BAOCAOCUOIKY

BÀI TẬP CHƯƠNG I Bài I.2 Cho tín hiệu tương tự: x(t) = Acos50πt – 3Asin150πt + Acos100πt (t: s) a) Có tần số: Để lấy đủ tần số x(t):  Tốc độ lấy mẫu Nyquist 150 Hz, khoảng Nyquist [-75Hz;75Hz] b) tốc độ Nyquist: Khoảng Nyquist [-35.5 Hz; 35.5 Hz] nằm khoảng Nyquist nên tín hiệu khơi phục trọn vẹn nằm ngồi khoảng Nyquist => Chồng phổ, tín hiệu phục hồi  Vậy Bài I.3: Cho tín hiệu tương tự: x(t) = 4sin2πt – 2sin6πt + 4sin12πt (t: ms) -Tần số lấy mẫu: => Khoảng Nyquist: [-2.5 kHz; 2.5 kHz] Có tần số: => nằm khoảng Nyquist nên tín hiệu khơi phục trọn vẹn nằm ngồi khoảng Nyquist => Chồng phổ, tín hiệu phục hồi  Vậy -Tần số lấy mẫu: => Khoảng Nyquist: [-5 kHz; kHz] Chỉ có nằm ngồi khoảng Nyquist => Tín hiệu phục hồi  Vậy Bài I.4: Xét tín hiệu sau có gây tượng chồng phổ khơng lấy mẫu 100 mẫu/s: sin10πt, cos300πt, sin400t Ta có => Khoảng Nyquist [-50;50] - Sin10πt => f=10 thuộc khoảng Nyquist nên khơng có tượng chồng phổ - Cos300πt => f=150 Sin400t => f=63.66 không thuộc khoảng Nyquist nên có tượng chồng phổ Bài I.5: Tìm biểu thức cho tín hiệu sau: a)  b)  Bài I.6: Xác định biểu thức quan hệ u(n) δ (n) Bài I.7: Cho tín hiệu vào: Tìm tín hiệu hệ thống mơ tả phương trình a) b) Bài I.8: Vẽ sơ đồ khối hệ thống mơ tả phương trình tín hiệu vào ra: a) x(n) x -3 + Z-1 x Z-1 y(n) Z-2 x Z3 b) x(n) x Z-2 Z -2.5 x + Z-1 y(n) Z-2 Bài I.10: Phân loại hệ thống sau tuyến tính/phi tuyến, nhân /phi nhân quả, tĩnh/động, bất biến thời gian/biến thiên thời gian a) - Hệ thống khơng có nhớ => Hệ thống tĩnh - Hệ thống nhân - Với  - Với  • => Hệ thống phi tuyến - Trì hỗn x(n) k đơn vị  - Trì hỗn y(n) k đơn vị  • => Hệ thống biên thiên theo thời gian b) - Hệ thống động, phi nhân - Với  • • Với  => hệ thống tuyến tính Trì hỗn x(n) k đơn vị  Trì hỗn y(n) k đơn vị  => hệ thống bất biến theo thời gian c) - Hệ thống tĩnh, nhân Với  Với  • - • => hệ thống tuyến tính Trì hỗn x(n) k đơn vị  Trì hỗn y(n) k đơn vị  => hệ thống bất biến theo thời gian f) - Hệ thống động, phi nhân - Với -  Với  • => hệ thống tuyến tính - Trì hỗn x(n) k đơn vị  - Trì hỗn y(n) k đơn vị  • => Hệ thống biên thiên theo thời gian - Chương 2: Phân tích miền thời gian Bài II.1: Tìm vẽ đáp ứng xung lọc nhân qủa biết phương trình hiệu số: a) Suy h(n) = [δ(n-1) + δ(n) + δ(n+1)] h(0) = [δ(-1) + δ(0) + δ(1)] = h(1) = [δ(0) + δ(1) + δ(2)] = 1/3  h = [] b) h(n) = -0.5h(n-1) + 0.5δ(n) h(0) = -0.5h(-1) + 0.5δ(0) = 0.5*1=0.5 h(1) = -0.5h(0) + 