CHUONG_3_CAC_PHEP_BIEN_DOI_HINH_CHIEU

HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG CHƯƠNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU Yêu cầu phương pháp biểu diễn vật thể vẽ phải đảm bảo tương ứng 1-1, cịn việc hình chiếu vật thể biểu diễn (theo hướng chiếu mặt phẳng hình chiếu nào) tùy vào cách chọn cụ thể người vẽ Do vật thể biểu diễn vơ số hình chiếu khác Trong số hình chiếu đó, có hình biểu diễn đơn giản, có hình biểu diễn phức tạp Thơng thường bị suy biến hình biểu diễn vật thể trở nên đơn giản Hình 3-01a Hình 3-01b Như hình 3-01, ta nhận thấy vật thể, hình chiếu đứng hình 3-01a phức tạp hình chiếu đứng hình 3-01b Khi hình biểu diễn vật thể dạng đơn giản, ta thấy dễ dàng thơng tin hình học vật thể vị trí giao tuyến, giao điểm, yếu tố lượng độ dài, diện tích, số đo góc,…Do gặp hình biểu diễn phức tạp, người ta thường cố gắng tìm cách chuyển đổi hình chiếu dạng đơn giản mà đảm bảo tương ứng 1-1 Có nhiều cách thức để chuyển đổi hình chiếu phức tạp vật thể thành hình chiếu đơn giản Sau tìm hiểu hai phép biến đổi hình chiếu : phép thay mặt phẳng hình chiếu phép quay vật thể quanh trục A PHÉP THAY MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU Phép thay mặt phẳng hình chiếu phép biến đổi hình chiếu đó, vật thể biểu diễn giữ nguyên vị trí hệ thống mặt phẳng hình chiếu cũ thay hệ thống mặt phẳng hình chiếu có vị trí tương đối so với vật thể thích hợp (Điều tương ứng với việc người xem chọn hướng nhìn phù hợp để quan sát vật thể) 88 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG PHÉP THAY MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU ĐỨNG 1.1 Định nghĩa Thay mặt phẳng hình chiếu đứng chọn mặt phẳng P'1 vng góc với P2 làm mặt phẳng hình chiếu đứng mới, thay cho P1 chọn hướng vng góc với P'1 làm hướng chiếu đứng (hình 3-02) 1.2 Tính chất Hình 3-02 - Hình chiếu A2 điểm A giữ nguyên không thay đổi - Hình chiếu A2 hình chiếu đứng A’1 điểm A thuộc đường gióng vng góc trục x’ - Độ cao cũ độ cao điểm A : A’1Ax’ = A1Ax 1.3 Các cơng thức thay mặt phẳng hình chiếu đứng Thay mp P1 Đường thẳng thường AB x' // A2B2 Đường thẳng mặt AB Để biến đổi đường thẳng thường AB thành đường thẳng mặt, ta vẽ trục x’ song song với hình chiếu A2B2 đường thẳng AB (hình 3-03) Khi cần xác định yếu tố độ dài thật đoạn thẳng thường AB hay xác định góc hợp đoạn thẳng thường AB với mặt phẳng hình chiếu P2, ta dùng phép thay mặt phẳng hình chiếu đứng để biến đổi đoạn thẳng thường AB thành đoạn thẳng mặt Khi ta có A’1B’1 = AB (A’1B’1, x’) = (AB, P2) 89 CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG HÌNH HỌC HỌA HÌNH Hình 3-03 Thay mp P1 Đường thẳng CD x'  C2D2 Đường thẳng chiếu đứng CD Để biến đổi đường thẳng CD thành đường thẳng chiếu đứng, ta vẽ trục x’ vuông góc với hình chiếu C2D2 đường thẳng CD (hình 3-04) Mặt phẳng thường (ABC) Mặt phẳng chiếu đứng (ABC) Thay mp P1 x'  h.c đ.t thuộc mp (ABC) Hình 3-04 90 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Để