INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multi-Valued Motion Fields Estimation for Transparent Sequences with a Variational Approach Alonso Ramirez-Manzanares Mariano Rivera Pierre Kornprobst Franỗois Lauze N° 5920 Mai 2006 Thème BIO N 0249-6399 apport de recherche ✂✁☎✄✝✆✟✞✡✠☞☛✍✌✎✄✏✁☎✑✓✒✔ ✂✕✖✆✟✞✏✕✎✗✔✘✙✞✏✑✓✄✚✒✜✛✣✢✤✛✥✆✟✞✚✦✧✌✖✆✟✞✏✕✎✗ ★ ✕✖✩✫✪✬✩✭✌✎✗☎✛✯✮✰✌✖✩✭✑✓✗✱✆✳✲✴✑✓✵✴✁☎✑✓✗✜✶✷✑✓✛ ✸ ✞✝✆✺✹✻✌✧☛✍✌✖✩✺✞✚✌✼✆✟✞✏✕✎✗☎✌✎✄✾✽✫✮☎✮✜✩✭✕✎✌✎✶✭✹ ✿☎❀❂❁❄❃✭❅❆❁❈❇❊❉●❋❈❍❏■❆❑▼▲❖◆✏◗❉●❃✭▲❘❉●❃❙❉●■❚❑❘❛ ❅ ■❨❉❜❯ ❃✭❱❝❘❁❄❉●❍❂❅❡■❆❍❏❉●❞❢❃✭❉●❁❈❣✭▲❘❇❊❑ ❍❳❲❄❑▼■❨❉ ❯❬❩ ❍❏❑❘■❚■❆❑❪❭❊❁❄■❆❃✭❫✺■❆❁❄❴✭❅✚❵ ❯ ❤❥✐❧❦✚♠✴♥✎♦✷♣rq❱❺❬❻rs✉⑧❖❼❽♥✏③✝t✇①❾✈②①④q➀③r❦❚❿②♠⑤✈②①r♥❆①r①❥➁✚♥ ⑥☞⑦⑨⑧❖⑩⑨⑧❖❶❖⑦❸❷❘❹☞♥❚① ➂❢➃➅➄❧➄❜⑧▼❻④③❢❿②♥✖❻✡♥❚➆✝✐☞♥❚❻✡➆✝✐❧♥➈➇●➉❙➊➅➋❘➌➅➍➎s➐➏❪➃❖⑦✟➌➅➍▼➍❖➑✖s✳➌▼➊➒➄❧➃➅❶▼♥❚① ∗ † ‡ § ⑨⑦➓❊➃➅♠➥③➵➔✺➃➅❶❖→❚❶▼⑦⑨➦❖➣✚♥❬↔➙♥❚①④➇✼↕☞♥❆➛❖⑩➢❷▼⑧②➣❖❹❧➆✚➜ 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➃❖➇➳➃✎❵➥➇☞♥❡➆✏➃➅⑧▼❻✡➇❧♥✴①❽③✡③r❻✡✐☞➃❖♥✜⑦➢➇❘①④③✎➄❧⑧▼➃➅③r➇➎⑦❸➃➅③✡⑩➨✐☞➆✚♥❡⑧❖➦▼♠✴♥✚➄●⑩⑨⑧✇⑧❖➆✚➇☞⑦➤③❽♥❚✈✬➇▼③✝①④①✖➄❜⑧➅➃❖➩✷➆✏♥❡③r✐❧➃❖♥❊➇❧❿✬➦❖♥❚⑦⑨⑩➢①✱⑧②➆✚①④⑦➤⑧▼③❽♠⑤✈❪♥✚➦▼③r♥❚⑦⑨➆✏♠✴③r⑧❖♥❚❻① ❻✡♥✏➩➫♥❚❻r♥❚♥❚❿❡③r⑧❡➃❖①✓❜➃ ❛④♠✴⑧➅③r⑦⑨⑧❖➇✰➆✏⑧▼➇❧①④③r❻✝➃➅⑦⑨➇▼③❥➦❖♥❆➆➭③✡⑧❖❻❆➯ ❝ ✧ ★ ✍ f (x, t) = f (x1 , x2 , t) f (x − u, t + 1) = f (x, t) ∂ ∂ ∂ u1 + u2 + ∂x1 ∂x2 ∂t u ∇f = (fx1 , fx2 , ft )T ∇f ê✟ê✫➱☞❞✑❡➭ñ➭á➭à (u1 , u2 ) 1 u f (x, r) = (∇f (x, t))T u2 = ✭ ✌☞✤✔✞✡❑▼✏✂✁✵✠ ✖✌☞✘✄✁ ✌☞✘❊✌✎❑▼✏✪✛✂☎✆ ✞✞✝☞✏✪❑■✌✟☎✡✠ ✕☞❑✢✘✎❉❊❑▼✕☞☛✢✛✢✆✍✌✏✎❁✌☞✁☞✁ ✏ ❖➃➃❖⑩➢➇❧➠❥❿☎➃❨✳❾➆✏✈②⑩➤⑩⑨③✡①❾♥❚✐☞➃➅❻✡⑧❖❻✡♥✚❹☞⑩⑨♠➥✈❡❶▼➃❖✐➳⑦➤③❾⑦➢➇✬➠✓➆❚➃➅➆✏⑦⑨❿②⑧❖➇☞♥❚➇❜➇❧⑩➢①❽⑧➅✈ ③✝③❢➃➅❹❧➇❘➆✏①④⑧▼③✼♥❆➄❜❿✥❿☞♥✼➸✯❹☞➠✓③✡♥⑤✐☞⑦➢③r③r⑦❸①✼⑧❧✐✰➸✟♠⑤♠✱➃➅⑧②♠✴❹☞❿②⑩➢⑧❖③r♥❚⑦⑨➇☞⑩❬➄☞❶✜✐❧⑩⑨♥✖➃▼⑧➅①✖♠✴③✡✐☞➃✜⑧➅♥✚③r❻✝➠✷⑦⑨①✚⑧❖➸✟♥✚➇❜⑩⑨➆✝①✚❙✐❧➸②➻✇➃➅♥❆➇☞➇☞①④⑧➙➄●❶▼➠✓⑦➢♥❚➇❧➆✚➇✬❶❊⑦⑨➃❖⑩➢⑩➢⑩⑨⑦⑨⑨⑦➢♠✴✈❡❶▼✐▼⑦➤⑦⑨③✡③✡➇✜♥❚➇☞❿✬⑦⑨③✡➇☞✐☞➦➙❶☎♥✎➃➅⑩⑨➆✚➆✚⑦ ⑧❖➃▼❿②➇❧①④⑦➢③❽♥✼❿☞✈❖⑦➤⑧❖➸➵③✡➩➵⑦➢⑦➢⑧▼➇❘③r➇❧③r❻✝♥❚①✚➃➅➇❧➸✟➇❜①r①④①④⑦➤➄❧➄●③✡➃❖⑦➢♥❚♥❆➆✚❻r①✎♥❚❹☞➇❧⑩⑨❿②➃❖➆✏⑧✰❻r✈▼⑦➢➯③r➇☞⑦⑨⑧➅♥❚③① 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u1i T (∇Pi (x, t)) u2i = ❧➄♣➺➇✬⑦ ✩②③✡♥✚✐☞⑩⑨➠✓♥➥⑦❸①④♠✴♥✖♥✚➃❖❻✡❿❧♥❡❿②➆✚⑦➤➃❖③✡⑦➢①r⑧▼♥✴➇ ⑧➅➩❥⑩➢⑦⑨➇☞♥❆➃➅❻✎①r❹☞➄❜♥❚➸②❻r③✡➄●✐☞⑧▼♥✚①r➇✰⑦➢③r⑦⑨⑧❖⑧❖➇❧➇✯♥➀➸✯❶▼⑦❏➯♥✏♥❖③✝➯❡① ➠✓✐☞♥❚➇✬③r✐☞♥❊➆✚⑧❖♠➒⑥☞⑦➢➇❜➃➙③r⑦⑨⑧❖➇✬⑧❖➄●♥✚❻✝➃➙③✡⑦➢⑧▼➇ ⑦⑨①❥❼❽❹❜①❽③✱➃ ✷✣✦ ✹ ➠✓➄❜➃➙✐❧③④♥✚③✡❻✡♥✚♥ ❻✡➇❧①✷✐❧➃❖①➞⑥●♥✚♥✚➇☎♥✚⑩⑨⑦⑧▼♠⑤❻ ⑦⑨➇❧➃➅③r♥❚❿✯➃➅➯✺➇❧♣➺❿✜➇✜③✡③r✐☞✐❧♥✎♥➀➆❚❿②➃❖⑦❸①④①r➄☞♥❾⑩❸➃❖③✡✐❧➆✚♥❚➃➙❿❊③✷③r➩➫✐☞❻✡➃❖♥✼♠✴♠✴♥✼⑧➅❿☞③✡⑦➢⑦ ⑧▼❄➇❊♥✚❻✡⑧❖♥✚➩➵➇❧➆✚♥❚♥✖➃▼➆✝⑦⑨✐❡①❥➇❧➄❧⑧❖➃➙➇✰③r③r♥❚➼✚❻r♥❚➇ ❻r⑧❘①✚➸✇⑥☞⑦❸①❥❹②③➲➆✏⑧❖⑧❖➇❜➇☞①❽♥✼③✝➃➅⑧➅➇❘➩✺③➞③r⑧▼✐❧➇ ♥ ➃➅❚◗③✷❯❅⑩⑨❚◗♥❚➃▼①❽♥ ③➞③r✐☞❻✡♥✚♥➲➩➫❻✝➃➅♠✴♥❚①❥➃➙③✷③r⑦⑨♠✴♥❚① ➃❖❿❡➇❧❿➃❖①✡①r❹☞③✡✐☞♠✴♥✚⑦➢➇✜➇☞❶✱③r✐❧③r✯♥✐❧➃➅❛r③❿②⑦ ●♥❚❻r⑦⑨①✷♥❚➇❧➻✇➆✏➇☞♥➀⑧➙➄❧➠✓➃➙➇✯③r➸ ③r♥❚❻r➇ ➆✚❝ ➃➅➇❊⑥❜①r♥✼➃➅➆✏③r⑧▼⑦❸①❽♠⑤➧❜♥❚➄❧①➞❹②③r③r✐☞♥❆❿♥ ❖ ➃ ❧ ➇ ➩➫⑥✇➃✰❻✝✈✾➃➅➆✚♠✴⑧▼➃✬➃➅♥❆❻✝①④①✖①r⑦⑨➇☞♥✱➃➅❶▼⑩⑨♥❚❶❖⑩➢①④♥☎⑧❖③r❻✡⑦⑨♠✴⑦➢♠➥③r✐☞⑧➅➃➙③r♠ ③✡⑦⑨♥➥⑧❖➇➩➫⑧➅⑧▼➩ ❻✖♥❚①④♥❚③r①④⑦⑨③r♠➥⑦⑨✷Ï♠✴➩➫➃➙⑧▼③✡➃➅❻✖⑦➢③r⑧▼⑦➢⑦⑨➇✾➇❧➇☞①④❶ ③r③✡♥❆➃❖➆✝➇❧✐☞➆✏➇☞✲♥ ➃❖⑦❸✹➭➇❧❷❘➸✺❿ ❹☞➃➅♥❖➇❧➯ ❿➎➯✴♦➞❹❧❹❧❤❥①r♥❡❻④✐❧③✚♥✚➃☎✈➎✏✪①r✆✔⑦⑨①④➇☞③✡✌☞❶❖➃❖✄ 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➩➫➠✓➆✚⑧▼⑧❖✐❧❻r➇❧♠✫♥✚①④❻✡③✡♥ ➃❖⑧➅➇❘➩ ③❥♠✴✷❬⑧❖③r③r✐☞⑦⑨⑧❖♥ ➇✯➸✇③✡✐☞♥✖⑥❜♥❆➃➅①❽♠✱❻✡③ ♥➀❹☞③r⑩➢③r✐☞➆❚⑦⑨♥➒➄☞➃➅➇☎⑩⑨①④⑦ ➄❧➆❚⑥❜➃➙➃➅♥✖③✡③r⑦➢⑦❸➦▼❻✡➃➅♥✏♥✱⑩➵③✡➃❖❻r➆✏⑦⑨➇❧⑧▼♥✚➇❧❿✜➦▼①❽♥❚③r③✝❿❊♥❚➃➅♠⑤➇❘➃▼③❾①✷➄●✐❧⑧❖③r✐☞❻✝➃▼➃➅♥✖①❢⑩✯⑥●♠✴➩➫❻r♥✚⑦⑨♥❆♥❚➇☞❷▼➇➎⑦⑨❹❧♠⑤❿②♥✚⑦⑨➇❧❻✡➼✚⑧❖➆✚♥❚➄☞⑦➢❻❢♥❆➄●①❢⑧➅♥❚➩✟➃➅❿✍③r➇❧✹➭✐☞➯❢❿ ♥✖♣➺➇➝♥❚➇☞⑦⑨③✡♥✚①❢✐❧❻✡③r❶❖➃➙✐☞③✼✈ ♥ ➆✚❯☞➃▼⑧❖①④♥▼❹❧➸❜❻r⑦⑨➃❖♥✚①✡❻❥①r❹☞③✡❻✡♠✴➃❖⑦➢➇❧➇☞①❽❶ ➷ uT ω fˆ(ω) = ω = (ω1 , ω2 ,√ ω3 ) f 2π −1 fˆ u ˆ |dω v ωω t |f(ω) vt Esingle (v) = ❤❥①r➄●✐❧⑧❖⑦⑨➇❧①❾❿②⑦⑨①➀⑦⑨➇☞➃✴❶⑤③r③r⑧❖⑧⑤③✡③✡➃❖✐☞⑩✟♥✎⑩⑨♥❚①④➃▼♠➥①❽③➲➃❖⑩➢①✡⑨❷❘♥❚❹❧①④③✓➃➅❻✡♥✚♥❚⑦⑨❶❖①❢♥✚➄☞➇✇❻r➦➙⑧▼➃➅⑥☞⑩⑨❹☞⑩⑨♥✚♥✼♠✫⑧➅➩✺➠✓③r✐☞✐❧⑧▼♥ ①r♥✱①r⑧❖⑩⑨❹②③r①④⑦⑨✈✇⑧❖♠✴➇❪♠✴⑦❸①❢♥✏③✡❶▼❻r⑦➢➦▼⑦❸➆➅♥✚➸②➇❪➄●➃▼⑧▼①✓①r⑦➤③✡③r⑦➢✐❧➦▼♥ ♥✥✷❳✷❳➃❖①r➇✍♥✚♠✴✹✓♥❚⑦➤➷❱⑦➢✹❽❶▼❿☞♥✚♥✏➇✇➧❧➦❖➇☞♥❆⑦➢➆➭③r③✡♥✖⑧❖❻❾♠➥➆✚➃➅⑧❖③r❻✡❻✡❻r⑦ ♥✚✩ ➷ ˆ |dω |f(ω) vtv 3×3 ωω t |fˆ(ω)2 |dω ✓➠➃➅③✎✐❧⑦⑨➃❊➆✝✐ ❶▼⑦➢➦▼⑦❸①➒♥✚➇ ➃✁⑩⑨ ✍⑧②✆✟➆✚❑✢➃➅✁✑③r✪⑦⑨⑧❖✆✟✁☎➇✯❑▼➸❄✏✄③✡✐☞✂✍♥➥✏✵✘❪⑩➢⑦⑨✛✵➇☞✕☞♥❆❑ ➃➅❻❆✷❳➸❄①r♥✚➧❧♥ ❻✡①④✫❋③✼✮ ✮➅⑧❖➸✺❻✝❿②➊☞♥✚➸ ❻❆✦▼➸✯➑✲➆✏✱➨⑧▼➩➫➇❧⑧▼①❽❻➒③✡❻✡⑦⑨➃❖➇❧⑦➢①④➇❘③✡③✥➃❖➇❧✷ ✭ 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✖✌☞✘ ✌☞✘❊✌✎❑▼✏✪✛ ✞ ☞✏✪❑■✌ ✕☞❑✢✘✎❉❊❑▼✕ ✢✛✢✆ ❁✌☞✁ ✏ r❛③✡❿②⑧➒❹❧⑧▼➃❖➇☞⑩➢⑦⑨♥➀➼✚♥✪⑧❖❝✓❻❥③r♠✴✐☞⑦❸⑧❖①❥❻✡♥➲➆✏⑧❖➦▼➇❜♥✚①❽⑩⑨③✡⑧✇❻✡➆✚➃❖⑦➤③✡⑦➢➇❘⑦➢♥❆③➞①✚⑦⑨➯❙➇✖❤❥✫ ✐☞✮❚➍☞♥✖✱❄➌❨⑦⑨➷❏➇❊➩➫⑧❖⑧▼⑩❸❻✡❿☞❿☞①✷♥✚⑧❖❻❬➄☞③✡③r⑧⑤⑦❸➆✚➆✚➃➅⑧❖⑩●➇❧➟❧①④⑧➙③r➠❱❻✡❹❧➆✏➆✏③✷⑧❖➇❜①r⑧❖①❽③✡♠✴❻✡➃❖♥ ⑦➢➇❘❯❧③➞⑧❖❹☞⑦❸①❥❻✡⑦➢❹❧♥❚①r❻❅♥❚❛r❿✜❿②⑧▼⑦➢➇❊➇❘❹☞③r③✡✐☞①❱♥✼❝✓➄☞❹❜❻✡①④♥❚♥❆①r❿➥♥✚➇❘③r③❥⑧⑤➠➞❻✡♥❚⑧▼①r❻r➄❜➻❄⑧▼➸✇➇❧⑦⑨➇❿ ⑧▼❻✡❿☞♥✚❤❥❻✷✐☞③r♥✴⑧✴➇☞⑥☞⑧▼❹☞➇☞⑦⑨⑩⑨⑩❸⑦➢❿✰➇☞♥❆⑩➢⑧②➃➅➆✚❻➲➃❖➩➫⑩❄⑧❖♠✱❻✡♠ ❹☞⑩➢③r⑧➅⑦⑨➩➞➄☞⑩⑨③r♥✎✐☞⑦❸♠✴①✼⑧➅➆✏③r⑧❖⑦⑨➇❜⑧❖①❽➇❜③✡❭① ❻✡➃❖❛❽➄☞⑦➢➇❘❻✡③➀⑧❖⑥●③r✐☞♥❚❱①♥❚❝➭➇➎➯ ➄☞❻✡⑧➙➦✇⑦⑨❿☞♥❚①➲➠✓✐❧➃➙③✼⑧❖➇☞♥⑤♠➥➃❨✈❪➆✚➃❖⑩➢✺③r✐❧☛♥ ✍ ✠✑✏✪✕☞✄❋✒☞✛✥✒✎✞❈✛✢✠ ❉ ✄❋✌❍✓✏✓✒ ✏✓❑▼✌☞✤✥✏ ✒✎✞ ❖◆✏✵❑▼✏✪✘ ✓✏✔✏✓❘✵✁✑✌☞✆✟✞✗✕☞✘❜➸❧➃➅➇❧❿☎➃➅⑩❸①r⑧➒❹❧①r♥❚❿☎⑦⑨➇☎③r✐☞⑦❸①✓➄☞❻✡♥❚①r♥✚➇❘③❥➠➞⑧▼❻r➻❄➸ ✂✁ ✄✁ ✂☎✆ ✞✝ ✟☎✡✠ ☞☛ ✍✌✏✎ ☞✁ ✷✁ ✹ Ý♣➃❖③✷❹②③r➆✚✐❧➃➅➇➥⑧❖❻✝⑥●①✚➯❬♥❾♥✵❯❧✩✇⑧❖③r❻❊♥✚➇❜⑦⑨❿②➇❧♥❚①④❿⑤③✡➃❖③✡➇❧⑧✎➆✏♥▼♠✴➸➲⑧❖t❘❻✡♥❥③r❹❧③r➻❖✐❧♥✬➃❖➇➥✏✵✆✴③❽➠➞✌☞⑧✖✄ ♠✴❹❧⑧❖①r③r♥⑦⑨⑧❖➇❧⑦➢③✜①➞➃➅⑦⑨➇❬➇❧❿✴✫ ✦▼✐❧➌ ➃▼✱➀①❙③r⑥●⑧ 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