0.5δ(1) = -0.5 * 0.5 = -0.25 h(2) = -0.5h(1) + 0.5δ(1) = -0.5[-0.5*0.5]=-0.25*0.5 Vậy h(n) = 0.5(-0.5)2u(n) c) y(n) = 0.8y(n-1) + 0.5y(n-2) + 0.5x(n) – 0.8x(n-1) Thay δ(n) = x(n) h(n) = y(n) ta được: h(n) = 0.8h(n-1) + 0.5h(n-2) + 0.5δ(n) – 0.8δ(n-1) h(0) = 0.8h(-1) + 0.5h(-2) + 0.5δ(0) – 0.8δ(-1) = 0.5 h(1) = 0.8h(0) + 0.5h(-1) + 0.5δ(1) – 0.8δ(0) = 0.8*0.5 – 0.8 h(2) = 0.8h(1) + 0.5h(0) + 0.5δ(2) – 0.8δ(1) = 0.8*(0.8*0.5 – 0.8) + 0.5*0.5 từ h(2) trở h(n+1) phụ thuộc vào h(n) Bài II.2: Xác định phương trình hiệu số lọc: a) h(n) = 5.(0.5)nu(n) h(n) = [5, 5(0.5)1, 5(0.5)2…] n ≥ y(n) = h(n)*x(n) = y(n) = h(0).x(n) + h(1).x(n-1) + h(2).x(n-2) + h(3).x(n-3)… y(n) = 5.x(n) + 5(0.5)1.x(n-1) + 5(0.5)2.x(n-2) + 5(0.5)3.x(n-3) … mà y(n-1) = h(0).x(n-1) + h(1).x(n-2) + h(2).x(n-3) + … y(n-1) = 5x(n-1) + 5(0.5)1x(n-2) + 5(0.5)2x(n-3) + …  y(n) = 5x(n) + 0,5[5x(n-1) + 5(0.5)*(n-2) + 5(0,5)2*(n-3) + …] Vậy y(n) = 0.5y(n-1) + 5x(n) b) h(n) = - 0.8h(n-1) + 2δ(n) h(0) = 2; h(1) = - 0,8.2; h(2) = (- 0,8).(- 0,8.2); h(3) = (- 0,8).(0,8)2.2… y(n) = x(n)*h(n) = = y(n) = h(0).x(n) + h(1).(n-1) + h(2).x(n-2) + h(3)x(n-3) + … y(n) = 2x(n) + (- 0,8.2).x(n-1) + 0,82.2x(n-2) + (- 0,8).(0,8)2.2x(n-3) + … mà y(n-1) = h(0).x(n-1) + h(1).x(n-2) + h(2).x(n-3) + h(3).x(n-4) + … y(n-1) = 2x(n-1) + (- 0,8.2).x(n-2) + 0,82.2x(n-3) + (- 0,8).(0,8)2.2x(n-4) + …  y(n) = 2x(n) – 0,8[2x(n-1) + (- 0,8).2.x(n-2) + (0,8) 2.2 x(n-3) + …] Vậy y(n) = 2x(n) – 0.8y(n-1) c) h(n) = 3.(0,8)n+1u(n) + 5δ(n) u(n)=1 với n≥0 Tương tự có ; Lại có   Vậy Bài II 3: Cho x(n) tín hiệu tuần hồn có chu kỳ sau x(n) = [1, 2, 3, 4, 5] Tìm phương trình hiệu số đáp ứng xung lọc Trả lời: Phương trình hiệu số là: y(n) = y(n-5) + x(n) + 2x(n-1) + 3x(n-2) + 4x(n-3) + 5x(n-4) Đáp ứng xung là: h(n) = h(n-5) + δ(n) + 2δ(n-1) + 3δ(n-2) + 4δ(n-3) + 5δ(n-4) Do Bài II 4: Cho lọc sau, tìm đáp ứng xung xác định lọc FIR hay IIR a) y(n) = [x(� – 1) + 2�(�) + �(� + 1)] b) y(n) = Trả lời a) h(n) =[] Có h(-1) = ; h(0)= ; h(1)= ; h(2)=0; h(3)=0…  h(n) = [ ] Ta thấy đáp ứng xung h(n) hữu hạn nên lọc FIR b) h(n) = h(0) = 1; h(1) ==; h(2) =(2; h(3) = –( Vậy h(n) = Ta thấy h(n) có đáp ứng xung vơ hạn nên lọc IIR Bài II 5: Tính y(n)=x(n)*h(n) phương pháp đồ thị phương pháp chuỗi a) với x(n) = [1,2,3,4] h(n) = [2,0,2] Trả lời 2 2 4 6 8 y(n) = [2,4,8,12,6,8] Vì phương pháp chuỗi hay phương pháp đồ thị dựa vào cơng thức định nghĩa để tính y(n) với y(n) = = Ta có: y(0)= = x(0)h(0)+x(1)h(-1)+x(2)h(-2)+x(3)h(-3) = 1.2+2.0+3.0+4.0=2 y(1)= = x(0)h(1)+x(1)h(0)+x(2)h(-1)+x(3)h(-2) = 1.0+2.2+3.0+4.0=4 y(2)== x(0)h(2)+x(1)h(1)+x(2)h(0)+x(3)h(-1) = 1.2+2.0+3.2+4.0=8 y(3)== x(0)h(3)+x(1)h(2)+x(2)h(1)+x(3)h(0) = 1.0+2.2+3.0+4.4=12 y(4)== x(0)h(4)+x(1)h(3)+x(2)h(2)+x(3)h(1) = 1.0+2.0+3.2+4.0=6 y(5)== x(0)h(5)+x(1)h(4)+x(2)h(3)+x(3)h(2) = 1.0+2.0+3.0+4.2=8 Vậy y(n) = [2,4,8,12,6,8], phần tô đậm ứng với vị trí n = b) x(n) = n, ≤ n ≤ 6, = bên h(n) = 1, -2 ≤ n ≤ 2, = bên  x(n) = [0,0, 0, 1/3, 2/3, 1, 4/3, 5/3, 2, 0]  h(n) = [0, 1, 1, 1, ,1, 0] Ta dựa vào công thức định nghĩa: y(n) = phương pháp chuỗi hay phương pháp đồ thị dựa vào công thức định nghĩa để tính y(n) = y(0) = = x(0)h(0)+x(1)h(-1)+x(2)h(-2)+x(3)h(-3)+x(4)h(-4) +x(5)h(-5)+x(6)h(-6) = 0.1+1/3.1+2/3.1+1.0+4/3.0+5/3.0+2.0 = y(1) = = x(0)h(1)+x(1)h(0)+x(2)h(-1)+x(3)h(-2)+x(4)h(-3)+x(5)h(-5) + x(6)h(-5) = 0.1+1/3.1+2/3.1+1.1+4/3.0+5/3.0+2.0=2 y(2) = = x(0)h(2)+x(1)h(1)+x(2)h(0)+x(3)h(-1)+x(4)h(-2)+x(5)h(-3) + x(6)h(-4) = 0.1+1/3.1+2/3.1+1.1+4/3.1+5/3.0+2.0 = y(3) = = x(0)h(3)+x(1)h(2)+x(2)h(1)+x(3)h(0)+x(4)h(-1)+x(5)h(-2) + x(6)h(-3) = 0.0+1/3.1+2/3.1+1.1+4/3.1+5/3.1+2.0 = y(4) = = x(0)h(4)+x(1)h(3)+x(2)h(2)+x(3)h(1)+x(4)h(0)+x(5)h(-1) + x(6)h(-2) = 0.0+1/3.0+2/3.1+1.1+4/3.1+5/3.1+2.1 = … Cứ ta tìm y(n) = [0.3, 1, 2, , 5, , 6, 52, 0, …] Bài II 6: Tìm tín hiệu nhân chập x(n)*h(n) h(n)*x(n) so sánh kết a) x(n) = anu(n), ≤ a ≤ h(n) = u(n) y(n) = = y(n) = � y(n) y’(n) = Bài II.7: Tìm đáp ứng xung hai hệ thống sau mắc nối tiếp y1(n) = x1(n) + x1(n-1) y2(n) = 2x2(n) + x2(n) + 2x2(n-1) Ta xét tính nhân hai hệ thống trên: Xét y1(n) = h1(n) = => h1(n) = [1, 1] Xét y2(n) = h2(n) = => h2(n) = [1, 2] Do hai hệ thống cho mắc nối tiếp nên h(n) = h1(n)*h2(n) = h(n) = h(0) = = h1(0)h2(0)+h1(1)h2(-1)=1.1+1.0=1 h(1) = = h1(0)h2(1)+h1(1)h2(0)=1.2+1.1=3 h(2) = = h1(0)h2(2)+h1(1)h2(1)=1.0+1.2=2 h(3) = = h1(0)h2(3)+h1(1)h2(2)=1.0+1.0=0 Vậy h(n) = [1, 3, 2] Bài II.8 : Cho hệ thống có tín hiệu vào đáp ứng xung sau: h(n) = anu(n), với -1 a x(n) = u(n+5) – u(n-10) Tìm đáp ứng ngõ hệ thống y(n) = x(n-2)*h(n)+h(n)*x(n) y(n) = = Bài II.11: Xét tính ổn định nhân hệ thống có đáp ứng xung cho bởi: a) h(n) = (0,9)nu(n) Điều kiện ổn định Áp dụng cơng thức chuỗi hình học ta có: Mà Vậy hệ thống cho ổn định, nhân b) h(n) = - (0,9)nu(-n-1) Vì h(-1) => u(0) h(1) => u(-2) nên hệ thống phi nhân Điều kiện ổn định: Mà Vậy hệ thống ổn định phi nhân