biến đổi mặt phẳng thường (ABC) thành mặt phẳng chiếu đứng, ta vẽ mặt phẳng đường thẳng b(b1,b2) Vẽ trục x’ vng góc với hình chiếu b Khi hình chiếu đứng (A’1B’1C’1) mặt phẳng (ABC) qua phép thay mặt phẳng P1 bị suy biến thành đường thẳng (hình 3-05) 91 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Hình 3-05 Trong trường hợp biến đổi mặt phẳng vết P thành mặt phẳng vết chiếu đứng, để ý vết V2P đường thẳng thuộc mặt phẳng P Do ta cần vẽ trục x’ vng góc với V2P Chọn vết đứng cũ điểm 1(11, 12) xác định hình chiếu đứng 1’1 Vết đứng V’1P đường thẳng nối điểm 1’1 với giao điểm V2P Hình 3-06 trục x’ (hình 3-06) Thay mp P1 Mặt phẳng chiếu (DEF) Mặt phẳng mặt (DEF) x' // h.c suy biến mp (DEF) 92 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Để biến đổi mặt phẳng chiếu (DEF) thành mặt phẳng mặt, ta vẽ trục x’ song song với hình chiếu suy biến mặt phẳng (DEF) Khi hình chiếu đứng (D’ 1E’1F’1) mặt phẳng (DEF) qua phép thay mặt phẳng P1 có diện tích diện tích thật (hình 3-07) PHÉP THAY MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU BẰNG 2.1 Định nghĩa Thay mặt phẳng hình chiếu chọn mặt phẳng P'2 vng góc với P1 làm mặt phẳng hình chiếu mới, thay cho P2 chọn hướng vng góc với P'2 làm hướng chiếu Hình 3-07 (hình 3-08) 93 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Hình 3-08 2.2 Tính chất - Hình chiếu đứng A1 điểm A giữ ngun khơng thay đổi - Hình chiếu đứng A1 hình chiếu A’2 điểm A thuộc đường gióng vng góc trục x’ - Độ xa cũ độ xa điểm A : A’2Ax’ = A2Ax 2.3 Các công thức thay mặt phẳng hình chiếu Thay mp P2 Đường thẳng thường AB x' // A1B1 Đường thẳng AB 94 HÌNH HỌC HỌA HÌNH Hình 3-09 CHUN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Để biến đổi đường thẳng thường AB thành đường thẳng bằng, ta vẽ trục x’ song song với hình chiếu đứng A1B1 đường thẳng AB (hình 3-09) Thay mp P2 Đường thẳng mặt CD x'  AĐường thẳng chiếu CD 1B1 Để biến đổi đường thẳng mặt CD thành đường thẳng chiếu bằng, ta vẽ trục x’ vng góc với hình chiếu đứng C1D1 đường thẳng CD (hình 3-10) Mặt phẳng thường (ABC) Mặt phẳng chiếu (ABC) Hình 3-10 Thay mp P2 x'  h.c đứng đ.t mặt thuộc mp (ABC) 95 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Để biến đổi mặt phẳng thường (ABC) thành mặt phẳng chiếu bằng, ta vẽ mặt phẳng đường thẳng mặt m(m 1,m2) Vẽ trục x’ vng góc với hình chiếu đứng m1 Khi hình chiếu (A’ 2B’2C’2) mặt phẳng (ABC) qua phép thay mặt phẳng P2 Hình 3-11 bị suy biến thành đường thẳng (hình 3-11) Trong trường hợp biến đổi mặt phẳng vết P thành mặt phẳng vết chiếu bằng, để ý vết đứng V1P đường thẳng mặt thuộc mặt phẳng P Do ta cần vẽ trục x’ vng góc với V1P Chọn vết cũ điểm 1(1 1, 12) xác định hình chiếu 1’2 Vết V’2P đường thẳng nối điểm 1’2 với giao điểm V1P trục x’ (hình 3-12) Mặt phẳng chiếu đứng (DEF) Mặt phẳng (DEF) Hình 3-12 Thay mp P2 x' // h.c đứng suy biến mp (DEF) 96 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Hình 3-13 Để biến đổi mặt phẳng chiếu đứng (DEF) thành