A = A x E f = − A2 + m ≤ m ; max f = m với A = b-Các ví dụ: Ví dụ 9: Cho hình vng ABCD có cạnh 4cm Trên cạnh AB, BC,CD,DA, lấy theo thứ tự điểm E, F, G, H cho AE = BF = CG = D Tính độ dài AE cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ Giải: 4-x 4-x B F H D G h.20 GV Vũ Hà - THCS long xuyên B website: tailieumontoan.com C Cực trị hình học Trang ∆AHE = ∆BEF = ∆CFG = ∆DGH ⇒ HE = EF = FG = GH , HEF = 900 ⇒ HEFG hình vng nên chu vi EFGH nhỏ HE nhỏ Đặt AE = x HA = EB = 4-x ∆HAE vng A nên : HE = AE2 +AE2 = x2 + (4 − x)2 = 2x2 − 8x +16 = 2(x − 2)2 +8 ≥ HE = =2 ⇔ x = Chu vi tứ giác EFGH nhỏ cm , AE = cm Ví dụ 10: Cho tam giác vng ABC có độ dài cạnh góc vng AB = cm, AC = 8cm.M điểm di chuyển cạnh huyền BC.Gọi D E chân đường vng góc kẻ từ M đến AB AC Tính diện tích lớn tứ giác ADME Giải: ADME hình chữ nhật A Đặt AD = x ME = x x D 8- x EM CE x CE ME //AB ⇒ = ⇒ = ⇒ CE = x E AB CA B ⇒ AE = − x C M h.21 4 Ta có : SADME = AD AE = x ( − x ) = 8x − x2 3 = − (x − 3)2 +12 ≤ 12 SADME = 12 cm2 ⇔ x =3 Diện tích lớn tứ giác ADME 12 cm2 ,khi D trung điểm AB , M trung điểm BC E trung điểm AC 5- Sử dụng bất đẳng thức Cô-si a-Kiến thức cần nhớ: x+y ≥ xy Dấu “=” xảy x = y Bất đẳng thức Cô-si :Với x ≥ ; y ≥ ta có : Bất đẳng thức Cô-si thường sử dụng dạng sau : GV Vũ Hà - THCS long xuyên website: tailieumontoan.com Cực trị hình học Trang - + Dạng 1: x + y 2 ( x + y) ≥ ( x + y) + Dạng 2: ( x + y) x +y ; ≥4 2 ≤2 Dấu “=” xảy x = y ≥ xy xy 2 ; xy ( x + y) x + y2 ( x + y) ≤ ≥ 2 Dấu “=” xảy x = y + Dạng 3:Với x ≥ ; y ≥ ; x +y khơng đổi xy lớn x = y + Dạng4: Với x ≥ ; y ≥ ; xy khơng đổi x+y nhỏ x = y b-Các ví dụ: Ví dụ 11: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển đoạn thẳng Vẽ đường trịn có đường kính MA MB Xác định vị trí điểm M để tổng diện tích hai hình trịn có giá trị nhỏ Giải : Đặt MA =x , MB = y Ta có : x + y =AB (0 < x,y < AB) O O’ M B • • Gọi S S’ theo thứ tự diện A y x tích hai hình trịn có đường kính MA MB Ta có : h.22 x + y2 x y S +S’ = π   + π   = π 2 2 2 Ta có bất đẳng thức : x + y ( x + y) S +S’ ≥ π ( x + y) ≥ 2 nên : AB2 = π 8 Dấu đẳng thức xảy x = y AB2 Do (S+S’) = π .Khi M trung điểm AB Ví dụ 12: Cho điểm M nằm đoạn thẳng AB Vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Qua M có hai đường thẳng thay đổi ln vng góc GV Vũ Hà - THCS long xuyên website: tailieumontoan.com Cực trị h×nh häc Trang 26 Bài 2: Cho nửa đường tron (O;R) đường kính AB.M điểm nửa đường tròn, kẻ MH ⊥ HB Xác định vị trí M để: a) S∆ABC lớn b) Chu vi ∆MAB lớn Tìm cực trị vận dụng bất đẳng thức đường tròn 3.1 Kiến thức sở: + Trong đường