Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2002 ngày 2 doc
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2002 ngày 2 doc
... University Students
Warsaw, July 19 - July 25 , 20 02
Second Day
Problem 1. Compute the determinant of the n × n matrix A = [a
ij
],
a
ij
=
(−1)
|i−j|
, if i = j,
2, if i = j.
Solution. Adding the second ... domains AOB, BOC and COA; the intersec-
tions are “slices” and their areas are
1
2
γ,
1
2
α and
1
2
β, respectively.
2
Now project the slices AOC and COB to the plane OAB...
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1997 ngày 2 docx
... 4c
2
x
2
+ O(x
3
),
2f(x)f
(x) = 4c
2
x
2
+ O(x
3
)
and
2( f
(x))
2
f(x) = 2( 4c
2
x
2
+ O(x
3
))|x|
c + O(x).
g is bounded because
2( f
(x))
2
f(x)
|x|
3
−→
x→0
8c
5 /2
= 0
and f
(x)
2
− ... C
2
(R)?
Solution.
Let c =
1
2
f
(0). We have
g =
(f
)
2
− 2ff
2( f
)
2
√
f
,
where
f(x) = cx
2
+ O(x
3
), f
(x) = 2cx + O(x
2
), f
(x) =...
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2002 ngày 1 doc
... a
2
k
≤
c
2
l
(k+1)
2
≤
4c
2
l
2k+1
−
4c
2
l
2k +2
, whereas in the second case there is a
2k+1
− a
2k +2
≤ a
k
a
k+1
≤
c
2
l
(k+1)(k +2)
≤
4c
2
l
2k +2
−
4c
2
l
2k+3
.
Hence a sequence (a
n
−
4c
2
l
n+1
)
n 2
l+1 is non-decreasing ... 4c
2
l
.
Indeed, for any integer n ≥ 2
l+1
there exists an integer k ≥ 2
l
such that
n = 2k or n = 2k + 1. In the first case there...
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1997 ngày 1 pptx
... L
3 .2
n 2 = S
2
n−1 +
2
n−1
−1
k =2
n 2
1
√
2k + 1
and L
3 .2
n 2
− S
2
n−1
≥ 2
n 2
1
√
2
n
−→
n→∞
∞, so L
3 .2
n 2
−→
n→∞
∞.
Problem 3.
Let A and B be real n×n matrices such that A
2
+B
2
=AB. ... partial sums of the permuted series have
the form L
2
n−1
+k
= S
2
n−1
+ S
2
n
− S
2
n
−k
, 0 ≤ k < 2
n−1
and for 2
n−1
> n
0
we
have |L
2
n−1
+k
− S|...
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1994 pptx
... e
−1
, f(0, 1) = −e
−1
and te
−t
≤ 2e
2
for
t ≥ 2. Therefore |f(x, y)| ≤ (x
2
+ y
2
)e
−x
2
−y
2
≤ 2e
2
< e
−1
for (x, y) /∈
M = {(u, v) : u
2
+ v
2
≤ 2} and f cannot attain its minimum ... b). From
∂f
∂x
(x, y) =
2x(1 − x
2
+ y
2
)e
−x
2
−y
2
we get
(1) x(1 − x
2
+ y
2
) = 0.
Similarly
(2) y(1 + x
2
− y
2
) = 0.
All solutions (x, y) of the system (1), (2...
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1995 docx
... o(t
2
)
+
1
2p
1
p
− 1
(−pt + o(t))
2
+ o(t
2
)
= 1 − t −
p − 1
2
t
2
+ o(t
2
) −
p −1
2
t
2
+ o(t
2
)
= 1 − t − (p − 1)t
2
+ o(t
2
).
We have
(x − y)
2
= (2t + o(t))
2
= 4t
2
+ o(t
2
)
and
4−(x+y)
2
=4− (2 (p−1)t
2
+o(t
2
))
2
=4−4+4(p−1)t
2
+o(t
2
)=4(p−1)t
2
+o(t
2
).
So ... Then
N
n=1
b
n
2
n
=
N
n=1
(a
n
− 1)
2
2
n
=
N
n=1
[a...
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1996 doc
... O(h
2
).
From (1), (2) and (3) we get
∞
n=1
nx
(n
2
+ x)
2
−
1
2
≤
∞
n=1
h
2
nh+
h
2
nh−
h
2
|f
(t)|dt + O(h
2
) =
= h
2
∞
h
2
|f
(t)|dt + O(h
2
) = O(h
2
) = O(x
−1
).
13
Problem ... One has a
2
=
1
2
>
2
3
2
= q
2
. Going by induction we have
for N ≥ 3
a
N
=
2
N
a
N−1
+
1
N
N 2
k =2
a
k
a
N−k
≥
2
N
q
N−1
+
N...
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1998 ppt
... −
1
2
)
2
−
1
2
2
k
=
1
2
− 2
2
k
−1
2( x −
1
2
)
2
2
k
=
1
2
− 2
2
k+1
−1
(x −
1
2
)
2
k+1
which is (2) for n = k + 1.
Using (1) we can compute the integral,
1
0
f
n
(x)dx =
1
2
x −
2
2
n
−1
2
n
+ ... 1, 2, . . . . For n = 1 this is true, since f(x) = 2x(1 − x) =
1
2
− 2( x −
1
2
)
2
. If (1) holds for
some n = k, then we have
f
k+1
(x) =...
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1999 doc
... . + n =
n(n+1)
2
. By this inequality,
∞
n=1
π(n)
n
2
=
∞
n=1
π(1) + . . . + π(n)
1
n
2
−
1
(n + 1)
2
≥
≥
∞
n=1
n(n + 1)
2
·
2n + 1
n
2
(n + 1)
2
=
∞
n=1
2n + 1
2n(n + 1)
≥
∞
n=1
1
n ... , a
2k
, such that a
1
and a
2
are in the same row, a
2
and a
3
are in the same column,
. . . , a
2k−1
and a
2k
are in the same row, and a
2k
and a
1
are in the same column...
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2000 doc
... b)
2
x
2
dx =
a
7
21 0
(7k
2
+ 7k + 2)
and
b
0
(x + a)
2
(x − b)
2
x
2
dx =
a
7
21 0
(2k
2
+ 7k + 7)
Then
K = k
5
2k
2
+ 7k + 7
7k
2
+ 7k + 2
.
The derivative of the function f(k) =
2k
2
+7k+7
7k
2
+7k +2
is ... most
i+1
0
1
√
x
√
i + 1 − x
dx = π
2
Alternatively you can observe that
i
m=1
1
√
m
√
i + 1 − m
= 2
i /2
m=1
1
√
m
√
i + 1 − m
≤
≤ 2
1
i...