mặt phẳng bằng, ta vẽ trục x’ song song với hình chiếu đứng suy biến mặt phẳng (DEF) Khi hình chiếu (D’2E’2F’2) mặt phẳng (DEF) qua phép thay mặt phẳng P2 có diện tích diện tích thật (hình 3-13) PHÉP THAY MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU LIÊN TIẾP NHIỀU LẦN Trong số trường hợp, muốn đưa hình chiếu bình thường đường thẳng hay mặt phẳng dạng đặc biệt, ta phải tiến hành thay đổi mặt phẳng hình chiếu liên tiếp nhiều lần với công thức sau: Với phép thay mặt phẳng hình chiếu, ta có phương pháp giúp giải hiệu toán xác định vị trí tương đối đối tượng hình học hay xác định yếu tố lượng chúng (như độ dài, diện tích, số đo góc) Ví dụ 1: Cho đồ thức điểm M đường thẳng AB khơng chứa (trong khơng gian) hình 3.14a Hãy xác định khoảng cách ngắn từ điểm M đến đường thẳng AB 97 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Nhận xét: Khoảng cách ngắn từ điểm M đến đường thẳng AB đoạn thẳng MN  AB (với điểm N  AB) Giả sử AB đường thẳng chiếu đó, đoạn thẳng MN vng góc với đoạn thẳng bằng, ta có độ dài hình chiếu M 2N2 độ dài thật MN khơng gian M2N2 khoảng cách d M/AB cần xác định (hình 3-14b) Như vậy, để xác định d M/AB, trước tiên ta dùng phép thay mặt phẳng hình chiếu liên tiếp nhiều lần để biến đổi hình chiếu AB thành đường thẳng chiếu sau: Khi hình chiếu đoạn thẳng AB bị suy biến thành điểm A”  B”2  N”2 Nối M”2N”2 ta khoảng cách d M/AB cần tìm (hình 3-14c) Hình 3-14a Hình 3-14b Hình 3-14c 98 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Ví dụ 2: Cho đồ thức điểm A đường thẳng d (trong không gian) hình 3.15a Hãy dựng tam giác ABC với đỉnh B,C nằm đường thẳng d Nhận xét: Để dựng tam giác (trong khơng gian) thơng qua việc dựng hình chiếu thẳng góc hình chiếu tam giác phải bất biến dạng qua phép chiếu thẳng góc Đối với mặt phẳng đặc biệt, ta thấy có mặt phẳng mặt (hay mặt phẳng bằng) có hình chiếu đứng (hay hình chiếu bằng) khơng bị biến dạng qua phép chiếu thẳng góc Như vậy, để dựng tam giác ABC, trước tiên ta dùng phép thay mặt phẳng hình chiếu liên tiếp nhiều lần để biến đổi hình chiếu đứng mặt phẳng (A,d) thành mặt phẳng mặt sau: 99 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Tiếp theo, ta dựng đường cao (cũng đường phân giác tam giác ABC) xuất phát từ A” đến vng góc d”1 điểm I”1 Vẽ đường thẳng A”1B”1 A”1C”1 tạo với đường thẳng A”1I”1 góc 300 (về phía) cắt d”1 B”1 C”1 Khi ta có hình chiếu đứng A”1B”1C”1 (khơng bị biến dạng) tam giác ABC nằm mp (A,d) Cuối cùng, dùng tính chất liên thuộc điểm - đường thẳng để xác định hình chiếu B 1, B2 C1, C2 đồ thức ban đầu đề Nối A 1B1C1, A2B2C2 ta tam giác ABC cần dựng (hình 3-15b) Hình 3-15a Hình 3-15b B PHÉP QUAY VẬT THỂ QUANH MỘT TRỤC Phép quay vật thể quanh trục phép biến đổi hình chiếu đó, mặt phẳng hình chiếu giữ nguyên vị trí vật thể biểu diễn quay quanh trục (một đường thẳng) đến vị trí mới, có hình chiếu đơn giản KHÁI NIỆM VỀ PHÉP QUAY QUANH MỘT TRỤC 1.1 Quay điểm quanh trục (hình 3-16) Quay điểm A