tròn: đường kính dây cung lớn + Dây cung lớn ⇔ dây gần tâm + Cung lớn ⇔dây trương cung lớn + Cung lớn ⇔ góc tâm lớn 3.2 Các ví dụ áp dụng : Ví dụ : Cho đường tròn (O) điểm M nằm đường tròn (M ≠ O) Xác định vị trí dây cung AB đường tròn (O) qua M cho độ dài AB ngắn Giải: Ta có dây AB ⊥ OM M dây cung có độ dài nhỏ Thật vậy: Qua M vẽ dây A'B' (O) A'B' khơng vng góc với OM Vẽ A A’ M’ M B’ B O OM' ⊥ A'B' M' ∈ A'B'; M' ≠ M => OM' ⊥ MM' => OM > OM' => AB < A'B' (theo định lý khoảng cách từ tâm đến dây) GV Vò Hà - THCS long xuyên website: tailieumontoan.com Cực trị hình häc Trang 27 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) M điểm di động đường tròn (O) Xác định vị trí M để MA + MB + MC đạt giá trị lớn Giải: Ta xét M ∈ cung BC Trên MA lấy D cho MB = MD Ta chứng minh được: ∆BMD tam giác A => Bˆ + Bˆ = 602 Mà Bˆ + Bˆ = 600 => Bˆ = Bˆ Chứng minh cho ∆BAD = ∆BCM (gcg) O D B => AD = MC C M => MA + MB + MC = MA + MD + DA = 2MA Mà MA dây cung đường tròn (O;R) => MA = 2R => max (MA + MB + MC) = 2.2R = 4R ⇔MA đường kính đường trịn (O) ⇔M điểm cung BC Tương tự ta xét M thuộc cung AB M thuộc cung AC => M điểm cung AB cung AC MA + MB + MC đạt giá trị lớn 3.4.Bài tập vận dụng: Bài 1: Trên cạnh BC, AC tam giác ABC lấy tương ứng hai điểm M N cho BM = CN Tìm vị trí M để MN có giá trị lớn Bài 2: Cho tứ gác ABCD nội tiếp đường trịn (O;R) cho trước tìm tứ giác có tổng AB.CD + AD.BC đạt giá trị lớn Tìm cực trị dùng bất đẳng thức đại số 4.1 Kiến thức bổ sung : + Bất đẳng thức côsi cho hai số khơng âm: a,b GV Vị Hµ - THCS long xuyên website: tailieumontoan.com Cực trị hình học Trang 28 - Ta có: a+b ≥ ab Dấu "=" xảy  a= b + Bất đẳng thức côsi tổng quát cho n số không âm a + a + + a n n ≥ n a1a a n Dấu "=" xảy ⇔ a1 = a2 = = an + Bất đẳng thức Bunhiacôpski (ax + by) ≤ (a + b ).(x + y ) Dấu "=" xảy ⇔ a b = x y + Và số bất đẳng thức quen thuộc khác 4.2 Các ví dụ áp dụng: Ví dụ Cho đường trịn (0; R) , đường kính AB , M điểm chuyển động đường trịn Xác định vị trí M đường tròn M để MA + MB đạt giá trị lớn Giải : Ta có : ∠ AMB = 900 ( góc nt chắn nửa đ.trịn) A B ∆ MAB có ∠ M = 900 Theo Pitago ta có : MA2 + MB2 = AB2 = 4R2 áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có MA + MB ≤ (1 + 3)( MA2 + MB ) = 4.4 R = 4R ⇒ Dấu "=" xảy ⇔ ⇔ tg = MA + MB ≤ 4R MB = ⇔ = MA MA MB MB = = tg600 MA ⇔ MÂB = 600 nên max(MA + GV Vị Hµ - THCS long xuyªn MB) = 4R ⇔ MÂB = 600 website: tailieumontoan.com Cực trị hình học Trang 29 Ví dụ : Cho đoạn thẳng AB , điểm M di chuyển đoạn Vẽ đường trịn đường kính MA , MB Xác định vị trí M để tổng diện tích hai hình