Tích Phân: Chuỗi Luỹ Thừa

Định nghĩa Chuỗi lũy thừa (power series) là một chuỗi có dạng ∞ Xcnxn =c0+c1x+c2x2+c3x3+···, n=0 trongđóxlàbiếnsốvàcáchằngsốcn đượcgọilàcáchệsố

1 Chuỗi lũy thừa

Định nghĩaBán kính hội tụ

2 Chuỗi Taylor

TS Đào Huy Cường (Bộ môn Toán Ứng Dụng)Giải tích 2 (Calculus 2)

(cofficients) của chuỗi lũy thừa.

Xét chuỗi lũy thừa:

Định nghĩaChuỗi có dạng

cn(x − a)n = c0+ c1(x − a) + c2(x − a)2+ · · · ,

lũy thừa tâm a (power series centered at a).

Định nghĩa

Miền hội tụ của một chuỗi lũy thừa là tập hợp chứa tất cả cácgiá trị x mà khi thay vào chuỗi lũy thừa ta được chuỗi số hội tụ.

Miền hội tụ =(

TS Đào Huy Cường (Bộ môn Toán Ứng Dụng)Giải tích 2 (Calculus 2)

Khi đó, ta chỉ có ba khả năng xảy ra:

|x − a| < R và phân kỳ khi |x − a| > R.

Số dương R trong trường hợp (c) được gọi là bán kính hộitụ (radius of convergence).

Ta quy ước bán kính hội tụ R = 0 trong trường hợp (a) vàR = +∞ trong trường hợp (b).

TS Đào Huy Cường (Bộ môn Toán Ứng Dụng)Giải tích 2 (Calculus 2)

Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

cn(x − a)n có thể đượctính bởi công thức:

Ta gọi tập hợp

{x : |x − a| < R}

là khoảng hội tụ.

S (x ) =

n=0

Tính chất của tổng chuỗi lũy thừa

Tổng của chuỗi lũy thừa liên tục trên miền hội tụ của nó.Trong khoảng hội tụ, đạo hàm (tích phân) của tổng chuỗibằng chuỗi đạo hàm (tích phân) tương ứng.

Bán kính hội tụ của chuỗi đạo hàm và chuỗi tích phân bằngbán kính hội tụ của chuỗi ban đầu.

TS Đào Huy Cường (Bộ môn Toán Ứng Dụng)Giải tích 2 (Calculus 2)

HD: Xét chuỗi lũy thừa

Định lý

Cho hàm số f khả vi vô hạn lần trong khoảng (a − R; a + R).

Khi đó,f (x ) =

Các chuỗi Maclaurin cơ bản

Miền hội tụ là D = R

TS Đào Huy Cường (Bộ môn Toán Ứng Dụng)Giải tích 2 (Calculus 2)

Các chuỗi Maclaurin cơ bản

11 − x =

xn1

Các chuỗi Maclaurin cơ bản

Nếu α ∈ N, thì miền hội tụ D = R.

Nếu α /∈ N và α > 0, thì miền hội tụ D = [−1; 1].Nếu −1 < α < 0, thì miền hội tụ D = (−1; 1].Nếu α ≤ −1, thì miền hội tụ D = (−1; 1).

TS Đào Huy Cường (Bộ môn Toán Ứng Dụng)Giải tích 2 (Calculus 2)

Các chuỗi Maclaurin cơ bản

Các chuỗi Maclaurin cơ bản

Các chuỗi Maclaurin cơ bản

Miền hội tụ là D = R

Các chuỗi Maclaurin cơ bản

Ví dụ

Hãy sử dụng các chuỗi Maclaurin cơ bản để tìm chuỗi Maclaurincủa hàm số sau:

f (x ) = ln(1 + x − 2x2).