quanh trục d góc  dời điểm A đến vị trí A’ cho: - Hình biểu diễn A’ A nằm mặt phẳng P vng góc với trục d - Khoảng cách từ A đến d khoảng cách từ A’ đến d (AO = A’O, O giao điểm d với mặt phẳng P ) - Góc quay AOA’ =  Dễ thấy điểm I nằm trục quay sau quay I  I’ 100 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Hình 3-16 1.2 Quay hình quanh trục Hình 3-17 (hình 3-17) Quay hình M quanh trục d góc  dời hình M đến vị trí hình M’ cho điểm Ai thuộc hình M quay quanh trục d góc  đến vị trí Ai’ thuộc hình M’ - Muốn xác định đường thẳng ta phải quay hai điểm - Muốn xác định mặt phẳng ta phải quay ba điểm - Muốn xác định tứ diện ta phải quay bốn điểm - Đặc biệt, muốn quay mặt phẳng quanh đường thẳng thuộc mặt phẳng ta cần quay điểm PHÉP QUAY MỘT ĐIỂM QUANH MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHIẾU 2.1 Quay điểm quanh trục đường thẳng chiếu Hinh 3-18a Hình 3-18b Hình 3-19 Nếu điểm M quay vòng quanh trục d(d 1,d2) đường thẳng chiếu M vạch nên đường trịn tâm O(O1,O2) nằm mặt phẳng B Hình chiếu đường tròn đường tròn tâm O2  d2 Hình chiếu đứng đường trịn đoạn 101 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG thẳng qua M1 song song trục hình chiếu x có độ dài hai lần bán kính đường trịn tâm O2, trung điểm O1 nằm d1 (hình 3-18 ab)  Như vậy, muốn quay điểm M quanh trục d đường thẳng chiếu hình chiếu ta quay M2 quanh điểm O2  d2 đến vị trí M’ nằm cung trịn bán kính O2M2 = O2M’2 Trên hình chiếu đứng ta có M’1 giao điểm đường gióng nằm ngang kẻ từ M1 đến đường gióng thẳng đứng kẻ từ M’2 lên (hình 3-19) 2.2 Quay điểm quanh trục đường thẳng chiếu đứng Nếu điểm N quay vòng quanh trục l(l1,l2) đường thẳng chiếu đứng N vạch nên đường tròn tâm O(O1,O2) nằm mặt phẳng mặt M Hình chiếu đứng đường trịn đường trịn tâm O1  l1 Hình chiếu đường tròn đoạn thẳng qua N2 song song trục hình chiếu x có độ dài hai lần bán kính đường trịn tâm O 1, trung điểm O2 nằm l2 (hình 3-20 ab) Hình 3-20a Hình 3-20b Hình 3-21  Như vậy, muốn quay điểm N quanh trục l đường thẳng chiếu đứng hình chiếu đứng ta quay N1 quanh điểm O1  l1 đến vị trí N’1 nằm cung trịn bán kính O1N1 = O1N’1 Trên hình chiếu ta có N’2 giao điểm đường gióng nằm ngang kẻ từ N2 đến đường gióng thẳng đứng kẻ từ N’1 xuống (hình 3-21) 2.3 Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho đồ thức đoạn thẳng AB (trong không gian) hình 3.22a Hãy xác định độ dài thật đoạn thẳng AB 102 CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG HÌNH HỌC HỌA HÌNH Hình 3-22a Hình 3-22b Hình 3-22c Nhận xét: Đoạn thẳng (hay đoạn thẳng mặt) có độ dài hình chiếu (hay độ dài hình chiếu đứng) với độ dài thật không gian Như vậy, để xác định độ dài thật đoạn thẳng AB, trước tiên ta dùng phép quay vật thể quanh trục đường thẳng chiếu để đưa đoạn thẳng AB đến vị trí đoạn thẳng mặt A’B’ (hình 3-22b) Khi ta có độ dài hình chiếu đứng A’ 1B’1 độ dài thật cần tìm đoạn thẳng AB Cách xác định đoạn thẳng mặt A’B’(A’ 1B’1,A’2B’2) phép quay quanh trục d(d 