trịn có giá trị nhỏ Giải A M O B O Đặt MA =x , MB = y , ta có : x + y = AB ( < x< y < AB ) Gọi S S’thứ tự diện tích hình trịn có đường kính MA MB x y x2 + y2 Ta có : S + S’ = π   + π   = π 2 2 2 2 ( ( AB x + y) x + y) áp dụng BĐT : x + y ≥ ⇒ S + S’ ≥ π = π 2 Dấu "=" xảy ⇔ x = y Vậy Min (S + S’ ) = π AB ⇔ M trung điểm AB Ví dụ : Cho ∆ ABC có BC = a , AC = b , AB = c Tìm điểm M nằm bên tam giác ABC cho a b c + + có giá trị nhỏ Trong x,y,z khoảng cách từ x y z M đến BC , AC , AB Giải Gọi diện tích ∆ ABC S Ta có ax +by + cz = 2S Khơng đổi Ap dụng BĐT Bunhiacopski ta có GV Vị Hà - THCS long xuyên website: tailieumontoan.com Cực trị hình häc Trang 30 a b c (ax +by + cz ) ( + + ) ≥ x y z a x ⇒ (ax +by + cz ) ( +  a b c  ax  by cz + +   x y z   A b c + ) ≥ (a+b+c)2 y z c b (a + b + c ) a b c ⇒( + + )≥ 2S x y z Vậy a b c + + đạt giá trị nhỏ x y z a x ⇔ ( + ⇔ (a + b + c ) b c + )= 2S y z ax = a x x C by b y = z M B a cz ⇔ x = y = z ⇔ ∆ ABC tam giác c z 4.3 Các tập áp dụng : Bài 1: Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Trên hai cạnh AB AD lấy điểm M, N cho chu ∆AMN = 2a Tìm vị trí M N để S∆AMN lớn Bài 2: Cho ∆ABC ngoại tiếp đường tròn (O;r) Kẻ tiếp tuyến đường tròn (O;r) song song với cạnh tam giác Các tiếp tuyến tạo với cạnh tam giác thành tam giác nhỏ có diện tích S1, S2, S3 Gọi S diện tích tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ tỷ số S1 + S + S S B Một vài ví dụ Bài 1: Cho đường trịn (O; R), dây BC cố định Tìm vị trí D A cung lớn BC để tam giác ABC có chu vi lớn Hướng dẫn: BC cố định nên góc CAB khơng đổi, độ dài BC khơng đổi Chu vi tam giác ABC phụ thuộc vào AB+AC Trên tia đối tia AB lấy D cho AC = AD chu vi C tam giác ABC phụ thuộc vào độ dài BD gúc CDB GV Vũ Hà - THCS long xuyên A O website: tailieumontoan.com B Cực trị hình học Trang 31 ∠ A dựng BC Vậy BD lớn không đổi hay BD dây cung chứa góc đường kính cung chứa góc ∠ A dựng BC A điểm cung lớn BC Bài 2: Cho đường tròn (O; R) với dây AB cố định cho khoảng cách từ O tới AB R Gọi H trung điểm AB, tia HO cắt A đường tròn (O; R) C Trên cung nhỏ AB lấy M tùy ý ( khác A, B) Đường thẳng qua A song song với MB cắt CM I Dậy CM cắt dây Ab K a) So sánh góc AIM với góc ACB b) Chứng minh: 1 + = MA MB MK I O K M H C c) Gọi R1, R2 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAK tam giác MBK, xác định vị trí điểm M cung nhỏ AB để tích R1.R2 đạt giá trị lớn B Hướng dẫn: a) OH= R => Nhận xét quan hệ dây và sđ cung căng dây ( Sđ cung AB = 1200) Từ tìm quan hệ hai góc AIM ACB b) Thường chuyển tỉ số đoạn thẳng ( Cần chứng minh MK MK + = 1) MA MB