Các bạn có thể khai triển đa thức 3 2
( ) ( 3) (1 4 )(2 7)
f x x x x dễ dàng về mặt toán học, nhưng lại không dễ dàng về mặt thời gian nếu các bạn chỉ có 1 phút. Do đó kỹ thuật khai triển trên máy tính là một “đột phá”, nó sẽ không làm các bạn “suy giảm trí tuệ” bởi vì đây chỉ là việc cỏn con mà thôi, nhưng lại cần phải làm nhanh chóng.
Hãy xem f(x) ở trên được máy tính khai triển nhanh đến mức nào nhé:
VD1. Khai triển 3 2
( ) ( 3) (1 4 )(2 7)
f x x x x
Trước hết nhập f(X) vào máy và dùng CALC tính f(1000), ta được kết quả:
101 1, 489319698 10 1 1, 489319698 10 K Dễ thấy f(x) có bậc 3, nên ta xấp xỉ: 9 9 3 1 14,89319698 10 15 10 15 K X
Do đó quay lại f(x), sửa thành: 3 2 3 (X 3) (1 4 )(2 X X 7) 15X , ấn thu được 2 2 106803022 107 K X Lại sửa thành: 3 2 3 2 (X 3) (1 4 )(2 X X 7) 15X 107X , ta được: 3 196978 197 K X Cuối cùng 3 2 3 2 (X 3) (1 4 )(2 X X 7) 15X 107X 197X cho ta K4 22, nên 3 2 3 2 (X 3) (1 4 )(2 X X 7) 15X 107X 197X 220, hay: 3 2 3 2 (X 3) (1 4 )(2 X X 7) 15X 107X 197X 22
Nhờ có “nguyên tắc TGTTN” mà kết quả trên được xác nhận là đúng.
Các bạn thấy rồi đó, khá là nhanh chóng trong một bài thi Đại học vì chỉ cần bấm máy rồi ghi kết quả dần dần, không đụng tí giấy nháp nào cả.
Sau này mình sẽ gọi đây là phương pháp “xấp xỉ” nhé!
VD2. Đa thức f x( )(x2)3(x2 1)(x23x2)
Với CALC ta được f(1000)K11,004007009 10 12
Liếc mắt phát thấy ngay f(x) bậc 4, dễ quá: K1 1 1012 X4 (nhớ là X = 1000 nhé!). Nếu ai mà đã quen việc này, thì từ 1012 X4 là đã làm được rồi không cần nhìn lại bậc.
Bớt đi X4 ta được 1 biểu thức bậc 3 mới: (X 2)3(X21)(X23X 2)X4
Nhớ rằng đừng thay đổi X nhé, ta thu được kết quả mới: K2 4007009006
Mẹo nhỏ nè, khi kết quả đẹp như thế này rồi, các bạn chỉ cần phân chia theo nhóm 3 chữ số một từ phái sang trái là dễ dàng xấp xỉ ngay: K2 4'007 '009'006 4 1034X3 (việc phân chia 3 chữ số chắc tại vì X = 1000 có 3 chữ số 0, phải không nào?).
Tiếp tục bớt 4X3 và nhấn , thì biểu thức (X 2)3(X21)(X23X 2)X44X3
cho ta K3 7009006
Nếu đã “lão luyện” thì nhìn qua ngay cái số này đã biết là K3 7X2 9X 6 rồi chứ chả cần phải xấp xỉ làm gì nữa, thậm chí biết được kết quả sớm hơn từ K2 rồi kia.
Các bạn hiểu rồi chứ?
Vậy: f x( )x44x37x29x6
Đặt vấn đề: nếu chẳng may cần khai triển đa thức mà hệ số là phân số tối giản thì sao? Chẳng hạn như đa thức: 2 2 1 ( ) 2 1 2 3 x f x x x ???
Khi đó mà xác định hệ số y nguyên như cách trên coi như toi rồi!
Nhưng vì chúng ta không thể nào “toi” chỉ vì vấn đề “bé cỏn con” này được, do đó cách đơn giản chính là: viết lại
2 2 ( 4 2)(3 1) ( ) 18 x x x f x
Như vậy xem như đã xong, khai triển đa thức nguyên trên tử rồi đem kết quả chia cho 18 là ok!
Một chú ý rất là hữu hiệu về mặt lí thuyết cho kĩ xảo này là với bậc 5 trở lên mà trị tuyệt đối của hệ số cao gần 100 (thậm chí cao hơn như hệ số 107 ở VD1 đấy), thì kĩ xảo này bắt đầu thành “quỷ xạo” rồi , nghĩa là kết quả bắt đầu bị sai! Bậc càng cao, hệ số càng to thì cái sai càng tăng, và tăng rất nhanh bắt đầu từ bậc 5 trở lên, chủ yếu là tại bậc.
Do đó bậc 5 các bạn không nên sử dụng, và chỉ tiếp tục tính toán nếu thấy những hệ số đầu tiên thu được là nhỏ mà thôi (nói chung là chúng ta vẫn thu những hệ số nhỏ làm kết quả được). Còn bậc 6 thì thôi hẳn!
Mình sáng tạo được thêm 6 cách nữa cho việc khai triển đa thức không có tham số này, trong đó có cách hữu hiệu đến tận bậc 10, nhưng vì các bạn sẽ không gặp loại đa thức như
vậy, nên thôi không viết thêm nữa. Cũng là do công việc này không phải là quan trọng trong đề thi.
Sở dĩ mình nói “về mặt lí thuyết” là vì trong đề thi THPT QG cực hiếm gặp đa thức bậc 5 trở lên, nếu chẳng may các bạn có gặp thì hầu như tại phương pháp các bạn sử dụng không đúng mà thôi, tiêu biểu trong số đó là bình phương lên mấy lần, ặc ặc!