1,d2) - đường thẳng chiếu qua điểm B rõ hình 3-22c Ví dụ 2: Cho đồ thức dạng vết mặt phẳng P hình 3.23 Hãy xác định góc hợp mặt phẳng vết P với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 Nhận xét: mặt phẳng chiếu (hay mặt phẳng chiếu đứng) có góc hợp hình chiếu suy biến (hay hình chiếu đứng suy biến) với trục hình chiếu x góc 103 Hình 3-23 Hình 3-24a Hình 3-24b HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG hợp mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 (hay mặt phẳng hình chiếu P2 ) (hình 3-24ab) Như vậy, để xác định độ lớn góc hợp mặt phẳng vết P với mặt phẳng hình chiếu đứng P1, ta xoay mặt phẳng P quanh trục d - đường thẳng chiếu đứng, đến vị trí mặt phẳng vết chiếu P’ Khi góc hợp V’2P trục hình chiếu x góc hợp mặt phẳng vết P mặt phẳng hình chiếu đứng P1 cần tìm (hình 3-25a) Hình 3-25a Hình 3-25b Cách giải đồ thức - Hình 3-25b: Chọn trục quay đường thẳng chiếu đứng d(d 1,d2) nằm mặt phẳng P2 , ta có d2 cắt V2P vị trí điểm 1(11,12) Điểm thuộc trục quay nên có hình chiếu 1’(1’ 1,1’2)  1(11,12) không thay đổi Trên hình chiếu đứng, từ d kẻ đường thẳng vng góc V1P điểm A1, hạ vng góc từ A1 xuống trục x ta có A2 Thực phép quay quanh trục d điểm A(A1,A2) đến vị trí A’(A’1,A’2) cho vết đứng V’1P vuông góc trục x (vị trí A’1  A’2 nằm x) Nối A’21’2 ta có vết suy biến V’2P Góc (V’2P,x) góc hợp mặt phẳng P với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 cần xác định PHÉP GẬP MẶT PHẲNG QUANH VẾT Trong phép quay mặt phẳng vết P, trục quay vết V2P (hay vết đứng V1P) ta gọi phép quay phép gập mặt phẳng P vào mặt phẳng hình chiếu P2 (hay mặt phẳng hình chiếu đứng P1) Vị trí yếu tố sau gập gọi hình gập yếu tố ký hiệu thêm số O phía sau (ví dụ hình gập điểm N P2 No) 3.1 Phép gập mặt phẳng quanh vết 104 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Quay mặt phẳng P quanh vết V2P nhằm đưa P đến vị trí trùng với mặt phẳng hình chiếu P2 Trong phép quay này, vết V2P cố định ta cần thực hiệp phép quay cho điểm M (không nằm vết V2P) thuộc mặt phẳng P Gọi A giao điểm vết mặt phẳng P trục x, chọn điểm quay M nằm vết đứng V1P mặt phẳng P (M có hình chiếu M2  x) Sau quay M đến vị trí M o mặt phẳng hình chiếu P2 , ta có nhận xét mối liên hệ M M o sau : (xem hình 3-26) - M Mo nằm mặt phẳng quay mặt phẳng chiếu R vng góc trục quay V2P điểm O Do đồ thức, M o thuộc đường gióng xuất phát từ M2 vng góc với V2P O2 (O  O2) - Đoạn thẳng AM1 (M  M1) trước quay thuộc mặt phẳng hình chiếu đứng P1 nên độ dài độ dài thật Đoạn thẳng AM o sau quay thuộc mặt phẳng hình chiếu P2 nên độ dài độ dài thật ta có AM = AMo Do đồ thức, ta xem Mo thuộc đường trịn tâm A, bán kính AM1 = AMo  Từ hai nhận xét trên, ta rút cách thực phép gập mặt phẳng P quanh vết V2P sau : Chọn V1P điểm M(M1,M2) Từ M2 dựng đường gióng vng góc V2P O2 Lấy giao điểm A hai vết mặt phẳng P trục x làm tâm, vẽ đường trịn bán kính AM Ta có Mo giao điểm đường trịn vừa dựng với đường gióng M 2O2 Nối AMo ta có vết gập VoP