Tìm cách quy đồng mẫu vế trái cách tam giác đồng dạng? Tam giác chứa hai cạnh MK, MA đồng dạng với tam giác nào? tam giác chứa hai cạnh MK, MB đồng dạng với tam giác nào? (Tam giác MKA tam giác MBC đồng dạng ⇒ MK MB , tam giác MKB tam = MA MC MK MA = MB MC MK MK MA + MB Vậy + = MC MA MB giác MAC đồng dạng ⇒ ta phải chứng minh MA+MB = MC c) Để tìm giá trị lớn nhát tích R1.R2, ta tìm mối liên hệ tổng R1+R2 với yếu tố khơng đổi tốn GV Vũ Hà - THCS long xuyên website: tailieumontoan.com Cực trị hình học Trang 32 Để ý hai tam giác AMK, BMK có hai góc AMK, BMK khơng đổi (= 600), tổng hai cạnh đối diện không đổi ( dùng công thức R = a ) sin A Lời Giải sơ lược: a) Xét tam giác AOH có CosO = OH = ⇒ ∠AOH = 600 OA ⇒ ∠AOB = 1200 ⇒ sđ cung AB = 1200 ⇒ ∠ACB = 600 Tam giác ABC có đường cao CH đồng thời trung tuyến Vậy tam giác ABC => ∠ACB = 60 AI // MB => góc AIM = góc CMB = góc CAB = 600 Vậy góc AIM = góc ACB b) Tam giác AIM ( có hai góc 600 ) => AM = MI ∆AIC = ∆AMB (c - g - c) ⇒ CI = MB ∆MKA ∆MBC đồng dạng nên MK MB = MA MC ∆MKB ∆MAC đồng dạng nên MK MA = MB MC MK MK MB MA MB + MA + = + = = hay Vậy: MA MB MC MC MC 1 + = MA MB MK Bổ đề: Trong tam giác ABC: c a b = = = 2R sin A sin B sin C B R c a O A b C D CM: Vẽ đường kính BD => góc A = góc D Xét tam giác vuông BCD BD = a BC b c a hay R = tương tự ta cm = = = 2R sin A sin D sin A sin B sin C c) Áp dụng bổ đề ta được: AK AK AK = = sin M sin 60 BK BK BK Trong tam giác BKM: R = = = sin M sin 60 Trong tam giác AKM: R = GV Vũ Hà - THCS long xuyên website: tailieumontoan.com Cực trị hình học Trang 33 Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số khơng âm R1, R2 có: R 1R ≤ R + R AK + BK 3R R = = = = hs dấu R1=R2  AK = BK  M 2 3 điểm cung AB R2 Vậy R1R2 max = M điểm cung AB Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, lấy C trung điểm AO Kẻ hai tia Ax By vng góc với AB phía với nửa đường tròn Điểm M di động nửa đường trịn ( M khác A, B) Một đường thẳng vng góc với CM M cắt Ax P, cắt By Q Tìm vị trí điểm M nửa đường trịn để tứ giác APQB có diện tích nhỏ Tìm giá trị diện tích nhỏ P M Phương hướng: Hình thang ABQP có đường cao khơng đổi dó diện tích nhỏ  AP+BQ nhỏ Ta chứng minh tích AP BQ không đổi Muốn AP BQ cạnh không tương A C O ứng hai tam giác đồng dạng Gợi ý: Tứ giác APMC, BQMC nội tiếp => Hãy cặp góc ( liên hệ góc với đường tròn) Q B Lời giải sơ lược: Tứ giác APMC nội tiếp => góc PCA = góc PMA Có góc AMB vng => góc PMA + góc BMQ = 900 Tứ giác BQMC nội tiếp => góc BMQ = góc BCQ Có góc CAQ vng => góc BCQ + góc BQC = 900 Vậy: góc PCA = góc BQC Do tam giác APC tam