CHƯƠNG PHÂN TÍCH TRONG MIỀN TẦN SỐ Bài III 1: Tìm biến đổi Fourier rời rạc thời gian tín hiệu sau: a) b) c) d) Bài III.2: Tìm biến đổi Fourier tín hiệu cho trước Bài III.3 Tìm DTFT X(ω) tính X(ω) ω = π/3 a) Thay vào ta được: Bài III 6: b) a) H(z)= N(z) = � z2-z-2 = � z=2; z=-1 ( cực không ) D(z) = � z2-1,3z+0.4 = � z=4/5; z=1/2 ( cực ) H(z) = => hệ thống nhân ổn định b,) H(z) = N(z) = � z9-1=0 � z=1 ( không ) D(z) = � z8(z-1) = � z=0;z=1 (các cực)  Giản đồ cực không H(z) = hệ thống nhân ổn định Bài IV.9: a, H(z)=(6z2+z)/(z2-0,25) => H(z)/z =(6z2+z)/(z(z2-0,25)=( 6z2+z)/(z(z-0,5)(z+0,5)) H(z)=A/2 + B/(z+0,5)+C/(z-0,5) => B= 4; C=2; A=0 � H(z) = 4z/(z+0,5) + 2z/(z-0,5) Nhân quả: |z| > 0,5 => h(n)=4(-0,5)nu(n)+2(0,5)nu(n) Phi nhân : |z|h(n)= -4(-0,5)nu(-n-1)-2(0,5)nu(-n-1) b, H(z)/z = A/2 + B/(z+0,5)+C/(z-0,5)+D/(z-0,5) => A=0; B=D=1;C=4 H(z) = z/( z+0,5) + 4/(z-1) + z/(z-0,5) Nhân : |z|>1h(n) = (-0,5)nu(n)+ 4u(n)+ (0,5)nu(n) Phi nhân : |z|,0,5 => h(n) = -(-0,5)nu(-n-1)-4u(-n-1)- (0,5)n(u(-n-1)) Hai bên 0,5 X() Y(n-k) => Y()  y(n) = A.x(n-k) b) Với A=2,1 = , H() = Bài V.3: a) H() lọc thông thấp lý tưởng có tần số cắt cụt c H() = với –π ≤ -c ≤ π ≤ c ≤ π H() = ở trường hợp còn lại h(n) = ( từ -c đến c) ==> h(n) =  Đáp ứng xung h4(n) = n = n = Với c = h(0) = h(1) = h(-1) = 0.225 h(2) = h(-2) = 0.159 h(3) = h(-3) = 0.075 h(4) =0 h(5) = -0.045 b) Công thức : hhp = – hLP (n) => hHP (n) = với n khác = 1- với n =0 c = hHP(0) = 0.25 hHP(1) =hHP(-1)= -0.225 hHP(2) = hHP(-2)=0.159 hHP(3) = hHP(-3) = -0.075 hHP(4) = hHP(-4) = hHP(5) = hHP(-5) = 0.045 c) Công thức : hBP(n) = hLP(n)|n – hLP(n) | L  HBP(n) = với n khác = với n = d) Công thức : hBS(n) = (n) – hBP(n)  HBS(u) = với x khác = với n = Bài V 6: H() = a) h(n) = h(M-1-n), 0≤n≤M-1 Đăt N=M-1 � 0≤n≤N Vì đối xứng nên 0≤n≤ Xét M số lẻ => N chẵn � h(0) = h(N),h(10 = h(N-1),h(2)=h(n-2),…., h() = h() H() = h(0) + h(0) � H) = H() = Thay N=M-1 vào ta với M lẻ Bài V 7: =,2= - Với lọc thấp qua : h(n) = với n khác = với n=0  Lọc dải qua h(n) = với x khác = với x=0 h(0) = 0.25 h(1) = h(-1)= 0.093 h(2) =h(-2)= -0.159 h(3)=h(-3) = -0.8 h(4) = h(-4) = h(5) = h(-5) = 0.11 CHƯƠNG 6: THIẾT KẾ LỌC FIR Bài VI.1: a) Butterworth: N= log[ 1 / − 1}] (1 − δ p) δ S Ω log p ΩS Ω S = 2π FS , Ω p = 2π Fp => N = 28 Với b) Chebyshev -1: −1 / ξ ) δ 2S Ω cosh −1 ( p ) ΩS cosh −1 ( N= Ω S = 2π FS , Ω p = 2π Fp , ξ = −1 (1 − δ p ) với  N=9 c) Chebyshev -2: công thức y hệt