cần dựng mặt phẳng P Hình 3-26 3.2 Phép gập mặt phẳng quanh vết đứng Quay mặt phẳng P quanh vết đứng V1P nhằm đưa P đến vị trí trùng với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 Trong phép quay này, vết đứng V1P cố định ta cần thực hiệp phép quay cho điểm N (không nằm vết đứng V1P) thuộc mặt phẳng P 105 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Gọi A giao điểm vết mặt phẳng P trục x, chọn điểm quay N nằm vết V2P mặt phẳng P (N có hình chiếu N1  x) Sau quay N đến vị trí No mặt phẳng hình chiếu đứng P1 , ta có nhận xét mối liên hệ N N o sau : (xem hình 327) - N No nằm mặt phẳng quay mặt phẳng chiếu đứng R vng góc trục quay V1P điểm O Do đồ thức, N o thuộc đường gióng xuất phát từ N vng góc với V1P O1 (O  O1) - Đoạn thẳng AN2 (N  N2) trước quay thuộc mặt phẳng hình chiếu P2 nên độ dài độ dài thật Đoạn thẳng AN o sau quay thuộc mặt phẳng hình chiếu đứng P1 nên độ dài độ dài thật ta có AN = ANo Do đồ thức, ta xem N o thuộc đường trịn tâm A, bán kính AN2 = ANo  Từ hai nhận xét trên, ta rút cách thực phép gập mặt phẳng P quanh vết đứng V1P sau : Chọn V2P điểm N(N1,N2) Từ N1 dựng đường gióng vng góc V1P O1 Lấy giao điểm A hai vết mặt phẳng P trục x làm tâm, vẽ đường trịn bán kính AN Ta có No giao điểm đường trịn vừa dựng với đường gióng N 1O1 Nối ANo ta có vết gập VoP cần dựng mặt phẳng P 3.3 Một số ví dụ ứng dụng phép gập mặt phẳng quanh vết Hình 3-27 106 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Ví dụ 1: Cho đồ thức mặt phẳng vết P đoạn thẳng AB thuộc P Hãy dựng mặt phẳng P tam giác (ABC) (hình 3-28) Hình 3-28 Để dựng hình chiếu tam giác (ABC) thuộc mặt phẳng P đồ thức, trước tiên ta cần phải xây dựng hình chiếu khơng bị biến dạng tam giác Dùng phép gập mặt phẳng P quanh vết V2P đến trùng với mặt phẳng hình chiếu P2, ta có hình gập không bị biến dạng A oBo đoạn thẳng AB (AoBo xác định theo liên thuộc đường thẳng 12 qua AB) Từ ta dựng tam giác A oBoCo hình gập Có Co, gán Co vào đường thẳng // 1o2o Đường thẳng cắt vết gập VoP điểm 3o Lần lượt gióng liên thuộc điểm 3o hình chiếu ban đầu cho 3o32  V2P 32  x, 31  V1P ta có điểm 3(31,32) Tiếp tục dựng đường thẳng d qua điểm 3, d o // 1o2o nên hình chiếu ban đầu ta có d //1121 d2 //1222 Có d(d1,d2) ta gióng liên thuộc điểm Co hình chiếu ban đầu cho C2  d2 C1  d1 Nối A2B2C2 A1B1C1 ta tam giác (ABC) cần dựng Ví dụ 2: Cho đồ thức mặt phẳng vết P điểm O(O1,O2) thuộc P Hãy vẽ mặt phẳng P đường tròn tâm O có bán kính R cho trước (hình 3-29) 107 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Hình 3-29 Để dựng hình chiếu đường tròn tâm O (là elip) thuộc mặt phẳng P đồ thức, trước tiên ta cần phải xây dựng hình chiếu khơng bị biến dạng đường tròn Dùng phép gập mặt phẳng P quanh vết đứng V1P đến trùng với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 Xác định tâm Oo thông qua liên thuộc điểm 1o vết gập VoP đường thẳng mặt qua 1o (đường thẳng mặt d(d1,d2) có hình gập // vết đứng V1P) Có tâm Oo , ta dựng đường