giác BCQ đồng dạng ⇒ = AP BC = ⇒ AP.BQ = AC.BC AC BQ R 3R 3R = = hs 2 Áp dụng bất đẳng thức Cosi : AP + BQ 3R ≥ AP.BQ = = R dấu AP = BQ  CM vng góc với AB Hay S ABQP = AB(AP + BQ )min = 2R 3R = 3R sđ cung AM = 600 2 GV Vũ Hà - THCS long xuyên website: tailieumontoan.com Cực trị hình học Trang 34 Bài 4: Cho tam giác ABC, E điểm cạnh AC ( E khác A), K trung điểm đoạn AE Đường thẳng EF qua E vng góc với đường thẳng AB ( F thuộc AB) cắt đường thẳng qua C vng góc với đường thẳng BC D Xác định vị trí E cho đoạn KD có độ dài nhỏ Hướng dẫn: C Khai thác Tam giác ABC đều, tam giác AEF vuông, K D trung điểm AE, góc DCB vng => điểm B, C, D, K, F thuộc đường tròn E => KD dây cung K sđ cung DK khơng đổi Do đó: KD nhỏ  bán kính nhỏ A Lời giải so lược: B F Tam giác AEF vng F, góc A = 600, FK trung tuyến ứng với cạnh huyền => Tam giác AKF => góc FKC = 1200 Vậy Tứ giác BCKF nội tiếp Tứ giác BCDF có góc F = góc C = 900 Vậy Tứ giác BCDF nội tiếp hay điểm B, C, D, K, F thuộc đường trịn đường kính BD sđ cung DK = góc DFK = 600 => KD = Vậy KD = 1 DB ≤ CB dấu E trùng với C 2 CB E ≡ C Bài 5: Cho tam giác ABC cân B có góc ABC β, O trung điểm cạnh AC, K chân đường vng góc hạ từ O xuống cạnh AB, (ω) đường tròn tâm O bán kính OK E điểm thay đổi cạnh BA cho góc AOE α (200 < α < 900) F điểm cạnh BC cho EF tiếp xúc với (ω) Tìm α để AE + CF nhỏ Gợi ý: Để Tìm giá trị nhỏ tổng, ta chứng minh B tích khơng đổi Nhận xét quan hệ hai tam giác AEO OEF? (Sử dụng tính chất tiếp tuyến, tổng góc tứ giác, tam giác) F Lời giải sơ lược: Trong tam giác OEF: E 1 ∠EOF = 1800 − ∠OEF − ∠OFE = 1800 − ∠AEF − ∠CFE 2 K A O GV Vũ Hà - THCS long xuyên C website: tailieumontoan.com Cực trị hình học Trang 35 Trong tứ giác AEFC: ∠ AEF + ∠ AFE = 3600 - ( ∠ A + ∠ C) = 3600 - (1800 - β) =1800 + β Vậy: ∠ EOF = 900 - β Tam giác ABC cân => ∠ A = ∠ C = (1800 - β) β Vậy: ∠ EOF = ∠ A = ∠ C = 900 - => tam giác AEO tam giác OEF đồng dạng, Tam giác OEF tam giác COF đồng dạng Vậy tam giác AEO tam giác COF đồng dạng AE CO ⇒ AE.CF = AO.CO = hs = AO CF áp dụng bất đẳng thức Cosi: AE + CF ≥ AE.AF = AO.CO = hs dấu AE = CF  tam giác OEF cân O  tam giác AEO cân A  ∠ AOE = 1 1 900 − ∠A = 900 − (900 − β) = 450 + β 2 Vậy ∠ AOE = 450 + β AE + CF nhỏ ⇒ Bài 6: Cho hai đường tròn(O1; r1) (O2; r2) cắt hai điểm A B Biết r1 = cm; r2 = cm; AB = cm hai điểm O1, O2 hai phái đường thẳng AB Xét đường thẳng (d) qua A, cắt (O1; r1) (O2; r2) lầm lượt điểm M N cho A nằm đoạn MN Tiếp tuyến (O1; r1) M tiếp tuyến (O2; r2) N cắt điểm E a) Chứng minh tứ giác EMBN tứ giác nội tiếp b) Tính O1O2 b) Tìm giá trị lớn 2EM + EN