Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2000 doc

Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2000 doc

Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2000 doc

... e, this yields e + 2ef = 0, and similarly f + 2ef = 0, so that f = −2ef = e, hence e = f = g by symmetry. Hence, finaly, 3e = e + f + g = 0, i.e. e = f = g = 0. For part (i) just omit some of this. Problem ... have a = b. b) No. Let, for example, f(x) = 1 − x/2 if x ≤ 1/2 and f(x) = 1/2 − x/2 if x > 1/2 This is clearly a good counter-example. Problem 2. Let p(x) = x 5 + x and q(x) = x 5 + x...

Ngày tải lên: 26/01/2014, 16:20

8 376 1
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1995 docx

Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1995 docx

... − 1 3 . From the hypotheses we have  1 0  1 x f(t)dtdx ≥  1 0 1 − x 2 2 dx or  1 0 tf(t)dt ≥ 1 3 . This completes the proof. Problem 3. (15 points) Let f be twice continuously differentiable on (0, ... x tends to 0+ we obtain −x 0 ≤ lim inf x→0+ f(x) f  (x) ≤ lim sup x→0+ f(x) f  (x) ≤ 0. Since this happens for all x 0 ∈ (0, r) we deduce that lim x→0+ f(x) f  (x) exists and lim x→0+ f(x...

Ngày tải lên: 21/01/2014, 21:20

11 534 2
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1996 doc

Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1996 doc

... consider k ≥ 2. For any m we have (2) cosh θ = cosh ((m + 1)θ − mθ) = = cosh (m + 1)θ.cosh mθ − sinh (m + 1)θ .sinh mθ = cosh (m + 1)θ.cosh mθ −  cosh 2 (m + 1)θ − 1. √ cosh 2 mθ − 1 Set cosh kθ = a, ... the first and the third integral tend to − 1 f  (0) as n → ∞, hence so does the second. Also n  1 A (f(x)) n dx ≤ n(f(A)) n −→ n→∞ 0 (f (A) < 1). We get L = − 1 f  (0) in this case....

Ngày tải lên: 21/01/2014, 21:20

15 404 1
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1999 doc

Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1999 doc

... (1) From this recursion we can compute the probabilities for small values of n and can conjecture that p (r) n = 1 5 + 4 5·6 n if n ≡ r (mod )5 and p (r) n = 1 5 − 1 5·6 n otherwise. From (1), this ... opposite inequality holds ∀m  1. This contradiction shows that g is a constant, i.e. f(x) = Cx, C > 0. Conversely, it is easy to check that the functions of this type verify the conditions...

Ngày tải lên: 26/01/2014, 16:20

6 371 1
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2005 doc

Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2005 doc

... Hence |grad f(u) − grad f(v)| = |au − bv| ≥ |u − v| and this inequality is strict since D ∩ D r contains no more than one point. B ut this contradicts the assumption that |grad f(u) −grad f(v)| ... b), |u| = √ a 2 + b 2 .) Solution. To get an upper bound for r, set f(x, y) = x − x 2 2 + y 2 2 . This function satisfies the conditions, since grad f(x, y) = (1 − x, y), grad f(0, 0) = (1, 0) and ....

Ngày tải lên: 26/01/2014, 16:20

8 406 2
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1994 pptx

Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1994 pptx

... at least one is negative. Hence we have at least two non-zero elements in every column of A −1 . This proves part a). For part b) all b ij are zero except b 1,1 = 2, b n,n = (−1) n , b i,i+1 = ... −  bk/n b(k−1)/n f(x)dx   b 0 g(x)dx + O(ω(f, b/n)g 1 ) = 1 b  b 0 f(x)dx  b 0 g(x)dx + O(ω(f, b/n)g 1 ). This proves a). For b) we set b = π, f(x) = sin x, g(x) = (1 + 3cos 2 x) −1 . From...

Ngày tải lên: 21/01/2014, 21:20

9 431 2
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1997 ngày 1 pptx

Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1997 ngày 1 pptx

... suffices to show that this sequence is strictly decreasing. Now, p k − q k − (p k−1 − q k−1 ) = n k p k−1 − (n k + 1)q k−1 − p k−1 + q k−1 = (n k − 1)p k−1 − n k q k−1 and this is negative because p k−1 q k−1 = ... is the rational number p q . Our aim is to show that for some m, θ m−1 = n m n m − 1 . Suppose this is not the case, so that for every m, (3) θ m−1 < n m n m − 1 . 4 For each k we...

Ngày tải lên: 21/01/2014, 21:20

8 419 1
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1997 ngày 2 docx

Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1997 ngày 2 docx

... then there are axes making k 2π n angle). If A is infinite then we can think that A = Z and f (m) = m + 1 for every m ∈ Z. In this case we define g 1 as a symmetry relative to 1 2 , g 2 as a symmetry ... It is enough to prove the theorem for every such set. Let A = T (x). If A is finite, then we can think that A is the set of all vertices of a regular n polygon and that f is rotation by 2π n .

Ngày tải lên: 21/01/2014, 21:20

5 489 1
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1998 ppt

Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1998 ppt

... contains only powers of ¯y = yK, i.e., S 4 /K is cyclic. It is easy to see that this factor-group is not comutative (something more this group is not isomorphic to S 3 ). 3) n = 5 a) If x = (12), then for ... vector space. Solution First choose a basis {v 1 , v 2 , v 3 } of U 1 . It is possible to extend this basis with vectors v 4 ,v 5 and v 6 to get a basis of U 2 . In the same way we can e...

Ngày tải lên: 26/01/2014, 16:20

7 480 1
Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2001 ppt

Tài liệu Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2001 ppt

... integers x and y, b = b xr+ys = (b r ) x (b s ) y = e. It follows similarly that a = e as well. 2. This is not true. Let a = (123) and b = (34567) be cycles of the permu- tation group S 7 of order ... 4/x 2   . It is a matter of simple manipulation to prove that 2f(x) > x for all x ∈ (0, 2), this implies that the sequence (2 n a n ) is strictly 1 increasing. The inequality 2g(x) < x ....

Ngày tải lên: 26/01/2014, 16:20

9 269 1
w