trịn với bán kính R cho trước Hình chiếu đứng đường trịn tâm O elip có tâm O 1, trục dài AB nằm hình chiếu đứng d1 đường thẳng mặt d Do d1 không bị biến dạng qua phép chiếu thẳng góc lên mặt phẳng hình chiếu đứng P1 nên ta có độ dài AB = 2R Để xác định độ dài trục ngắn CD elip này, ta nối OoO1 cắt đường tròn tâm Oo điểm Co Từ Co dùng liên thuộc cách gán đường thẳng mặt (song song với d o) cắt vết gập VoP điểm 2o, xác định 21 trục x vẽ đường thẳng qua song song d1, đường thẳng cắt OoO1 điểm C trục ngắn CD cần xác định Lấy đối xứng C qua O ta D Có cặp đường kính liên hợp AB,CD phương pháp điểm ta vẽ elip hình chiếu đứng đường trịn cần dựng Tương tự, ta có hình chiếu đường trịn tâm O elip có tâm O 2, trục dài EF nằm hình chiếu b2 đường thẳng b Do b2 khơng bị biến dạng qua phép chiếu thẳng góc lên mặt phẳng hình chiếu P2 nên ta có độ dài EF = 2R Để xác định độ dài trục ngắn GH elip này, qua O ta vẽ đường thẳng vng góc với vết V2P điểm 32 Từ 32 theo liên thuộc phép gập ta xác định o VoP Nối Oo3o 108 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG cắt đường tròn tâm Oo điểm Go Từ Go dùng liên thuộc cách gán đường thẳng mặt (song song với do) cắt vết gập VoP điểm 4o, xác định 41 trục x, 42 V2P vẽ đường thẳng qua 42 song song d2, đường thẳng cắt O232 điểm G trục ngắn GH cần xác định Lấy đối xứng G qua O ta H Có cặp đường kính liên hợp EF,GH phương pháp điểm ta vẽ elip hình chiếu đường trịn cần dựng BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài : Cho đồ thức mặt phẳng vết P trục x’ hình 3-30 Hãy xác định vết đứng V’1P qua phép thay mặt phẳng hình chiếu đứng P’1 tương ứng với trục x’ cho Bài : Cho đồ thức mặt phẳng vết P hình 3-31 Hãy tìm vị trí trục x’ cho thay mặt phẳng hình chiếu đứng P’1, vết đứng V’1P có vị trí trùng với vết V2P Hình 3-30 Hình 3-31 Bài : Cho đồ thức hai đường thẳng chéo AB CD Bằng lần thay mặt phẳng hình chiếu, biến đổi hai hình chiếu hai đoạn thẳng thành đoạn thẳng song song (hình 3-32) 109 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG 110 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Bài : Cho đồ thức đoạn thẳng AB hình 3-33 Bằng lần thay mặt phẳng hình chiếu, biến đổi hình chiếu hình chiếu đứng cũ đoạn thẳng AB đối xứng qua trục x’ Hình 3-32 Hình 3-33 Bài : Cho đồ thức hai đoạn thẳng AB CB chéo hình 3-34 Hãy xác định góc hợp hai đoạn thẳng 111 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Hình 3-34 Bài : Cho hình vng (ABCD) thuộc mặt phẳng Q Biết đồ thức ta có vết V2Q mặt phẳng Q hình chiếu (A2B2C2D) hình vng (ABCD) Hãy xác định hình chiếu đứng (A1B1C1D) vết đứng V1Q (hình 3-35) Bài : Cho mặt phẳng Q điểm M thuộc Q Hãy dựng đường thẳng nằm mặt phẳng Q, qua điểm M nghiêng góc  so với mặt phẳng hình chiếu P2 (hình 3-36) Hình 3-35 Hình 3-36 Bài : Cho mặt phẳng vết P hình chiếu đứng hình phẳng (ABC) hình 3-37 Biết hình phẳng (ABC) song song cách mặt phẳng P khoảng d cho trước, xác định hình chiếu hình phẳng (ABC) 112 Hình 3-37