Hướng dẫn: a) sử dụng quan hệ góc nội tiếp, góc tạo tiếp tuyến dây cung với số đo cung, lưu ý quan hệ số đo cung hai dường tròn c) Vấn đề vai trị khơng đối xứng ME EN Cần tìm tương ứng: 2.EM với 1.EN Ta lại thấy hai bán kính đường trịn có tương ứng Ta tìm tam giác đồng dạng để chuyển đổi tương ứng Lời giải sơ lược: a ) ∠ABN = ∠ANE; ∠ABM = ∠AME => ∠MBN = ∠EMN + ENM = 180 − ∠MEN VËy ∠MBN + ∠MEN = 180 => Tø gi¸c EMBN néi tiÕp GV Vũ Hà - THCS long xuyên website: tailieumontoan.com Cực trị h×nh häc Trang 36 b) O1O2 = ( + 15 ) A N N E A O1 H B O2 C B M K x c) ∆O1O A; ∆MNB đồng dạng => M BN AO = = 2( BM AO1 Vì R1=1 cm, R2 = cm) => BN = 2BM ∆ EMB ∆ NAB đồng dạng ⇒ EM AN = ⇒ EM = MB.AN ( Vì AB = cm) MB AB Tương tự ta EN = NB.AM Vậy 2.EM + EN = 2.MB.AN + NB.AM = MB AN + 2.MB.AM = 2.MB.(AM + AN) = 2MB.MN Lại có ∆ MBN ∆ O1AO2 đồng dạng theo tỉ số MB MN = ≤2 r1 O1O Vậy: 2MB.MN ≤ 2.2r1 2O1O = ( + 15 ) = + 15 dấu MB = 2r1 hay M đối xứng với B qua O1 ( ) Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O D điểm nằm cung BC không chứa điểm A Xác định vị trí D cho DA + DB + DC lớn Hướng dẫn: Tương tự 2.Ta chứng minh DA = DB + DC Bài 8: Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A B cho hai tâm O O' nằm hai phía khác đường thẳng AB Đường thẳng (d) quay quanh B cắt đường tròn (O) (O') C D ( C khác A, B D khác A, B) Xác định vị trí (d) cho đọan thẳng CD có độ dài lớn Bài dễ, bạn tự làm Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A nội tiếp đường trịn (O) M điểm nằm cung BC khơng chứa điểm A Gọi N, H, K hình chiếu M AB, BC, CA Tìm giá trị nhỏ nhẩt BC AB AC + + MH MN MK GV Vũ Hà - THCS long xuyên website: tailieumontoan.com Cực trị hình học Trang 37 Gợi ý: Hãy tìm cách rút gọn biểu thức: BC AB AC cách chuyển tỉ số thành tỉ số có mẫu + + MH MN MK Lời giải sơ lược: Nhận thấy: Nếu K nằm ngồi AC N nằm AB AB BN AN = + MN MN MN AC AK CK = − MK MK MK BN CK = MN MK AK BH Tam giác MAK tam giác MBH đồng dạng ⇒ = MK MH AN CH Tam giác MAN tam giác MCH đồng dạng ⇒ = MN HM BC BC AB AC BC CH BH Vậy: + + = + + =2 MH MN MK MH MH MH MH BC AB AC nhỏ  MH lớn  MH = R  M điểm Vậy + + MH MN MK Tam giác MCK tam giác MBN đồng dạng => cung BC C Một vài ví dụ tự giải Bài 11: Cho đường trịn (O; R) đường kính AB, điểm M di động đường tròn cho MA ≤ MB Trong tam giác AMB kẻ đường cao MH Gọi r1, r2, r3 theo thứ tự bán kính đường trịn nội tiếp tam giác AMB, AMH BMH Hãy xác định vị trí M để tổng: r1+r2+r3 đạt giá trị lớn Bài 12: Cho tam giác ABC có góc A = 300, AB = c, AC = b, M trung điểm BC Một đường thẳng (d) quay xung quanh trọng tâm G tam giác