Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2002 ngày 1 doc
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2002 ngày 1 doc
... ···+
1
n 1
n 1
;
then
x
n +1
=
2
n +1
n + 1
n
k=0
1
n
k
=
2
n
n + 1
1 +
n 1
k=0
1
n
k
+
1
n
k +1
+ 1
=
=
2
n
n + 1
n 1
k=0
n−k
n
+
k +1
n
n 1
k
+
2
n +1
n + 1
=
2
n
n
n 1
k=0
1
n 1
k
+
2
n +1
n ... = 1, 2, . . . , n.
Show that
a
1
− b
1
1
+
a
2
− b
2
2
+ ···+
a
n
− b
n
n
= 0. (1)
Solution. Since k
n
k
= n
...
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2002 ngày 2 doc
... 1 2 . . . 1 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 1 1 . . . 2 1
1 1 1 . . . 1 2
=
1 1 0 0 . . . 0 0
0 1 1 0 . . . 0 0
0 0 1 1 ... the third row
to the second one, , adding the nth row to the (n − 1) th, the determinant
does not change and we have
det(A) =
2 1 +1 . . . 1 1
1 2 1 . . . 1 1...
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1997 ngày 1 pptx
... have
1 +
1
n
k
− 1
< θ
k 1
.
Then we get
α
(1 +
1
n
1
) (1 +
1
n
2
) . . .
=
θ
k 1
(1 +
1
n
k
) (1 +
1
n
k +1
) . . .
≥
θ
k 1
(1 +
1
n
k
) (1 +
1
n
2
k
) . . .
=
θ
k 1
1 +
1
n
k
1
> 1
– a ... 1
.
Since
θ
k 1
≤ 1 +
1
n
k
− 1
we have
1 +
1
n
k +1
< θ
k
=
θ
k 1
1 +
1
n
k
≤
1 +
1
n
k
1
1 +
1
n
k
= 1 +
1
n
2
k
− 1
.
3
He...
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1997 ngày 2 docx
... for some
θ ∈ (0, 1) we get |f(n +1) −f(n)| = |f
(n+θ)| ≤
1 + α
n
α +1
. Since
1 + α
n
α +1
< +∞
for α > 0 and f(n) −→
n→∞
0 we get that
∞
n =1
( 1)
n 1
f(n) =
∞
n =1
(f(2n 1) −f(2n))
converges.
Now ... some C
2
-functions.
1
Let f (x) = (x + |x|
3/2
)
2
= x
2
+ 2x
2
|x| + |x|
3
, so f is C
2
. For x > 0,
g(x) =
1
2
1
1 +
3
2
√
x
= −
1
2
·
1
(1 +...
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1994 pptx
... of zero
elements in A
1
.
b) How many zero elements are there in the inverse of the n × n matrix
A =
1 1 1 1 . . . 1
1 2 2 2 . . . 2
1 2 1 1 . . . 1
1 2 1 2 . . . 2
. . . . . ... except
b
1, 1
= 2, b
n,n
= ( 1)
n
, b
i,i +1
= b
i +1, i
= ( 1)
i
for i = 1, 2, . . . , n − 1.
Problem 2. (13 points)
Let f ∈ C
1
(a, b), lim
x→a+
f(x) = +∞, lim
x→b−
f(x) =...
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1995 docx
... Then
N
n =1
b
n
2
n
=
N
n =1
(a
n
− 1)
2
2
n
=
N
n =1
[a
2
n
2
n
− a
n
2
n +1
+ 2
n
]
=
N
n =1
[(a
n 1
− 1) 2
n
− (a
n
− 1) 2
n +1
]
= (a
0
− 1) 2
1
− (a
N
− 1) 2
N +1
= 2 − 2
2
2
−N
− 1
2
−N
.
Put ... 1)
dx
=
1
2
h + ∆,
where
|∆| ≤
1
2
1 + 2
N
n=2
1
n
3
2
− 1
+
1
n
3
2
+ 1
≤
1
2
+ 2
N
n=2
1
n
3
2
− 1
.
10
We use that n
3
2
− 1...
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1996 doc
... 1) .
Consequently,
(2)
∞
n =1
(a
1
a
2
···a
n
)
1/ n
≤
∞
n =1
a
n
c
n
∞
m=n
(m(m + 1) )
1
.
Since
∞
m=n
(m(m + 1) )
1
=
∞
m=n
1
m
−
1
m + 1
= 1/ n
we have
∞
n =1
a
n
c
n
∞
m=n
(m(m + 1) )
1
=
∞
n =1
a
n
c
n
/n
=
∞
n =1
a
n
((n ... ε)
N
n=K +1
1
n
+
e −
ε
2
1
N
n=K +1
1
n
=
=
1
e −ε
N
n=K +1
1
n
≤
1
e −ε
∞
n =1
(a
1...
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1998 ppt
... −
1
2
)
2
−
1
2
2
k
=
1
2
− 2
2
k
1
−2(x −
1
2
)
2
2
k
=
1
2
− 2
2
k +1
1
(x −
1
2
)
2
k +1
which is (2) for n = k + 1.
Using (1) we can compute the integral,
1
0
f
n
(x)dx =
1
2
x −
2
2
n
1
2
n
+ ... n = 1, 2, . . . . For n = 1 this is true, since f(x) = 2x (1 − x) =
1
2
− 2(x −
1
2
)
2
. If (1) holds for
some n = k, then we have
f
k +1
(x) = f
k...
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1999 doc
... thus π (1) + . . . + π(n) ≥ 1 + . . . + n =
n(n +1)
2
. By this inequality,
∞
n =1
π(n)
n
2
=
∞
n =1
π (1) + . . . + π(n)
1
n
2
−
1
(n + 1)
2
≥
≥
∞
n =1
n(n + 1)
2
·
2n + 1
n
2
(n + 1)
2
=
∞
n =1
2n ... w
1
, . . . , w
k
such
that (ua
1
)w
1
∼ u, (ua
1
a
2
)w
2
∼ ua
1
, . . . , (ua
1
. . . a
k
)w
k
∼ ua
1
. . . a
k 1
. Then u ∼ ua
1
w
1
∼...
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2000 doc
... C
∞
i =1
x
i
.
Solution.
a)
(
n
i =1
x
i
√
i
)
2
=
n
i,j
x
i
x
j
√
i
√
j
≥
n
i =1
x
i
√
i
i
j =1
x
i
√
j
≥
n
i =1
x
i
√
i
i
x
i
√
i
=
n
i =1
x
2
i
b)
∞
m =1
1
√
m
(
∞
i=m
x
2
i
)
1/ 2
≤
∞
m =1
1
√
m
∞
i=m
x
i
√
i − m + 1
by a)
=
∞
i =1
x
i
i
m =1
1
√
m
√
i − m + 1
You can get a sharp bound on
sup
i
i
m =1
1
√
m
√
i − m + 1
by checking that it is a...