câu b, N=14 Bài VI.2: N= a) Bậc tối thiểu lọc dựa vào: ( log[ Ωp ΩC 1 / − 1}] (1 − δ p ) δ S Ω log p ΩS )2 N = −1 (1 − δ p )2 b) Chỉ tiêu dải thông thỏa khi: �FC=2,32Hz ΩS 2N ) = −1 ΩC (1 − δ S ) với ΩC = 2π FC , Ω S = 2π FS ΩC = 2π FC , Ω p = 2π Fp với c) Chỉ tiêu dải triệt thỏa mãn ở tần số cắt : ( tìm �FC=25Hz BÀI VI 5: BÀI VI 6: Với f=5 T=0.2 - Hàm chuyển có cực không s= -1 cực liên hiệp s= -1± j CHƯƠNG THỰC HIỆN BỘ LỌC Bài VII.1: Vẽ thực lọc FIR dạng trực tiếp a) b) x(n) Z -1 Z-1 c) d) -4 +x x y(n) -2 e) f) g) i) j) k) l) m) o) q) t) a) u) v) x) z) ac) ZZ-1-1 h) x(n) Z -3 Z-1 y(n) w) y) aa) ab) ad) ae) b) h(0) = 2, h(1)=3, h(2)=4, h(3)=3, h(4)=3, h(5)=2 af) ag) x(n) ah) -1 Z ai) aj) Z-1 ak) al) Z-1 + -1 Z-1 y(n) p) r) s) Bài VII.2: Vẽ thực lọc FIR dạng trực tiếp h(0) = 2, h(1)=3, h(2)=4, h(3)=3, h(4)=2 x(n) Z-1 + n) Z-1 Z y(n) -2 Z-1 + am) an) ao) -1 Z ap) aq) -1 Z ar) as) Bài VII.3: Vẽ thực lọc FIR dạng trực tiếp -1 -2 -3 -4 -5 -6 a) H(z) = -0.1+0.2z -0.3z +0.4z +0.3z +0.2z -0.1z at) + y(n) au) Z av) aw) ax) ay) az) ba) x(n) -0.1 0.2 -1 43 -0.3 Z-1 0.4 Z -1 Z-1 0.3 bb) bc) 0.2 bd) -1 Z be) bf) Z-1 bg) bh) Bài VII.4: Hệ thống mô tả bởi hàm chuyển bi) a) Không dùng phép khai triển phân số từng phần, tìm đáp ứng xung nhân bj) bk) � bl) �  bm) • Thực trực tiếp I bn) bo) bp) x(n) Z -1 + bq) y(n) br) Z bs) bt) Z-5 Z-1 bw) • Vẽ thực loại II Z-1 bu) bv) x(n) + bx) by) Z-1 ca) Z-1 cf) cg) Z-1 ch) ci) cj) + y(n) bz) Z-1 cc) -1 cb) cd) ce) Z-1 ck) cl) cm) cn) co) cp) cq) CHƯƠNG BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC THỜI GIAN cr) Bài VIII.1: a X(n)=[1,2,0,0]  X(k) cs) ct) b X(n)=[1,2,1,0] =1+2 Với k=0,1,2,… ,N-1  X(k) cu) cv) c X(n)=[1,2,1,2]  X(k) cw) cx) d =1+2 + Với k=0,1,2,… ,N-1 X(n)=1 =1+2 ++2 Với k=0,1,2,… ,N-1  X(k) cy) Với k=0,1,2,… ,N-1 cz) e X(n)=acos=a da) � X(k) db) Với k=0,1,2,… ,N-1 dc) - Bài VIII.2: Ta có h(0) = , h(1) = ,h (2) = ,còn lại h(n)=0 ,N=3 a H(k)= dd) de) df) dg) dh) di) =+ Với điểm ta có: H(0)= += H(1)= + H(2)= + H(3)= += Biến đổi ngược: dj) h(n)== dk) = dl) Xét: dm) h(0)= dn) h(1)= do) h(2)=  Vậy biến đổi ngược phục hồi đáp ứng xung b dp) Bài VIII.4: dq) a b H(k)= H(k)= dr) c H(k)= ds) d dt) du) H(k)= Với(k= 0,1,2,3,….,N-1) Với(k= 0,1,2,3,….,N-1) Câu 4: Với điều kiện X(k) ta có: X(k)=[3,1,1,1,1,1,1,1,1,1] dv) dw) X(n)== dx) = dy) Bài VIII.5: dz) ea) eb) X(n)= ec) X(k) ed) =1+ ee) a ei) X(0)= 1+=3 ef) X(1)= 1+ eg) …… eh) X(9)= 1+ ej) ek)