Tích phân bội ba

Cho  đóng và bị chận trong R3. Hàm f(x,y,z) xác định trong . Phân hoạch  thành những miền con k với thể tích V(k), d là đường kính phân hoạch. Trên mỗi miền con, lấy điểm Mk tùy ý, gọi tổng tích phân

TÍCH PHÂN BỘI BA

của f trên .

1/( )

Lưu ý về cách xác định biến tính trước và miền D

1 Biến tính trước được chọn tương ứng với biến chỉ xuất hiện 2 lần trong định nghĩa .

2 Hình chiếu D xác định như khi tính thể tích.

3 Tùy thuộc vào D, cận tích phân ở tầng ngoàisẽ được viết thành tích phân 2 lớp.

D = hc 

3, 33, 326, 0, 0

x+ + =yzx+ =yx+y=y=z=3

x + + =yz

3, 33, 326, 0, 0

x+ + =yzx+ =yx+y=y=z=

3x +2y =6

3x + =y 3

3, 33, 326, 0, 0

x+ + =yzx+ =yx+y=y=z=

3x +2y =6

3x + =y 3

VÍ DỤ 4

1 1

xyy

Vẽ miền lấy tp cho tp sau:

I =   dx dy zdz

sau đó viết lại I theo thứ tự I=  dy dz zdx

Ví dụ 7

Áp dụng vào việc xét tính đối xứng của 

ĐỔI BIẾN

TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA

ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA

( , , )( , , )

yMz

Điều kiện giới hạn:

M’

2/ Vẽ miền lấy tp và đổi tp sau sang tọa độ trụ:

I = 

TỌA ĐỘ CẦU

x =  sin cos, y =  sin sin,z =  cos

Tọa độ cầu thường dùng cho miền giới hạn bởi

mặt cầu hoặc mặt nón và mặt cầu.Lưu ý:



Một số mặt cong thường gặp trong tđ cầu

x + y + z  R

  

 

 

22 1tan

1/ Vẽ miền lấy tp và đổi tp sau sang tọa độ cầu:

J = 2 sin

I =

x = sincos, y = sinsin, z = cos.

Tính tích phân sau sử dụng tọa độ cầu:𝐼 = ׮Ω 𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ,với Ω: ൞

3𝑧 ≥𝑥2 + 𝑦2𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 4𝑧

𝑥 ≥ 𝑦





  

  

7,12

6/ Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt sau:

dz dxdy

−−+ 

Đổi biến cho hình cầu tổng quát, ellipsoid

 : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2  R2

Đổi biến:

x = a +sincos , y = b + sinsin, z = c + cos

J = 2 sin

0: 0

   

   

32

 

 

 

 

 

 

0   2

3/ Vẽ miền lấy tp cho tp sau:

Hình chiếu lên Oxy của miền :0  x  2, 0  y  x/2

Hình chiếu lên Oxy của miền :0  x  2, 0  y  x/2

Vậy miền lấy tp gh bởi các mặt sau:

z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0

0, 4, 2 , 2, 0

z = z = x = y x = y =

0, 4, 2 , 2, 0

z = z = x = y x = y =

0, 4, 2 , 2, 0

z = z = x = y x = y =

0, 4, 2 , 2, 0

z = z = x = y x = y =

0, 4, 2 , 2, 0

z = z = x = y x = y =

0, 4, 2 , 2, 0

z = z = x = y x = y =

0, 4, 2 , 2, 0

z = z = x = y x = y =

D1D2

: y 1 x z, 3 ,x y 5, z 0

: y = 1 + x2, z = 3x, y = 5, z = 0

: y = 1 + x2, z = 3x, y = 5, z = 0

: y = 1 + x2, z = 3x, y = 5, z = 0

: y = 1 + x2, z = 3x, y = 5, z = 0

: y = 1 + x2, z = 3x, y = 5, z = 0

: y = 1 + x2, z = 3x, y = 5, z = 0

: y = 1 + x2, z = 3x, y = 5, z = 0

: y = 1 + x2, z = 3x, y = 5, z = 0

: y = 1 + x2, z = 3x, y = 5, z = 0

: y = 1 + x2, z = 3x, y = 5, z = 0

: y = 1 + x2, z = 3x, y = 5, z = 0

2224

Bài 2: Tính thể tích vật thể được giới hạn bởi các mặt sau:

yx yx zzx

xyx xzxzxyzz xyz