ABC cho (d) cắt đoạn AB P (d) cắt đoạn AC Q a) Đặt AP = x, tìm tập hợp giá trị x b) Tính giá trị biểu thức AB AC + AP AQ c) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn diện tích tam giác APQ theo b, c Bài 13: cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R M điểm thuộc nửa đường tròn ( khác A B) Tiếp tuyến (O) M cắt tiếp tuyến A B GV Vị Hµ - THCS long xuyên website: tailieumontoan.com Cực trị hình học Trang 38 đường tròn (O) điểm C D Tính giá trị nhỏ tổng diện tích hai tam giác ACM BDM Bài 14: Cho đường tròn (O) dây BC cố định Gọi A điểm di động cung lớn BC đường tròn (O), (A khác B C) Tia phân giác góc ACB cắt đường trịn (O) D khác C, lấy I thuộc đoạn CD cho DI = DB Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) điểm K khác B a) Chứng minh tam giác KAC cân b) Xác định vị trí A để độ dài đoạn AI lớn Bài 15: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Điểm M lưu động cung nhỏ BC Từ M kẻ đường thẳng MH, MK vng góc với AB, AC ( H thuộc đường thẳng AB, K thuộc đường thẳng AC) Tìm vị trí M để độ dài đoạn HK lớn Bài 16: Cho hai đường tròn (O1, R1) (O2; R2) tiếp xúc với A Đường thẳng (d) qua A cắt đường tròn (O1, R1) M cắt đường tròn (O2; R2) N ( điểm M, N khác A) Xác định vị trí đường thẳng (d) để độ dài đoạn thẳng MN lớn Bài 17: Đường tròn tâm O có dây AB cố định I điểm cung lớn AB Lấy điểm M cung lớn AB, dựng tia Ax vng góc với đường thẳng MI H cắt BM C a) Chứng minh tam giác AIB AMC tam giác cân b) Khi M di động cung lớn AB chứng minh điểm C di động cung tròn cố định c) Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác AMC đạt giá trị lớn Bài 18: Cho tam giác nhọn ABC Điểm D di động cạnh BC Gọi O1, O2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, ACD tương ứng a) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác AO1O2 ln qua điểm cố định khác A b) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AO1O2 Hãy xác định vị trí D BC cho IO nhỏ Bài 19: Chi nửa đường tròn đường kính AB = 2R Gọi C điểm tùy ý nửa đường trịn, D hình chiếu vng góc C AB Tia phân giác ACD cắt đường trịn đường kính AC điểm thứ hai E, cắt tia phân giác góc ABC H GV Vũ Hà - THCS long xuyên website: tailieumontoan.com Cực trị hình học Trang 39 a) Chứng minh AE // BH b) Tia phân giác góc CAB cắt đường trịn đường kính AC điểm thứ hai F, cắt CE I Tính diện tích tam giác FID trường hợp tam giác c) Trên đoạn BH lấy K cho HK = HD, gọi J giao AF BH Xác định vị trí C để tổng khoảng cách từ điểm I, J, K đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn Bài 20: Cho đường trịn tâm O, bán kính R dây BC